Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t1

ĐẶNG THÀNH NAM TÀI LIỆUÔNTHỈTHPTQutfc filA t t THẦY ĐẶNG THÀNH NAM - Á khoa Đọi học Kinh Tế Quốc Dân nõm 2009 môn - Thủ khoa Toán sinh viên Toàn quốc nõm 2012 I (ÁP DỤNG Tữ NĂM 2015) o m H> Mdl NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI - Huy chương vàng Toán sinh viên toàn quoc năm 2012 va năm 2013 - Tác giả nhiều sách luyện đại học chuyên khảo dành bồi dưỡng học sinh giỏi Đ ẶNG TH ÀN H NAM T À I T I Ệ U Ô»T T l l l THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TỪ NĂM 2015 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Bản quyền thuộc Công ty TNHH Sách Sư Phạm M ã S Ố L -1 Đ H LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh thân m êhỉ Để giúp om học sinh quý thầy cô giáo có lài liệu hộ thôhg đẩy đú kiêh thức cần nắm vững kèm đề thi mẫu để rèn luyện nâng cao kỹ làm phản xạ yới câu hỏi khó chuẩn bị tốt nhâì cho kỳ thi l ’H P 'r Quốc Gia tác giả viê't "Tài liệu ôn thi TH PT Quô'c G ia m ôn T oán từ năm 2015" Nội dung sách gồm nội dung chính: N ội dung thứ nhâ't để cập đến 12 chuyên dê' kiến thức kèm phương pháp giải với đầy đủ ví dụ phương pháp giái nhanh, hiệu quà song song hệ thống tập ròn luyện có đáp số để học sinh tiện đối chiếu kê't Nội dung thứ gồm 38 đề thi thử để học sinh rèn luyện kèm đáp án chi tiết Cụ sách chia làm bốn chương C H Ư Ơ N G Đ Ạ I SỐ V Ả Ĩ.Ư Ợ NG G IẤ C C H Ư Ơ N G G IẢ I T ÍC H C H Ư Ơ N G H ÌN H H Ọ C C H Ư Ơ N G ĐỂ T H I T H Ử QUỐC G IA V À DẤP ÁN Mặc dù râ't cố gắng chắn sách khó tránh khói thicli sót Vì rât mong nhận ý kiến phán hổi đóng góp dô sách hoàn thiện M ọi góp ý xin gửi theo hòm thư điện tử: dangnamneu@gmail.com Hà Nội, n^àỵ 15 thán • í -x' +-3x- !> < >ị Ịx ' 6x' t l l x ’ >x l = ( x ' t 3x X ' 3x l.>0 < :> Ị X - n/2 l) { x ' - x + ) - < >< x i :0 (x Vậy phưong trình có hai nghiệm X = l;x = - \/2 Cách 2: Phương trình tương đương với: ị^síỸK - I - I j + X'’ - 3x + = 2(x-l) n/2 x ^ + ( x - l ) ( x - ) = 0c:>(x-|) -+ X ^ \- I + - I f I X- < > (x l) (x - 2)\Ỉ 2\ I 4- X -0 (x x -l [x(x 2) (x-2 )(x' f 2x‘* - x ' - I x ' - x - l ) = l'a thực sau: x ’ - x + ịy f ỉí - 1-1 j = x(x 2)(x 2) t x -2 Ví dụ Giài phương trinh (x X :( x 2) - = o (x - 2) v x - ■1 n/ x" 1i 1)“ 2yjĩ - 2\[5 - 2x = Đáp số: Ví dụ Giải phương trình \/x -1 - ( x - Ví dụ Giái phưong trình \ \ [ \ " 4 = 1- X !)■ = - x \ Đáp số: X X X - =2 X" Lời íỉicii: Bình phương vế phưong trình ta được: X ' ( x ’ X l) - (l - X - X “ ) o x ’ - x ' - 2x I = x '’ (x - +6x + l)=:0c:> x = -3 -2 x /2 X = -3 +■2 V Thứ lại chí nhận hai nghiệm X -3 - 2s/2\ \ = -3 + 2^/2 Bài tảo tương tư Giai phương trình 1) \/x ■+ 2x - “ 4x ’ x ' • 2x" Đáp số: X - 1;X =: 1i \/3 2) \ Ị \ + - Vx I Dáp số: X - Ví dụ Giải phưong trinh \ f \ f l - \ - \ [ \ - \fx + ^ Lời eidi: íx > - Diều kiện: [ x - n/ x + > Phương trinh tương đương với: Vx + I = I ( ' Ị x - Vx + X +1 = 1+ X Vx + + 2\Ịx - \ ị \ + s \/x + : ■2 ^ j \ - \fx~+ o X + - 4^x - Vx + sỊ o 4\/x + = 3x - 8 [3x-8>0 X> i , 16(x + ) - ( x - ) 9x ’ - X - - X= Vậy phương trình có nghiệm dưy X - Bài tâo tương tư Giài phương trinh \/2x + I I : v^x - \/lOx + 24 Đáp sổ; x = Ví dụ Giải phương trinh 2x - I- 3x-l =0 S - 2x- + - X L(yị íiiái: Điêu kiện X< [J ( x - l ) í x / - x - - + xỊ Phương trình đirơc viết lai dang 2x - -t ^ ;— — -= -3 x + 4x -1 2x - ^ I X /3 - 2x- 2x'’ ( 6x 5- /3 '2 x ^ 2x’ - 6x t Nhẩm nghiệm x,| - nên ta binh phương phương trình cách bình thường Í2x 6x + 5>0 Í x - - x + 5>0 / , ,x-l [ 4x' - 24x' + 58x- - 60x + 22 - [(x - 1) (4x“ - 16x + 22 ) - Dối chiếu thấy nghiệm thoả mãn Vậy phưong trinh có nghiệm X = I c/íú ự Ta quy đồng rút gọn đưa phương trình: (2x - )xÍ3 - 2x' = 2x" - lOx r Thực binh phương hai vế ta có kết tương tự Ví du Giải phương irinh -= 2x x /3 -2 x- + - X Lời íiỉdi: Điều kiện - y — < X < Phương trình cho tương đương vói; x - - ( x - ) V - x ' +(2x (2x 3)(2x’ (2x 3)’ (3 ) ( - x ) o ( x - ) V ' 2x^ : 2x- 4x 4x + l ) > í ( x - ) ( x ' - x t - ] ) >0 X 2x’ ) - : (2x' [2(x - l) ( x '' - 14x’ - X + 13) 4x t l) I Vậy phương trinh có nghiệm X - Ví du Giải phươnu trinh \ + + 12 - /x I IIgx -ix Lừ/ ỉỉidi: Plurơng trinh cho tirơng đirong vói: J5x + 2x •+ 12-1 I |x — f V 2x 2x + - > o 5x + ■- + 12 = 12 + J x - - - - + I + X — *- o 2x 2x + — = J x — ^ -I-1 I ■ X 2x X 2x ị V C:> i 2x + X >0 8x^ - 2x' 14x’ + x + = X= 2x + - > X X \ ( /3 o X I n/4 I (2x' - x - l )(4x' -I x - ) = i Vậy phương trình có hai nghiệm X = \ Chi/ ý Đc giải phưong trinh đa thức ý làm nhanh sau: í o2x .f -J- ì l 2x xy + = -Ì |Í x Ì- l + l I c > | ^ x - I X ^ í 'x 2x - - I - = C-> X Bài tâp tương tư Gicái phưong trình sau 1) \/4x + 15 l 2\ 2) J \ - - + - = - il4.Dápsố:> - l i^ v r í + J l6 f 27ĩ3 —+ Dáp số: X = 1+ n/2Ị_± x/30 ■+■2721 t I1 X - Xj 2x - - = X 2x 2 2x I Ví dụ Giải phưoim trinh X J \ ■=]- ^ ( x ’ -■ X t l) Lời íỉiải: Điều kiện: j 1- X > Phương trinh tương đương với: ^ X ( \/x > Ị 2( x' x -tl): (x- 1)" -2(x -l ) \ / x + x - 1f ( \A x I- X t V X > 1)" t 2(x l)\/x I X /5 + c > x = —— t VX = Vậy phương trinh có nghiệm nhât Ví dụ Giải phương trình L hơặc x < X Ị(x Ị 1- X t s í\ > < Vx I = [ X - I •- X + l ) ^ x ’ j 1- - X 'f x / x > , ỊX 2 \Í5 X - - — - - - X + ■yílx" (- 4x = X - Phương trình đă cho tương đương vói: ^ \ ' - X + - (x - 2) + \/2x + 4x )' - 2(x • 2)\/2x" + 4x Binh phương vế ta được: (x X ^2 c> Ị>^^2 • 2n/2 x ' i' x o x = | ( x - ) ' -4 (2 x -' + 4x) Vậy phương trình có ngliiệm X = Ví dụ 10 Giải phương trình sVsx" - 3x - - 2\/3x -t I = X Lời siải: ■+• n/29 3x Điẽu kiện: < [3x + l> l> X > 10 - V 29 < x < -3 Nhận thấy X - 10 không ihoả mãn phương trinh Phương trình tương đương vói: \ ls \ ' - 3x - - X + \l3 \ + >25(5x' - 3x - l ) - x - ( 4(3x I I) t x73 x71 cg> 124x' - 87x - x x 7 I24x' -29(3x + I ) - 4x77x4 I = 124 _ _ x _ _ J_ o _ 29 7 7 "' 62 29(/22945 - 8?) 7688 X V 73 x +1; X = I /3 x T ~2 X ^ -4 - ^ ^ ^ 73 X + I 29 = Đối chiếu điều kiện hai nghiệm thoả mãn 29(^/229'15 - ) Vậy phirong trinh có hai nghiệm X = l;x = ■ 7688 Ví dụ 11 Giải phương trình \Í2\' I 16x + 18 %/x" - = 2(x f 2) Lời iiiái: Điều kiện: ' X" -f 8x -( > [x-^-l>0 Chuyển vế binh phương ta được: >/2x' + 16x + - 2(x + ) - v / x * - - í >2x' t 16x t 18 - 2(x ị ĩ) - \[\~ - I 2x’ I 16x 4T[x -t 2)" t 18 4(x + 2)v/x" 14 x ’ - 4(x 4- 2)v/x" - I - x " - C:ì> \/x ‘ - 4(x )-3 v /x ‘ - = x = ±l =0 o X =±1 í X > -2 4(x 2) = 3>/x" - o 3n/ - I6( x 4-2)- r.9(x- -1 ) Dối chiếu cá ba mỉhiệm thoả mãn phương trinh Vậy phương trình có ba nghiệm X- l;x-h x- ì S i -2 Ví dụ 12 Giải phương trình X v/x ■- - yỊlx' - v/2x’ Lời íỉiâì: Điều kiện: Phương trình tương đương với: \ - \ f l \ ' - - \ l l \ ' - - \ f x ' - Binh phương hai vế phương trình ta được: x ' - 2xa/2 x ' - 2x' - - 2x- - - l Ặ l x - - 4) ( x' - 3] X" - , « I - íx > -4 )(x -' - ) « - ) ( x ^ - 3) o X = (thoả Vậy phương trinlt cho có nghiệm X = Ví dụ 13 Giải phương trình Ậ x ~\)[2x ị 7) ị yj3[x Lời íỉiái: (x Điều kiện: I )(2 x ) > (x - l ) ( x - ) > (x I)(7x4l)>0 X > o X= X< - Nhận thấy X = I nghiệm phương trinh 10 ])[x - 6) = Ậ x l)(7x 1) mãn) Ta có f| - | = f ( l) = ,f ^3 + ' V ” Do —— < p < — Tại a 18 18 p=- —^ Suy < f(t) 108 y - hay P" < — 108 108 — ,b = 0,c = — thi p = - ^ , a = 6 18 ,b -— ,c = thi 18 Vậy giá trị nhó p 108 đạt a = - — — ,b = - — ,c = giá tri lớn p 6 - + n/3 _ 3-/Ì b ă n g đ t a = — - b = 0,c = 18 6 Nhận xét Xuất phát từ đẳng thức + y^ + z' -3 xyz = (x + y + z )(x" + y" + Z' - xy - yz - z x ) Ta thay X = a - b,y = b - c.z = c - a ta có x’ + y ’ + z’ = 3xyz Thay yêu cầu tim giá trị lón nhất, nhỏ cũa p yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cùa biểu thức p = (a - b)' + (b - c ) + (c - a ) Ví dụ Cho a, b, c số thực không âm đôi phân biệt thoả mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ cùa biểu thức p = -— ^ (a -b )" ^ (b -c )“ ^ ( c -a ) " Lời QÌải: Cách I : Không tính tổng quát giả sử a > b > c > Khi p > !— + — + —(a-b) a- b' T oV\ i-I bc +I /> r» > ab V.ab o ^< A Tar% có: A4 — = ab ca r \ I I Khi 4P > p.ab = ab + , —V ( a - b ) ' a- b"J I a b •f —+ — b a b a a b Đặt t = + —, ( t > ) k h i đ ó p > f ( t ) = — t + b a ^ ’ t-2 Xét hàm sổ f(t) = — t + ■ t-2 với t > ta có f ’(t) = — T ; f '( = ^ - ! i^ > l= Ta có F(t) đổi dầu từ âm sang dưong qua nên t = f(t) đạt cực tiểu hay f( t) > f(3) = Vây giá tri nhở p đat tai c = 0,ab = 4,—+ —= o a = V - l, b = V5 + l,c = b a hoán vị Cách 2: Không tính tổng quát giả sìr a > b > c > Khi viết lại vế trái bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: p- I I -b -c c -a a -b 1 + + ■ a -b b -c c -a 286 I a -b b -c í b -c c -a c -a a -b I a-b lb -c c-a (b - c )( a - c ) >A> ab Nhận xét Chú ý đẳng thức quen thuộc I a b b - c J ' b-c c-a _ c- a+ a- b+ b- c _ Q c-a a-b ( a - b ) ( b ” c)(c-a) Với giả thiết a.b.c để biểu thức sau có nghĩa cách chứng minh tương tự ta có bất thức tương lự dạng sau / - - J _ 1) Với a,b.c >0 ta có (a" + b' + c ') (a -b )" ^ - I I (b -c )‘ (c -a )’ 2) Với a.b.c > Ota có Ị(a + b)“ + (b + c)" + (c + a ) 'j I - — (a -b ) 11+ 5n/5 I I (b -c )‘ (c -a )‘ 1 3) Vói a / b 7" c ta có (a ’ -f b" + c" -a b - bc -c a ) -H 7- H Y (a -b )“ (b-c)' (c-a) 4) 59 + 1i^/Ĩ3’ _ ) -I - 27 Với a + b TÍ c ta có f a” + b‘ + c " ) !— r + ^— ;- + —7 l(a -b ) (b-c) (c-a) Sau ta xét số toán dạng Ví dụ Cho a, b, c số thục không âm đôi phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức I I I t ^ t -(a-b)' (b-c)" (c -a )' p = ( a “ + b’ + C‘" ) Lời íiiải: Không tính tổng quát giả sử c = m in {a ,b ,c Ị Khi (a - c ) ‘ < a%(b - c ) " < b%a“ + b" +c" > a' + b’ I I Do P>Ị a" + b ) - -f —- + (a - b) a I a' + b' b" (a-b)- Khi p > f ( t ) = —^— + t ‘ Tacó: t-2 Dựa vào bảng biến thiên suy f(t)>f ^ + / ^ _ 11 + n/5 V , Dấu xảy chi' b‘ a' a b h^ a a 2^ b b a Báng biến thiên: Đăt t = —+ - , ( t > 2) a + b b a ^ ’ ^ - + t;f'( t) = (t-2)- a' b t= ^a b —+ — b a ^_3f N/ 5_a t = — — b _ +ự _ — < z> r + _ b c>a = = — a + ^/ 5±^ /^- — — í — Vậy giá trị nhỏ p - ^ ^ - đat tai c = 0,a = Ví dụ Cho a, b, c sô thục phân biệt thoả b + sÍ5± -b hoán vị mãn a +b + c = 1và ab + bc + ca > Tìm giá trị nhỏ 2 nhât biêu thức p = — + - — — + — — + — " - a-b| |b-c |c -a | Vab + bc + ca Lời síải: Cách 1: Không tính tổng quát giả sử a > b > c đó: o_ a —b 2 ^ b —c a —c vab + bc + ca a —b + b - c 10 a —c vab+bc + ca a —c vab + bc + ca _ r ^ Ị I Đặt t = ^/ab + bc + ca < t < ab + bc + ca < —(a + b + c)“ = - V v3 y 3 Tacó: ( a - b ) ' + ( b - c ) " > —[ ( a - b ) + ( b - c ) ] ’ (a-c)^ Suy ra: - ( a - c ) ' P > f(t) Ậ £ = + Vl-3t’ t ■^■^/3 5^/3~ Xét hàm số f(t) = + - VÓ'Ì t G ; ^ I ta có: ^/3 Ĩ ^ x- ' t \sS ỉ = l-3r) - - ; f ( t ) - < = > V t '- ^ - t ') ' Ta có f (t) đổi dấu từ âm sang dương qua t = —ị= nên f(t) đat cưc tiểu tai t = -7=V6 V6 Do p > f( t) > f ^ ^ V n/6 ; = lOVó Đẳng thức xảy tai a = - + —|=-,b = - , c = Vó 3 Vó Vây giá tri nhỏ p loVó đat tai a = - + -Ị=r, b = - , c = hoác hoán vi 3 Cách 2: Đánh giá thông qua bất đẳng thức AM -G M Vó ị Không mât tính tông quát ta giả sử a > b > c ta có: p = — Vó 2 f - - — ( — ị a - b b - c a - c Vab+ bc r ca I X y X+ y Sử dụng bât đăng thức: — + —> — ^— , v.\,y > ta đưọc: p>2 +— - +^ = ỵ a - b + b - c a - c Vab + bc + ca 5.2V2 a - c ) ” (ab + bc + ca) 288 í/ - =5 — + y a - c Vab + bc + ca 20 _ - c)‘ (4ab + 4bc + 4ca) 20 _ _ IQ ịÌ í^a - c)" + 4ab + 4bc + 4ca V + c)" f 4b(a + c) 20V _ ^(a + c)(a + c + 4b) 20n/2 _ ^ ( l - b ) ( l + 3b) 20 n/6 40>/6 l oy^ ự (3 -3 b )( l+ b ) “ -3 b + l+ b a- b= b - c Ị Đăng thức xảy chi a- c Vab + bc + ca - b - l + 3b + Vó a=b= -V ó Vậy giá trị nhỏ p 1oVb đạt a = - + -!= , b = - , c = -í - Ị= hoán vị V6 3 v6 Ví dụ Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn điều kiện 2(a' + b’ + C” ) = (ab + bc + ca-t l)(ab + bc + ca) Tìm giá trị lớn biểu thức p = 2Vã^'+'b^”Vc^ - |a - b| - |b - c| - |c - a | Lời siải: Không tính tổng quát giả sử a > b > c =:> p = 2yja' + b’ + c" - 2(a - c) Đặt t = ab + bc + ca,(t > 0) theo giả thiêt ta có: a + b + c = Nếu t = 0a = b = c = 0=->p = Xét t > sử dụng bất đẳng thức ta có; , , t( ) a t b V c > ab + bc +- ca — - > I o t > Tacó (a - b ) ' + ( b - c ) ' + ( c - a ) ’ = ( " f b’ -f c ') - ( a b t bc+ ca) = t ( l f l ) - t = t( t - 1) ( a - c ) “ = [ ( a - b ) + ( b - c ) ] ' = (a - b)“ + ( b - c ) " + 2(a - b ) ( b - c ) >(a - b)" + ( b - c ) " Suy 2(a - c ) “ > (a - b)‘ f (b - c)" + (c - a)' = t( t - 1) a- c> ~ Do p < f(t) = ự Ĩ [ t T ì j - / t ( t - l ) = Xét hàm số f(t) = ^ t ( t + 1) - ^ t ( t - 1) vói t > 1ta có: f '( t ) = ,^ ^ ^ ~ '- - ; f ( t ) - < ^ ( t + i ) t ( t - i ) = ( t - i ) ự ỉ ( r r i ) ^ ít> l C2> s t + 1) V2t ( t - 1) , (vô nghiệm) Vậy f ( t ) không đổi dấu ( l; “tco) ta có f'(2 )< nên f'(t) < 0, Vt > 289 Vậy f(t) hàm nghịch biến [l;+oo) Suy p < f( t) < f( l) = Đẳng thức xảy chi a = b = c : SÍ3' Vậy giá trị lớn cùa p đạt a = b = c = I Ví dụ Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiện a‘ + b" + c ‘ = Tim giá trị lón nhỏ biểu thức p - (a - b)(b - c)(c -a )(a b + bc + ca ) Lời siải: Ta có: P' =(a - b)' (b - c ) " (c - a ) " (ab + bc + ca)“ Đe tim giá trị lớn nhỏ cùa p ta tìm giá trị lớn P’ Khi ta có thc giả sử a > b > c sử dụng bất đẳng thức AM -GM ta có: (a -b )-(b -c )- = [( a - b ) (b - c ) ]' < (a - b) + (b - c ) 16 Suy P‘ ^ [( a - b) + (b - c) J = l ( a - c ) ' Suy ra: — (a (a - c ) " -c ) < 20- t (a - b) +- (b >p< — 16 -c ) + (c - a ) - tV = 2(a’ + b’ f c' ab - bc - ca) = 10 - 2t , = t=0 20 Xét hàm số f(t) = — t ' (5 - 1)’ với t < a có; f'(t) = - — t( t - ) ( t - ) " ; f ’(t) = o t =2 t =5 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy P' < f ( l ) < f(2) = 16 => -4 < p < Tại a = 2,b = l,c = thi p = - ; a -2 b = - l, c = p = Vậy giá trị nhỏ cùa p - ; g.á trị lớn p Nhận xét Phép toán binh phương đưa đa thức đối xứng với ba biến a,b,c giúp ta giả sử a > b >c Đây cách hay đu'Tc áp dụng giá trị lớn nhỏ toán có giá trị đối 290 B i tâp tư n g tư Vói a, b, c tìm số thực M nhỏ thoả mãn bất thức |ab(a' - b") + bc(b' - c " ) + ca(c' - a‘ )| < IVlỊa' + b* + C ")" Ví dụ Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiệna" + b’ + c" Tim giá trị lỏn nhất, giá trị nhỏ biểu thức p = (a - b ) ( b - c ) ( c -a )( a + b + c ) L i s i â i : Chuyến p dcạng đối xứng p = (a - b)" (b - c ) ' (c - a ) ‘ (a + b + c)“ - ( a - b)’ (b - c ) ' (c - a ) " (l + 2(ab + bc + ca)) K.hông tính tồng quát già sử a > b > c đặt Ta có: (a - b)(b - c ) < ^ a -b + b -c ^ = / a- c l 2 X = ab + bc + ca, X e -T ' (a -b )(b -c )(a -c )< ^ (a -c ) J V Mặt khác a N b' + C" - ab - bc - ca = —(a - b)" + —(b - c)'% —(a - c)" > —(a - c)' + (a - b + b - c)‘ Suy I - X > - ( a - c ) ‘ => a - c < p' < (l + 2x) y C -x ) ~ x ) ; - —< X < = A ( x + 1) ( - x )" Xét hàm số f(x ) = — (2x + l ) ( l - x ) ta có đoạn f'(x ) = - — ( x - l ) '( x + l) ; f'( x ) = 0c:> X = — / 1\ Từđódễcó m a x f(x ) = f 81 81 n: - i p - < - — - V oy Vậy giá trị nhỏ ciia p 512 • đat , o 512 ^ ^ „ < p < — 16^/2 n/3 + / ó tai a = — — IóV2 v p —,b óV2 -7= I6 n/2 , V ó -3 ^ = — J=x = - r=— 2V3 6V2 Ví dụ Cho a, b c số thực thoả điều kiện a' + b’ + C“ = Tim giá trị lớn nhất, nhỏ cùa biểu thức p = (a - b)^ + (b - c ) % (c L ì a )\ i ỉ ì ả i : Ta có: (a -b )^ + ( b - c ) ’ + ( c - a ) ' =5(a - b ) ( b - c ) ( c - a ) ( a ' f b" + C' - ab - bc - ca) = 5(a - b ) ( b - c ) ( c - a ) ( - a b - b c - c a ) Vậy để tim giá trị lớn nhỏ cua p ta tim giá trị lớn biểu thức 291 P‘ ={a - b)" (b - c ) ‘ (c - a)” ( - a b - bc - ca)' Khi ta giả sử a > b > c Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: (a -b )-(b -c )' = [( a - b ) (b - c ) J < (a - b ) + ( b - c ) 16 Suy P“ < — ( c - a ) ' (8 - a b - b c - c a ) ‘ Đặt t = ab + bc + ca,(t < 8) ab + bc + ca < a‘ + b’ + c' = Ta có: ( a - b ) '+ ( b - c ) - > - i [ ( a - b ) + ( b - c ) ] '= ^ ( a - c ) Suy ra: - ( a - c ) " < ( a - b ) ' + ( b - c ) " + ( c - a ) ' = 2(a' + b' + c' - a b - b c - c a ) , ^ (a -c ) -4 t _ - 2t f3 -4 tV „ v’ , 100,„ ,5 ( - t ) = f( t ) = ^ ( - t ) Mặt khác: (a + b -t c)' = a’ + b’ + C” + 2(ab + bc + ca) = + t> c :> t> -4 ::=> -4 < t < Xét hàm số f(t) = ^ ^ ( - t)%rên đoạn [-4;8]ta có: f'(t) = - - ^ ^ ( t - ) ' < f(t) hàm nghịch biến đoạn [ 4;8] => p < f( t) < f( - ) = 921600 =>-960 < p < 960 Với a = - ,b = o.c = => p = 960 Với a = - ,b = 2,c = thi p =: -960 Vậy giá trị lớn p 960 giá trị nhỏ p -960 Ví dụ Cho a,b.c số thực không âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = Tim giá trị nhỏ u:Ẵ thức p n = - , + I biêu + Ị .-— V a '+ b' v b '+ c “ yjc'+a~ L('ri iỉiảỉ: Cách 1: Không tính tổng quát giả sử c = m in|a;b;cỊ ta có: a" + b" < a + í c\ + b + - ;a "+ c ‘ < a+-^ ;b’ + c ‘ < b + — ;l =ab + bc f ca > a + b + — l 2) I 2) I ĨK 2) l 2] / c , c „ 1 I r xy Đăt x = a + —,y = b + — suy p > —p = = + — + — > — - + xy 2 + y^ y \ X- + y- Đặt t < t< -Ị= V2 x^y y X t '- t^ t^ Tacó f ' ( t ) = l - i = - — f I p > f( t) = t + f ( t ) > f vV2y ^2 Vậy giá trị nhỏ p + —ị= đạt a = b = l.c = hoán vi (xem thêm kỹ thuât sử \2 dỊing tính đẳng cấp) 292 Cách 2: Đặt X = a ^ y = b“ ,z = c" xy + yz + zx < Bài toán đưa tim giá trị nhỏ biểu thức p = + =J==^ + yỊx + y +^ '— , Bài toán trích riêng trình bày V z + X Ví dụ 10 Cho a,b,c số thực không âm thay đổi thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = Tìm giá trị _ J I nhỏ biểu thức p : Va + b Vb + C Vc +a Lời ỉỉiãi: Cách 1: Nhận xét Với điều kiện a,b,c không âm ab + bc + ca = I nghĩ đến p đạt giá trị nhỏ số hai số Vậy ta có ghép cặp hai lại với xem có đánh giá qua thức lại hay không Ta có: l _ _ Va + b Va + c J I a+ b a+ c Ậ a + b)(a + c) 2a + b + c 2a + b + c — — _ 1— + ab + bc + ca Va“ +ab + bc + ca a‘ + l Va‘ +1 Suy - ị= Va + b I |2a + b + c + V a ’ + + - 7= =\ — va + c V a~ + Không tính tổng quát giả sử a = max{a;b;c} đó: p = 12a+b+c+2V1 a” r+ã^ Vb + c Coi hàm sổ với biến a b,c số ta được: a' - aVa^ +f I bc - a’ r(a )^ f [ -b+c b+c Vb+c Mặt khác: f b+c = Vb + c + b+c Vb + c '(b + cV+1 t ■— = t + - + Đật t = Vb + c => p > t + - + t VVTĨ t ^ t' + I = t+ -+ t t" t+ I -2 Đặt u = t + - ( u > 2) p > g(u) = u + , [2;+ 00) ta có: t Vu" - > 1— ^ = ^ ^ ĩỉ^ > ,V u > g'(ii) = l i r - 2) Do g(u) hàm đồng biến [2;+ 00) nên p > g(u) > g(2) = + Vây giá trị nhỏ p + đạt a = b = l,c = hoán vị v2 293 Nhận xét Ta khảo sát trực tiếp hàm số g(t) = t + - + —pẲ — (0;+co) ta được: t t" + 1- —+ t t" + l / , + \ \\ t' + l -;g'(t) = o < - ^ ^ t Ta CÓ g'(t) đổi dấu từ âm sang dương qua t = nên g(t) đạt cục tiểu t = I khoảng (0;+oo) hay g(t) = g(l) = + '=('>■+') V2 Vậy giá trị nhỏ p bàng + —ị= đạt lại a = b = l,c = hoán vị Cách 2: Đặt x ‘ = a,y“ = b,z" = c X"y‘ + y " z‘ + z" x “ = I Suy (xy + yz + zx)" = X‘ y" + y"z‘ + Z‘ x‘ + 2xyz(x + y + z) > x 'y ’ + y‘ z‘ + Z“X" = Bài toán đưa tìm giá tri nhỏ cùa biểu thức p = - - !- — ‘ i ' +y H— , ^ + — 7= L = r I I 2 yjy + Vz + x vói xy + yz + zx > Đây toán vừa trinh bày trước B ài tâp rèn luvên Bài Cho thức p - X y, z ba sổ thực dưong thoả mãn điều kiện X + y + z < — Tìm giá trị nhỏ biểu x ’ + y ' f z’ + — + — + X y z Bài Cho X, y, z số thực không âm thoả mãn điều kiện + y ’ + z' = Tìm giá trị lớn X" nhỏ biểu thức p = xy + yz + zx + • X+ y + z Bài Cho X, y, z số thực không âm thoả mãn điều kiện X +y 4- z = I Tim giá trị nhỏ biểu thức p = (x 'y " + y"z' + z 'x ") + 3(xy + yz + zx) + x “ + y" + z“ Bài Cho số thực X, y, z thoả mãn điều kiện X" + y“ + z“ = I Tìm giá trị lón nhỏ biểu thức p = xy + yz + zx + xy + yz + zx + Bài Cho X, y, z số thực không âm thoá mãn điều kiện (x “ + y" + z’ ) + xy + yz + zx = 12 Ti m giá trị lón nhó ciia biểu thức p = -f xy + yz + zx , X + y + z Bài Cho X, y , z số thực dưong thoả mãn điều kiện xy + yz + zx thức p = X + y + z H— i— -T -X 294 + y + z + X + y + z = Tim giá trị nhỏ cùa biểu Bài Cho X, y í số tlụrc dirong thoả mãn điều kiện X + y + z = Chứng minh Ix " + Ỳ' 4- T 8ựxyz < Bài C h o X y , z l c c s ố t h ự c d n g t h o ả m ã n đ i ề u ( x + y + z - 1)" b iế u th ứ c p = Bài , , th ứ c X, Cho ^ p = - ỵ — — X y - y Z -Z X X x -y -z X 4- y 4- z = T i m g iá t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b iể u x y 4- y z 4- z x ^ z 4- z X + z g iá tr ị n h ò n h ấ t c ù a — y , z c c s ố t h ự c d n g t h o ả m ã n đ iề u k i ệ n f y X ' + y " + Z" = T ì m k iệ n 4- X y 4- y Bài C h o c c s ố t h ự c d o n g X, y , z t h o ả m ã n đ i ề u k i ệ n b iể u th ứ c p = (x ‘ y “ ' Bài 11 4- z ') ’ x y 4- y z 4- z x = T ỉm g iá trị n h ỏ n h ấ t cù a 4- — — X 4- y 4- z C h o X, y z l c c s ố t h ự c d n g t h o ả m ã n đ i ề u k i ệ n x y z = T ì m g iá tr ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b iể u th ứ c 70 4- z ) ( z p = (x + y )(y 4- x ) 4- yjx + y + Z4-1 Bài 12 C h o a, b, c c c s ố t h ự c d n g t h o ả m ã n đ iề u k iệ n tr ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b iể u th ứ c p = a N b ’ + c^ — - ( a b a Bài 13 th ứ c ( a " b ' 4- C“ ) = ( a b c ) 4 T ì m 4- b 4- b c g iá + c a ) 4- c C h o X, y z c c s ố t h ự c t h o ả m ã n đ i ề u k i ệ n X ' -y " -z" = T im g iá tr ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b iể u p = ( x 4- ) ( y - ) ( z 4- ) Bài 14 C h o c c s ổ d n g X, y , z T ì m g i t r ị n h ỏ n h ấ t c ù a b i ể u t h ứ c ^ X 'y "z Z‘ x 13xyz v: — ĩL y -L -z Bài 15 P= X y (^xy Cho + z X, j [0 ;l] y , z c c s ố t h ự c d n g t h o ả m ã n X 4- y 4- z = — T ì m g iá t r ị lớ n n h ấ t c ù a b iể u th ứ c X" 4- y " 4- Z p = X 4- y 4- z = v xy 4- y z 4- z x = x y z T im g iá t r ị lớ n " [ x 4- y 4- z = Cho x , y , z c c sô th c th o ả m ã n đ iê u k iê n -1 V < x ' + y " + z ' Bài 18 -z x n h ấ t v n h ỏ n h ấ t c ủ a b iế u th ứ c Bài 17 4- y z C h o X, y , z c c s ố t h ự c t h u ộ c đ o n + y Bài 16 X < [ xyz = C h ứ n g m in h ră n g Dấu đắng thức xáy chi t = (3) Từ (1) (2) (3) ta suy p < (x + y)(7 - 3) < 8, X + dấu đẳng thức xảy y=2 ^x = —, y = - t=- =2 3 X Vậy giá trị lớn nhât p 8, đạt X = —, y = — Ví dụ (D/2013) Cho X, y hai số thực dương thoả mãn điều kiện xy < y -1 Tìm giá trị lớn cùa , -í , , ^ x+y x -2 y biêu thức p = —ị==~==^ — ^ x '- x y + 3y' 6(x + y) Lời siải Nhận xét Nhận thấy p đồng bậc nên ta tim cách đánh giá miền giá trị t = — đưa khảo sát y hàm số vói t • -x y -1 1 Í1 Xuât phát từ giả thiêt ta có; < — < — = - r = - y y y y U +- < 4 299 t + t - Đặt t=: —;:í> < t< —và p = y r ~ t + 6(t + l) Xét hàm số f(t) = — t+1 V r - t - t _I - ị— ^ t r ê n í 0;— ta được: f'( t) = + (t + l) ^ l Ậ v - 1+ ^ 2(t + l) ' Với < t < - ta có t" - 1+ = t ( t - 1) + < 3;7 - t > 6;t + 1> - t _1 _ _ I _ J _^ 2^(777737" 7(77i7 ’ Vậy f(t) hàm đồng biến " ĩ ° Vĩ"ĩ ^ 0; Vs Do f( t) < f 2_ 30 Vậy giá trị lớn ciia p bàng - ^ + — đạt X = —,y = * Kỹ thuât giám biến vói bất đắng thức toán cưc tr i ba biến Ta thường đặt a = x.b; b = y.c Ví dụ (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c sổ thực không âm ta có a^ + b'^ + c’ + 3abc > ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a ) Chứng minh Không tính tổng quát giả sử a > b > c tồn hai số thực không âm X, y cho a = (x + l)c,b = (y f l)c bất thức tương đương với: (x + 1)^ + (y + 1)' + 1+ 3(x -t l)(y + l) > ( x + l)(y + l)(x + y + 2) + (x + l) ( x + 2) + (y + l)(y + 2) o (x - y )‘ (x + y + l) > 0(luôn đúng) Ví dụ Cho X y, z số thực dương thoả mãn điều kiện z(x + y) = x y Tìm giá trị nhỏ cùa biểu thức p = + —~— X+ y Lời s ỉ ải Cách /; Đặt X = a.z; y = b.z ta có a + b = ab Khi p = a‘ + b‘ + —'— = (a + b)' - 2ab + — — = (a + b)‘ - ( a + b) a+ b Mặt khác (a + b)' > a b ( a + b)" > 4(a + b)a + b > Đặt t = a + b,(t > 4) p = f( t) = t" - 2t + - , ] _ Tị - _ I Xét hàm số f(t) = t" - 2t + - vói t > ta có f'( t) = 7r -> 0, Vt > nên f(t) hàm đồng biến 33 ' ' 33 [4;+oo) suy p = f( t) > f(4) = — Vậy giá trị nhỏ cùa p — đạt 300 X = y = 2z ...Đ ẶNG TH ÀN H NAM T À I T I Ệ U Ô»T T l l l THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TỪ NĂM 2015 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Bản quyền thuộc Công ty TNHH Sách Sư Phạm M ã S Ố L -1 Đ H LỜI NÓI ĐẦU... lài liệu hộ thôhg đẩy đú kiêh thức cần nắm vững kèm đề thi mẫu để rèn luyện nâng cao kỹ làm phản xạ yới câu hỏi khó chuẩn bị tốt nhâì cho kỳ thi l ’H P 'r Quốc Gia tác giả viê't "Tài liệu ôn thi. .. tốt nhâì cho kỳ thi l ’H P 'r Quốc Gia tác giả viê't "Tài liệu ôn thi TH PT Quô'c G ia m ôn T oán từ năm 2015" Nội dung sách gồm nội dung chính: N ội dung thứ nhâ't để cập đến 12 chuyên dê' kiến