Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán t1

Hưóìig dẫn giải Bài X > -1 1) Phương trình + (m - )x -4 = (*) Phương trình (*) có hai nghiệm: X, - m■+'Jm -4 m + 20 -m -V m ^ -4 m + 20 = - = - > 0; X , = < Phương trình dã cho có hai nghiệm (*) có hai nghiệm phân biệt không nhỏ -1 X2 > - l o - m > Vm^ - 4m + 20 o \ [m < [(4 - m)^ > ni^ - 4m + 20 o m < -l Vậy m < giá trị cần tìm 2) Phương trình o ^2x^ - mx = ^ (2) có nghiệm A = - o I^ 4_0 (1) (2) Ịx2-mx+ = - 16 > l m l> (*) Khi (2) có hai nghiệm là: X ,j = Nghiệm x^ thỏa mãn (1) o (m + yỊm^ - 16 )^ - 16 > o o + mVm^-16 - 16 > -16(Vm^ -16 + m) > m = ±4 í m - > -m Tương tự X2 o m = -4 m >4 =4 m < -4 m thỏa mãn (1); o Vậy |m| > phương trình cho có nghiệm ^ 4 Í2x + > 3) Phương trình cho tương đương < [3x2 _ ( m - ) x - l = (*) Để phương trinh có hai nghiệm thực phân biệt (*) cớ hai nghiệm thực A = (m - 4)2 +12 > lớn bàng +- > hay í í o m >— + — X , + — >0 V ^ V 2 X, 4) Phương trình c> \/x'* - 13x + in = - X - TI - 333 jx < jx < ịx"* - 13x +m =(1- x)‘^ [4x^ - 6x^ - 9x =1- m Xét hàm số f(x) =4x^ - 6x^ - 9x với X = > f ( x ) > V xeR Mặt khác; 2x limf(x) = lim —= I = v l im f ( x ) = - l x-»+oo x-»+ou / + x - |-l + V x ^ - x + l x-*-oo - — Bảng biến thiên: — 00 X +CXD f'(x) + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm - < m < 8) Điều kiện: X > Xét hàm số f(x) = t/x^ + - ^fx với Ta có: f '(x) = — — f 1)^ ^ f '( x ) = x V x = X e D = [0; +c») ^ 2VÍ \/(x ^ + ) ^ X® = (x^ + ) ^ o x^ = X^ + Phương trình vô nghiệm =ỉ> f ’(x) không đổi dấu D, mà f'(l) = ^ 2^ - - < ^ f'(x) < Vx G D - T ỉ - 335 Mặt khác: lim f(x) = lim , , ; — -/= = x“ +-^ t/(x^ + 1)^ + t/x^Cx^ +1)2 + ^x^(x2 +1) + \/x® < f(x) < f(0) = 9) - 2x^ - Vx D =» phương trình có nghiệm < m < X > 2x - m^ + 3m2 + = X - = + Ậ + x)(6 - x) =ỉ> V(3 + x)(6 - x) = ^2 _ Phương trình cho trở thành: t - = m - 2t = - 2m (2) Xét hàm số t(x) = \/3 + X + X ^ t'(x) b == ■ - , 2Vx + => t '( x ) = %/e - X = Vx + X Ta có bảng biến thiên t(x): 338 - / - í t = = — — v -x X ^ t’(x) t(x) + - 3 Dựa vào bàng biến thiên ^ t Suy (1) có nghiệm Xét hàm số f(t) = G [3;3\/2] (2) có nghiệm t e [3;3\/2] - 2t với < t < 3V2 , có f'(t) = t - > vt G [3;3V2] =4> f(t) hàm đồng biến [3;3V2] ^ = f(3) < f(t) < f(3^/2) = 18 - 6V2 vt G [3;3V2] Vậy phương trình có nghiêm o < 2m < 18 6a/2 ^ = > t ^ x - ) = x + ^ x = ^^^ + ^ ^ > t^ -l > t > t" -l Khi (*) trở thành: m - + t t = 4=> m = r +2t = f(t) 2t + l (3) Phương trình dã cho có nghiệm o (3) có nghiệm t > Xét hàm số f(t) với t > 1, có; > vt > ^ f(t) > f(l) = vt > (2t + l)^ / Vậy phương trình có nghiệm m > 5) Điều kiện: -1 < X < f'(t) = Đặt t = ^ 9< + -I- Vs - X >0 = + 2^/õ^^ 1)(8 - x ) < + x + l + - x = ^ < t < 3^/2 TI - 339 Phương trình cho trở thành: t + Xét hàm số f(t) = -9 m + 2t —9 = 2m (1) + 2t - 9, t e [3;3V2] f '(t) = 2t + > 0, vt G [3;3%/2] hàm số đồng biến [3;3\Í2] suy f(t) = f(3) = 6, raax f(t) = f(3\/2) = + 6\Ỉ2 [3;372Ị [3;3s/2] Phương trình cho có nghiệm (2) có nghiệm t e [3;3>^] 6• \/x^ + 4x + m = x^ + 4x + m = 16 - m = x^ + 4x - 16 Xét hàm số: f(x) = x'' + 4x - 16 => f '(x) = 4x^ + , f '(x) = X = - Từ bảng biến thiên suy PT có nghiệm khi: -m > -1 o m < 19 7) Điều kiện: X > Ta có: n/ x - 1+ — 3x + + (m + 3)Vx - = ^ (x - l)2 + m ^ '-l)(x -2 ) + (m + 3)t/(x - 2)2 = ệl—— ^ + (m + 3)fl- — ^ + 4m = ( ) x -2 x -1 (vì X = không nghiệm) = f í l + - ^ > l,Vx > 2 V X- Phương trình (1) trỏ’ thành: m “t“ ọ _ _ t H h 4m = + 4mt + m + = < ^ f ^ + : t Đặt: t = X - -m(4t +1) o -m = — ^ = f(t) 4t + l (vì t > 1) ^ r 2(2 r I t - ) „ Ta có: f (t) = — -^— ::r = (4t I l)-" t=^ t = - (loại) Từ bảng biến thiên suy PT (1) có nghiệm PT(2) có nghiệm 3 t > o —m > —o m < —— 4 8) Điều kiện: X e Ị-5 ;-3 ] u Ị3;5| 340 - TJ - t = - + V25 - => 16 < = 16 + 2V(x^ -9 )(2 - x2) < 32 < t < 4^/2 Phương trình trở thành: 0 16 - r mt + - 16 = 5m o m(t - 5) = 16 — ^ m = — t-5 t-5 4;4V2 ,t t = (1) t = (1) ,2 -t^ + lO t-1 f(t) f'(t) = o < í^ - f + I t - I o (t - 5)" Phương trình có nghiệm m e ( - 00; -8yỈ2] u [ - 8; + 00) 9) Điều kiện; - < X < t = s l - x ^ + ^4 + x2 ^ < = + > /l6 -x ^ < 16 t e [2V2;4] Phương trình cho trờ thành: - 2(m - l)t + 2m - = -Í4- -2 m = —— - = ĩ (t) t+1 Xét hàm số: f(t) = t +1 => f'(t) = (t +1)" > 0,vt e [2>/2;4] 4^/2 Suy ra: f (t) = f(2V2) = _ , *max **— f(t) = f(4) = [2^:4] + 2V2 [2V2;4] Vậy phương trình cho có nghiệm o l ^ < _ m < < ^ < m < I + 2V2 ’ I + 2V2 Bài 1) Đặt t = Vx^ - 2x + = ^/(x - 1)2 + ^ t € [1;2] ^ x e [ ] l + S ] Khi (1) trở thành: m(t + l ) < t ^ - o m < Xét hàm số f(t) trên[1; 2], ta có: f ’(t) (1) có nghiệm x G [0;1 + ^/3] -2 t+1 + 2t + f(t) (1.1) > vte[l;2] (t +1)2 (1.1) có nghiệm t G [1;2] ■í=>m < maxf(t) = f(2) = — [1;2] 2) Đặt t = V(4 + x)(6 - x) ^ < t < ^ ^ — - = Khi bất phương trình trở thành: t < - t + m < :» t2 + t< m + 24 (*) 77-341 Yêu cầu toán o (*) nghiệm vt e [0;5] Xét hàm số f(t) = |0;5| + v it e [0;5], ta thấy f(t) hàm đồng biến Suy ram axf(t) = f(5) = [0;5] Vậy (*) nghiệm vt e 10; 5] 30 m > 3) Đặt t = \Jx^ - 3x + 2,x e |3;+oo) / 2x Ta có: t ' = 2-\Ị x ^ 3_ ^ ^ ^ [3;+oo)nên X e [3;+oo) => t e [sỈ2;+oo) - 3x + Bất phương trình trở thành: t + \Ịt^ + > m (1) Bất phương trình cho nghiệm với X > (1) với t > Xét f(t) = t + +2, t > Ta CÓ: f '(t) = + , ^ > 0, vt > V2 suy +2 f(t) = f(V2) — + 42 [■s/2;+ou) Vậy (1) nghiệm với t>^/2m/x + V 3-X => < t+m -3 —3 < = + 2Vx(3 - x) < ^ t [%/3; n/6] m(t —3 ) < —2tm< -2 t r - 6-2t Xét hàm số f(t) = - ,vt e (Vs; Vẽ , ta có: - f'(t) = 2Ư - 12t + ^ < , VteịV3;V6 (t^ - 3)^ 2'\/0 Nên m < f(Võ) = -— giá tri cần tìm 342 - TI - ,vt e (>/3;n/6] 2 X -•y^— < (l- z ) ^ -x y [4 -(1 - ^ ( ^ , z )2] ^ < Ị ( l _ z ) z 2; ^ < ( l - 2z)z^ l-y z — xz 12 Từ suy p < í ỉ ^ 12 Dễ thấy + ( - z)z^ + (1 _ 2z)z^ = l + z(z f(z ) = z^ - z ^ + z ^ + z - 11 27 AB (SAC) ==> HK AB Mà HK ± SA nên HK (SAB) hay SH.AH 2a-JĨ VsH^ + AH^ ^ d(H,(SAB)) = HK = Vậy d(C,(SAB)) = a s íĩ Câu Gọi C(0;c), ta có: d(B, A) = : - l| _ Ịq —2^1 ; d(C, A) = ‘ ' , theo ra; v5 v5 Q c = 10 c = —8 sÍ5 ~ s Do z? c nằm hai phía đường thẳng A suy C (0;-8) Gọi B'(a;b) điểm đối xứng với B qua A B' nằm A C Do B B 'A A nên BB' vuông góc với vectơ phương u(l;-2)của đường thăng A suy ra: BB^.u = a - 2b f - (1) Trung đ iể m /c ủ a BB'thuộc A nên: 2a + b + = (2) Từ (1) (2) suy ra: a = - - , b = — Vậy B' 5 Dễ thấy CA = - C B ' Từ suy A 4' ’5 10 ’ - T I - 473 Câu 8, (x + y)(l + xy) = 4xy (x^ + y^)(l + x^y^) = 4x^y^ (x + y)(l + xy) = 4xy (1) [(x + y)^ - 2xy][(l + xy)^ - xy ] = 4x^y^ (2) Xét phương trình (2); (x + y r ( l + xy)^ - 2xy[(x + y)^ + (1 + x y r l = (x + y)^(l + xy)^ - 2xy[(x + y)^ + (1 + xy)^] + 4x^y^ = 4x^y^ o (x + yỶ{{+ xy)2 - 2xy[(x + y ỷ + (1 + xy)2] = (3) Thay (1) vào (3) ta có: 8x^y^ - xy[(x + y)^ + (1 + xy)^] = xy = 8xy - (x^ + y^ + + x^y^ + 4xy) = Với XV = kết hợp với pt (1) suy Ta có: (4) (x - yỶ + (1 - xy)2 = ^ (4) X= y = 0x -y = - xy = Thế vào (1) ta có X = y = nghiệm hệ phương trình Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) e {(0,0); (1,1)} • X= y = X= y = - 9(1- t a n - ) = tan^ + _ ~"2 + tan ^ 71 Suy p = tan^ —+ tan X \ Đặt t = t a n - : ^ t e ( 0;l) ,ta c ó p = 8t^ + ^ = f ( t) 1+1 Xét hàm số f(t) với t e (0; 1) ta có: 2(8t^ + 16t^ + 8t - 9) 2(2t - l)(4t^ + lOt + 9) 18 f'(t) = 16t(1 + t)' (1 + t)" (1 + t)' ^1^ = 5=>p>5 Suy f ’(t) = t = i Lập bảng biến thiên ta có f(t) > f v2 y Đẳng thức xảy 42X 1 - tan — o X , tan ^ ^ a = cos X = - — = — ,b = cos y = sin X = — 2 , X 5 + tan — V ậy p = A ĐÈ SÓ C âu 1) Bạn đọc tự làm 2) Ta có y ' = 4x^ + 4(m - 2)x = 4x(x^ + m - 2) X= Suy y ' = „ x^ + m - = 0(*) Đồ thị (C„,) có điểm cực trị - í ^ m < Các điểm cực trị (C„,) : A (0;m ^-5m + 5), B(-V2 - m ;l - m), C(V2 —m ;l —m) Vì AABC cân A nên AABC AB - BC - m + (m - 2)'^ = 4(2 - m) m)^ = sin X 3= sinx „ cot X + -— -= + cos X o cos x ( l + cos x) + sin^ X = 2(1 + cos x) sin X - Tỉ - 475 du = 2dx, V = ^ sin 2x Suy Ii = ,,, 1; — T • r~ —{2x —l)sin x — / sin2xdx ^0 Tt^ TT “ 2■ Câu 1) Đặt z = a + bi (a, b G R ) Ta CÓ 2(a + bi) + 3(1 - i)(a - bi) = - 9i 2a + 2bi + 3(a - bi - ia + bi^) = - 9i ^ , „■ 5a —3b = 5a —3b + (—b —3a)i = l-9i-í=> _ 3a + b = 2) Số cách chọn hộp sữa từ 12 hộp b= Vậy; |z| = y/l3 Cj2 = 220 Số cách chọn hộp có loại C5C4C3 = 60 Xác suất để hộp sữa chọn có cà loại : 220 =— 11 Câu Gọi (a ) mặt phang qua A(l;0;-1) (a) d Ta có : = n „ (2 ;2 ;-l) Suy phương trình ( a ) : 2x + 2y - z - = Hình chiếu A lên d giao điểm I cùa (a) d A E d => A(1 + t ; - l + 2t;-t) _1 A e (a) => 2(2t + 1) + 2(2t - l ) + t - = o t = 2- Vậy I 3’ 3’ 476 - TJ - Câu Ta có: AM AB BA BC => ABM = BCẦ => AABM co AABM V2 ẤBM + BÃC = BCA + BÃC=90‘^ ẤĨB = 90“ => BM AC (1) SA A (ABCD) =» SA BM (2) Từ (1) (2) suy ra: MB ± (SAC) =4- (SMB) (SAC) Gọi H trung điểm AC =4> NH / /SA => NH A (ABI) Ta có AI đường cao AABM vuông A NH = -S A =A AI = ^ AB^ BI AI^ = Vsa Ar AB^ AM^ Thế tích tứ diện ANIB ; V a n i b = Ị n h , Ị i a i b _ a %/3a N/ẽa _ “ ' ’~ ~ ‘ ~ 36 Câu Vì BC qua M vuông góc với MI nên B C ; x - y + = Tọa độ B ,c nghiệm hệ: 10 y = X + X (x - 1)“= + (y - 1) x x2 = X-y42= Suy B(2;4),C(-2;0) B(-2;0),C(2;4) = 2, y = = -2 ,y = Gọi A(a; b ), suy (a - 1)^ 4- (b - 1)^ = 10 (1) „ Ịa —b 4- 2| L,bc = V2 s AABC ^ a —b 4- Ta có: d(A,BC) = Nên ta có |a - b 4- 2| = 4=> a = b -4 4, a = b - • a = b + thay vào (1) ta có: (b + 3)^ -(b -l)^ = 10 b^ 2b = o b = 0,b = - • a = b - thay vào (1) ta có: (b - 9)^ + (b - 1)^ = 10 vô nghiệm Vậy A(0;4) A(2;-2) ■TI - 477 Câu Điều kiện |x| < 2yỈ3 < y < 12 Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopsky ta có xẠ - y + 7y(12 - x^) < = 12 Do phưong trình thứ hệ tương đương với X>0 x^ỹ = l2 -y - V l2 -x ^ x^y = 144 - 12x^ - 12y + x^y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có X>0 12-x ^ x - = \/l - x ^ o x^ - x - - V1 - : x^ - 8x - + 2(1 - V lO -x^) = (x - 3)(x^ + 3x + 1) + ^x ~ 3)(x + 3) ^ ^ + VlO-x^ 2(x + 3) o (x - 3) x^ + 3x + + ■ + \íĩõ - XVì X > nên x^ + 3x + H 2(x + 3) (*) ^ Q l + Vl O- x Vậy nghiệm hệ (x;y) = (3; 3) Câu Từ giả thiết, ta suv 4x + 2(y + z) < 58 => y + z < 29 - 2x Ta có: p < ^ + Ạ (y + z) < ^ + Vl3(29 - 2x) = f ( x ) Xét hàm số f(x) với < X < 11, ta có: ĩ ’(x) = -Ạ = — -> f '(x) = o V29 - 2x = \ỊĨ3 \Í^ Vl3(29 - 2x) Đặt t = ^ , < t < ^ Ta có: 4^29-21^ = x/ĩst^ o 13t^ = 16(29 - 2t^) ist'^ + 32t^ - 464 =