Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t2

, \y \ V Cách 2: Từ aiái tliiêt suy ~ = ——jL Khi p = z z K z Đ ặ tt^ ^ = > t =^ < ^X+ y ^ ) _2 ' , z j x +y — - o t > Khi p = f( t) = t ' - t + t v~2z y I ^ "* ] Xét hàm số f(t) - t" - 2t + - vói t > ta có f'(t) = — —^ > 0, Vt > nên f(t) hàm đồng biến 33 ' 33 [4;+oo) suy p = f( t ) > f(4) = — Vậy giá trị nhỏ p — đạt X = y - z , i , , , , a b c a+ b b+c , Ví dụ Cho a, b, c sô thực dương chứng minh —+ —+ —> h h1 b c a b + c a + b U ri giải , a + b x + l b+ c y + Đặt a = x.b;c = y.b (x ,y > 0) đós — _ ♦ — _ bt-c y + T a + b x + Bất đắng thức trở thành: X + — + — > + — -í + o x ’y" + X" + X + y ' + y" > x ’ y + 2xy" f 2xv y X y + X+ Bất đẳng thức cuối tổng cúa ba bất x’ y' -t X - > X x V " + X + y'’ + y^ ^ 2 2 - -2 - 2_ > 2xy ;x + y > 2xy y ;- — Bất đăng thức chửng minh Đăng thức xảy chi a = b = c Ví dụ Cho X, y, z số thực thuộc đoạn [l;2 ] Tim giá trị giá trị lớn biểu thức X + z +4xz V ' y- + 2yz - 5zyz - 4z‘ y - V3x - X' Lờ i sìải r1 Ị b’ + b - ^ a’ + 4a + 1\ -'J3x-x~ Đặt X = a.z;y = b.z;a,be - ; Khi p = — - — + l a-’ f l ) l b-4 J [2 J Xét hàm sô f(a ) = - ; ;g(b) = — - đoạn b -4 a’ +1 ta có f'(a ) = -;2 h(x) = -\j3 x - X đoạn [l;2] ib T ') , ;.f,’(a) = a = 1e ( a C l) - ^ 13 Suy m axf(a) = f ( l) = 3;min f(a ) = f(2) = f I — = —• 2J g'(b) = -^ị— ^ ^ < , V b e (b -4 r h'(x) = -2 x lyỊìx - x~ -;2 => maxg(b) = g| ;h '(x) = o x = — 15 " 14 ' " ~2 maxh(x) = h(l) = h(2) - \/2;m in h(x) = h í —^ V y Do p - ( f ( a ) ) '+ ( g ( b ) ) '+ h(x) 301 Vi / Ịr y = (m a xf(a ))^+ (m a xg (b ))% maxh(x) = 3% — - vI4 y a= Dấu bàng xảy chi X= z b = — -^ y x=2 — z ■; y 2 X = X = X = X = =l z=2 Ví dụ Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện a - c + b - c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức p = •—^— H-— ^— h-—-— - ^ -1 b+c c+a a+b a + b Lở/ íiiải Đặt a = x.c,b = y.c,(x,y > l) theo giả thiết ta có: V x -1 + s Ị y - \ = yỊxỹ o ( ( x - l ) ( y - l ) - !)■ = xy = X + y > 2^f>4 => xy > Ta viết lại biểu thức p dạng; p = ^ + - - + —!— f y+1 x+1 x + y x+y Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có; p= XX' yy" xy + x xy + y x +y + I - L > (x-i-y)“ — LZ2— (x + y) - x y 2xy + x + y 4- xy x y -2 x y x 'y ’ I I xy 1 — -1 - ^ —;—; — ; -3xy xy x‘ y " - x y xy x ‘ y '- x y Đặt t = xy,(t > 4) => p > f( t ) = ^ ^ ’ t t- - t ■ X t 1 r ^ t = ( t - - t + l) + ( t - l ) Xét hàm sô f( t) = - + - + - r - — |4;+oo)tacó: f'( t) = — —-— - > Vt > t= (t-2 ỵ Vì f(t) đồng biến với t > = > p > f ( t ) = f(4 ) = I L 2Ã 41 Vậy giá trị nhỏ cùa p — đạt X = y = Ví dụ Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiện a > b > c > u/ r, (3ab + bc)" 121b“ I im giá tr nhó nhât cua biêu thức p = -;— — + — - ' b' a' + b=+c-+8ac -T- _ Lời siảì Đặt 302 X = —,y = —,(x > I > y > 0)khi đó; p = (3x + y ) " + —; - b b ^ ^ ’ x=+yH 8xy + l - 9\ - 121^ - > x +8xy o + y +-6 + — -ĩ—^ 121 -X f y f 8xy + X + y + 8xy + + x y + y" + —, Đặt t = X" + 8xy + y" + 1=:í> p > f( t ) = t + 121 +5 121 Ta có; f'( t) = l - ± i ; f '( t ) = o t = l t Ta có f (t) đổi dấu từ âm sang dương qua t = 11 nên f(t) đạt cực tiểu t = 11 hay p > f( t) > f( l 1) = 27 Đẳng thức xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ p 27 đạt a = b = c Ví dụ Cho X, y z số thực dương thoả mãn điều kiện (x ' + y" ^1 - , ; Chứng minh L ( 'r í l ỉ i ả 51 51 X X y y 28 y+z z+x z - < '' -Ị j - x+y +z") = 1l(x y + yz + zx) z ỵ - - f ^ ''^ ( x - ^ y - t / y j Suy p + = ■ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x) Do 32 ( x t y + z)’ 25 (x 4- y )(y + z)(z4- x) z ) ( z x) _ ( xx + y )) ((yy44 z)(z P~^ ~ ~ (x + y + z)a + b + c: Đặt a = - ^ x4- y + z u _ y x4-y4-z _ ^ x4- y4- z ab 4- bc + ca = ■ 25 32 — —-— = (a 4- b)(b c)(c f a) = (l - a ) ( l - b )(l - c) = I - (a 4- b + c) + ab 4- bc 4- ca -abc 7 = I - 14- ^ - abc = —— abc 25 25 Vậy đế tìm giá trị lớn nhỏ p ta tìm giá trị lớn nhỏ cùa ọ = abc 303 Ta có Q = a ,25 - ab - ac a(b + c) = a / 25 - a ( l- a ) = a -a - f~ a 25 b + c = I-a Ta có: ^ í ì I ;(b + c)~ > 4bc ( l - a ) > a " - a + —- Cí> — < a < bc = a '“ -V 25 ; 15 25 , Xét hàm số f(a) = a’ -a"H -a đoạn 25 49 ^ Ta có f í ' = f í ) = - ; f usj 3375 ll5j Suy Q, ^ iníix = — 125 ;Ọ, ^ 1^11' = f í '1 ta có: f'(a ) = 3a’ - 2a + - - ; f ' ( a ) - o Ĩ '5 , 25 a=• 15 ~ 125 49 „ „ = 2;p , = —g 3375 => p*4tíix ' inin * Môt đánh giá hay sử dung Với điều kiện số thực a, b, c không âm ta bất đắng thức tluròng đạt điểm rơi biến bàng nên ta thưòng giả sứ c = |a.b,c} tim cách đánh giá đưa bất đắng thức hai biến Ta có ước lượng hay sử dụng; a‘ + c '< a" f b" f c’ < ( a -1 l 2j “ -t- í l b + 0- 2) ;b" + C“ < Ị^b + —j ;a" + b" < Ị^a + —j +Ị^b-+—j ; ; ab + bc t ca > a f (ub + — "ì l 2) r - a c + c’ = a’ + c ( c - a ) < a” < Ị^a+ —j ; b ' - bc + C ' = b“ + c(c - b) < b ' < b + —j ; í c^ í c^ í í a~ -a b + b" < a + — - [ a + — b + - + b + l 2) l 2)V 2; l 2) Ví dụ Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = Tim giá trị lón cìia biêu thức p = (a’ -a b + b'")(b‘ - bc + C")(c" - ca + a’ ) Lời ỊỊÌải Cách I: Giả sử c = |a, b,cỊ ta có: b' - bc + C" = b + c(c - b) < b’ ;a' - ac + C" - a' -4 c(c - a ) < a’ , ,, , p a‘ b‘ (a’ -a b + b ") Suy p < a = b - ( a = - a b + b ') = > - ị< - f ^ / 30' (a + b + c f -I + a” b '(a " -ab + b") (a + b)'’ fa b Đặt t = - + - , ( t > ) = > P < f ( t ) = ".-^—“-y b a ^ ^ (t + 2) Xét hàm số f(t) = 3'’.—^— ! - r V Ĩ i t > ta có: f'(t) = 3'’.-^— ^ ; f ' ( t ) = o t = — (t + 2ỳ (t + 2)^ 304 b + 2+^ a Ta có f ( t ) đổi dấu từ dương sang âm qua t = — nên f(t) đạt cực đại t = — hay = P 0) :=> X + y = a + b + c = đó: p < x 'y - ( x ' - x y f y -) = x - ( - x )'(x = - x ( - x ) + (3 - x ) ') = 3x*’ - 27x' +90x-* - 135x'’ + 8lx= < 12 Ví dụ Cho a, b, c số thực khơng âm khơng có hai số đồng thịi thố mãn a + b + c = Tìm giá trị nhị cùa biểu thức p = ■-p : ịJ7+b^- y ^ +c ^ Lời ỊỊÌảÌ Khơng tính tồng quát giả sử c = (a.b.cỊ ta có: ^ c^= b + —j ; b " f c ' < í b + —I ;a "+ c “ < a + V 2y ^ c^ ■* • T a' + b" < a + — V 2y ' • í ^ +yV Jấ\ đăng thức AM GM ta có: xy < -= 1và V y /x 2y ^ x N y- ^xy >■ +2— L > ^2xy[\-+y-) ^2 / x ' r y' if2xy F 2xỵ+_.\-+ y - Ỵ m ^ ịfx'+y- [ + - - = + -)= ^ ^ 305 Dấu xảy chi x = y = l= > a = b = l,c = Vậy giá trị nhỏ cùa p + đạt a = b = l,c = hoán vị ' ị/2 * M ôt số toán chon loc Bài (A, Al/2013) Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện (a + c)(b + c) = c ' Tỉm giá trị u:í M 32a' 32b' x/a- + b= nhó nhât cùa bieu thức p = r- H ^ ^ (b + 3c) (a + 3c) c Lời siâi Đặt a = cx,b = cy,(x,y > 0) từ điều kiện tốn ta có: (x + l) ( y + l) = o x y + x + y = Ta có: p = 32x' 32y' + y" {y.3Ỵ 3'rước tiên ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau đây: Với a,b dưong ta ln có a’ 4- b^ > —(a + b)^ Thật bất đẳng thức tưong đương với: 4(a b)(a‘ - ab + b ') > (a 4- b ) ' o 4(a" -a b 4- b’ ) > a’ 2ab + b“ 3(a - b)" > Bất đắng thức ln đung tốn phụ chứng minh Áp dụng ta có: 32x^ 32y^ í X , y l,y + (y ỳ ' ( ; ^ ^ - X4-3; X + y +3x + 3y - R (x -y )' -3 (x -y )-2 x y xy 4- 3x 4- 3y 4- xy 4- 3(x 4- y) 4-3 Thay xy = - X - y vào biểu thức ta được: 32x- 32y- (y + 3)’’ (x + 3)- >8 (x + y ) '- ( - x - y) + 3(x + y) = ( x - y - l) ' - X - y + 3(x y) + Do p > (x + y - 1)’ 4- y ' = (x + y - l) ’ 4- y)" - 2xy = (x + y - l ) ’ - ^ - y ) ' - ( - x - y ) - ( x - y - l) - - ^ - y ) ' 4-2( x y ) - Đặt t = X 4- y ta có p > (t - l) ’ - Vt" 4- 2t - - x - y = xy - < — (t - 2)(t + )> t > Xét hàm số f(t) = ( l - 1)’ - V t' 4- 2t - vó'i t >2 ta được: f ’(t) = ( t - l ) t4-l \lv 4- 2t - ( t - !)■ - t - x /r + t - ^ / ( t - l) - - t- l V t' + t - ( t - l ) ' - t - l _ t - - t f3 Vt- + t - > ,V t> V t' + t - Vậy f(t) ià hàm đồng biến [2;4-oo) f( t) > f(2 ) = 1- \/2 => p > I - \/2 Vậy giá trị nhò cúa p I - ^/2 đạt a = b = c 306 Bài Cho a,b.c số thực dương đôi phân biệt thoả mãn b < 8a < 4c ab + bc = 2c‘ Tìm giá trị lớn nhỏ biếu thức p = a a -b b c -+ — + ■ b -c C-; Lời giải f \ \' \ Đặt a = x.c,b=:y.c, < - y < x < — xy + y = 2y = -V 2J X +1 Khi p - y y - l-x - - Ị -— _ X-y +' ■ X ^_ + -(- ■ X+1 x‘ + x - X+1 _ X ' + x - ( x + 2) _ X’ - x - ~ ^ ~ X2 + X - -x x' + x -2 ^Tacó -Iy < x < —= I >xe I + V2 2 ’2 - lW Xét hàm số f( x ) = ^^-^;— ^ liên tục X + X- f (x) = ^ ^ > 0, Vx e (x- + X - ) Suy f -l + x/2 l-x X" + X , < f(x )< f -l + ^/2 _Ị_ ~~2 '2 '2 ta có f(x) hàm đồng biến - I + V Ị_ '2 l7 + 6v/2 „ 27 hay — — < p < — ' 27 - ■' ' i 6^/2 Vậy giá trị lớn nhát p băng — đạt b = 2a,c = - a giá trị nhỏ nhât p băng - - đạt tai ại a = *- — c,b = 4^\/2 - 1jc Bài Cho a, b, c số thục dương thoả mãn điều kiện a’ + b’ = c^ Tìm giá trị nhỏ biểu thức p = a + b -c (c -a )(c -b ) Lời siải Nhận xét Điều kiện đề cho đồng bậc biểu thức p bậc nên ta đặt a = xc,b = yc,(x.y > 0) , X' + V " - I {x + y ) " - x y - l Khi x ’ + y ' = 1và p = -4 - =: — ^2^- ( l- x ) ( l- y ) x y -(x + y )+ l Xuât phát từ I = X + y ’ = (x + y) -3 x y (x + y) ::::> xy = — —y- Đặt t = X + y ta có t > 1và (x + y )“ > 4xy => t ' > 4. - ^ 1< t < ^4 Ta có p = -í-t3 thấy hàm nghịch biến với \ < t < ỉ f suy p > Vây giá tri nhỏ p 2^ —đạt a = b,c = a\Í2 •v/4 -1 307 Bài Cho a b, c số thực dưong thoả mãn điều kiện a > b > c Tìm giá trị nhỏ nhât biêu thức M = (a +c ÌVab + bc + ca J - ac(a + b + c) Lời sỉảì Nhận xét Điều kiện cho a > b > c => ( b - a ) ( b - c ) < M bậc nên đặt a = x.b; c = y.b ( x > l ; < y < l ) v ( l - x ) ( l - y ) < o x y - x - y + l< = í> x + y > l + xy Khi đó; M = (x- + y - ) J x + y-t- xỹ _ , xy(x + y + l) Đây biêu thức đối xứng vói tống X + y tích xy nên suy nghĩ đến việc đặt s - X + y, p = xy từ điều kiện ta có < P < S - l.T a c ó ; M = - (s ' - P) n/ s + P P(s + I) 2S’ + S"P + '’ P“ Coi vẻ phải hàm sơ vói p tham sơ s ta đưọc: f'(P ) = - ^ - < ,v s ,p >0 f(P) 2(S +1)P -V s p hàm nghịch biến ( ;S - l] (s ' -2 S + 2ÌV2S-1 Dođó f ( P ) > f ( S - l) = - ^ ’ s = -l (S '-2 S + )V S -I Xét hàm số g(S) = ^: -— - (l;+oo) tađưọc: S'^+ 2S’ -13S" + P S - (S -2 )(S % S “ -5S + 2) g'(S) = ^ = -^;g'(S) = 0g 32 , ' Vây giá tri lớn nhât p băng y 128 sTs + l 16 32 V Suy —- < t < ^ 16 '2 1+ ^ _ 575 =f ta được: -;+co 16 ^ g ( t) > g 32 5 75 - 16’ 32 s T s -1 32 ta có: , 383-16575 hay ta có 256 < p < —128 đạt a = 2,b = c = hoán vị giá trị nhỏ nhât p , 383-16575 ^ ^ 1+ 75 băng - ^ - đạt a = - v , b = c = - ^— 256 Bài Cho a, b, c số thục thoả mãn điều kiện a > b > c > v 2b + c - a > Tim giá trị nhở cùa biểu thức p = 2b + 2c - a 309 Lời siảỉ b -a T H I: Nếu c = => p = Đặt t íb ^ < t Ặ x + y) { x + \ ){ y + \) o x " + x + y ' + y + ^ x y (x + l) ( y + l) > ( x + y )(x + l) ( y + l) 2^ x y [ x + l)(y + l) > x y ( x + y + 2)cí>4(xy + x + y + l) > x y ( x + y + 2)“ Bất đẳng thức xy(x + y + 2)" < 4xy(x 4- y 4- 2) x y -x -y -l-x y (x -y -2 ) = (x4-y4- l) ( l - xy) > Vậy p > 2^x 4- y - ^ x 4- 2y - Đặt t = ^ /x T ỹ ,(o < t < V ) suy P > f( t) = t - V t “ -1 Tacó: f'( t) = — = i = ; f ' ( t ) = t = ^ ^ V t Do p > f( l) = Nhưng trường họp dấu không xảy Ket họp hai trường họp suy giá trị nhỏ p đạt a = b,c = Bài (A/2009) Chứng minh với số thực dương X, y, z thoà mãn điều kiện x (x 4- y 4- z) = 3yz ta ln có (x 4- y)’ 4- (x z)^ 4- 3(x 4- y )(y 4- z)(z4- x) < 5(y 4- zỳ Lời siải Đặt y = a.x,z = b.x,(a,b > 0) ta có a 4- b 4-1= 3ab Ta cần chứng minh (a 4-1)^ 4- (b 4-1) ’ 4- 3(a 4- l)(b 4- l)(a 4- b) < 5(a 4- b)^ «> (a 4- b + )^ -3 (a 4- l)(b + l)(a 4- b 4- ) 4-3(a 4- l)(b + l)(a 4- b) < 5(a 4- b ) \ o (a 4- b 4- )^ - ( a 4- l)(b 4-1) < 5(a 4- b)’ o (a 4- b 4- )’ -6 (a b 4- a 4- b 4-1) < 5(a 4- b ) \ Thay a 4- b + 1= 3ab vào bất đẳng thức ta cần chứng minh 310 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân C,BAC = 30‘’ AB = a%/3, AA' = a G ọ i M trung điểm B B ' Tính thể tích khối lăng trụ M C A B C theo a Lời siải: Phân tích lịi giải Khối lãng trụ MC'ABC ta tính thể tích theo hưóng sau Hướng 1: Coi hình chóp có đinh A đáy M C C B muốn tính theo hướng ta phải xác định đưọc diện tích đáy MBCC'(việc đon giản) xác định chiều cao hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy (M B C C ) , để ý hình lăng trụ cho lăng trụ đứng cần kẻ AH BC H AH _L(M B C C ) đưịng cao cần tìm khối chóp A M B C C Hưó’ng 2: Kéo dài M C' cắt BC K ta hai khối chóp dễ tính thê tích tính đưọc V' a c m b c , = V''C " A K C - V' ^ m a k b - Hướng 3: Nghĩ đến việ lấy thể tích khối lăng trụ ABC.A’ B'C' trừ thể tích khối lăng trụ nhỏ C '.A M B 'A ' Vói ba hưóng thi hai hướng xử lý dễ thực ngắn gọn hơn, dưói trinh bày lời giải hướng xử lý thứ , [C P IA B ; Goi p trung điểm ABthi { =í> CP _L (A B B 'A ') [CP_LAA' ^ ’ R ta có AC = 2PB = 2ABcos30“ = 2.aV3.^— = 3a CP = BCsin30" = a ự - = — 2 Tính đươc s.„, = —CA.CB.sin 120“ = —.aV3.a\/3.^^ = ■ 2 Suy V ABC Tính Suy a - ^ _3a-V A ’B T ' ~ -^ A B C , = - ( A A '+ M B’).A ' B' - - ^ CP.S^I^,PJ.^ _ 9a~ a + — ,3a = — ^ A B C 'A 'B 'C ' 2) _ aV3 9a- _ 3a'y/3 3' _3a'^/3 Vl vạy ^ ^ C 'A M B 'A ~ a 'V _ a 'V ~ ■ Nhận xét Từ đề u cầu tính thể tích khối chóp M.ABC' tính trực tiếp khó nhiên lấy thể tích ta có kết Bài Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDIàhình chữ nhật; AB = a;AD = 2a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (A B C D ), cạnh bên SBtạo với mặt đáy góc 60“ Trên cạnh SA lấy điếm /3 M cho AM = - ; mặt phẳng (B C M ) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM 585 Lời siải: Có AB hình chiếu SB mặt phẳng (A B C D ) nên góc cạnh SB mặt phang (SAB) góc SBÃ = 60" Suy SA = ABtan60° = ax/3 X/ X MN Xét tam giác SADcó: AD SM S A -A M SA SA , - “ '® -.2 a = ii n/3 S A -A M MN = -— -.AD • SA Theo pitago ta có BM = vA V aB B" + AM" AM = - I 1 _ Tính diện tích hình thang —■ A / * r> » a v , \ r > a r a ^ 2a>/3 \ 0a~ \ í ĩ = —(A B + M N )B M = — 2a + — j = — “ - r- Hạ SH BM , BC (sAB) SH BC SH ( B C N M ) Vậy SH đường cao khối chóp S.BCNM ta có tan ẤBH = ^ =: — => Ấ B ĨI = 30“ => S^BH = 30“, suy raSH = -S B = a AB Vi V;s BCNM 1q ^ V e , , _ l 10a-V3 3' lOa^N/3 27 nm- Cách khác: Sử dụng tỷ số thể tích; tính thể tích khối chóp S.BCNM theo tổng thể tích cùa khối chóp SBMN SBCN (chi tiết xem phương pháp tỷ số thể tích) V,s BMN SM SN ^V.s BCN SA ■SD ’ ỵ s BCD _ SN SD Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cạnh a Mặt phẳng (p )đ i qua A vng góc với B'C chia khối lăng trụ ABC.A'B'C'thành hai khối đa diện; khối chứa đỉnh c, khối chưa đỉnh B ' Tính thể tích cùa khối chứa đinh B ' L i eiải: Gọi M trung điểm BC ; kẻ MN song song với B C ',(N e C C ) Khi MN B'C có ÍA M IB C ị Ịa m ib b ' AM (B C C 'B ') => AM B'C nên tam giác ^ ' AMN thiết diện lăng trụ cắt mặt phang (p ) Ta có V^g^.^.g,^., —AA S^g(- ạ-V3 _a^V3 a.- 1 aV3 a a a^^/3 V'' acmn = -A M S =— — — = CM N ■ '2 '2 48 ’ la^V3 (đvdt) 48 Cách khác: Ngồi ta tính thể tích khối lăng trụ A A 'B M N C 'B ' bàng cách chia làm hai khối Vì V ^ ^ , g ^ abca bt ' X chóp A.BB'C'NM A A B 'C 586 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD; SD vng góc với mặt phẳng đáy (A B C D ), có AD ==2a; AB = CD;SD = a gócBAD = 60“ Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (A B C D )tại A;B;Clần lượt lấy điểm A';B';C' ( A';B';C'cùng phía với S) Tính thể tích khối chóp S.ABCDvà chứng minh L ời eiải: Gọi trung điểm AD Do AB = CD nên BCsong song với AD, suy tứ giác ABCD hình thang cân Lại có A' D' BÃb = 60“ Suy tam giác lAB đều, có ICD đều; IBC cạnh a a-N/3 _ 3a-N/3 Vậy S^BCO = S|^b = ^ 1 3a'N/3 Suy V^^B^P —^ SD.S^B( , |3 —^ a ” Chứng minh: (đvtt) Bc Gọi A C n B D = { } ; A ’C 'n B 'S = {0 '} , d (D ;(A 'B 'C ')) SD d(S;(ABC)) SD Do OO' song song với SD nên ta có: d ( ; ( A 'B 'C ') ) ~ 0 '’ d (0 ';(A B C )) ~ 0 '■ Từ suy Ta cần chứng minh: V q ^g^ = Vq QQ,VoA'BT Thật V„,.g., = V g ,o ,,,,= id (B ';(A C C 'A ')).S o ,,,,= ld (B B ';(A C C 'A ')).S o ,,, V o abc = V g„,,, = ld (B ;(A C C 'A ')).S < ,,,, = id (B B ';(A C C 'A ')).S ,,,, Mặt khác Sq^.^ = Sq,^,, ; từ ta có điều phải chứng minh Bài 10 Trên mặt phẳng (p ) chứa tam giác ABC cạnh a, D điểm đối xứng A qua trung điểm BC Lấy điểm Strên đưịng thẳng vng góc với mặt phẳng (p ) D ,b iế t SD = ^ ^ G ọ i H hình chiếu I SA Chứng minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (S A C ) Tính thể tích khối chóp H.ABC L i siá i: Ta có ABCD hình thoi (có tất cạnh a) Suy BC AD Lại có BC ± S D , từ suy BC J_ (SAD) => BC _L SA Mặt khác lại có HI S A Vậy SA (H B C ); suy góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) góc B H C 587 Bài 11 Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCDIà hình vng tâm o cạnh a, SA vng góc vói đáy ABCD,SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30° Gọi M ,N lần lưọt hình chiếu vng góc A lên SB,SC Tính thể tích khối chóp O.AMN khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (A O M ) L i s ìải: [ C B IA B Ta có < = > C B (S A B ) suy góc s c [CB _LSA (SAB) góc c ^ = 30° Trong tam giác SBC vng B có S B -Suy BC BC = aV3,SC = • = 2a tan 30° sin 30° SA = = aV2 = AC nên tam giác SAC vuông cân A Do N trung điểm sc suy ra: NO _L (AB CD) ta có NO = -— = —^ , A O = —— = 2 2 =>S.0M = —AO.ON = — Hệ thức lượng tam giác vng ta có BM = d (M (Ạ O N ))^ ^ ^ d (B ,(A O N )) Vậy BA- _a>/3 BS B S -B M BS BS ^ ^ 3 = id (M ,(A O N )).S ,„ , Khoáng cách: Để tính khoảng cách từ N đến (A O M ) cần tính diện tích tam giác AOM tính đưọc d (N ,(A O M )): 588 3V A OMN Bài 12 Cho lăng trụ đứng A B C A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác vng B, góc BAC = 60“, bán kính đưịng trịn nội tiếp tam giác ABC bàng a khoảng cách hai đường thang A ’B AC i Í3 + n/3) - A Tí Tính theo a thể tích khối lăng trụ A B C A 'B 'C Lời siải: Tính độ dài cạnh tam giác A B C Giả sử AC = x x > suy AB = X BC = X- - ''A B C (3■^^/3)x ’ P 'B C ta có: ■ bán kính đưịng trịn X s nội tiẽp tam giác: r = — => a = + a/3 p < = ^l + a/ ja Trong mặt phẳng (A B C ) dựng hình binh hành ACBDta có A C / / B D ^ A C / / ( A ' B D ) Khi khoảng cách hai đưịng thẳng A 'B AC khoảng cách từ A đến mặt phắng( A ' B D ) , (xem thêm cách xác định khống cách hai đưịng thăng chéo nhau) Kẻ AM T BD M kẻ AH _L A 'M H thi ta có AH X ( A ' B D ) , 1 1 1 Hê thức lương tam giác vuông ta có - = + = + - + - • AH AA AM AA AB AD _ I A A '- ~ A H Suy I AB' AD= AA' AB.BC.AA' S^g(~.AA + (đvtt) Bài 13 Cho lăng trụ đứng có đáy ABC.A'B'C'có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A,AB = a.AC =a>/3 hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cùa cạnh BC Tính thể tích khối chóp A B C C B ' theo a L i íiiả i: Gọi H trung điểm cạnh BC theo giả thiết thi A T I l ( A B C ) Xét tam giác vuông ABC ta có BC = V a b ' + AC- = 2a => AH = - ^ = a Xét tam giác A 'A H có A 'H = >/a A '‘ - A H ' = a ^ 1 =^A'H.S^g, = Suy ra: =^ ^ Và mối liên hệ thể tích khối chóp lãng trụ ta có V'^ A B„C A , = 3- ’ V'^ A 'A B C BTC Vi vạy V^, 3a^ ~ V^bca'b'cc ■ ^ a' abc :a^(đvtt) Bài 14 (B/2009) Cho hình lăng trụ ABC A 'B'C' có BB' = a , góc BB' mặt phẳng (ABC) băng 60° Tam giác ABC vuông c có BAC = 60° Hình chiếu vng góc điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'.ABC theo a L ời siải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC, gọi M N trung điểm cạnh AC AB Theo giả thiết ta có B'G (A B C ) suy góc BB' mặt phẳng (ABC) góc B'BG = ° Xét tam giác B'BG ta có BG = BB'.cos60° = — , suy B M = - B G = — B'G = BB'.sin60° = — Đặt AC = X, X > => AB = 2x, BC = X V3 Trong tam giác ABC theo cơng thức đường trung tuyến ta có BM = > X 3aVĨ3 26 Vì vậyV^,^3j =^B 'G S^ b^ — 208 (đvtt) Bài 15 (D/2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA' = 2a, A 'C = 3a Gọi M trung điểm cùa đoạn A 'C ' I giao điểm AM A 'C Tính theo a thể tích khối tứ diện l.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IB C ) L ời siải: Gọi H hình chiếu I AC thi IH ± (A B C ) lA ' Theo định lý Talet ta có A 'M AC ~ ' lc ~ Vì IH IC IC 4a AA' A 'C IC + IA ' 3 Xét tam giác vuông ABC ta có AC = V a 'C- - A A '* =a>/5 BC = V a C- - AB= = 2a = Vì V| ỳ ỉH S , c Ta có " s IC A 'C > •'ABC = a - (đvtt) ^ s ^ 2a-Vs Khoảng cách: Tính khoảng cách theo thể tích d (A ;(lB C )) = 3V, •'IBC 590 2aV5 Bài 16 (B/2012) Cho hình chóp tam giác S.ABCcó SA = 2a,AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên sc Chứng minh s c vng góc với mặt phẳng (A B H ) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Lời íỉiải: Gọi M D lần luọt trung điêm cạnh AB BC Hai tam giác SAH = SBH(c.g.c) nên SHA = sTĨB = 90° BH sc Vì s c ( ABH)(đpcm) Suy raSH = SA.sin Ấ s c = Tam giác AHB HM = J h A cân HA = V s A ' - S H ’ = — 4 " H nên H M -L A B có , nên diện tích tam giác AHB : S^HB = -H M A B = I - ạ/ĨT _ 7a' V ĩ ĩ Vi vạy Vj bab = -SH.S„ 96 (đvtt) Bài 17 (B/2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a AD = a V ,S A = a SA vng góc với mặt đáy (A B C D ) Gọi M N lần lưọt trung điểm AD,SC Gọi I giao điểm cùa BM AC Tính thể tích tứ diện ANBl theo a Lời siải: Gọi o tâm hình chữ nhật ABCD Ta có ON / /SA => ON (A B C D ) VìvậyV^^,B=^ON.S^B, A IB BC IB Theo đ nh lý Talet ta có — = = = > =— IM MA BM IB Suy Samb MB Tính đưọcS^i^B Vì V^^BI AD_a=x/2 -M A A B = — — a a~42 ~ ‘ ‘ 3' a'V ^ 36 (đvtt) Bài 18 Cho hỉnh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân s Gọi l,J,K trung điểm cạnh A B ,C D ,S A Chứng minh mặt phang (s u ) J_ (A B C D ) Tính theo a thể tích hình chóp K.IBCD Lời 2Ìải: Tam giác SAB nên AB S I lại có AB u nên AB T ( s u ) Do A B c (A B C D )n ê n (s u ) (A B C D ) (đpcm) 591 Trong mặt pliẳng (su) kẻ SH _L u H SH _L(ABCD) Trong mặt phẳng (S A H )kẻ K K V /S H ,(K 'e AH) = > K K '1 (A B C D ) Ta có SI = ,SJ = 2 , u = a => ASU vuông S: „ „ _ S I.S J _ a V _ ^ ^ , _ S H _a^/3 u 3a“ Tính S|g,.„ = - ( B I + C D )B C = — ,, Vi vạy V(^ ' V 3a" ——KK S|3 (~p —— ^ a^yịĩ) (đvtt) Bài 19 Cho hình lăng trụ tứ giác A B C D A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD hình thang cân, đáy lón AD = a>/2 ; BC' tạo vói mặt phẳng (AB CD) góc 60° , A 'D tạo với (A B C D ) góc cho /4 tancp = - — ,CD ± (A B B 'A '), A 'B 'J ( C D D 'C ) Tính theo a thể tích hình lăng trụ A B C D A 'B 'C 'D ' khoảng cách hai đường thẳng AB' C D ' L i eiăi: Theo giá thiết: C D ± (A B B 'A ') ^ CD A A ' D D ’/ / A A ' ^ C D D D ' A 'B '1 ( C D D ’C ') = ^ A 'B 'T C D = ^ A ’B '1 C D A B //A 'B ’ = > C D A B Vậy A B C D A 'B 'C 'D 'là hình hộp đứng Theo giả thiết suy ra: Góc C' BC = 60°, A' DA = cp CC’ = Đặt BC = X x 73 > thi < a \Ỉ6 A A ' = ADtanọ = ■ a y íĩ => X = - B C = ^ Ngoại tiếp hình hộp ABC D.A’ B 'C 'D ' hình hộp A E D F.A 'E 'D 'F' hình vẽ 3a= 3, Thi ta có BC đường trung bình tam giác AED vây s^3 (.p = —SgAD = , , , Vi vạy V^gipp ữ , ,o ^Vó 3a“ 3a’ V6 , , —AA -S^g^.g — ^ • g “ (đvtt) „ X X ÍC D '//M F ' Khoảng cách: Goi M N lân lưol trung diêm AF A 'F 'th i < = > C D '//A N ^ V A N //M F ' 592 Vậy d(C D ';A B ') = d (D ';(A B 'N )) = d (A ';(A B 'N )) Dễ tính d (A ';(A B 'N )) = = Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy Suy rad(C D ';A B ') = 26 ABCD hình thoi, SA = lại a Tình thể tích hình chóp S.ABCD theo a X x^o 26 < X < ayỈ3^ tất cạnh Tim SA để thể tích lớn L i s ià i: Gọi o tâm hình thoi ABCD Ta có BD AC Tam giác SÍỈD cân s nên s o BD Từ suy BD_L(SAC) mặt khác B D c ;(A B C D ) suy (SAC) _L (A B C D ) Nên kẻ SH _L A C ,(H e AC) ta có S H ± (A B C D ) Ạp Hai tam giác: SBD = CBD(c.c.c) =>OC = SO = - nên tam giác SAC vuông s AC = ylSA-+SƠ = yla^ + xTheo định lý pitago ta có _ \Ỉ3a^ -X " ■ OB = V a B- - O A - Suy S^B^O = ^A C B D = ^ ự(a'+ x')(3a'- x') -r1am „ giác :■ vuông CA/' C TI_S'^-SC_ SAC có: SH = - = , AC v a ' + x" a; _ ' ci c _ a x V a "-x - a ự x ‘ ( a - - x “) Vậy Vj =-S H S „„., = = — 'S A B C D ^ ^ -^ A B C D 3 , , Theo bất đẳng thức Cơ si ta có Vj a (x ‘ + 3a‘ - x ‘ ) < - = — Vậy thể tích khối chóp S.ABCD lớn — X = Bài 21 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, A B - ã y / ĩ Gọi I trung điểm cạnh BC Hình chiếu vng góc H s mặt phẳng (ABC)thoả mãn IA = -2 IH Góc sc mặt đáy (A B C ) 60° Tính thể tích hình chóp S.ABC thể tích từ trung điểm K SB đến mặt phang (S A H ) L i siải: Do lA = -2 IH nên H nằm tia AI BC Ta có : BC = 2a, AI = — = a IH = —;AH AH =■ =— 2 Trong tam giác vng IHC có CH = VlH^ + IC^ = 593 Góc SCH = 60“ góc s c mặt đáy (A B C ) Suy SH = HC.tan 60° = Vì ^ -^ (đ v tt) R I1 S H = > B 1 (S A H ) Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KJ / /BI, J e SI => KJ l ( S A H ) Do K trung điểm SB nên KJ = _m _ a ~2 Vậy d (K ;(S A H )) = - Bài 22 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = a, BC = 2a, ACB = 120° Đường thẳng A 'C tạo với mặt phẳng (A B B 'A ') góc 30° Tính thể tích lăng trụ ABC A 'B'C' khoảng cách hai đường thẳng A 'B CC' theo a L i sìải: Gọi H hình chiếu c cạnh AB [ C H IA B , K hiđój =>CH ( A B B 'A ') ^ HA'C = 30°là góc Ịc H T AA A'C mặt phẳng (A B B 'A ') Xét tam giác ABC có s^g^ = —CA.CBsin ACB = -^ AB = V a C- + BC“ - 2AC.BCcosẤCB = a^í^ cSuy CH /-U = _— 2^ abc = _ Do A'C = , AB CH _ la y íĩĩ sin 30° AA' = W c - - A Ơ - = ^ theo pitago ta có Vì v , 3, ,,,,,, = A A ',s , , = Khoảng cách; Do C C V /A A ’ nên d (A 'B ;C C ) = d (C ;(A B A ')) = CH = (đvtt) /tĨ Bài 23 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A, BC = 2a Góc giũa mặt phẳng (A B 'C )và (B B 'C ) 60° Tính thể tích lăng trụ A B C A 'B 'C ' theo a L i siải: Gọi M trung điểm cạnh BC Do tam giác ABC vuông cân A nên AM BC , lại có A M B B '= > AM (B C C 'B ') 594 B 'C A M , Kẻ M H l B 'C , H e B 'C =í> (A M H )1 B 'C Ị B 'C M H ^ ’ Vậy góc A H M = ‘’ góc (A B 'C ),(B C C 'B ') , BC AM Tacó: A M = ^ — = a;M H = -— tan 60“ a^/3 — Tam giác AMHC ^ AB'BC => BB' B'C = —; = = = = zi BB' = aV2 V b B'=+BC^ Vì V^bca b c' = BB'.S^g( = a ’ V (đvtt) Bài 24 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, A A ' = a\Ỉ2 Các mặt phẳng (A 'B C ),(A B 'C ),(A B C ) cắt o Tính thể tích tứ diện O.ABC tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (O BC) theo a L i siải: Gọi I J lần lưọt tâm mặt bên A C C 'A ',A B B 'A ' Trong mặt phẳng (A 'B C ) gọi o giao điểm cùa C1 CJ o giao điểm ba mặt phẳng (A 'B C ),(A B 'C ),(A B C ) Và o trọng tâm tam giác A 'B C , gọi M trung điểm cạnh BC H hình chiếu o mặt phang (A B C ) Ta có H trọng tâm tam giác ABC, suy AA' A A' AM Vì V q ^bc = aV3 ~ ĩ~ - "Y ~ ; j ^ _ a -y j3 ABC - OH,S^bc =-^( Vấn đề Xác định khoảng cách NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Mấu chốt tính khoảng cách từ chân đường cao khối chóp đến mặt bên đối diện vói Khi khoảng cách từ điểm đến mặt phang ta quy khoảng cách từ chân đưỊTig vng góc tới mặt phẳng đó; khoảng cách hai đường thẳng chéo quy khoảng cách từ điểm đến mặt phang khoảng cách từ chân đưịng cao khối chóp đến mặt bên đối diện với Ta xét tốn sau; Bài tốn Cho hình chóp S.ABC có hình chiêu vng góc cùa s lên mặt đáy (ABC) H Tính khoảng cách từ H đến mặt bên (SBC) Kẻ HI vuông góc với BC I Kẻ SK vng góc với SI K Ta có; B C IS H = Ì> B C ± ( S H I) ^ B C H K ^ ^ 595 HK I S I H K IB C HK l( S B C ) Tam giác vng SHl ta có: HK‘ SH- ^ HI- HI có nhiều cách tính khác phụ thuộc vào vị trí H nhiên tổng quát tính theo diện tích HI 2S HBC BC Ngồi Tính khoảng cách theo thể tích sau: d(H ;(SBC)) = ^ ^ ^ ^ ^SBC Nhưng áp dụng thục cách tính quy chân đường vng góc H em khơng cần phải sử dụng cơng thức khoảng cách theo thể tích Bài tốn Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Bài tốn tơi đề cập đến ứng dụng thực tế tức (P) mặt bên khối chóp gọi (Ọ) mặt đáy khối chóp Xác định chân đường cao H hạ từ đỉnh s khối chóp xuống mặt đáy (Q) , d (M ;(P )) ma Kéo dài MH cắt (P) tai A Khi ta có: = —— d (H ;(P )) HA Bài tốn quy tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) tốn trình bày ỏ' Ta tạm gọi phương pháp đổi điểm (đổi điểm cần tính chân đường vng góc) V í dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, AB = AC = 2a, BAC = 120° Hình chiếu vng góc s lên mặt đáy (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Biết góc mặt bên (SBC) mặt đáy 60® a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phang (SBC) Lời siải: a) Gọi M trung điểm cùa BC ta có AM BC Kẻ HI song song với A M cắt BC I í B C HI , , ^ Tacó BC _L(SHI) nên góc SIH = 60®chính góc [ BC T SH giũa hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Ta có: AM = AC.cosMAC = 2a.—= a TI, Ilý' TTalets I ta có; ' — HI _ a Theo đ nh = B H _=1-zi5> HI = — AM BA 3 596 Tam giác vuông s m có: SH = H I.tan 60° = - ^ V3 Kẻ HK vng góc vói SI K ta có HK I.(S B C ) Tam giác vng SHI có: - - —:r + — ^ ® HKSH= = ^ + / H I' ( a \2 , Vậy d(H ;(S B C )) = HK = ■= l ị = H K V3 V ín/3 b) Ta có: d(A ;(S B C )) = — -d(H;(SBC)) = 3d(H;(SBC)) = ^ = — Bài tốn Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Tôi trinh bày cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách quy khoảng cách từ điểm đến mặt phang Bưó'c Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b cắt đường thẳng a A Bước Từ A kẻ đường thẳng bV / b , gọi (Ọ) mặt phẳng chứa a b’ Bước Khi d(b;a) = d (b ;(ọ )) = d (M ;(Q )),V M e b Như tốn quy tính khoảng cách từ điểm từ điểm M b đến mặt phẳng (Q) Đây tốn trình bày C hú ý Trong đề thi đại học thông thường u cầu tính khoảng cách hai đưịng thẳng chéo có đường thẳng nằm mặt đáy đưòng thẳng khác chống lên(thường cạnh bên) Khi (P) mặt đáy đáy Mục đích dựng mặt phẳng (Ọ) lấy chân đường vng góc hạ từ đỉnh xuống mặt đáy để thuận tiện cho bước tính khoảng cách từ điếm đến mặt phẳng (Q) Để thuận tiện ta dựng hình binh hành(không phải đường thẳng b’ song song với b) Nếu khơng có đường thẳng nằm mặt đáy lúc ta chọn mặt phang chứa hai đường thẳng mặt đáy tlụrc tương tự cách V í dụ (A,A1/2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc cùa s lên mặt đáy (ABC) điểm H thuộc đoạn AB cho HA = 2HB Góc s c mặt phẳng (ABC) 60° Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC Lờ i siảì: Trong mặt phẳng (ABC) dựng hình binh hành ACBD Ta có: B C //A D = > B C //(S A D ) ^ d(BC;SA) = d(B C ;(S A D )) = D (B ;(S A D )) = — ,d(H ;(SA D )) = -d (H ;(S A D )) HA Muốn tính khống cách từ H (chân đường cao) đến mặt đối diện ta cần kẻ đư('mg thẳng vng góc với AD tính độ dài đoạn thủng SH 597 Kẻ HF AD F, kẻ HK SF K ta có HK (SAD) Gọi M trung điểm AB ta có CM AB /ĩ = > C M -A B s in ° = ^ Tam giác vng CMH có: ^a CH = VCM= + M H ' = a''" Ta có: SH (ABC) => SCH = 60“ góc sc mặt đáy (ABC) aV^ Suy ra: SH = CH.tan 60“ = • Đe ý HF đường cao tam giác HAD có: 2S AD HA.ADsinóO" • ^rvo 2a yỈ3 - = HA.sin 60 = — AD -r „ giác , A I có: X — '—r- = —>V + —-T > Tam vuông C SHF HKSHHF- Suy d( B C ; S A —HK ^ ^ 2 12 a^/3 1 24 'a V ^ Y Ía ^ ' 7a' HK = 12 Nhận xét Rõ ràng việc dựng hình binh hành ACBD cho phép ta tính độ dài HF theo cơng thức diện tích đơn giản Đây thuận lợi phép dựng Ngoài ta tính CH HF theo cách khác sau đây: Định lý hàm số côsin cho tam giác CHB có: CH = V h B' + BC- - 2HB.BCcos60“ = ^ ^ SH = CH.tan 60“ = Gọi N trung điểm BC ta có AN J- BC, BC / /A D => AN J_ AD Kéo dài HF cắt BC E ta có HF / /A N HE _ HE _ BH _ Theo talets ta có: — = — = 2111 = A => HF = 2HE = - AN = - — EF ^ Ă N ” B Ã ~ 3' - A CÁC DẠNG TO Á N Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a,AC = 2a Gọi I,H,J trung điểm BC,A1,SC Tam giác SAI cân s nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABC) Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABC) 60“ Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ABJ) L i eiảỉ: Gọi M trung điểm AB ta có M H đường trung bình tam giác ABI nên: MH / /BC =í> MH AB => AB (SHM) 598 Do góc SMH = 60“ góc mặt phẳng (SAB) (ABC) Theo pitago ta có: BC = V a C^ - AB“ = a^/3 X ' N4U _ a^/3 Tacó: MH = — = -= —— 4 Tam giác vng SHM có: SH = HM tan 60“ Vì ÍỂ S = - ịs H S „ =-.SH A B.BC = ị — ,a,aN/3 ^ Tính d (H ;(A B J)): Nhận xét Xét khối chóp J.ABC lúc H chân đường cao khối chóp Ta tìm cách quy chân đưịng vng góc khối chóp J.ABC Vậy trước tiên phải tìm chân đường vng góc hạ từ đinh J xuống mặt đáy (ABC) Kẻ JK song song với SH cắt CH K ta có JK (ABC) K trung điểm cùa CH Kéo dài CH cắt AB D Ta có d (H ;(A B J)) = -^ ^ d (K ;(A B J )) K.D Theo talets ta có: DC = i l M = :3> — = - ^ d(H ;(A B J)) = -d (K ;(A B J )) , BC KD ^ ^ ^ ^ Kẻ KE / / BC cắt AB E ta có KE ± AB Kẻ KF vng góc với JE ta có KF _L(ABJ) TI 1* ' heo talets ta có: BC DK 5 5aA/3 , , ^ = => KE = —BC = ——-— Tam giác SHC có: JK = —SH =: — DC 8 8 Tam giác vng JKE ta có: 1 “ J Ĩ? ^ kF 1 KF = ^ " 3_a Ỵ ^ r aV V ^ 225aV V y d (H ;(A B J )) = Ỉ K F = í l ^ ^ ” 5 112 _ 1792 1 / =l ^ , 56 Dạng Khoảng cách hai đường thẳng cho *Tính khoảng cách eiữa hai đường thẳng có mơt đưịng thẳng nằm măt đáy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều, AB = BC = CD = a,SA =a\/3 vng góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M,l lần lưọt điểm thuộc đoạn SB SD cho SM = 3MB,3ID = 41S Chứng minh SD vng góc với mặt phẳng (A M l) tính khoảng cách hai đường thẳng AD sc L i 2Ìải: „ „ „ Ta có: Sl.SD = —SD“ = 3a" = SA' => 1trùng với chân đường cao hạ từ A lên SD Do SD ± A I Tương tự: SM.SB = —SB' = a ' = SA' nên M trùng với chân đường cao hạ từ A lên SB ÍB D T A B _ , Ta có: ( _ =i> BD (SAB) ^ BD AM Ịbdtsa ^ ’ 599 ... X + V3 cosx 3j ^ vấn đề SỪ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC Khi toán xuất đại lượng sin x,cos’ x,sin’ x,cos’ x sin‘'' x.cos^^x.sin''’ x,cos''’x, ,sin’ ''’ x.cos’ "x ta dùng ý đến công thức hạ bậc sau: l-c o... sin''2x + cos''*2x 4^ Bài Giai phương trinh: -ỵ - r - y r = cos 4x taní - - X ìc o tí - + x „ „ , 3(cos2x + cot2x) Bài Giải phương trinh: — 2sin 2x = cot2x-cos2x sin"* X + cos^x... Ta có f ( t ) đổi dấu từ dương sang âm qua t = — nên f(t) đạt cực đại t = — hay = P