Chương 3 chuyển vị của dầm

3.1.1 Khái niệm Đường đàn hồi: Đường cong của trục dầm sau khi chịu uốn K – trước biến dạng K’ – sau biến dạng KK’ – chuyển vị của trong tâm mặt cắt ngang Biến dạng bé: uz độ võng => Độ

3.3.Phương pháp thông số ban đầu.

3.4 Khái niệm vể tính chuyển vị và nội lực của dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp 3.5 Phương pháp đồ toán

3.6 Bài toán uốn siêu tĩnh.

Bài tập + kiểm tra

Chuyển vị của dầm

Chương VI

3.1 Khái niệm, PTVP của đường đàn hồi

3.1.1 Khái niệm

Đường đàn hồi: Đường cong của

trục dầm sau khi chịu uốn

K – trước biến dạng

K’ – sau biến dạng

KK’ – chuyển vị của trong tâm

mặt cắt ngang

Biến dạng bé: u(z) << v(z); v(z) => độ võng => Độ võng của dầm chịu uốn

là chuyển vị y(z) theo phương thẳng đứng của trọng tâm MCN

v(z) – chuyển vị đứngu(z) – chuyển vị ngang

- Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường

đàn hồi, đường vuông góc với tiếp

tuyến t tại K’

- MCN dầm sau biến dạng tạo với MCN

trước biến dạng góc φ => góc xoay φ(z)

Chuyển vị của dầm

Chương VI

3.1.2 Phương trình vi phân của đường đàn hồi

Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng

Biến dạng bé:φ(z)=tgφ=y’(z)=> Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay

Ảnh hưởng của mô men uốn

nên độ cong của dầm:

Theo hình vẽ:

Để phù hợp với qui ước dấu nội lực, trong kỹ thuật

hay chọn chiều trục y hướng xuống

Phương trình vi phân đường đàn hồi

Chuyển vị của dầm

Chương VI

3.2 Xác định đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân.

Tích phân lần 1: 2 vế PT đường đàn hồi

được góc xoay

Tích phân lần hai được biểu thức độ

võng

C và D là hai hằng số tích phân, xác định nhờ vào điều kiện biên và liên tục

Điều kiện liên tục:

dy y

x

x

'ϕ

D z

C

dz EJ

M y

x

−

Điều kiện biên:

3.2.1 Công thức tông quát

6.2.2 Trường hợp dầm nhiều đoạn (n đoạn) Giải hệ 2n p.trình 2n ẩn số

Ví dụ 1

Viết phương trình độ võng và góc xoay

của dầm chịu ngàm một đầu và tải tập

trung tại đầu tự do

x x

x

EJ

Pz EJ

M

y" = − =

Thay vào p.trình vi phân đường đàn hồi

Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là Mx = - Pz

Giải

Lấy tích phân lần 2: được p.trình độ võng

EJ

P y

ϕ

D Cz

z EJ

P y

x

++

6

3 2

3

2 2

3 2

6

2 2

'

l EJ

P l

EJ

Pz EJ

Pz y

l EJ

P z

EJ

P y

x x

x

x x

y EJ

Pl

3

; 2

3 max

2 max = − = =

ϕ

x x

x

Pl EJ

Pl EJ

Pl D

EJ

Pl C

3 2

6

; 2

3 3

3 2

= +

Viết phương trình độ võng và góc

xoay của dầm đặt trên hai gối tựa

đơn chịu tải trọng phân bố đều q,

ql

M = −

( 2)

x x

EJ 2

q EJ

M

y " = − = − −

Phương trình vi phân của đường đàn hồi

Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là

D Cz 12

z 6

lz EJ 2

q y

C 3

z 2

lz EJ 2

q y

4 3 x

3 2 x

z

0y0

z

x

EJ

ql C

D

24

; 0

2 3

3

3 2

2 3

2 1 24

4 6

1 24

'

l

z l

z z

EJ

ql y

l

z l

z EJ

ql y

x

x

Góc xoay max tại các MCN có y’’=0 (tại các gối tựa z = 0 và z = l)

x

EJ

ql y

4 max

ql

±

=

ϕmax

Viết pt độ võng và góc xoay của dầm chịu

tác dụng của lực tập trung P như hình vẽ

lEJ

Pb y

BC

x x

− +

3

x 1

1 2

x 1

1

D z C 6

z lEJ

Pb y

C 2

z lEJ

Pb y

a z

− +

−

=

+

− +

3

x

3 x 2

2 2

x

2 x 2

2

D z C 6

a z EJ

P 6

z lEJ

Pb y

C 2

a z EJ

P 2

z lEJ

Pb y

l z a

2 1

2 1

' '

0

; 0 0

y y

y y a

z

y l z y

Pb C

; 2 6

'

2 2

2 1

2 2 2 1

1

z z b l lEJ

Pb y

z b l lEJ

Pb y

x x

6

6 2

2 '

3 2

2 3 2

2 2 2 2

2 2

z z b l l b

a z lEJ

Pb y

b l b

a z l z lEJ

Pb y

4 max 384

ql

±

=

ϕmax

Chuyển vị của dầm

Chương VI

3.3.Phương pháp thông số ban đầu.

Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1, 2, …, i, i+1,

…, n từ trái sang phải

Độ cứng mỗi đoạn: E1J1, E2J2, … EnJn Xét 2 đoạn kề nhau thứ i và i+1 có liên kết sao cho độ võng và góc xoay tại đây có bước nhảy, tại MCN giữa 2

đoạn có mômen, lực tập chung, đồng thời lực phân bố cũng có bước nhảy

Dùng khai triển Taylor hàm độ võng tại z=a và quan hệ vi phân giữa các thành phần ứng lực, tải phân bố, được công thức truy hồi của hàm độ

võng

Nếu liên kết gữa 2 đoạn thứ (i) và (i+1) là khớp treo thì

Nếu 2 đoạn thứ (i) và (i+1) là liền nhau thì

Ví dụ 6

Tính độ võng tại đầu nút tự do của dầm bằng thép có E=2.105MN/m2 chịu lực như hình vẽ Dầm có MCN là tròn, được cấu tạo thành 2 bậc với đường kính là: d1= 13,3cm, d2 = 9cm Các phản lực tại ngàm có trị số là:

4 1

1 15 36 10 m

64

133 0 64

d

J = π = π. , = ,

4 6 4

4 2

2 15 , 36 10

64

09 , 0

PT đường đàn hồi trong đoạn 1:

! 3

22

! 2 2 , 19 [

1 ]

! 3

! 2 [

0

2 0 1

z

z EJ

z Q

z M EJ z

y = − + = − − +

PT đường đàn hồi trong đoạn 2 là:

! 3

! 2 [

1

2 1

1 2

a z a Q a

z a M EJ z

y z

y = − − + −

Độ võng tại đầu mút tự do C sẽ là: thay z = 1,2 vào y2(z)

Trình tự giải theo phương pháp thông số ban đầu

* Chia dầm thành n đoạn

* Lập bảng thông số ban đầu

* Viết phương trình chuyển vị và nội lực của từng đoạn theo ct

* Tìm điều kiện biên để xác định các thông số chưa biết ĐK biên được suy ra từ các giá trị nội lực và chuyển vị đã xác định tại các mặt cắt cụ thể trên dầm

dv z z

( )

( )

( ) ( )

dQ dz

M

y " = −

dz

dQ dz

M

d q

EJ

M dz

2

"

x

x gt

- Tưởng tượng ta tác dụng lên 1 dầm nào đó (dầm

giả tạo) một tải trọng phân bố giả tạo có cường độ:

- Chọn dầm giả tạo với các điều kiện sao cho có sự tương ứng:

y(dầm thực) = Mgt(dầm giả tạo) ; ϕ(dầm thực) = Qgt(dầm giả tạo)

thì có thể thay đổi việc tích phân biểu thức y’’ bằng cách tính nội lực trên dầm giả tạo khi biết qgt

y(dầm thực)=Mgt(dầm giả tạo)

ϕ(dầm thực)=Qgt(dầmgiả tạo)

Cách chọn dầm giả tạo

Chuyển vị của dầm

Chương VI

3.6 Bài toán uốn siêu tĩnh.

Cho dầm chịu lực như hình vẽ

- Số phản lực liên kết là 4, trong khi chỉ viết

được 3 pt cb => Bài toán siêu tĩnh

- Bổ xung thêm pt biến dạng: yB = 0

- Tưởng tượng bỏ gối tựa tại B và thay bằng phản lực VB Theo nguyên lý cộng tác dụng:

Mà

Do vậy:

Biểu đồ nội lực:

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Bài tập PP thông số ban đầu để XĐ đường đàn hồi

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Bài tập PP tải trọng giả tạo

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Ví dụ 4

Tính độ võng và góc xoáy tại đầu tự do của dầm công-son, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q Biết dầm có

độ cứng Ejx=const

3 x

2 B

gt

EJ 6

qL xL

EJ 2

qL x

gt

EJ 8

qL L

4

3 x

xL EJ

2

qL x

gt B

EJ 6

gt B

EJ 8

qL M

y = =

Ví dụ 5

Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút D của dầm có độ cứng không đổi chịu lực như hình vẽ Cho EJx=const.

10

12 EJ

1 10 V

V

4 4

C

B

.

2

.18.6 3

2 16.6

2EJ

10

16EJ

1012

Q

4 4

4 gt

=+

=

EJ

10 136 2

3

2 2

2 EJ

10 x 16 2

EJ

10 12

M

4 4

4 gt

.

.

.

= +

=

( ) m EJ

M

4

10 136

=

=

( ) rad EJ

Qgt D

D

4

10 28

=

=

θ

Ví dụ 8

Viết phương trình đường đàn hồi của dầm tĩnh định chịu lực như hình vẽ, độ cứng của toàn dầm là như nhau.

VC =

Phương trình đường đàn hồi trong các đoạn có dạng sau:

( )

!

z EJ 2

qL 2

z EJ 2

qL z

y

3 2

q 3

z EJ 2

qL 2

z EJ 2 qL

L z

y 4

L

z EJ

q z

y z

y

a

4 3

2 2

a

4 1

2

−

∆ +

− +

−

=

−

∆ +

− +

y 24

L EJ

q 6

L

8 EJ 2

qL 2

L

4 EJ

2

qL

a

4 3

2

2

=

∆ + +

EJ

qL 24

9 y

9 4

L

z EJ

q 3

z EJ 2

qL 2

z EJ 2

qL z

y

3 4

3 2

Ví dụ 8

Căn cứ vào biểu đồ

momen uốn do q và VB

gây ra ta có thể chọn

dầm giả tạo và qgt như

trên hình Momen giả

tạo tại B:

B

B x

L EJ

L

V 4

L

3 L EJ

2

qL 3

1

qL 8

3 V

0 3

L

2 2

L EJ

2

qL 3