Giải phương trình và hệ phương trình với sự hổ trợ của máy tính Casio

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO FX - 570 ES PLUS Solving irrational equations and irrational system of equations for high school students with the support of computer Casio FX – 570 ES Plus Tóm tắt Bài báo giới thiệu cho HS hướng tiếp cận tìm lời giải toán phương trình hệ phương trình vô tỷ cách hiệu với hỗ trợ máy tính Casio FX - 570 ES Plus Từ giúp HS nâng cao khả tư xử lý nhanh nhạy toán tương tự Từ khóa: Phương trình vô tỷ, hệ phương trình vô tỷ, giải phương trình hệ phương trình vô tỷ, hỗ trợ máy tính Casio FX - 570 ES Plus Summary This paper introduces students to a new approach to the problem of finding the solution equations and irrational system of equations effectively with the help of computer Casio FX - 570 ES Plus Thereby improving thinking ability and nimble handling similar problems Keywords: Irrational equations, system of irrational equations , solving equations and irrational system of equations, the support of computer Casio FX 570 ES Plus Đặt vấn đề Một dạng toán khó thường gặp bậc phổ thông kỳ thi đại học giải phương trình hệ phương trình vô tỉ Dạng toán đòi hỏi học sinh (HS) phải có tầm nhìn bao quát, tư theo nhiều hướng giải khác tìm lời giải Vậy, vấn đề đặt định hướng cách giải dạng toán cách xác? Một công cụ hỗ trợ đắc lực giải phương trình hệ phương trình máy tính bỏ túi Tuy nhiên, nhiều HS chưa khai thác chức máy tính Để trả lời cho câu hỏi trên, viết giới thiệu định hướng cho việc tìm lời giải toán phương trình hệ phương vô tỉ cách hiệu với hỗ trợ máy tính Casio FX 570 ES PluS Một số toán minh họa Bài 1: Giải phương trình 3x − x + = 3x + + 5x + ( 1) Giải: Điều kiện: 3x + ≥  ⇔ x ≥ −1  5 x + ≥  (*) Bước 1: Đoán nghiệm phương trình (1) + Nhấn MODE (chọn TABLE), hình hiển thị “f(X) = ” Nhập biểu thức “ 3x2 − x + − 3x + − x + ” vào, sau nhấn =, hình hiển thị chữ Start? nhấn − + Tiếp theo nhấn = hình chữ End?, nhấn 10 Tiếp tục nhấn = hình chữ Step?, nhấn Tiếp theo nhấn = Vậy, ta bảng gồm giá trị x từ − tới 10 Nhìn vào bảng giá trị ta thấy x= x= nhận giá trị Vậy, x = x = hai nghiệm phương trình Bước 2: Tách ghép nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung x( x - 1) + Ta thấy phương trình có sẵn 3x2 nên cần bổ sung thêm -3x + Tiếp theo muốn sau nhân lượng liên hợp để số số hai thức tách x+ = ( x+1) + ( x+ 2) Vậy, lời giải toán sau : (1) ⇔ 3x − x + − x + − x + = ⇔ 3( x − x) +  ( x + 1) − 3x +  +  ( x + 2) − x +  =  ⇔ 3( x − x) +    x2 − x x2 − x + =0 ( x + 1) + 3x + ( x + 2) + x + ⇔ ( x − x)  +     1 =0 + ( x + 1) + 3x + ( x + 2) + x +   x − x = (2)  ⇔ 1 3 + +  ( x + 1) + 3x + ( x + 2) +  = (3) 5x + Do điều kiện (*) nên phương trình (3) vô nghiệm, Vậy, phương trình (1) có nghiệm là: Bài 2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ −2 x =0 (2) ⇔  (nhận)  x = x =   x =1  x2 + 2x − = ( x + 1) x2 − 2x + ( ) x + − (1) Bước 1: Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình (1) + Nhập x2 + 2x − x2 − 2x + − ( x + 1) ( ) x + − sau nhấn SHIFT CALCA = máy tính cho nghiệm x = Bước 2: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử chung Phương trình (1) ⇔ ⇔ ( x − 2) ( x + 4) x2 − 2x + ( x+2 −2 )( = ( x + 1) ( x+2 −2 ) x + + ( x + 4) x − 2x + 3 ) = ( x + 1) ( x+2 −2 ) ⇔  x+2 −2    ( ) ( ) x + + ( x + 4) x2 − x +  − ( x + 1)  =    x+2 −2=0 ⇔  x + + ( x + ) = ( x + 1) ( x − x + 3) x = ⇔  x + + ( x + ) = ( x + 1) ( x − x + 3) Giải phương trình Vì ( x + ) ( ( ( ) ( ) ) x + + ( x + ) = ( x + 1) ( x − x + 3) (2) ) x + + > 0, x ≥ −2 , mà x − x + > , suy x ≥ −1 Phương trình (2) ⇔ ( x + ) x + − ( x − x − x − 5) (3) Bước 3: Tiếp tục sử dụng Casio hỗ trợ tìm nhân tử chung (3) + Nhập hàm ( x + ) x + − ( x − x − x − 5) + Nhấn SHIFT CALC = kết x ≈ 3,30281878 nhấn SHIFT STO A (lưu số liệu vào A) Tìm thêm nghiệm nhấn ↑ SHIFT CALC -1 = nhiên, kết máy tính lại cho x ≈ 3,30281878 chưa thể tìm nhân tử Để tìm nghiêm lại tiếp tục nhấn ( x + ) x + − ( x − x − x − 5)  : ( x − A) sau nhấn SHIFT CALC = lúc máy tính lại kết “can’t solve” tức phương trình vô nghiệm trường hợp Vì ta nghĩ phương trình nghiệm bị loại điều kiện x ≥ −2 , nên muốn tìm nghiệm lại ta bỏ điều kiện máy tính cách nhấn ( x + ) ( x + ) − ( x3 − x − x − 5)2 nhấn = để lưu, sau nhấn SHIFT CALC = x ≈ - 0,30281878 SHIFT STO B (lưu số liệu vào B) + Lấy A+B = 3; A.B = -1 điều tương ứng nghiệm phương trình ( x + ) x + = x3 − x − x − nghiệm phương trình x − 3x − = + Tìm nhân tử chung, ta làm sau: ax + b = x + ⇒ a x + (2ab − 1) x + b − = a =  ⇒ 2ab − = −3 b − = −1  Ta chọn a =1, b = -1 Ta có x − = x + ⇔ x − − x + nhân tử chung ( ) Phương trình (3) ⇔ ( x + ) x − − x + + x − x − x − − ( x − 1) ( x + ) = ( ⇔ ( x + 4) ( x − − ⇔ ( x + 4) ( x − − ) x + ) + ( x + 1) ( x − 3x − 1) = x + ) + ( x + 1) ( x − − x + ) ( x − + ⇔ ( x + ) x − − x + + x3 − x − x − = ) x+2 =0  x − − x + = ( 4) ⇔ ( x + ) + ( x + 1) x − + x + = ( )  ( Giải phương trình (4) : ) x ≥ + 13 x + = x −1 ⇔  ⇔  x − 3x − = ( ) Giải phương trình (5): ( x + ) + ( x + 1) x − + x + = ⇔ x + x + + ( x + 1) x + = (phương trình vô nghiệm) x + x + > , ( x + 1) x + ≥ , với x ≥ −1 Chú ý: Ta thay nghiệm x ≈ 3,30281878 vào suy x + = x − từ có nhân tử x − − x + x + ≈2,30281878 Nếu không tìm a, b có ta nghĩ trước số nên ta biến đổi ax + b = c x + tìm a, b, c ( )  x 12 − y + y 12 − x = 12  Bài 3: Giải hệ phương trình   x3 − x − = y −  ( 1) ( 2)  ≤ y ≤ 12 Giải: Điều kiện:   − 12 ≤ x ≤ 12 Sử dụng Casio hỗ trợ tìm nhân tử chung từ phương trình (1) Bước 1: Nhập hàm x 12 − y + y ( 12 − x ) −12 sau nhấn SHIFT CALC 12 = = hình máy tính cho kết x = Nhấn SHIFT CALC 11 = = cho kết x = SHIFT CALC = = cho kết x=3 Bảng giá trị tương ứng x, y sau x y 12 11 Bước 2: Tìm mối liên hệ x, y Nhấn MODE 3 sau nhập số liệu bảng, nhấn AC Bước 3: Nhấn SHIFT = kết hình C=-1 Nhấn SHIFT = kết hình B=0 Nhấn SHIFT = kết hình A=12 Suy ra: y = 12 − x Phương trình (1) ⇔ x ( ⇔x ⇔x ) 12 − y − x + x − 12 + y ( 12 − x ) = ( ( ) 12 − y − x + 12 − x ) 12 − y − x + ( 12 − x ( y −12 + x ) y + 12 − x ) y − 12 − x = =0 ⇔x ⇔ ( 12 − x ) 12 − y − x − )( 12 − y + x ) 12 − y − x  x y + 12 − x − 12 − x  12 − y − x = ⇔  x y + 12 − x − 12 − x  ) ( 12 − y − x y + 12 − x ) ( ( ( ( ( ) =0 ) 12 − y + x  = ( 3) ) 12 − y + x = ( 4) x ≥ ( 3) ⇔ 12 − y = x ⇔   y = 12 − x ( ) ⇔ x y + x 12 − x − x 12 − x − 12 − x 12 − y = ⇔x y=  ( 12 − x2 ) ( 12 − y ) ⇔ 0x2≤yx=≤14412−12 y −12 x2 + x2 y  0 ≤ x ≤ 12 0 ≤ x ≤ 12 ⇔  ⇔  2  y = 12 − x 12 ( 12 − y − x ) = Từ (3) (4) ta có y = 12 − x thay vào (2) ta được:  ( x + 3) x − x −1 = 10 − x ⇔ ( x − 3)  x + 3x + +  + 10 − x  2 Do x ≥ nên x + 3x + + ( x + 3) + 10 − x  ÷ ÷= ÷  ( 5) >0 Do ( ) ⇔ x = ⇒ y = Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) Kết luận Thông qua toán cho thấy, nhờ trợ giúp máy tính Casio FX - 570 ES Plus, toán giải phương trình hệ phương trình vô tỉ không vấn đề nan giải HS Trung học phổ thông ngày Với hướng giải toán giúp em sẵn sàng tìm tòi, sáng tạo nhiều điều trình giải loại toán khác nói chung, phương trình hệ phương trình vô tỉ nói riêng Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho HS Trung học phổ thông kỷ 21 Tài liệu tham khảo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (2001), phương pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội Võ Đại Mau (2007), Phương trình hệ phương trình vô tỉ, NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh Bộ Giáo dục Đào tạo (2014), Đề thi đại học môn Toán khối A Bộ Giáo dục Đào tạo (2015), Đề thi THPT Quốc gia môn Toán Nguyễn Trường Chấn, Nguyễn Thế Thạch (2008), hướng dẫn sử dụng giải toán máy tính Casio FX - 570 ES Plus, NXB Giáo Dục ... qua toán cho thấy, nhờ trợ giúp máy tính Casio FX - 570 ES Plus, toán giải phương trình hệ phương trình vô tỉ không vấn đề nan giải HS Trung học phổ thông ngày Với hướng giải toán giúp em sẵn... chưa khai thác chức máy tính Để trả lời cho câu hỏi trên, viết giới thiệu định hướng cho việc tìm lời giải toán phương trình hệ phương vô tỉ cách hiệu với hỗ trợ máy tính Casio FX 570 ES PluS... 12 − x = 12  Bài 3: Giải hệ phương trình   x3 − x − = y −  ( 1) ( 2)  ≤ y ≤ 12 Giải: Điều kiện:   − 12 ≤ x ≤ 12 Sử dụng Casio hỗ trợ tìm nhân tử chung từ phương trình (1) Bước 1: Nhập