Chuyên đề dãy số GIỚI hạn

Chuyên đề DÃY SỐ - GIỚI HẠN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN (3 tiết) A KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tùy ý (k ≥ 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n≥ p, ta thực sau + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k ≥ p phải chứng minh mệnh đề với n=k+1 II Dãy số Định nghĩa u : ¥* → ¡ dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n a u (n) Dãy số tăng, dãy số giảm: • (un) dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 – un > với ∀ n ∈ N* un +1 > với ∀n ∈ N* ( un > 0) ⇔ un • (un) dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< với ∀ n ∈ N* un +1 < với ∀n ∈ N* (un > 0) ⇔ un Dãy số bị chặn • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* III Cấp số cộng Định nghĩa: (un) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* Số hạng tổng quát: un = u1 + ( n − 1)d (d: công sai) với n ≥ Tính chất số hạng: uk = uk −1 + uk +1 với k ≥ Tổng n số hạng đầu tiên: S n = u1 + u2 + + un = n(u1 + un ) n [ 2u1 + ( n − 1) d ] = 2 IV Cấp số nhân Định nghĩa: (un) cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N* n −1 Số hạng tổng quát: un = u1.q Tính chất số hạng: uk2 = uk −1.uk +1  S n = nu1  Tổng n số hạng đầu tiên:  u (1 − q n ) Sn =  1− q (q: công bội) với n ≥ với k ≥ ,q =1 ,q ≠1 B BÀI TẬP LUYỆN TẬP Phương pháp quy nạp toán học 1 1 2n − + + + + n = n , ∀n ∈ N * 2 Giải 1 Bước 1: Với n = mệnh đề trở thành = mệnh đề 2 1 1 2k − Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ nghĩa là: + + + + k = k 2 Ta chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức cần chứng minh: 1 1 2k +1 − + + + + k +1 = k +1 2 Thật 1 1 VT = + + + + k + k +1 2 k −1 = k + k +1 2 k +1 −1 = k +1 = VP Bài Chứng minh rằng: Vậy mệnh đề cho với n∈ N * Bài Chứng minh rằng: un = n + 3n + 5n chia hết cho , ∀n ∈ ¥ * Giải Bước 1: Với n = , vế trái chi hết cho Mệnh đề cho Bước 2: Giả sử mệnh đề cho với n = k , tức là: uk = k + 3k + 5k chia hết cho Ta chứng minh hệ thức cho với n = k + 1: Ta có: uk +1 = ( k + 1) + ( k + 1) + ( k + 1) = ( k + 3k + 5k ) + ( k + 3k + 3) = uk + ( k + 3k + 3) Vậy uk +1 chi hết cho 3, ta điều phải chứng minh Dãy số Bài Xét tính tăng giảm dãy số: a )un = − n b)un = 2n + 5n + Giải −2 n −1   1  un +1 − un =  − ÷−  − ÷= < 0, ∀n ∈ N *  n +1   n  n(n + 1) a ) un = Nên dãy số giảm 2n + 5n + 5n + 2n + 10n + 19n + = = < 1, ∀n ∈ N * 2n + 5n + 10n + 19n + b ) un = un +1 un Nên dãy số giảm  U1 = ∀n∈ N* U = 2U  n+1 n Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số:  Giải Ta có: U1=3 U2=2U1=3.2 U3=2.U2=3.22 Dự đoán: Un=3.2n-1 Sau khẳng định quy nạp Cấp số cộng u1 − u3 + u5 = 10 Bài Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết:  u1 + u6 = 17 Giải u + 2d = 10 u1 − u3 + u5 = 10 u = 16 ⇔ ⇔ Ta có:  u1 + u6 = 17 2u1 + 5d = 17  d = −3 Bài Một CSC có số hạng thứ 54 thứ -61 64 Tìm số hạng thứ 23 Giải Ta có: un = u1 + ( n − 1) d u = u1 + 53d ⇔  54 u4 = u1 + 3d Giải hệ phương trình , ta được: 143 u1 = ,d = − 2 33 ⇒ u23 = u1 + 22d = Cấp số nhân Bài Tìm số hạng cấp số nhân (un ) có số hạng, biết: u3 = 3, u5 = 27 Giải u q = u3 = ⇔ Ta có:  ⇔ u1 = , q = ±3 u5 = 27 u1q = 27 1 Vậy có hai dãy số: ,1,3,9,27 , −1,3, −9,27 3 Bài Tìm số hạng cấp số nhân mà tổng số 19 tích 216 Giải a Gọi số hạng liên tiếp cấp số nhân là: ; a ; aq (với q công bội) q Theo giả thiết ta có: a  q a.aq = 216 (1)    a + a + aq = 19 (2)  q Từ (1) (2) ta có a = q = hoÆc q = Vậy số hạng cần tìm là: 4, 6, hay 9, 6, B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Phương pháp quy nạp toán học 2 2 Câu Giá trị tổng S n = + + + + n là: n(n + 1)(n + 2) n( n + 1)(2n + 1) C A B D Đáp số khác Câu Với số nguyên dương n, tổng S n = A n +1 n(n + 2)(2n + 1) B n n +1 1 + + + là: 1.2 2.3 n(n + 1) n n +1 C D n+2 n+2 Câu Với số nguyên dương n, tổng S n = n + 11n chia hết cho: A B C D 12 Câu Với số nguyên dương n Sn = 11n+1 + 122n−1 chia hết cho: A B 33 C 133 D 13 Câu Với số tự nhiên n ≥ , bất đẳng thức sau đúng? A 3n > n + B 3n > n + C 3n > 3n + D 3n > 3n + Câu Với số tự nhiên n > , bất đẳng thức sau đúng? 1 13 1 13 + + + > + + + > A B n +1 n + 2n 20 n +1 n + 2n 21 1 13 1 13 + + + > + + + > C D n +1 n + 2n 17 n +1 n + 2n 24 Dãy số Câu 7: Dãy số { un } xác định công thức un = 2n + với n = 0, 1, 2, … là: A Dãy số tự nhiên lẻ B Dãy 1, 3, 5, 13, 17 C Dãy số tự nhiên chẵn D Dãy gồm số tự nhiên lẻ số tự nhiên chẵn u1 = Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi:  Ta có u5 bằng: n un +1 = un ,∀n ≥ A 10 B 1024 C 2048 D 4096  u1 = Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi:  Khi u50 bằng: un = un −1 + 2n ,∀ n ≥ A 1274,5 B 2548,5 C 5096,5 D 2550,5 u1 = −1 Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi:  Khi u11 bằng: un = 2n.un −1 ,∀ n ≥ A 210.11! B -210.11! C 210.1110 D -210.1110 u1 = Câu 11: Cho dãy số (un):  Ta có u11 bằng: un +1 = un + n , ∀n ≥ A 36 B 60 C 56 Câu 12: Cho dãy số ( un ) A  u1 = với  un = − un −1  B n +1 Câu 13: Cho dãy số (un ) với un = ( −1) cos Giá trị u4 bằng: , n = 2, 3, C 2π Khi u12 bằng: n C − 1− n Câu 14: Cho dãy số (un ) với un = n +1 Khi un −1 bằng: 1− n 2−n 2−n A un −1 = n B un −1 = n C un −1 = n −1 2 A B D 44 D D − D un −1 = n 2n u1 = n ∈ N * ) Khi số hạng thứ n+3 là: Câu 15: Cho dãy số có  ( un = 2un −1 + 3un − A un +3 = 2un+ + 3un+1 B un +3 = 2un + + 3un C un +3 = 2un − + 3un +1 D un +3 = 2un + + 3un −1 n Câu 16: Cho dãy số có công thức tổng quát un = số hạng thứ n+3 là: A un +3 = n B un +3 = 8.2 n C un +3 = 6.2 Câu 17: Cho tổng S n = + + + + n Khi S3 bao nhiêu? A B C n D un +3 = D Câu 18: Cho dãy số un = ( −1) Chọn khẳng định khẳng định sau đây? A Dãy tăng B Dãy giảm C Bị chặn D Không bị chặn Câu 19: Dãy số un = dãy số có tính chất: n +1 n A Tăng B Giảm C Không tăng không giảm D Tất sai Câu 20: Trong dãy số sau, dãy số thoả mãn: u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - - 2un - , n = 2, 3, …? A 1, 2, 4, 8, 16, 32, … B 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, … C Dãy có số hạng tổng quát un = 2n + với n = 0, 1, 2, … D Dãy có số hạng tổng quát un = 2n với n = 0, 1, 2, … Câu 21: Xét câu sau: Dãy 1, 2, 3, 4, … dãy bị chặn (dưới trên) (1) 1 Dãy 1, , , … dãy bị chặn không bị chặn (2) Trong hai câu trên: A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai câu D Cả hai câu sai n Câu 22: Cho dãy số (un), biết un = Số hạng un + bằng: A 3n + B 3n + C 3n.3 D 3(n + 1) n Câu 23: Cho dãy số (un), biết un = Số hạng u2n A 2.3n B 9n C 3n + D 6n n Câu 24: Cho dãy số (un), biết un = Số hạng un - bằng: 3n A 3n – B C 3n – D 3n – Câu 25: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng u2n - bằng: A 32.3n – B 3n.3n – C 32n – D 32(n - 1) π Câu 26: Cho dãy số un = sin Chọn khẳng định sai khẳng định sau đây? n π A un +1 = sin B Dãy số bị chặn n +1 C Dãy số tăng D Dãy số không tăng, không giảm 3n − Câu 27: Dãy số un = dãy số bị chặn bởi: 3n + 1 A B C D Câu 28: Trong dãy số (un) sau đây, chọn dãy số giảm? n n2 + n A un = sin n B un = C un = n − n − D un = ( −1) ( + 1) n Câu 29: Trong dãy số (un) sau đây, chọn dãy số bị chặn ? A un = n + B un = n + n n C un =2n + D un = n +1 Câu 30: Hãy cho biết dãy số (un) nằo dãy số tăng, biết công thức số hạng tổng quát un là: π n n +1 2n n A ( −1) sin B ( −1) ( + 1) C D n +1 + n n n +1 Câu 31 Đặt S1(n) = + + + … + n S2(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 S3(n) = 13 + 23 + 33 + … + n3 Ta có : 3n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) B S ( n ) = n ( n − 1) C S3 ( n ) = D Đáp án khác Câu 32: Dãy số sau dãy tăng ? π 2n + n +1 2n n A un = ( −1) sin B un = C un = D un = ( −1) (3 + 1) n + n +1 n 3n + 2n Câu 33: Cho dãy số un = Số số hạng thứ bao nhiêu? n +1 41 A 10 B C D 11 1+ n Câu 34: Cho dãy số un = Số số hạng thứ bao nhiêu? 2n + 15 A B C D A S1 ( n ) = u1 = Câu 35: Cho dãy số  Số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = un + n ( n − 1) n ( n − 1) n A un = B un = + 2 n ( n + 1) ( n + 1) ( n + ) C un = + D un = + 2 u1 = Câu 36: Cho dãy số  n Số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = un + ( −1) 2n A un = + n B un = − n C un = + ( −1) D un = n u1 = Câu 37: Cho dãy số  Số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = un + n n ( 2n + 1) ( n + 1) ( n − 1) n ( 2n + ) B un = + 6 n − n n − n − n ( ) ( ) ( ) ( n − 1) C un = + D un = 6 u1 = −2  Số hạng tổng quát dãy số là: Câu 38: Cho dãy số  un +1 = −2 − u n  −n + n +1 n +1 n A un = B un = C un = − D un = − n n n n +1 A un = + 2 Câu 39: Cho tổng S ( n ) = + + + n Khi công thức S(n) là: n ( n + 1) ( 2n + 1) n +1 B S ( n ) = n ( n − 1) ( 2n + 1) n ( 2n + 1) C S ( n ) = D S ( n ) = 6 Câu 40: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+………….+(2n-1)-2n+(2n+1) là: A S ( n ) = A S(n)= n+1 Câu 41: Tính tổng S ( n ) = A S ( n ) = n n+2 B S ( n ) = -n C S ( n ) = 2n D S ( n ) = n 1 1 + + + + Khi công thức S(n) là: 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) n 2n B S ( n ) = C S ( n ) = D S ( n ) = n n +1 2n + Câu 42: Tính tổng s (n) = 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) Khi công thức S ( n ) là: A S ( n ) = n + B S ( n ) = ( n + 1) C S ( n ) = n ( n + 1) D S ( n ) = 4n Câu 43: Tính tổng S ( n ) = 1.1!+ 2.2!+ + 2007.2007! Khi công thức S ( n ) là: A 2007! B 2008! C 2008!− D 2007!− Câu 44: Trong dãy số 1, 3, 2, … số hạng kể từ số hạng thứ số hạng đứng trước trừ số hạng đứng trước số hạng này, tức un = un −1 − un − với n ≥ Tính tổng 100 số hạng dãy số Đáp số toán là: A B C D u1 =  Câu 45: Cho dãy số xác định công thức truy hồi:  * Công thức tính số hạng un +1 = un ∀n ∈ ¥ tổng quát un dãy số là: 3 3 A un = n B un = n −1 C un = n D un = n 2 −1 +1 u1 = Câu 46: Cho dãy số xác định công thức truy hồi:  * Công thức tính số hạng un +1 = un + ∀n ∈ ¥ tổng quát un dãy số là: A un = 2n + B un = 2n − C un = 2n + D un = 2n + u1 = Câu 47: Cho dãy số xác định công thức truy hồi:  Hỏi số 33 số hạng thứ mấy? un +1 = un + A u15 B u17 C u14 D u16 Cấp số cộng Câu 48: Viết số xen số 22 để CSC có số hạng? A 7;12;17 B 6,10,14 C 8,13,18 D Tất sai Câu 49: Công thức sau với CSC có số hạng đầu u1 ,công sai d? A.un= un +d B.un= u1 +(n+1)d C.un= u1 -(n+1)d D.un= u1 +(n-1)d Câu 50: Cho cấp số cộng 1, 8, 15, 22, 29,….Công sai cấp số cộng là: A B C D 10 −1 Câu 51 Cho cấp số cộng có u1= Năm số hạng liên tiếp của cấp số là: ;d = 2 −1 −1 1 −1 A ;0;1; ;1 B ;0; ;0; C ;1; ; 2; D ;0; ;1; 2 2 2 2 2 Câu 52: Nếu cấp số cộng (un ) ) với công sai d có u5 = u10 = 10 thì: A u1 = d = -2 B u1 = −8 d = C u1 = d = D u1 = −8 d = -2 Câu 53 Một cấp số cộng có số hạng Số hạng 15 Tổng số hạng bằng: A 135 B 405 C 280 D đáp số khác Câu 54: Cho CSC : -2 ; u2 ; ; u4 Hãy chọn kết ? A u2 = -6 ; u4 = -2 B u2 = ; u4 = C u2 = ; u4 = D u2 = ; u4 = 10 Câu 55: Chọn khẳng định khẳng định: Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng (khác không) : A nghịch đảo chúng lập thành cấp số cộng B bình phương chúng lập thành cấp số cộng C c,b,a theo thứ tự lập thành cấp số cộng D Tất khẳng định sai Câu 56 Cho dãy số un = − 2n Chọn khẳng định sai khẳng định sau đây? A Ba số hạng dãy là: 5;3;1 B Số hạng thứ n+1 dãy 8-2n C Là CSC với d=-2 D Số hạng thứ dãy -1 1 Câu 57 Cho CSC có u1 = , d = − Chọn khẳng định khẳng định sau đây? 4 5 A s5 = B s5 = C s5 = − D s5 = − 5 Câu 58 Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng? u1 = u1 = u1 = u1 = −1 A  B  C  D  un +1 − un = un +1 = un − un +1 = un + n un +1 = 2un + Câu 59 Cho cấp số cộng: 6, x - 2, y Kết sau đúng? x = x = x = x = A  B  C  D  y = y =  y = −6  y = −6 Câu 60 Xét câu sau: (1) Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số cộng với công sai d ≠ 0, u n = un - + d với n = 2, 3, … (2) Nếu dãy số u1 , u2 , u3 , cấp số cộng với công sai d ≠ 0, u n = u1 + (n + 1)d với n = 2, 3, … Trong hai câu trên: A có (1) B có (2) C hai câu D hai câu sai Câu 61 Xét câu sau u −u (1) Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số cộng với công sai d ≠ uk = k −1 k +1 với k = 2, 3, … (2) Nếu dãy số u1 , u2 , u3 , , un cấp số cộng với công sai d ≠ 0, u1 + un = uk + un −k với k = 2, 3, …, n - Trong hai câu trên: A có (1) B có (2) C hai câu D hai câu sai Câu 62 Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng thứ n un = − 3n công sai d bằng: A B C -3 D Câu 63: Chọn khẳng định sai khẳng định sau Cho CSC ( un ) có d khác không đó: A u2 + u17 = u3 + u16 B u2 + u17 = u4 + u15 C u2 + u17 = u6 + u13 D u2 + u17 = u1 + u19 Câu 64 Cho cấp số cộng (un ) có u5 = 12 tổng 21 số hạng S 21 = 504 Khi u1 bằng: A B 20 C 48 D Đáp số khác Câu 65 Cho cấp số cộng (un ) Biết S n = 2n − 3n , u1 công sai d : A u1 = −1; d = B u1 = 1; d = C u1 = 2; d = D u1 = −1; d = Câu 66 Cho cấp số cộng (un ) Biết u5 = 18; 4S n = S n , u1 công sai d : A u1 = 2; d = B u1 = 2; d = C u1 = 2; d = D u1 = 3; d = Câu 67 Cho CSC có d=-2 s8 = 72 , số hạng bao nhiêu? 1 A u1 = 16 B u1 = −16 C u1 = D u1 = − 16 16 Câu 68 Cho CSC có u1 = −1, d = 2, sn = 483 Hỏi số số hạng CSC bao nhiêu? A n=20 B n=21 C n=22 D n=23 Câu 69 Cho CSC có u1 = 2, d = 2, s = Chọn khẳng định khẳng định sau? A S tổng số hạng CSC B S tổng số hạng CSC C S tổng số hạng CSC D Tất sai Câu 70 Ba số − x, x ,1 + x lập thành CSC khi: A Không có giá trị x B x=2 x= -2 C x=1 x=-1 D x=0 Câu 71 Ba số + 3a, a + 5,1 − a lập thành CSC khi: A a = B a = ±1 C a = ± D Tất sai Câu 72 Cho CSC có u4 = −12, u14 = 18 Khi số hạng công sai A u1 = −20, d = −3 B u1 = −22, d = C u1 = −21, d = D u1 = −21, d = −3 Câu 73 Cho CSC có u4 = −12, u14 = 18 Khi tổng 16 số hạng CSC là: A 24 B -24 C 26 D – 26 Câu 74 Cho CSC có u5 = −15, u20 = 60 Tổng 20 số hạng CSC là: A 200 B -200 C 250 D -25 Câu 75 Trong dãy số sau dãy số CSC? n +1 n A un = B un = ( −3) C un = 3n + D Tất CSC Câu 76 Trong dãy số sau dãy số CSC? u1 = −1 u1 = −1 A  B  C un = n un +1 = 2un + un +1 = un + D un = ( n + 1) Câu 77 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 u3 - u15 = 84 Số hạng u17 là: A 242 B 235 C 11 D Câu 78 Nếu cấp số cộng (un) với công sai d có u2 = u50 = 74 thì: A u1 = d = B u1 = -1 d = C u1 = 0,5 d = 1,5 D u1 = -0,5 d = 2,5 Câu 79: Cho cấp số cộng -2; x; 6; y Hãy chọn kết kết sau?  x = −6 x = x = x = A  B  C  D   y = −2 y = y =  y = 10 Câu 80 Cho cấp số cộng -4; x; -9 Hãy chọn kết kết sau? A x = 36 B x = -6,5 C x = D x = -36 Câu 81 Cho cấp số cộng (un) Hãy chọn hệ thức hệ thức sau ? 10 x2 − = x− x+ ( ) x3 − x2 − x − = ( x − 2) x2 + x +1 x2 − x − x + x+ lim = lim = lim = +∞ 2 x→2 x − x − x − x→2 x − x + x + x→2 x − x2 + x + ( ) ( ) ( ) c) Thêm vào -3 tử x + − 3x + x + − + − 3x + x2 + − 3 − 3x + lim = lim = lim + lim x→2 x → x → x → x−2 x−2 x−2 x−2 2 ( x − 4) ( x + 2) 3(2 − x ) −3 = lim + lim = lim + lim x→2 x →2 ( x − 2) x + + x→2 ( x − 2) + 3x + x + + x →2 + x + ( ) ( ) ( ) ( ) − = 6 Hàm số liên tục =  x2 − x −  x ≠ Bài 6: Cho hàm số f (x) =  x −  m x =  a) Xét tính liên tục hàm số m = b) Với giá trị m f(x) liên tục x = ? Hướng dẫn giải: • Ta có tập xác định hàm số D = R a) Khi m = ta có ⇒ f(x) liên tục x ≠ f (x) = lim ( x + 1) = ⇒ f(x) liên tục x = Tại x = ta có: f(2) = 3; xlim →2 x→2 Vậy với m = hàm số liên tục tập xác định  x2 − x − x ≠  x + x ≠  = b) f ( x ) =  x − m x =  m x =  lim f ( x ) = Tại x = ta có: f(2) = m , x→2 (x) ⇔ m= Hàm số f(x) liên tục x = ⇔ ff(2) = xlim →2  3x + − x >2  x − f ( x ) = Bài Cho hàm số:   ax + x ≤  Xác định a để hàm số liên tục điểm x = Hướng dẫn giải: • f (2) = 2a +  1 • lim f (x) = lim  ax + ÷ = 2a + 4 x→2− x→2−  21 f ( x ) = lim+ • xlim →2 + x →2 3x + − = lim+ x →2 x−2 ( x − 2) ( 3( x − 2) (3x − 2) + (3 x − 2) + ) = f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 2a + = ⇔ a = Hàm số liên tục x = ⇔ f (2) = xlim → 2− x→2 4 x+3 x ≠ −1  Bài Xét tính liên tục f ( x ) =  x − tập R  x = −1 Hướng dẫn giải: • Tập xác định D = R \ {1} x+ • Với x∉ { −1;1} hàm số f (x) = xác định nên liên tục x−1 • Xét x = ∉ D nên hàm số không liên tục x = • Xét x = –1 x+ lim f ( x) = lim = −1≠ f ( −1) = nên hàm số không liên tục x = –1 x→−2 x→−2 x − Bài Chứng minh phương trình x5 − 3x4 + 5x − = có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) Hướng dẫn giải: Xét hàm số f (x) = x5 − 3x4 + 5x − ⇒ f liên tục R Ta có: ff(0) = −2, (1) = 1, ff(2) = −8, (4) = 16 ⇒ ff(0) (1) < ⇒ PT f(x) = có nghiệm c1 ∈ (0;1) ff(1) (2) < ⇒ PT f(x) = có nghiệm c2 ∈ (1;2) ff(2) (4) < ⇒ PT f(x) = có nghiệm c3 ∈ (2;4) ⇒ PT f(x) = có nghiệm khoảng (–2; 5) D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Nhận biết Câu Dãy số (un) với un = 1 1 , chọn M = , để n phải lấy từ số hạng thứ bao < 2n 100 2n 100 nhiêu trở đi? A 51 B 49 C 48 D 50 1 1 Câu Dãy số (un) với un = , chọn M = , để n phải lấy từ số hạng < 2n + 1000 2n + 1000 thứ trở đi? A 498 B 499 C 500 D 501 Câu Chọn mệnh đề đúng? n   A lim n ÷ ≠  10  n  4 B lim ÷ =  3 n 3 2 C lim  ÷ = lim  ÷ = 4 3 Câu Chọn mệnh đề đúng? A lim( −2017) = C lim( −2017) = n  3 D lim ÷ =  2 B lim ( −2017 ) = 2017 D lim( −2017) = −2017 22 Câu Dãy số (un) với un = n , limun bằng: C −∞ D +∞ B C Câu Cho dãy số (un) với un = 7− , limun bằng: n A B C −∞ 1 1 Câu CSN: , , , , n , có công bội là: D +∞ A B Câu Dãy số (un) với un = A n2 + , lim un bằng: A q = C q = B q = −2 D +∞ D q = − n−1  1 1 Câu Công bội CSN: 1, − , , − , , − ÷ 27  3 A q = , là: B q = −3 C q = D q = − Câu 10 Công thức tính tổng CSN lùi vô hạn (un) là: A S = 1− q u1 B S = 1+ q u1 C S = u1 1− q Câu 11 limn2 có kết bằng: A B C −∞ Câu 12 lim5n có kết bằng: A B C −∞ x k là: Câu 13: Với k số nguyên dương Kết giới hạn xlim →+∞ A + ∞ B −∞ C Câu 14: Kết giới hạn lim k (với k nguyên dương) là: x →−∞ x ∞ A + B −∞ C Câu 15: Khẳng định sau đúng? D S = u1 1+ q D +∞ D +∞ D x D x A lim f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) x → xo x → xo x → xo f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) B xlim → xo x → xo x → xo C lim f ( x) + g ( x) = lim [f ( x) + g ( x)] x → xo x → xo f ( x) + g ( x) = lim [f ( x) + g ( x)] D xlim →x x →x o o Câu 16: Khẳng định sau đúng? 3 A lim f ( x) + g ( x) = lim [ f ( x) + f ( x)] x → xo x → xo B xlim → xo C xlim → xo f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) x → xo x → xo f ( x) + g ( x) = lim [f ( x) + g ( x)] x → xo 23 D xlim → xo f ( x) + g ( x) = lim x → xo f ( x) + lim g ( x) x → xo Câu 17: Trong giới hạn sau, giới hạn không tồn tại? x +1 x +1 x +1 x +1 lim lim lim lim x →1 x → x →− x →− x−2 2− x −x + 2+ x A B C D Câu 18: Khẳng định sau đúng? A Hàm số có giới hạn điểm x=a liên tục x =a B Hàm số có giới hạn trái điểm liên tục C Hàm số có giới hạn phải điểm liên tục D Hàm số có giới hạn trái phải điểm liên tục Câu 19: Cho hàm số f(x) Khẳng định sau đúng? A Nếu f(a).f(b) hàm số liên tục (a; b) B Nếu hàm số liên tục (a; b) < C Nếu hàm số liên tục (a; b) phương trình f(x) = có nghiệm D Cả ba khẳng định sai Câu 20: Cho hàm số f(x) Khẳng định sau đúng? A Nếu f(x) liên tục đoạn [ a; b ] phương trình f(x) = nghiệm khoảng (a;b) B Nếu < phương trình có nghiệm khoảng C Nếu phương trình có nghiệm khoảng (a; b) hàm số f(x) phải liên tục khoảng D Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b ] và< phương trình có nghiệm khoảng Thông hiểu Câu 21 Giới hạn lim bằng: n−2 A B − C D ∞ n −1 Câu 22.: Giới hạn lim bằng: n−2 A B −1 C D ∞ 7n − Câu 23 Giới hạn lim bằng: n −2 A B − C D ∞ 2n + Câu 24 Giới hạn lim bằng: n − 3n + A B C D ∞ n +1 Câu 25 Giới hạn lim bằng: n +1 A B C −1 D 2 + n − 3n Câu 26 Giới hạn lim có kết là: 2n + 5n − 1 A − B C D 2 24 Câu 27 Giới hạn lim A n + 2n có kết là: n3 + B Câu 28 Cho A = lim kết đúng? A B = C D +∞ 2n + 4n + 2n − 10n − n + ; B = lim ; C = lim kết sau 5n + 2n n+3 2n + B A = C 2n − 13 Câu 29 Giới hạn lim có kết là: ( n + 5) A C −∞ B 3n + 2n có kết là: 4n A B x − x) có kết là: Câu 31 Giới hạn lim(5 x →3 C A = B = C D A = B C D C D +∞ 25 Câu 30 Giới hạn lim A 24 B Câu 32 Giới hạn lim x−2 có kết là: x +1 x →1 A −1 B −2 Câu 33 Giới hạn lim x →3 A ∞ x →2 D C − D +∞ x + x − 15 có kết là: x−3 B Câu 34 Giới hạn lim C - ∞ C D.8 x3 − có kết là: 2− x A -12 B 12 C D 2x + Câu 35 Giới hạn lim− có kết là: x →1 − x A B -2 C −∞ D +∞ 4 x −a Câu 36 Giới hạn lim có kết là: x →a x − a A 2a2 B 3a4 C 4a3 D 5a4 5x2 + x − Câu 37 Giới hạn lim có kết là: x →+∞ x − x + A B C D - ∞ ( x + 1)( x + 1) Câu 38 Giới hạn hàm số f ( x ) = x tiến đến - ∞ có kết là: (2 x + x)( x + 1) A B + ∞ C D 2 25 (2 x + 1)(2 x + x ) x tiến đến + ∞ có kết là: (2 x + x)( x + 1) A B ∞ C D Câu 40 Giới hạn hàm số có kết 1? x + 3x + x + 3x + A lim B lim x →−1 x →−2 x +1 x+2 x + 3x + x2 + 4x + C lim D lim x →−1 x →−1 1− x x +1 Câu 41 Giới hạn có kết 3? 3x −3 x A lim B lim x →1 x − x →1 x − −3 x C Cả ba hàm số D lim x →1 − x Câu 42 Khẳng định đúng? x +1 A Hàm số f ( x ) = liên tục x2 + x +1 B Hàm số f ( x) = liên tục x −1 x +1 C Hàm số f ( x ) = liên tục x −1 Câu 39 Giới hạn hàm số f ( x ) = x +1 liên tục x −1 x −2 Câu 43 Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định đúng? x−4 I f ( x ) gián đoạn x = II f ( x) liên tục x = f ( x) = III lim x →2 2+ A Chỉ (I) (III) B Chỉ (II) C Chỉ (I) D Chỉ (II) (III) Câu 44 Khẳng định sai khẳng định sau? A Hàm số f ( x ) = 3x + liên tục tập R  x + 1, x ≥ B Hàm số f ( x) xác định f ( x) =  liên tục x = x < 0 C Hàm số f ( x) = liên tục ∀x ≠ x D Hàm số f ( x ) = x liên tục [ 0; +∞ ) D Hàm số f ( x ) = Câu 45: Cho hàm số f ( x ) = x − x + Khẳng định sau sai? A Hàm số có giới hạn trái phải điểm x = B Hàm số có giới hạn trái phải điểm C Hàm số có giới hạn điểm D Cả ba khẳng định sai Câu 46: Cho hàm số f ( x ) = Khẳng định sau đúng? 2− x 26 A Hàm số có giới hạn phải điểm x = B Hàm số có giới hạn trái giới hạn phải C Hàm số có giới hạn điểm x = D Hàm số có giới hạn trái điểm x = Câu 47 Cho hàm số: (I) y = sinx ; (II) y = cosx ; (III) y = tanx ; (IV) y = cotx Hàm số liên tục R? A (I) (II) B (III) IV) C (I) (III) D (I), (II), (III) (IV) Câu 48 Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau? A Hàm số y = tanx liên tục R 3x + B Hàm số y = x + liên tục R C Hàm số y = x + liên tục R D Hàm số y = x3 - 2x2 + 3x + liên tục R Câu 49 Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau? A Hàm số y = sinx liên tục R 3x + B Hàm số y = liên tục R x +1 −4x C Hàm số y = liên tục R x +1 D Hàm số y = x3 + 2x2 – 5x + liên tục R Câu 50: Kết luận sau sai? 3x + A Hàm số y = gián đoạn x = x−2 4x + B Hàm số y = gián đoạn x = -2 x = x + 2x 3x + C Hàm số y = gián đoạn x = -2 x+2 x2 + D Hàm số y = gián đoạn x = x = -2 x +4 Vận dụng thấp n + + 4n Câu 51 Giới hạn lim có kết là: 3n − A B C 3 n n 9.5 − Câu 52 Giới hạn lim n có kết bằng: + 3.5n A Câu 53 Giới hạn lim A Câu 54 Giới hạn lim B 3 C D D D n3 − 5n + có kết bằng: 3n − B C 2.5n − 9n +1 có kết bằng: + 9n 27 A Câu 55 Giới hạn lim B -1 ( 2n − 1) ( − n ) ( 4n − ) C có kết bằng: C 32 Câu 56 Giới hạn lim( n + n − n) có kết bằng: A B A B +∞ ( Câu 57 Giới hạn lim A Câu 58 Giới hạn lim C −∞ ) ) C −∞ ( A −∞ ( D D +∞ B D +∞ ) n2 + n + 28 − n2 − 4n + có kết bằng: B Câu 60 Giới hạn lim có kết bằng: A Không có giới hạn C -1 Câu 59 Giới hạn lim D n2 + 2n + − n có kết bằng: B n − n +1 ( D – C ) D +∞ 4n2 + 2n + − 2n + có kết bằng: C − D +∞ 1 Câu 61 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = − + − có kết bằng: A B C D Câu 62 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = −4 + − + có kết bằng: −8 A -8 B C D 1 Câu 63 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = + + + + n + có kết bằng: 2 A B C D Câu 64 Giới hạn lim(−n − 50n + 11) có kết bằng: A -1 B C −∞ D +∞ Câu 65 Giới hạn lim(n − 2n + 1) có kết bằng: A B C −∞ D +∞ x + − x2 + x + Câu 66 Giới hạn lim có kết bằng: x →0 x A B C ∞ D 1− 1− x Câu 67 Giới hạn hàm số f ( x ) = x tiến đến có kết bằng: x 1 A B C D A B 28 Câu 68 Giới hạn hàm số f ( x ) = A B x − 3x + x tiến đến có kết bằng: ( x − 2) C D ∞ ( x + x − x) bằng: Câu 69 Giới hạn xlim →+∞ A B ∞ C D 2 Câu 70 Khi x tiến tới −∞ , hàm số f ( x ) = ( x + x − x ) có giới hạn là: A B + ∞ C −∞ D Câu 71 Trong giới hạn sau, giới hạn có kết 0? x −1 A lim x →1 x − 2x + B lim x →−2 x + 10 x3 − x có kết là: x →−3 x − x + 21 B 20 lim ( x + − x) x2 − C lim x →1 x − x + D C D C D -2 C D x →+∞ Câu 72 Giới hạn lim 21 A 16 Câu 73 Giới hạn lim− − x + x −1 x →1 A -1 Câu 74 Giới hạn x →lim ( −1) − A -1 x →+∞ có kết là: x + 3x + có kết là: x +1 B Câu 75 Giới hạn lim A − x − x3 B x4 + x2 + có kết là: ( x + 1)(3x − 1) B C − 3 D  x − ax x ≥  Câu 76 Hàm số f (x) =  x − liên tục x = a bằng: x <   x −1 A B C -1 D Câu 77: Cho phương trình: x5 – 3x4 + 5x – = (1) Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A Phương trình (1) có ba nghiệm khoảng (-2;5) B Phương trình (1) có nghiệm khoảng (-1;3) 11 C Phương trình (1) nghiệm khoảng (−∞; ) D Hàm số f(x) = x – 3x + 5x – liên tục R  x + 9x − 10 x ≠  Câu 78: Hàm số f ( x ) =  liên tục x = khi: x −1 ax + x=1  A a = B a = C a = D a = x +1 , x > Câu 79 Cho hàm số: f ( x) =  ,x≤0 x 29 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A lim f ( x) = B lim f ( x) = x →0 x →0 C f ( x) = D f(x) liên tục x0=0 Câu 80 Cho hàm số f ( x ) = x2 − 2x chưa xác định x = Để f(x) liên tục x = 0, phải gán cho x f(0) giá trị bao nhiêu? A -3 Vận dụng cao B -2 ( Câu 81 Giới hạn lim A ( Câu 82 Giới hạn lim A 2020 C -1 ) n + − n có kết là: B D C −∞ D +∞ ) 8n3 + n2 − − 2n + 2017 có kết là: B 12 C 2017 D +∞ π + kπ ) có kết bằng: A sin2 x B cot2 x C tan2 x D cos2 x Câu 84 Tổng S = + cos x + cos x + ( x ≠ kπ ) có kết bằng: 1 A B cot2 x C tan2 x D sin x cos2 x 1 1 + + + + Câu 85 Giới hạn lim un biết un = có kết là: +1 + + n +n A B C D +∞ 2 + 4x − Câu 86 Giới hạn lim có kết là: x→0 x+4 −2 B A C D Câu 87 Cho hình vuông ABCD có độ dài Ta nội tiếp hình vuông hình vuông thứ 2, có đỉnh trung điểm cạnh Và ta nội hình vẽ Tổng chu vi hình vuông bằng: Câu 83 Tổng S = sin x + sin x + sin x + ( x ≠ A B C 4(2 + 2)   1   Câu 88 Giới hạn lim 1 − ÷1 − ÷  − ÷ có kết là:     n   A B C D −1 2 D 30 Câu 89: Giới hạn lim n 2n 4n có kết là: n +1 A B C +∞ D 1   + + + + Câu 90 Giới hạn lim un = lim có kết là: (2n− 1)(2n+ 1) ÷  1.3 3.5 5.7  1 A B C D Câu 91: lim n 2n + − n3 + n2 + 4n3 + 3n A +∞ B 1+ 2.3n − 7n Câu 92: Giới hạn lim A 5n + 2.7n B C 2n (3n+1 − 5) B D ( ) +1 có kết là: 1− 2.3n + 6n Câu 93: Giới hạn lim A +∞ có kết là: C − D C D có kết là:  x2 −1 , x ≠1  Câu 94: Hàm số f ( x) =  x − liên tục điêm x0 = a bằng? a , x =1  A B C D -1 , x ≥1 ax + Câu 95: Hàm số f ( x) =  liên tục toàn trục số a bằng? x + x −1 , x < A -2 B -1 C D Câu 96: Cho hàm số f ( x ) = x + x − Xét phương trình: f(x) = (1) mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A (1) có nghiệm khoảng (-1; 1) B (1) có nghiệm khoảng (0; 1) C (1) có nghiệm R D Vô nghiệm Câu 97: Cho phương trình x + x − = Xét phương trình: f(x) = (1) mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A (1) Vô nghiệm B (1) có nghiệm khoảng (1; 2) C (1) có nghiệm R D (1) có nghiệm n 2 2 + +  ÷ + +  ÷ 5 5 lim Câu 98: Giới hạn n có kết là:  3  3 + +  ÷ + +  ÷ 4 4 31 A B 12 C D −3 20 x2 − x + − = a , 4a+1 có kết là: x →−1 x + 3x + A -2 B -3 C 1/4 D −1/  x+ 3− x >  x − f x = Câu 100: Hàm số ( )  liên tục x = m bằng:  m x + 3m + x <  B m = m = A m = m = −3 Câu 99: Giới hạn lim C m = −3 ± D m = MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Chủ đề PP quy nạp Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng thấp Vận dụng cao Tổng 32 0,8 Dãy số 1 1,2 Cấp số cộng 1 1,2 Cấp số nhân 1 1,2 Giới hạn dãy số 1 2,4 Giới hạn hàm số 1 2,0 Hàm số liên tục 1 1,2 Tổng 2,4 3,6 3,2 25 0.8 10 ĐỀ BÀI 1 + + + Câu Với số nguyên dương n, tổng S n = là: 1.2 2.3 n(n + 1) n n n +1 A B C D n +1 n +1 n+2 n+2 Câu Với số tự nhiên n ≥ , bất đẳng thức sau đúng? A 3n > n + B 3n > n + C 3n > 3n + D 3n > 3n + Câu Dãy số thỏa mãn u0 = 1, u1 = 2, un = 3un −1 − 2un − với n = 2,3, ? A 1; 2; 4;8;16;36; B 1; 2;8;16; 24;54; n n C un = + (n = 0;1; 2; ) D un = (n = 0;1; 2; ) u1 = Câu Cho dãy số ( un ) xác định  với ∀n ≥ Ta có u5 bằng: n un +1 = un A 10 B 1024 C 2048 D 4096 3n − Câu Dãy số ( un ) với un = dãy số bị chặn bởi: 3n + 1 1 A B C D Câu Cho cấp số cộng ; x ; Hãy chọn kết đúng? A x = B x = C x = D x = 2 Câu Cho cấp số cộng (un) có: u2 = 2001 u5 = 1995 Khi u1001 bằng: A 4005 B 4003 C D u1 = 150 Câu Cho dãy số (un) xác định bởi:  Khi tổng 100 số hạng un = un −1 − ,∀ n ≥ dãy số bằng: A 150 B 300 C 29850 D 59700 Câu Nghiệm phương trình + x + x +…+ x 2007 = là: A x = ±1 B x = −1  C x = 11  Câu 10 Dãy số 1, 2, 4, 8, 16, 32, …là cấp số nhân với: D x = ∨ x = −2 33 A công bội phần tử B công bội phần tử C công bội phần tử D công bội phần tử Câu 11 Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , với công bội q (q ≠ 1) Đặt S n = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: u1 (q n + 1) q +1 u (q n −1 − 1) C S n = q +1 Câu 12: Giới hạn lim(n2 − n + 1) bằng: A B −∞ 3n + 2n2 + n Câu 13: Giới hạn lim bằng: n3 + A B   Câu 14: Giới hạn lim n + n − n + ÷bằng:   A S n = A B u1 (q n − 1) q −1 u (q n − 1) D S n = q −1 B S n = C.- D +∞ C D -3 C sin n giới hạn đây? n n 2n + 1  n A lim B lim C lim  ÷ n 2 1 Câu 16: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn sau: + + + + là: A B C n 1+ 2+ + + Câu 17: Giới hạn lim bằng: 1+ 3+ 32 + + 3n A B C Câu 18: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? 1 A lim− = −∞ B lim+ = +∞ C lim = +∞ x→0 x x →0 x x →0 x x −3 f ( x) bằng? Câu 19: Cho hàm số f ( x) = , ta có xlim → x +3 D − Câu 15: Giới hạn dãy số lim A B −2 D lim( n + n − 1) D ∞ D D xlim → 0+ = +∞ x C −2 D C −3 D ( x − 3x + − x) bằng: Câu 20: xlim →+∞ A x bằng: x −1 A −∞ B − Câu 21: xlim →1+ B +∞ C D 34  x − + 3, x ≥ f ( x) tồn a bao nhiêu? Câu 22: Cho hàm số f ( x) =  , để lim x →2 ax − 1, x < A B.3 C D Câu 23: Cho hàm số: (I) y = sinx ;`(II) y = cosx ; (III) y = tanx ; (IV) y = cotx Trong hàm số sau hàm số liên tục R? A (I) (II) B (III) IV) C (I) (III) D (I), (II), (III) (IV) x − 2x Câu 24: Cho hàm số f(x) chưa xác định x = 0: f ( x ) = Để f(x) liên tục x = 0, phải x gán cho f(0) giá trị bao nhiêu? A -3 B -2 C -1 D Câu 25: Cho phương trình x + x − = Xét phương trình: f(x) = (1) mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A (1) Vô nghiệm B (1) có nghiệm khoảng (1; 2) C (1) có nghiệm R D (1) có nghiệm NHÓM: THPT KHÁNG NHẬT + THPT XUÂN HUY 35 ... Câu 44: Trong dãy số 1, 3, 2, … số hạng kể từ số hạng thứ số hạng đứng trước trừ số hạng đứng trước số hạng này, tức un = un −1 − un − với n ≥ Tính tổng 100 số hạng dãy số Đáp số tốn là: A B... - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 15 - HÀM SỐ LIÊN TỤC (6 tiết) A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim = (k ∈ ¢ +... +1 − Câu 98 Cho dãy số D Đáp án khác D 2147483648 13 Câu 100 Trong cấp số nhân gồm số hạng dương, hiệu số số hạng thứ thứ 576 hiệu số số hạng thứ số hạng đầu Tổng số hạng cấp số nhân bằng: A