Phuong phap toa do trong mat phang

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG y A TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ r j I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : • x'Ox : trục hồnh • y'Oy : trục tung • O : gốc toạ độ r r r r rr i, j : véc tơ đơn vị ( i = j = vài ⊥ j ) • x' r i x O y' Quy ước : Mặt phẳng mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxy gọi mặt phẳng Oxy ký hiệu : mp(Oxy) II Toạ độ điểm véc tơ: uuuu r Định nghĩa 1: Cho M ∈ mp(Oxy) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo rr uuuu r r r y hệ thức có dạng : i , j OM = xi + yj vớ i x,y ∈ ¡ Q M r j x' r i O Cặp số (x;y) hệ thức gọi toạ độ điểm M x Ký hiệu: P M(x;y) ( x: hồnh độ điểm M; y: tung độ điểm M ) y' đ/ n ⇔ uuuu r r r OM = xi + yj x = OP vày=OQ M (x; y) • Ý nghĩa hình học: y Q M y x' x x O P y' r r Định nghĩa 2: Cho a∈ mp(Oxy) Khi véc tơ a biểu diển cách theo r r r rr a = a i + a vớ i a1,a2 ∈ ¡ hệ thức có dạng : i, j 2j r y Cặp số (a1;a2) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a  r e a = (a1; a2) Ký hiệu:  a r a=(a1;a2) • Ý nghĩa hình học: y K B2 r r r a = a1i + a2 j H A1 y' B1  e1 x P y' a1 = A1B1 vàa2=A 2B2 x O O B A A2 x' đ/ n ⇔ x' III Các cơng thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Nếu A(xA; yA ) vàB(xB; yB )  Định lý 1: uuu r AB = (xB − xA; yB − yA ) B( x B ; y B ) A( x A ; y A ) r r Nếu a = (a1; a2) vàb = (b1; b2)  Định lý 2: r r a1 = b1 * a= b ⇔  a2 = b2 r r * a + b = (a1 + b1; a2 + b2) r r * a − b = (a1 − b1; a2 − b2) r (k∈ ¡ ) * k.a = (ka1; ka2)  a  b IV Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Định lý phương hai véc tơ: r r r r  Định lý : Cho hai véc tơ a vàb vớ i b≠  a  b  a   b Định lý : r r r r a cù ng phương b ⇔ ∃!k ∈ ¡ cho a = k.b r r Nếu a ≠ số k trường hợp xác định sau: r r k > a hướng b   a r r b k < a ngược hướng b r a v v 5v v a= − b , b= - a k= r B b A C uuu r uuur A, B,C thẳ ng hà ng ⇔ AB cù ng phương AC (Điều kiện điểm thẳng hàng ) r r  Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) ta có : r r a cù ng phương b ⇔ a1.b2 − a2.b1 = (Điều kiện phương véc tơ) V Tích vơ hướng hai véc tơ: y Nhắc lại:  b  b O  a ϕ  a rr r r r r a.b = a b cos(a, b) B A  b r2 r a =a x' r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = r r  Định lý 6: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) ta có : rr a.b = a1b1 + a2b2 r  Định lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) ta có : r a = a12 + a22  a O x y' (Cơng thức tính tích vơ hướng theo tọa độ) (Cơng thức tính độ dài véc tơ )  Định lý 8: Nếu A(xA; yA ) vàB(xB; yB ) (Cơng thức tính khoảng cách điểm) AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 r r  Định lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) ta có r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = r r  Định lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2) vàb = (b1; b2) ta có rr r r a.b a1b1 + a2b2 cos(a, b) = r r = a.b a12 + a22 b12 + b22 (Điều kiện vng góc véc tơ) (Cơng thức tính góc véc tơ) VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: uuur uuur Định nghĩa: Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : MA = k.MB A M B • • • uuur uuur  Định lý 11 : Nếu A(xA; yA ) , B(xB; yB ) MA = k.MB ( k ≠ ) xA − k.xB   xM = 1− k   y = yA − k.yB  M 1− k Đặc biệt : xA + xB   xM = M trung điểm AB ⇔   y = yA + yB  M VII Một số điều kiện xác định điểm tam giác : A x A + x B + xC  xG = G làtrọng tâm tamgiác ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔   y = y A + y B + yC G  uuur uuur uuur uuur  AH ⊥ BC  AH BC = m tam giá c ABC ⇔  uuur uuur ⇔  uuur uuur H làtrực tâ  BH ⊥ AC  BH AC = uuur uuur  AA' ⊥ BC ' n đườ ng cao kẻtừA ⇔  uuur A làchâ uuur  BA' cù ng phương BC G C B A H A B A' C B C A IA=IB m đườ ng trò n ngoại tiế p tam giá c ABC ⇔  I làtâ IA=IC I uuur AB uuur n đườ ng phâ n giá c củ a gó c A củ a ∆ABC ⇔ DB = − DC D làchâ AC uuuu r AB uuuu r ' ' ' D châ n đườ n g phâ n giá c ngoà i củ a gó c A củ a ∆ ABC ⇔ D B = D C AC A uur r AB uuu m đườ ng trò n nộ i tiế p ∆ABC ⇔ J A = − J D J làtâ BD B C A C D B J C B ĐƯỜNG THẲNG B D I Các định nghĩa VTCP VTPT (PVT) đường thẳng: r r  a ≠ r  đn a VTCP đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r c trù ng vớ i (∆) a cógiásong song hoặ r r  n ≠ r  đn n VTPT đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r ng gó c vớ i (∆ )  n cógiávuô  a  n  (∆ ) a (∆ ) * Chú ý: • • r r Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTCP a = (a1; a2 ) có VTPT n = (− a2; a1) r r Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTPT n = (A; B) có VTCP a = (− B; A) II Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng : r a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng ( ∆ ) qua M0(x0;y0) nhận a = (a1; a2 ) làm VTCP có : y  a M ( x; y )  x = x0 + t.a1  Phương trình tham số : (∆):   y = y0 + t.a2 (t ∈ ¡ ) x O  Phương trình tắc : (∆): M ( x0 ; y0 ) x − x0 y − y0 = a1 a2 ( a1 , a2 ≠ ) Phương trình tổng qt đường thẳng : r a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n = (A; B) là: y  n M ( x; y ) x O M ( x0 ; y0 ) (∆): A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = b Phương trình tổng qt đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng ( ∆ ) có dạng :  y n = ( A; B) M ( x0 ; y0 ) O x Ax + By + C = với A2 + B2 ≠  a = ( − B; A)  a = ( B;− A) Chú ý: Từ phương trình ( ∆ ):Ax + By + C = ta ln suy : r VTPT ( ∆ ) n = ( A; B) r r VTCP ( ∆ ) a = (− B; A) hay a = (B; − A) M0(x0; y0 ) ∈ (∆) ⇔ Ax0 + By0 + C = ( A2 + B2 ≠ ) Mệnh đề (3) hiểu : Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng Các dạng khác phương trình đường thẳng : hoctoancapba.com a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x A;yA) B(xB;yB) : ( AB): x − xA y − yA = xB − xA yB − yA ( AB): x = xA y y B( x B ; y B ) M ( x; y ) O ( AB): y = yA yA xA x A( x A ; y A ) yB A( x A ; y A ) xB A( x A ; y A ) x y B( x B ; y B ) y A yB x B( x B ; y B ) b Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( ∆ ) cắt trục hồnh điểm A(a;0) trục tung x y + =1 a b điểm B(0;b) với a, b ≠ có dạng: c Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k: Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆ Gọi α = (Ox, ∆) k = tgα gọi hệ số góc y đường thẳng ∆ Định lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M0(x0; y0) có hệ số góc k : y y0 O O M ( x; y ) x0 x y-y0 =k(x-x0) x α (1) Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình đường thẳng qua M0 vng góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vng góc Ox x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình y = ax + b hệ số góc đường thẳng k = a Định lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng ∆1 , ∆ ta có : • ∆1 // ∆ ⇔ k1 = k • ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1.k2 = −1 c Phương trình đt qua điểm song song vng góc với đt cho trước: ng thẳ ng (∆1) //(∆ ): Ax+By+C=0 códạng: Ax+By+m1=0 i Phương trinh đườ ng thẳ ng (∆1) ⊥ (∆ ): Ax+By+C=0 códạng: Bx-Ay+m2=0 ii Phương trinh đườ Chú ý: m1; m2 xác định điểm có tọa độ biết nằm ∆1; ∆ y ∆ : Ax + By + m1 = y ∆ : Bx − Ay + m = ∆ : Ax + By + C1 = O M1 x x0 x x0 O M1 ∆ : Ax + By + C1 = III Vị trí tương đối hai đường thẳng : y ∆2 ∆1 O y y ∆1 x x O ∆ // ∆ O ∆2 ∆2 ∆1 cắt∆ Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ∆1 ≡ ∆ (∆1): A1x + B1y + C1 = (∆ 2): A2x + B2y + C2 = Vị trí tương đối (∆1) và(∆ 2) phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình :  A1x + B1y + C1 =   A2x + B2y + C2 = hay  A1x + B1y = −C1 (1)   A2x + B2y = −C2 Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M (∆1) và(∆ 2) Định lý 1: i Hệ(1) vônghiệ m ⇔ (∆1)//(∆ 2) ii Hệ(1) cónghiệ m nhấ t ⇔ (∆1) cắ t (∆ 2) iii Hệ(1) cóvôsốnghiệ m Định lý 2: ∆1 ⇔ (∆1) ≡ (∆ 2) Nếu A2; B2;C2 khác x ⇔ A1 B1 ≠ A B2 ii (∆1) // (∆ 2) ⇔ A1 B1 C1 = ≠ A B2 C2 iii (∆1) ≡ (∆ 2) ⇔ i (∆1) cắ t (∆ 2) A1 B1 C1 = = A B2 C2 IV Góc hai đường thẳng 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt tạo thành góc Số đo nhỏ số đo bốn góc gọi góc hai đường thẳng a b (hay góc hợp hai đường thẳng a b) Góc hai đường thẳng a b đước kí hiệu ( a, b ) Khi a b song song trùng nhau, ta nói góc chúng 00 Cơng thức tính góc hai đường thẳng theo VTCP VTPT r r a) Nếu hai đường thẳng có VTCP u v v rr u.v r r cos ( a, b ) = cos u, v = r r u.v ( ) r uu r b) Nếu hai đường thẳng có VTPT n v n ' r uu r n.n ' r uu r cos ( a, b ) = cos n, n ' = r uu r n n' ( ) Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : (∆1): A1x + B1y + C1 = (∆ 2): A2x + B2y + C2 = Gọi ϕ ( 00 ≤ ϕ ≤ 900 ) góc (∆1) và(∆2) ta có : y cosϕ = A1A2 + B1B2 ϕ ∆1 A12 + B12 A22 + B22 O x ∆2 Hệ quả: (∆1) ⊥ (∆ 2) ⇔ A1A2 + B1B2 = V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (∆): Ax + By + C = điểm M0(x0; y0) Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng (∆) tính cơng thức: M0 y H d(M0; ∆) = Ax0 + By0 + C x O A2 + B2 (∆) C ĐƯỜNG TRỊN I Phương trình đường tròn: Phương trình tắc: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R : y b O I ( a; b ) R a (C ):(x − a)2 + (y − b)2 = R2 M ( x; y ) x (1) Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường tròn Đặc biệt: Khi I ≡ O (C ): x2 + y2 = R2 Phương trình tổng qt: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = với a2 + b2 − c > phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R = a2 + b2 − c II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = điểm M (x0; y0) ∈ (C ) : (∆): x0x + y0y − a(x + x0) − b(y + y0) + c = VI Các vấn đề có liên quan: Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: (C ) (C ) I I R R H M M ≡H Định lý: (∆) I (C ) = ∅ ⇔ d(I;∆) >R (∆) tiế p xú c (C) ⇔ d(I;∆) =R M ( x0 ; y ) (C) (∆ ) (C ) I R H M I(a;b) (∆) cắ t (C) ⇔ d(I;∆) R1 + R2 (C1) và(C2) cắ t ⇔ R1 − R2