Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán

Trường THPT Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TỐT NGHIỆP CHƯƠNG I :ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I.VẤN ĐỀ 1:Tiếp tuyến với đồ thò hàm số y = f ( x) Phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số y = f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) y − y0 = f '( x)( x − x0 ) (1) 1.Dạng 1: Tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 Tính y0 = f ( x0 ) f '( x0 ) thay vào công thức (1) kết 2.Dạng 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k Cách giải: Giải phương trình f '( x0 ) = k x0 tính y0 = f ( x0 ) Sau thay vào công thức (1) kết Chú ý: Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ta có f '( x0 ) = a Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b ta có f '( x0 ) = − a 3.Dạng 3: Biết tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) Cách giải: Giải phương trình y A − f ( x0 ) = f '( x0 )( x A − x0 ) x0 tính y0 = f ( x0 ) f '( x0 ) Sau thay vào công thức (1) kết BÀI TẬP Bài 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số y = x − x − a.Tại điểm có tung độ (đáp số: y = −4 x − ; y = x − 10 ) 13 b.Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x − (đáp số: y = x − ) Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số y = x − x + a.Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ (đáp số : y = −3x + ) b.Tiếp tuyến qua điểm A(0;1) (đáp số: y=1 y = − x + ) 2x + Bài 3:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số y = x +1 a.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − 11 (đáp số : y = − x + y = − x + ) 4 4 11 b.Tiếp tuyến qua điểm A(-1;3) (đáp số : y = − x + ) 4 Bài 4:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số y = x − x + a.Tại điểm A(0;2) (đáp số : y=2 ) b.Tiếp tuyến qua A(0;2) 4x − Bài 5.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số : y = biết x −1 tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 450 (đáp số : y = − x + 3; y = − x + ) Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) Bài 6:Tìm m để đường thẳng y = −6 x − tiếp xúc với đường cong ( Cm ) : y = x − (3m + 5) x + (m + 1)2 điểm có hoành độ -1.(đáp Trường THPT số:m=-2) (3m + 1) x + m − m x+m giao điểm đường cong với trục hoành cho tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 10 ( đáp số : m = −1; m = − ) 2 x + mx + m Bài 8: Tìm m để đường cong ( Cm ) : y = cắt trục hoành hai x +1 điểm phân biệt cho tiếp tuyến hai điểm với ( Cm ) vuông góc với (đáp số : m = ± 17 ) II.VẤN ĐỀ 2: Cực trò hàm số Các quy tắc tìm cực trò hàm số y = f ( x) khoảng (a;b) 1.Quy tắc 1:Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x) khoảng (a;b) Từ bảng biến thiên ta suy cực trò hàm số 2.Quy tắc 2:Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm đến cấp khoảng (a;b) chứa điểm x0 f '( x0 ) = Khi Nếu f ''( x0 ) < hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 Nếu f ''( x0 ) > hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 BÀI TẬP Bài 1: Tìm cực trò hàm số sau: x + x − 24 a y = (đáp số: CT(1;5) ,CĐ(4;2) ) x2 x 1 b y = (đáp số : CT ( −2; − ) ; CĐ (2; ) ) 4 x +4 c y = x − x (đáp số : CĐ(2;2) ) Bài 7:Tìm m để tiếp tuyến với đường cong : y = d y = x − x + (Đáp số:CT (±1;1) ,CĐ(0;2) ) Bài 2.Tìm cực trò hàm số sau:  5π  a y = sin x − cos x , x ∈ [ 0; π ] (đáp số: CĐ  ; ÷ )  4 π  π 3  5π  b y = 2sin x + cos x , x ∈ [ 0; π ] (đáp số :CT  ;1÷ ,CĐ  ; ÷,CĐ  ; ÷ ) 2   2  2 Bài 3:Tìm số a,b,c cho hàm số f ( x) = x + ax + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1; f (1) = −3 đồ thò hàm số cắt trục tung điểm có tung độ (đáp số : a=3;b=-9;c=2 ) Bài 4.Tìm m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + a.Đạt cực đại điểm x=2.(đáp số :m=11) b.Đạt cực tiểu điểm x=1 (đáp số : m = − ) x2 − x + m Bài Chứng minh hàm số : y = luôn có hai cực x + 2x + trò với m Trường THPT Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) x2 − x + m Bài 6.Tìm m để hàm số : y = có hai giá trò cực trò dấu x +1 ( −2 < m < ) III.VẤN ĐỀ 3:Giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số 1.Cách tìm GTLN GTNN hàm số y = f ( x) khoảng (a;b) Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x) khoảng (a;b) Từ bảng biến thiên ta tìm GTLN GTNN hàm số y = f ( x) khoảng (a;b) Cách tìm GTLN GTNN hàm số y = f ( x) đoạn [a;b] Giải phương trình y’=0 với x ∈ [ a; b ] Giả sử nghiệm x1 , x2 , , xn Tính f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a ), f (b) Số lớn giá trò giá trò lớn Số nhỏ giá trò giá trò nhỏ BÀI TẬP Bài 1.Tìm GTLN GTNN hàm số a f ( x) = x + x − x + đoạn [-4;4].( max f ( x ) = f (4) = 77; f ( x) = f (1) = −4 ) b f ( x) = x + x − đoạn [-3;1] ( max f ( x ) = f (1) = 2; f ( x) = f (−3) = −46 ) c f ( x ) = x − x + 16 đoạn [-1;3] ( max f ( x ) = f (3) = 25; f ( x) = f (2) = ) x d f ( x) = nửa khoảng (-2;4] ( max f ( x ) = f (4) = ) x+2 e f ( x) = x + + khoảng (1; +∞) ( f ( x) = f (2) = ) x−2 2 f f ( x ) = x − x (max f ( x ) = f ( ) = ; f ( x ) = f (− )=− ) 2 2 Bài Tìm GTLN GTNN hàm số a f ( x) = 2sin x − sin x đoạn [ 0; π ] ( π 3π max f ( x ) = f ( ) = f ( ) = ; f ( x) = f (0) = f (π ) = ) 4  π b f ( x) = cos x + 4sin x đoạn 0;  (  2 π max f ( x ) = f ( ) = 2; f ( x) = f (0) = ) c f ( x) = x − ln(1 − x) đoạn [-2;0] ( 1 max f ( x ) = f (−2) = − ln 5; f ( x) = f ( − ) = − ln ) Trường THPT Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) 23 ) 27 e f ( x ) = cos3 x − cos + cos x + (max f ( x ) = , f ( x) = −11) Bài 3.Trong tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài 10.hãy xác đònh tam giác có diện tích lớn (Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông ) IV.VẤN ĐỀ 4:Các toán liên quan đến khảo sát hàm số 1.Sự tương giao hai đường cong Bài toán:Cho hai hàm số y = f ( x) có đồ thò (C) hàm số y = g ( x) có đồ thò (C’).Hãy biện luận (hoặc tìm giao điểm) hai đường cong Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong là: f ( x ) = g ( x ) (*) Số giao điểm hai đường cong (C) và(C’) số nghiệm phương trình (*) Biện luận : a.Nếu (C ) ∩ (C ') = ∅ phương trình (*) vô nghiệm b.Nếu (C ) ∩ (C ') = n điểm chung phương trình (*) có n nghiệm 2.Dùng đồ thò biện luận số nghiệm phương trình Bài toán: Cho phương trình f ( x, m) = (*) với m tham số.Hãy dùng đồ thò (C ): y = f ( x) Biện luận theo m số nghiệm phương trình (*) Cách giải : Biến đổi phương trình (*) ⇔ f ( x) = g (m) (**) Phương trình (**) phương trình hoành độ giao điểm đồ thò (C ) với đường thẳng d: y = g (m) ( d song song trùng với trục Ox ) Biện luận : d ∩ (C ) = ∅ ⇒ phương trình (*) vô nghiệm d ∩ (C ) = n điểm ⇒ phương trình (*) có n nghiệm V.Khảo sát hàm số Bài 1.cho hàm số: y = − x + 3x có đồ thò (C ) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số b.Viết pttt với đồ thò (C )biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −9 x c.Dựa vào đồ thò (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x − 12 x − 4m = d.Đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C ) điểm phân biệt e.Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) trục Ox Đáp số: b y = −9 x ± 32 ; d.k3 ; c.m=0 ; d.m=3 Bài 3.Cho hàm số : y = x − x + x − có đồ thò (C ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) đường thẳng y =3 c Từ đồ thò (C ) suy đồ thò (C’) hàm số : y = x − x + x − Trường THPT 27 ; c.Đồ thò (C’) đối xứng với qua trục Oy Bài 4.Cho hàm số : y = x − x có đồ thò (C ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số b Viết pttt với đồ thò (C ) biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ c Dựa vào đồ thò (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x − x + m − = 30 Đáp số: b y = ; y = ± x 25 (Cm ) Bài 5.Cho hàm số : y = (m + 1) x − 4mx + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số m=1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) đường thẳng y =2 c Biện luận theo m số cực trò hàm số d Tìm m để đồ thò (Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt Đáp số: b S = 32 ; d.m>1 15 (Cm ) Bài Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + 2m + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số m=0 b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) trục Ox c Tìm m để đồ thò (Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt hoành độ điểm lập thành cấp số cộng 16 Đáp số : b S = c m = 4; m = − 15 x−3 Bài 7.Cho hàm số : y = có đồ thò (C ) 2− x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò (C ),trục Ox đường thẳng x=5 d.Tìm điểm M đồ thò (C ) cách hai trục toạ độ  ± 13 ± 13  ; Đáp số: b y = − x − 1; y = − x − ; c S = − ln ; d M  ÷ ÷   (m + 1) x + m + Bài 8.Cho hàm số : y = có đồ thò (Cm ) mx + Đáp số: b S = Trường THPT Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) a.Tìm m để (Cm ) qua điểm M (0; ) b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C ) hàm số với m vừa tìm c.Tìm điểm M đồ thò (C ) có toạ độ số nguyên d.Tìm m để hàm số đồng biến tập xác đònh Đáp số:a.m=2; b.(1;2) (-3;1) ; d -2 0) r (cos + i sin ) 2 ϕ ϕ ϕ  ϕ  − r (cos + i sin ) = r [cos  + π ÷+ i sin  + π ÷] 2 2  2  BÀI TẬP Bài 1.Thực phép tính 1+ i − 2i − 4i ; b ; c ; d i 4−i a − 3i − i 2 1− 1+ 16 13 Đáp số : a + i ; b + i ; c − − 3i ; d − i 13 13 2 17 17 1 2 Bài 2.Cho số phức : z = − + Hãy tính : ; z ; z ; z ; + z + z i z 2 ⇔ r = a + b , cos ϕ = ( ) 3 Đáp số : − − i;− − i;− − i ;1;0 2 2 2 Bài 3.Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn Điều kiện sau : z −i b = 1; c z = z − + 4i ; d ≤ z ≤ a z − i = 1; z+i Đáp số :a.Đường tròn tâm I (biểu diễn số i )bán kính b.Trục thực ; c.Hiønh vành khăn giới hạn hai đường tròn (O;1) (O;2) d.Đường trung trực đoạn thẳng OA với A( + 4i ) Bài 4.Tìm nghiệm phức phương trình sau: a ) iz + − i = b).(2 + 3i) z = z − c).(2 − i ) z − = d ).(iz − 1)( z + 3i )( z − + 3i) = e).( z + − i ) − 6( z + − i ) + 13 = f ).( z + 1) + ( z + 3) = + i ; c) − i ; d ) − i ; − 3i ; + 3i ; e)3i; −i f )1 ± 2i; −1 ± i 10 10 5 Bài Tìm bậc hai số phức sau: a )8 − 6i ; b).− + 3i ; c)4 + 5i ; d ) − − 6i Đáp số: a ).1 + 2i ; b) − Đáp số: a) ± ± i ; b) ± ± 2i ; c) ± ± 5i d ) ± ± 3i Bài Viết dạng lượng giác số phức: Trường THPT Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) 1− i b)2i( − i ) c) 1+ i + 2i Bài 7.Tìm acgumen số phức sau π π a ) − + 3i b) cos − i sin 4 π π c ) − sin − i cos d )1 − sin ϕ + i cos ϕ 8 2π π 5π π ϕ b) − c) − d) − Đáp số: a ) a )1 − i ;(1 − i 3)(1 + i ); ... tam giác có diện tích lớn (Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông ) IV.VẤN ĐỀ 4:Các toán liên quan đến khảo sát hàm số 1.Sự tương giao hai đường cong Bài toán: Cho hai hàm số y = f ( x) có đồ thò... x) = f ( − ) = − ln ) Trường THPT Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) 23 ) 27 e f ( x ) = cos3 x − cos + cos x + (max f ( x ) = , f ( x) = −11) Bài 3.Trong tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài 10.hãy... điểm x=1 (đáp số : m = − ) x2 − x + m Bài Chứng minh hàm số : y = luôn có hai cực x + 2x + trò với m Trường THPT Nội dung ôn tập Tốt Nghiệp(NC) x2 − x + m Bài 6.Tìm m để hàm số : y = có hai giá