Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán t2

NGUYỄN TÁT THU (Chủ biên) Mời bạn tìm đọc; T ài u ậ i Ệ n im i THP'f mĩềũm A T G iM i IM TẢI ÍLIỆU ÔNTHI THPT OUỐCfìlA »^Niỉíír wAn TÀI uệu ỘMTtM — THPT QUỔC GIA TIẾHG ANH Sầz NGUYỄN TẤT THU (Chủ biên) TRUNG TÂM SÁCH GIÁO DỤC ALPHA TẲLI ly Ệ P ệiN ttlhiii THLPT ® ilể e ©14 Môn ỵ BIỄn soạn theo hưởng ƯỂ thi mđi Bộ GD&ĐT y/ Bành cho HS chuẩn bỊ ôn thi tfi't nghiệp THPĨ xét tuyển vào BH ■/ Bấy đủ dạng bàl tập mdi, cd nâng cao ^ Củng cô kiến thưc phát tPiễn kĩ làm NHẬN B IỂT - THÔNG HIỂU - VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO >i't Siội NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ X U Ấ T b Ẳn Í)ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà,Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896; Hành chính: (04) 39714899; Tổng biên tập: (04) 39714897 Fax: (04) 39729436 /' *** ị / ' / ' \ ĩ C h ịu tr c h n h iệ m x u ấ t bản: Giám đốc - Tổng biên tập TS PHẠM THỊ TRÂM B iên tập nội dung '.*** _ ■¥ ^ : '' 'Sị.;- l’ SÁCH UÊN KẾT TÀI TAI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOAN - TẬP Mã số số: 1T.-S96ĐH2014 1L-596ĐH2014 In 2.000 cuốn, khổ 16 X 24 cm Công ti TNHH in Bao hì Hưng Phú Số xuất bản: 2136-2014/CXB/06-323/DIIQGIIN Quyết định xuất sô': 592LK-TN/QĐ - NXBĐHQGHN Ụi xong nộp lưu chiểu quý I năm 2015 LÒI M Ở ĐẦU Trong năm học 2014 - 2105, Bộ giáo dục đổi thi cử nhập hai kì thi Tốt nghiệp THPT kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng thành kì thi Sử dụng kết kì thi để xét Tốt nghiệp THPT làm liệu để xét tuyển vào trưÒTig Đại học - Cao đẳng Một ki thi với hai mục đích nên đề thi có tính phân loại cao Do đó, việc ôn tập theo cấu trúc đề thi gây nhiều khó khàn cho em học sinh Nhằm chia sẻ khó khăn góp phần vào việc ôn tập hiệu hon, biên soạn sách ‘Từi liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán” gồm hai tập Cuốn sách bạn cầm tay thứ gồm chưoTig số đề thi mẫu Cụ thể: Chương 1: Hàm số vấn đề liên quan Chương 2: Phưong trình lượng giác Chương 3: PhưoTig trình, bất phương trình, hệ phương trình Chương 4: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ logarit Chương 5: Tích phân ứng dụng Trong chưoTig, phân chia theo chủ đề trọng điểm Trong chuyên đề chia làm phần: - Phần 1: Tóm tắt lí thuyết: Trong phần này, hệ thống lại số kiến thức cần thiết liên quan đến chuyên đề phưong pháp giải dạng toán thuộc chuyên đề - Phần 2: Các ví dụ minh họa: Trong phần này, chia làm hai phần gồm: Các ví dụ dành cho mức độ nhận biết, thông hiểu để đáp ứng phần điểm xét thi tốt nghiệp đề thi Phần thứ hai ví dụ phân loại dành cho mức độ vận dụng vận dụng cao để đáp ứng phần điểm để xét tuyển vào trường đại học - cao đẳng - Phần 3: Bài tập vận dụng: Phần đưa hệ thống tập xếp từ dễ đến khó để bạn đọc ôn tập lại rèn luyện thêm kĩ giải toán thuộc chuyên đề Phần hướng dẫn tập đưa sau để giúp bạn đối chiếu với kết Cuối cùng, giói thiệu đề thi đáp án theo cấu trúc mới, nhằm giúp em học sinh làm quen với dạng đề thi tới Mặc dù dành nhiều thòi gian tâm huyết cho sách, dù sai sót điều khó tránh khỏi Mong nhận đưọc góp ý cùa bạrí đọc để sách hoàn thiện lần tái Mọi đóng góp xin gỏi về: * Trung tâm sách Giáo dục Alpha ĐT: 0862676463, email: alphabookcenter@yahoo.com, * Công ti An Pha VN 50 Nguyễn Văn Săng, Q Tân Phú, Tp HCM Điện thoại: 08.38547464 Tác giả CHƯƠNG HÀM Sỏ VÁ CÁC VẤN ĐÉ LIỀN QUAN Chuyên đê Tính đơn điệu hàm sô' y ==ax^ + bx^ + cx + d,a ^ I Tóm tắt lí thuyết _ Ta có y ' = 3ax^ + 2bx + c • Hàm số đồng biến R a>0 y ’>OVxeR A ' = - 3ac < • Hàm số nghịch biến R a (< 0) Vx G (a;3) (1) ta có cách sau: Cách 1: Nếu biến đổi (1) dạng: h(x) > g(m) (hoặc h(x) < g(m)) Khi (1) g(m ) maxh(x) 10^:3] [a;3] (Với điều kiện tồn minh(x) maxh(x)) Ịa:3] Cách 2: Neu không cô lập tham số m ta dùng dấu tam thức bậc hai để giải II Các ví dụ minh họa ỉ Các ví dụ mẫu CO' Ví dụ Tìm m để hàm số 1) y = x^ - 3mx^ + 3(m + 2)x + 'l đồng biến E 2) y = -2x^ + 6(m + l)x^ + 6(m - l)x + nghịch biến K Lời giải 1) TXĐ: D = R Ta có y ' = 3(x^ - 2mx + m + 2) Hàm số đồng biến R y ' > Vx GR Hay x^ - 2mx + m + > V x G K o A ' = m^ Vậy - l < m < giá trị cần tìm m < -1 < m < TI-5 2) TXĐ: D = R Ta có y ’ = - - 2(m + l)x - m + Hàm số nghịch biến R y' < Vx e R Hay x^ - 2(m + l ) x - m + l>OVxeRA' = m^ + 3ra < < ^ - < m < Vậy - < m < giá trị cần tìm Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm sổ 1) y = —^ - (3m - l)x^ + (m + 3)x + 2m đồng biến R 2) y = (m - l)x^ - 3(m - l)x^ + 3(2m - 3)x + m nghịch biến R Lời giải 1) TXĐ: D = K Ta có y ' = mx^ - 2(3m - l)x + m + • m = , y' = 2x + > - í = > x > - — Do m = không thỏa toán • m , hàm số đồng biến IR y ' > Vx e R Hay mx^ —2(3m - l)x + m + > V x e R a= m> m> A ' = (3m —1)^ —m(m + 3) < 8m^ —9m + < o — < m < Vậy - < < giá trị cần tìm 2) TXĐ: D = R Ta có y ' = 3[(m - l)x^ - 2(m - l)x + 2m - 3] • m = 1, y ' = - < Vx e R , suy hàm số nghịch biến R Do đó, m = thỏa mãn toán • m 1, hàm số nghịch biến R chi y ’ < Vx e R Hay (m - l)x^ - 2(m - l)x + 2m - < Vx e R m —1 < m - 1< o o m < A' = (m - 1)2 - (m - l)(2m - 3) < —3m + > Vậy m < giá trị cần tìm Ví dụ Tìm tất giá trị tham sổ để hàm số y = (m^ - 3m + 2)x^ - 3(m - l)x^ + 6x + đồng biến R Lời giải TXĐ: D = R Ta có y ' = 3[(m^ —3m + 2)x^ —2(m —l)x + 2] - Tí - - 3m + = • m — 1, m = +) m = 1, ta CÓ y ’ = > Vx e K nên hàm số đồng biến R +) m =^2 , ta có y ' = (-2 x + ) ^ y ’ > 0-í= > -x< l Suy m = không thỏa mãn toán - 3m + • m ^ |l , | Khi đó, hàm số đồng biến R y ’ > Vx e K Hay (m^ —3m + 2)x^ —2(m —l)x + > Vx Ễ K - 3m + > -í^ (m —l)(m —2) > (m —1)(3 —m) < A' = (m -1 )^ - ( m - l ) ( m - ) < m< m>3 Vậy m < m > giá trị cần tìm Các ví dụ phân loại Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 1) y = -x^ + 3x^ + 3mx - nghịch biến ừên khoảng (0; +oo) (Khối A - 2013) x3 X i 2) y = — + rax^ - (5m + 3)x + đông biên (-o o ;-4 ) Lời giải 1) Ta có: y ' = —3x^ + 6x + 3m Hàm số nghịch biến khoảng (0;+oo) y' < 0, Vx > Hay là: m + < x^ - 2x +1 = (x - 1)^, Vx > (*) Do m in(x- 1)^ = nên (*)-í=ỉ>m + l < - f = i - m < - l x>0 Vậy m < - giá trị cần tìm 2) Ta có y ' = x^ + 2mx - 5m - Hàm số đồng biến trên(-oo;-4) y' > Vx < - Hay x^ + 2mx - 5m - > Vx < - x^ - > m(5 - 2x) Vx < - x^ - > m Vx < —4 (*) —2x Xét hàm số f(x) = f'(x) x^ - , X < - ta có: 5-2x 2x(5 - 2x) + 2(x^ - 3) _ -2x^ + lOx - < Vx < —4 (5 - 2x)-' (5 - 2x)^ Do (*) o m < f(x) = f(-4 ) = x 0, Vx > nên hàm số đồng biến (2;+oo) Suy m = thỏa mãn yêu cầu toán • m , hàm số đồng biến (2;+oo) y ' > 0, Vx > Đặt mx^ - 2(2m - l)x + m - > 0, Vx > (1) g(x) = mx^ - 2(2m - l)x + m —1, có a = m, A ’ = 3m^ —3m + > 0, Vm Do g(x) có hai nghiệm phân biệt 2m —1 —yfÃ' 2m —1 + yfĂ' , X2 = ^ ^1 = = m m +) Với m < , ta CÓ g(x) > Xe [x2; x j Do đó, x ả y trường hợp g(x) > 0, Vx > Nên trưòng họp không thỏa y ê u Cẩu toán +) Với m > , ta CÓ g(x) > Do g(x) > 0, Vx > X < Xj x > X2 X2 < ~ m ^ < ^ à ' < m < l Vậy < m < giá trị cần tìm 2) y ' = (m^ - l)x^ - 2(m - l)x - = f (x) - T í -9 L ' • Nêu m = y' = -2 x - 3=>y'>0x< hay hàm sô đông biến —cxd; Do m = không thỏa yêu cầu toán m 5«^ , hàm số đồng biến toàn trục số m>0 A ' = (m + 1)^ - m(2m - 3) < m>0 y ' > 0, Vx e E m> + yJ^ + 5m + < + >/29 1, _ i Vậy m > - — giá trị cân tìm 2) TXĐ: D = E Ta có: y' = (m - l)x^ - 2(m - l)x + 2m - • m = 1, ta CÓ; y ' = - < 0, Vx e M nên hàm số nghịch biến toàn trục số Suy m = thỏa yêu cầu toán • m 1, hàm số nghịch biến R y ' < 0, Vx G R (m - l)x^ - 2(m - l)x + 2m - < 0, Vx e R m- 1< A ' = (m —1)^ —(m —l)(2m —5) < 4=> m- 1< hệ vô nghiệm —m + < Vậy m = giá trị cần tìm 3) TXĐ; D = R Ta có: y ' = x^ + 2mx + m + Hàm số đồng biến R y ' > , V x e R ^ A ’ = 1X1“^ - m - < < í = ỉ - - l < m < Vậy - < m < giá trị cần tìm 4) TXĐ: D = E Ta có: y ' = - 2(m + l)x —2m + Hàm số nghịch biến R y' < 0, Vx G - 2(m + l)x - 2m + 1>0, V x G E o A ' = m ^ + 4m < o - < m < Vậy - < m < giá trị cần tìm 5) TXĐ: D = K Ta có: y ' = mx^ - 2(m + 2)x + 3m - • m = , ta có y ' = -4 x - nên hàm số nghịch biến toàn trục số • m ^ , hàm số nghịch biến toàn trục số y ' < 0, Vx G E 12- n - Ta có: VT(1) > 96x^ - 20x + = -[3(8x - l f + 8x +1] > -(8 x +1) 2 = -[16x + 8x + + 2] > -^16x(8x + 1)2 = ^4x(8x + 1) = VP(1) ' X= Suy (1) o ^ ^ Thử lại hệ ta thấy thỏa mãn lĩĩ^ i.Ậ X= — Vậy hệ cho có nghiệm S ' y =■ 6) Điều kiện: ^^ [x^ + xy + ^0 Từ phương trình thứ hai hệ ta thấy X < 0,y < dẫn đến hệ vô nghiệm, ta giải hệ X > 0, y > Khi đó, PT thứ hệ viết thành X+ y ^ - y = o x + ^ = +^(yjx - yj ỹf ^ X+ ^ ^ ằ Đẳng thức xảy X = y = Tiếp theo ta chứng minh,với X+ 2,/xỹ > x^ + xy + Ỷ T h ậ i v ậ y , d o - r í V y l _ ^ > í ± Z ^ < - ^ y ) ( x ^ - » y ty ^ ) ^ x ty X^ + xy + y^ x^ + xy + y^ 3(x^ - xy + y^) > x^ + xy + y^ o (x - y)^ >0 x > ,y > ) (luôn 6(x^ + y") ■^2(x^ +y^) > x + 2(x + y ) - 72 (x^ + y ^ ) X2 +xy + y Mặt khác theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có: suy X+ X+ 2(x + y) - ) = X+ 2-Jx^ + y^ + 2xy - ^2(x^ + y^) = x + p -(l^ + l^ ) > X + 2, xy 318- r / - xy , „2 X2 +y ■ + -Ự2(x2+y2) xy - ^2(x^ + y^) = X+ y /^ > với Đẳng thức xảy X = y = Từừ lập luận dẫn dân đến đên hệ có nghiệm nhât (x,y) (x, y) = (1;1) ( rừ theo vế PT hệ ta +4 - +4 = ^ Nếu |x| > |y| ^ — + - ^— + > > |y| - |x| Nếu |x| < |y| ^ — + - ^ — +4 < < |y| - |x| Vậy (l) o |x| = |y|; thay vào PT thứ hệ ta phưcmg trình Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có: A 6x e „ 4,— +4 •+ — + > —— + = 2x^ + Kết họp với (2) suy 2x^ +4 2y®+2y^ +4x^+4x^ +2^1+(2x - y)^ ^ 8xy^ + > 2y^ + 8x^ + 2y/l + (2x - y)^ o 4xy^ + > y® + 4x^ + Ậ + ( x - y ý o - Ậ + (2x - y)- > y® - 4xy^ + 4x^ = (y^ - 2x)^ (4) -r/-3l9 X= y =0 V = 2x V T(4)0 D ođó: (4)r, y" = 2x V = 2x , =y Ta có: X = y = -1 nghiệm hệ + y ’^ = (1 + x ) ( l + x ^ )(1 + x ^ ) = + X + x ^ + x ^ + x ‘* + X ® + X ® + x ’^ > + x ’^ => y > X + x'^ = (1 + y)(l + y^Xl + y^) = + y + y^ + y® + y"* + y® + y® + y'^ > + y'^ X> y Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y > hệ vô nghiệm Xét: X < - =>1 + X ^ < = > y < - Ta có: l + (x + x^j + (x® + x'*) + (x® + X®) + x^ > + x^ => y > X Tương tự y < -1 ta có X > y Hệ vô nghiệm Xét trường hợp -1 < X < Hệ vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm: (x;y) e |(0 ;0 );(-l;-l)Ị 10) 7s(x - y)^ - 4x + 8y + - n/ x = 7y + [x^y + y^ - 3xy - 3x + 7y + = 2x^y + (1) (2) Ta có (l) o ^ s ( x - y) - 4x + 8y + = yỊx + ^Jy + (3) Do s(x - yỊ^ - 4x + 8y + = 3(x - y)^ - 6(x - y) + + 2x + 2y + = 3(x - y - 1)^ + 2(x + y + 1) > 2(x + y + 1) > (Vx + yjy + l ỷ Suy yịsịx - y f - x + 8y + > y[x + \jy + Do (3) Vx = ^y + o x = y + l > = > y = x - l Thay y = X-1 vào (2) ta được: 320 - TI - - 3x^ + 5x + = 2xVx + (4) Ta có x^ - 3x^ + 5x + = x(x^ - 4x + 4) + x^ + X + = x(x - 2)^ + x^ + X + > x^ + (x + 2) > 2>/x^(x + 2) = 2xVx^T2 Do (4) o X = :=> y = Vậy nghiệm cúa hệ (x;y) = (2;l) Chuyên đẻ Các bải toán liên quan đến tham số _ I Tóm tắt lí thuyết Bài toán 1: Tìm điều kiện ciía tham số để phưoTig trình f(x) = g(m) có nghiệm D Phương pháp: Dụa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(m) cắt Do để giải toán ta tiến hành theo bước sau: 1) Lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) 2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm sốy = f ( x ) Chú ỷ: Neu hàm số y = f(x) liên tục D tồn tạiminf(x) = m, xeD maxf(x) = M phưong trình: f(x) = k có nghiêm D xeD m < k < M Bài toán 2: Tìm m đc bất phưong trình f ỊxỊ - g(m j có nghiệm D Phương pháp: Với dạng toán trước hết ta khảo sát lập bảng biến thiên hàm số f(x) D, dựa vào tính chất sau để định giá trị tham số: 1) Bất phương trình ftx) > g(m) có nghiệm D maxf(x) > g(m) (Với xeD điều kiện tồn maxf(x)) D / 2) Bât phương trình í’(x) < g(m) có nghiệm D o minf(x) < g(m) (Với xeD điều kiện tồn m inf(x)) D II Các ví dụ minh họa Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình V2x^ - m x + 2m - 1- X = có hai nghiệm phân biệt -r/-321 Lòi giải Phương trình o \/2x^ - mx + 2m - = X + |x > - |x>-2 o x^ - (m + 4)x + 2m -5 = (*) 12x^ - mx + 2m - = x^ + 4x + Yêu cầu toán o (*) có hai nghiệm phân biệt XpX2 > -2 A = m + 36 > (x^ + 2)(x2 + 2j > Xj + + X + > o ị [x^X2 + 2(x^ + X2> + > 1x^ + X2 + > 2m - + 2(m + 4) + > o m+4 +4 > m> m > -8 o m > —-7 • ' < Vây m > —- giá tri cân tìm Ví dụ Tìm m đế phương trình sau có nghiệm Vx^ - 2mx + 3m - - >/2x^ - 3x + - Lời giải Phương trình cho tương đương với yjx^ - 2mx + 3in - = ^2x^ - 3x + o X Ta có: x^ - 3x + > I 2x^ -3x + l > x^+{2m-3)x + 2-3m = (*) >1 X < - Phương trình (*) có A = (2 m - 3)^ - 4(2 - 3m) = 4m^ + > Suy (*) có hai nghiệm: Xj - 2m - n/à - 2m + yJà Phương trình cho vô nghiệm m >— , >Ặ ị\fà < - m O i 2o \ ^ X2 — A < - 8m + 4m^ o • - 8m > vô nghiệm -4m > A < 4m^ - 4m + Vậy phương trình cho có nghiệm với m Ví dụ Chứng minh với giá trị dương tham số m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: Lời giải Điều kiện: X > 322 - TI x^ + 2x - = yỊmix - 2) Khi phương trình cho tương đương với: (x - 2)(x^ + 6x''^ - 32 - m) = o 'x = x^ + 6x^ - 32 = m Ta chứng minh: x^ + 6x^ - 32 = m có nghiệm thực thuộc khoảng (2; +Q0) Xét hàm số: f(x) = x^ + 6x^ Bảng biến thiên: - 32, với > => f'(x) = 3x^ + 12x > 0, Vx > X +00 + f'(x) f(x) ^ +Q0 Từ bảng nghiệm X > Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm thực Ví dụ Tìm m dể phương trình; x^ + 2x + 2m-y/5 - 2x - x^ = nghiêm Lời giải Đặt t = Võ - 2x - X" = Vổ - (x + 1)^ => t e [0; V ] x^ + 2x Khi phương trình cho trở thành: o t =m ±2 = 5- -2 m t + +1 có - = (*) Phương trình cho có nghiệm o (*) có nghiệm t e [0;V6] hay < m + < yíẻ - < m < Vổ - < m - < Vb < m < V6 + Ví dụ Chứng minh với Vm > phương trình sau có nghiệm: x^ + (m^ - —)Vx^t + = Lời giải Đặt t = Vx^ +4 => t > Khi phương trình cho trở thành; f(t) = + ( m ^ ) t - m ^ - = o ' (*) ^ Vì m > => (*) có hai nghiệm t phân biệt (Do A > 0) f(2) = -(m^ - 2m^ + ị ) Ta chứng minh; - 2m^ + —> Viĩi > (1) * Nếu m > => m'^ - 2m^ > =í> (1) TI - 323 - 2m^ + — = (m + —)(m - —Ý ằ 27 3 * Nếu < m < => Suy - 2m^ > - — => - 2m^ — >0=>(1) 27 27 27 Dần tới f(2) < nên (*) có nghiệm t > Hay phương trình cho có nghiệm với m > Ví dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt - x ^ = 2m + - 2x^ + x Lời giải Đặt t = Vx^ - 2x + = Ặ-m -1)^+1 => t > Ta có phương trình: f(t) = 2t^ + - 2m - = (1) Xét phương trình Vx^ - 2x + = t (*) * Nếu t = (*) có nghiệm X = * Neu t > (*) có hai nghiệm X phân biệt Dần đến phương trình cho có hai nghiệm phân biệt f(t) = có nghiệm t > Do —^ — nôn ta có môt trường hơp là: a.f(l) < 2a -2m - < m > -1 Vậy m > -1 giá trị cần tìm Ví dụ Tìm m đê để phương trình sau có nỊ nghiệm 1) ^3 + X + - X - m + 7(3 + x)(6 - x) 2) y/l - mỉí-^ ^ ^ + ^/l + mẨ■^ Vl-X ^ = 2^1 - Vl +X _i_m TV».7/V - 2^x^ o ỉ l -_ 1 3) s7x - 11 + X+ 11 = Lòi giải 1) Điều kiện: X e [-3 ; e ] Đặt t = + x + e - x ^ = + 27(3 + x)(6 - x) (*) Áp dụng BĐT Côsi ta có 27(3 + x ) (6 - x ) < nên từ (*)=> < t < s72 Phương trình cho trở thành: m+^ ^ - 2t - = -2m ( ) Phương trình cho có nghiệm o (1) có nghiệm t e [3;372] Xét hàm số f(t) = t ^ - t - với t [ ; ] , ta thấy f(t) hàm đồng biến ^ -6 = f(3) < f(t) < f{3^Í2) = - vt’6 [3;372] Do (1) có nghiêm t e [3;372] L 324 - TI - o -6 < -2m < - n'2 Vậy o c Ịọ _ c ■ < m < ^ < m < giá trị cần tìm 2) Điều kiện: -1 < X < Đặt t = í h - ^ = í — => t e (0; +oo) phương trình trở thành: vl+x Vl +X 'Jl + m.t^ - 2^(1 - m)(l + m).t 4- Vl - m = + m.t = ị/l - m o t = Phương trình có nghiêm o ~™ V1 + m V1 + m > < = > - l< m < l 3) Điều kiện: x > * X = nghiệm phương trình o m = * X chia hai vế PT cho ^x^ -1 ta đươc: Ỉ I ^ + = Vx+1 V x -1 Đặt t = ^ = > < t< l V x > l v phương trình trờ thành: 3t + — = 3t^ - 2t = - m (*) t Phương trình (1) có nghiệm (*) có nghiệm t e (0; 1) Vì < 3t^ - 2t < v t e (0;1), suy (*) có nghiệm t e (0;1) -m _ < l, o - l < , m_ < — 0„ - —< 3 Vậy -1 < m < i giá trị cần tìm Ví dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt lOx^ + 8x + = m(2x + D.Vx^TĨ Lài giải Phương trình cho tương đương với: ' 2(x^ +1) + 2(2x + l)'-' = m(2x + l)sỊ^ +1 _ - (2x + 1)2 _ 2x + „ _ ^ o — m , -+ = x2+l x2 + l 2x 4- Đặt t = Ị , ta có phương trình: 2t2 - mt + = (1) x2+l - TI - 325 V x^+1 Ta có: t' = x^ +1 • Với ^ 2-x , t' = o X =2 7(x^ +lý phương trình = t có nghiệm X x^ +1 4: 2x + l Với môi /2- —- giá trị cần tìm x+ —+ y + — = X Ví dụ 11 Tìm m để hệ sau có nghiệm x^ y + — = lõm -1 Lời giải Đặt a = X + —; b = y + — => |a| > 2; |b| > X y ' ' Hệ cho trở thành: |a + b = Ịa^ + b^ - 3(a + b) = lõm - 10 ' ' |a + b = [ab = - m Suy a, b nghiệm phương trình: X 2-5X + - m = o X ^ - X + = m (1) Hệ cho có nghiệm thực o (1) có hai nghiệm thỏa |x| > 328 - Tl - Dựa vào bảng biên thiên suy (1) có hai nghiệm thỏa |x| > m > 22 —< m < ,4 Ví dụ 12 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiêm: Í2 x -y + m = (1) [y + (2) =2 Lời giải Điều kiện: xy > Ta thấy (2) phương trình không chứa tham số nên ta giải (2) trước y j^ /x + ỹ = ỊVx + + +3 < a (1) (2) Lời giải Điều kiện; x,y > X >4 Đ ặt t = -n/ x => J ỹ = - t , d o i ^ “ Ịy ^ Khi (2) trở thành: a > < t< + 51 + - t +12 = f(t) (3) Xét hàm số f(t) v it e [2;3 ] , có f '(t) = ^ Vt^ + =>f'(t) = o t V ( t - ) ^ + = (3 -t)V t^ + Vt^ - 6t +12 (*) => t^(t + 3t^ = (3 - t)^t^ + 5(3 - 1)2 o 2t^ - 30t + 45 = Phưcmg trình vô nghiệm t [ 2; 3] 330 - TI - BBT: t + f'tt) +73 f(t) Hệ có nghiệm o (3) có nghiệm t e [2;3] o a > minf(t) = f(2) = [ 1;21 Vậy a > giá trị cần tìm Ví dụ 15 Tìm giá trị thực m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: Í x ^ - íy + 2)x^ + xy = m (1) , + X - y1 = - 2ra [x^ (2) (Trích Đề thi Đ H khối D - 2011) Lời giải Hệ phương trình cho viết lại: x)(2x y) = m (1) [(x^ - x) + (2x - y) = - 2m (2) Dễ thấy phương trình hệ cho đa thức đối xứng X y Nhưng ta nhận tính bất biến toán u = X Đặt V V u > - X Hệ cho trở thành: = x - y (v e l ) = (1 - 2m) u + V = - 2m u + u = in(2u + 1) V uv = m, í l (•) 4j = - 2m - u -u + u 2u + l (3) -u" I- u Đặt f (u) = , u > 2u + l Ta có: f ( u ) = -2u‘‘ - 2u + , ue f ' ( u ) = => u = - l + ^/3 (2u +1)^ n -3 III Bài tập vận dụng Bài l.| Tìm m để phương trình 1) yj2x^ + mx - = X+1 CÓ hai nghiệm phân biệt 2) V2x^ -m x - \Ịx^ - = có nghiệm 3) ^ + mx + = 2x +1 có hai nghiệm phân biệt 4) Ix* - 13x + m + x - l = có nghiệm 5) X\fx + yjx + 12 = mtVõ - X + - x) có nghiệm 6) mVx^+2 = X+ m có ba nghiệm phân biệt 7) Vx^ + X + - 'Vx^ - X + = m có nghiệm 8) ^x^ +1 - Vx = m có nghiệm 9) yjx^ - 2x^ - 2x + 3m^ + = X - có hai nghiệm phân biệt Bài 2.| Tìm giá trị tham sô m đê phương trình sau có nghiệm m(x^ + 3x) + Ậ ế - x - x ^ ý = 4m - Bài 3,| Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm y ị ế - x + yJx + > m Bài Tìm m để phương trình mx - Vx - < m + 1) ■\/x‘‘ - 4x^ + 16x + m + ^x'* - 4x^ + 16x + m = có hai nghiệm phân biệt ) ^/x + V s-X = V-x^ + 9x + m có nghiệm 3) \J3 + X + y je - x - V(3 + x)(6 - x) = m có nghiệm ) m(yjx - + 2\/x^ - ) - Vx + = 2^x^ - có nghiệm 5) Vx +1 + \/s - X + 7(x + 1)(8 - x) = m có nghiệm 6) n/7 + 4x + m + ^x'* + 4x + m = có nghiệm 7) x - l + 4mt/x^ - 3x + + (m + 3)Vx-2 = có nghiệm 8) m(Vx^ - + V 25-x^) + 2>/(x^ -9)(25-x ^) = 5m có nghiệm 9) V 4-x^ + ^4 + x^ = Vl6 - x^ + m(\/4 - x^ + V4 + x^) + m có nghiệm Bài 5.| Tìm m đê bât phương trình 1) m(Vj^ - 2x + + 1) + x(2 - x) < có nghiệm X e [0; + Vs] 2) 7(4 + x)(6 - x) < x^ - 2x + m nghiệm Vx e [-4; 6] 33)) Vx^ x^- -3x 3x++22>>mm- -Vx 7x^ - 3x + nghiệm với X > 4) 7x + - X + mVsx - x^ - < nghiệm với Vx e [0;3] 332 - / L - ... phần vào việc ôn tập hiệu hon, biên soạn sách ‘Từi liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán gồm hai tập Cuốn sách bạn cầm tay thứ gồm chưoTig số đề thi mẫu Cụ thể: Chương 1: Hàm số vấn đề liên quan... hế CÔNG TI AN PHA VN - , * V / T rình bày bìa SƠN KỲ Đối tác liên kết xuất CÔNG TI AN PHA VN r'| "-sđv *• ề ‘j íĩ- _ ' - V > _ ■¥ ^ : '' 'Sị.;- l’ SÁCH UÊN KẾT TÀI TAI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA. .. 2014 - 2105, Bộ giáo dục đổi thi cử nhập hai kì thi Tốt nghiệp THPT kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng thành kì thi Sử dụng kết kì thi để xét Tốt nghiệp THPT làm liệu để xét tuyển vào trưÒTig