Tuyển tập hình học phẳng giải tích trong mặt phẳng hay và đặc sắc tổ hợp xác suất nguyễn minh đức

BỘ TÀI LIỆU THẦN THÁNH NHẤT NĂM 2017-2018 TỔNG HỢP BÀI TẬP TUYỂN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC - TỔ HỢP XÁC SUẤT-NGUYỄN MINH ĐỨC ( CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT ) CHUN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN www.facebook.com/tilado.toanhoc TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC (phiên 1) Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Hà Nội tháng 12 năm 2014 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 01 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm đường thẳng (d1 ) : 2x + y + = chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm đường thẳng (d2 ) : 2x + y − = Biết điểm M (3; 0) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác Lời giải tham khảo : w t ila e du v n Gọi điểm B (a; −2a − 1) ∈ (d1 ) Điểm H (b; − 2b) ∈ (d2 ) Ta có M trung điểm BC ⇒ C (6 − a; 2a + 1) −−→ −−→ Ta có H ∈ AC nên AH HC phương −−→ −−→ AH = (b − 1; − 2b) HC = (6 − a − b; 2a + 2b − 7) −−→ −−→ AH HC phương ⇒ b−1 − 2b = ⇔ a = 11 − 6b 6−a−b 2a + 2b − −−→ −−→ H chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH ⇔ AH.BH = (1) −−→ −−→ −−→ BH = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒ AH.BH = ⇔ (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = ⇔ 5b2 − 5ab − 25ab + 7a + 27 = (2) Thay (1) vào (2) ta 5b2 − 5b (11 − 6b) − 25b + (11 − 6a) + 27 =  b=2  ⇔ 35b − 122b + 104 = ⇔  52 b= 35 Thay ngược lại ta có điểm B C cần tìm 45 , đáy lớn CD nằm đường thẳng (d) : x − 3y − = Biết hai đường chéo AC BD vng góc với cắt điểm I (2; 3) Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hồnh độ dương w w Đề 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích Lời giải tham khảo : ABCD hình thang cân ⇒ tam giác ICD vng cân I Ta có CD = 2d (I; CD) = √ √ |2 − 3.3 − 3| √ = 10 ⇒ IC = 20 10 Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC = (3a + 1)2 + (a − 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6; 1) −→ Phương trình BD qua điểm I nhận IC làm vtpt ⇒ BD : 2x − y − = D giao điểm BD CD ⇒ D (0; −1) Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ w t ila e du v n √ Đặt IA = IB = x ⇒ SIAB = x2 ; SIAD = x = SIBC ; SICD = 10  √ (tm) x = √ 45 ⇒ SABCD = x2 + 2x + 10 = ⇔ √ 2 x = −5 (loai) −→ −→ DI = ⇒ DI = 2IB IB (∗) Gọi B (b; 2b − 1) ∈ BD từ (∗) ⇒ B (3; 5) Phương trình đường thẳng BC qua B C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = Bài tốn giải xong Đề 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng AD (d) : 3x − 4y − = Gọi E điểm nằm bên hình vng ABCD cho tam giác EBC cân có BEC = 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4) w w Lời giải tham khảo : Tam giác BEC cân có BEC = 150o ⇒ tam giác BEC cân E Gọi H hình chiếu E lên AD ⇒ H trung điểm AD HE = d (E; AD) = Đặt cạnh hình vng AB = x x Tam giác BEC cân E có BEC = 150o ⇒ EBC = 15o Gọi I trung điểm BC ⇒ BI = ; EI = x−3 Tam giác BIE vng I có góc EBI = 15o ⇒ tan 15o = Tổng hợp tốn đặc sắc EI 2x − = BI x www.tilado.edu.vn ⇒2− √ 3= HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ 2x − ⇔x=2 x Phương trình đường thẳng EH qua điểm E vng góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + = Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = √ √ |α − 4| = BI = ⇔ α = ± 5 √ Phương trình đường thẳng AB (d) : 4x + 3y + ± = Ta có d (E, AB) = w t ila e du v n Bài tốn giải xong Đề 04 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − = 0; (d3 ) : x + 2y − = Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp − u → = (a; b) vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C Gọi − u w →, − → − → − → ⇒ cos (− u u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u  w b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 25 a2 + b2 b=− a → = (3; −4) loại trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u → = (1; 0) Với b = ⇒ − u −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; + 3a) C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → − Ta có − u AC phương ⇒ c − 3a − = M trung điểm AC ⇒ M (1) 4a + − 2c 3a + c + ; Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn ⇒ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 4a + − 2c 3a + c + + − = ⇔ 31a − 3a + 40 = 2 (2) Từ (1) (2) ⇒ a = 1; c = ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − = B giao điểm BM BC ⇒ B (2; −1) w t ila e du v n Bài tốn cở : Biết tọa độ đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 65 13 R = giác Tâm I −3; − 8 Đề 05 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB BC (d1 ) : 7x − y + 17 = 0; (d2 ) : x − 3y − = Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm đường thẳng AC Lời giải tham khảo : → = (7; −1), BC có vtpt − → = (1; −3) Đường thẳng AB có vtpt − n n → = (a; b) vtpt đường thẳng AC Gọi − n 10 |a − 3b| →, − → − → − → √ =√ √ Tam giác ABC cân A ⇒ cos (− n n2 ) = cos (n2 , n3 ) ⇒ √ 50 10 10 a2 + b2  a=b ⇔ a2 + 6ab − 7b2 = ⇔  a = −7b → = (7; −1) loại phương với − → Với a = −7b chọn − n n → = (1; 1) ⇒ đường thẳng AC : x + y − = Với a = b chọn − n Tọa độ C giao điểm BC AC ⇒ C (3; −2) w Phương trình đường cao xuất phát từ C (d) : x + 7y + 11 = w Đề 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (d1 ) : x − 2y = 0; (d2 ) : x − y + = Biết điểm 180 Tìm tọa độ đỉnh tam M (1; 0) nằm cạnh AB diện tích tam giác ABC giác ABC Lời giải tham khảo : Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A giao điểm (d1 ) (d2 ) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1) Qua M kẻ đường thẳng ⊥(d2 ) cắt (d2 ) I AC N MN qua M ⊥(d2 ) ⇒ (M N ) : x + y − = I giao điểm MN (d2 ) ⇒ I (0; 1) I trung điểm MN ⇒ N (−1; 2) w t ila e du v n Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − = (AC) : 3x − y + = Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5) −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có BC⊥AH ⇔ AH⊥BC ⇔ AH.BC = −−→ −−→ AH = (2; 1) ; BC = (b − 3a − 1; 3b + − a) ⇒ (b − 3a − 1) + (3b + − a) = ⇔ 5b − 7a + = (1) 180 |8b + 14| (3a + 3)2 + (a + 1)2 = Ta có SABC = d (C, AB) AB = √ 10  a=  Từ (1) (2) ⇒  thay ngược lại ta có điểm A, B, C 22 a=− (2) Bài tốn giải xong Đề 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A có AC = 2AB, phương trình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình (d) : 2x − y + = 0, điểm G 0; trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hồnh độ bé −2 w w Lời giải tham khảo : Gọi M trung điểm AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vng cân A ⇒ M BA = 45o Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG → vtpt đường thẳng (d) ⇒ − → − → Gọi − n √ √ n1 = (2; −1) n2 = (a; b) vtpt đường thẳng BG |2a − b| →, − → ⇒ cos (− n ⇒√ √ = n2 ) = 2 2 a + b  a = 3b  ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = ⇔  a=− b Với a = − w t ila e du v n → = (3; 1) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : 9x + y − = Với a = 3b chọn − n n 2    x=− loại hồnh độ điểm B nhỏ −2 B giao điểm AB BG ⇒ 13   y= b → = (1; −3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : x − 3y + = chọn − n n 2 B giao điểm AB BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn ) −−→ −−→ M trung điểm AC ⇒ M (3a − 1; a) ∈ BG ta có BG = BM ⇒ M (2; 1) Phương trình đường thẳng AC qua điểm M vng góc với AB ⇒ AC : x + 2y − = Tọa độ điểm A giao điểm AC AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1) Bài tốn giải xong Đề 08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm ; Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB D, E F B Biết điểm D (3; 1) phương trình đường thẳng EF có phương trình (d) : y − = Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ khơng âm w w Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC qua điểm B D ⇒ BC : y − = ⇒ BC//EF Do tam giác ABC cân A D trung điểm BC Phương trình đường thẳng AD qua D vng góc với BC ⇒ AD : x − = Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Điểm E (a; 3) ∈ EF ta có BE = BD ⇒ a− 25 + 22 = ⇔ a− 2  a=2 = ⇔ a = −1 a = ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x − 3y + = A giao điểm AB AD ⇒ A 3; 13 a = −1 ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x + 3y − = Vậy điểm A 3; ( loại) w t ila e du v n A giao điểm AB AD ⇒ A 3; − 13 Đề 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5), phương trình đường chéo BD 3x + 4y − 13 = Tìm tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật biết B có hồnh độ âm Lời giải tham khảo : √ Xét tam giác ABD vng A có BD2 = AB + AD2 = 5AB ⇒ BD = AB AB =√ BD → = (3; 4) Gọi → − vtpt − n n = (a; b) vtpt đường thẳng AB  11 a=− b  ⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = ⇔  a=− b ⇒ cos ABD = w Phương trình đường chéo BD có w ⇒ cos ABD = |3a + 4b| √ =√ 2 5 a + b Với a = − 11 − b chọn → n = (11; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình 11x − 2y − = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B 14 ; 5 loại B có hồnh độ âm − Với a = − b chọn → n = (1; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình x − 2y + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (−1; 4) ( thỏa mãn ) Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AD qua điểm A vng góc với AB ⇒ AD : 2x + y − = Tọa độ điểm D giao điểm AD BD ⇒ D (3; 1) Trung điểm I BD có tọa độ I 1; ⇒ C (1; 0) Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) w t ila e du v n Bài tốn giải xong Đề 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD √ (d) : x − y = Đường thẳng AB qua điểm P 1; , đường thẳng CD qua điểm √ Q −2; −2 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết độ dài AB = AC điểm B có hồnh độ lớn Lời giải tham khảo : Ta có AB = AC ⇒ tam giác ABC ⇒ ABC = 60o ⇒ ABD = 30o w w → = (1; −1) Giả sử → − Đường thẳng BD có vtpt − n n = (a; b) vtpt AB √ √ |a − b| →, → − ⇒ cos (− n = ⇔ a2 + 4ab + b2 = ⇔ a = −2 ± b n) = √ √ 2 a2 + b2 √ √ − − Với a = −2 − b chọn → n = −2 − 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √ AB : + x − y − = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B 2 √ ; √ 1+ 1+ loại xB > √ √ − − Với a = −2 + b chọn → n = −2 + 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √ √ AB : − x − y − + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (2; 2) thỏa mãn √ √ Ta có CD // AB CD qua điểm Q ⇒ CD : − x − y + − = Tọa độ điểm D giao điểm BD CD ⇒ D (−4; −4) ⇒ tọa độ tâm k hình thoi trung điểm BD ⇒ K (−1; −1) Tổng hợp tốn đặc sắc “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Tổ Hợp & Xác suất Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Sau đây, Nguyễn Minh Đức xin giới thiệu chun đề nhỏ tổng hợp số tốn mảng kiến thức “ Tổ Hợp-Xác Suất” Như điều hiển nhiên, “Tổ Hợp-Xác Suất” phần khơng vắng mặt đề thi ĐH trước năm 2015 Năm học 2015 này, sĩ tử đứng trước kì thi với hình thức gọi kì THPT Quốc gia chung Với hình thức thi kèm theo cấu trúc “Tổ Hợp-Xác Suất” khơng thể thiếu tờ đề thi bộ, chí xếp vào câu chốt có chút làm khó thi sinh dự thi Vậy nên, để đáp ứng nhu cầu ơn luyện thân q nhỏ gửi đến sĩ tử q trình ơn luyện thi THPT Quốc gia chung năm học 2015, tơi xin viết lên tài liệu Trong q trình viết khơng thể khơng gặp nhiều sai sót Mong bạn đọc đóng góp để tài liệu hồn thiện hơn! Thân! My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu PHẦN I: MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN: Bài Tốn 1: (ViettelStudy-2014) Một lớp học có 30 học sinh Chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia hoạt động 12 Đồn trường Xác suất chọn nam nữ Tính số học sinh nữ 29 lớp Hướng Dẫn Giải:  , n  28  Gọi số học sinh lớp n n   Số cách chọn ba học sinh là: C303 cách  Số cách chọn ba học sinh có nam nữ là: C302 nCn1 cách  Theo ta có: * (1)  n  14 C302 nCn1 12    n  14  n  45  240     n  45  1065   C30 29   Từ (1) (2) suy ra: n  14 Vậy số học sinh nữ lớp 14 học sinh Bài Tốn 2: (ViettelStudy-2014) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ chữ số 0,1,2,3,4,5 Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn có chữ số Hướng Dẫn Giải:    Gọi a1a2 a3a4 a5 (với 0,1, 2,3, 4,5 , a1  ) số thuộc tập S  Xác định số phần tử S: - a1 có cách chọn - Lập a2 a3a4 a5 có A54 cách chọn Vậy số phần tử S là: 5.A54 Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC  Gọi A biến cố số chọn có chữ số Suy A biến cố số chọn khơng có số   Vậy n A số số có chữ số khác lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4 Suy ra:   n A  A44  96 (số)  Từ ta có: n  A  600  96  504 (số)  Vậy suy ra: P  A  504 21  600 25 Bài Tốn 3: Từ chữ số 1, 2,3, 4,5,6 lập số có chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số số lập, tính xác suất để số lấy có chữ số chẵn, số lẻ Hướng Dẫn Giải:  Đặt: S  1, 2,3, 4,5,6  Số số có chữ số lập từ tập S là: A64 số  Số cách chọn chữ số chẵn tập S là: C32 cách Số cách chọn chữ số lẻ tập S là: C32 cách Từ chữ số chọn ta lập số có chữ số khác nhau, số lập ứng với hốn vị phần tử Suy số số có chữ số lập từ S mà số có chữ số chẵn, chữ số lẻ là: 4!.C32 C32 số  Gọi A biến cố số có chữ số lập từ tập S mà số có chữ số chẵn, chữ số lẻ Suy ra: P  A  4!.C32 C32  A64 Bài Tốn 4: Trong Thể dục, tổ lớp 11A có 12 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng cuối hàng học sinh nam Hướng Dẫn Giải:   Số cách tập trung ngẫu nhiên thành hàng dọc tổ là: 12! cách Gọi A biến cố tập trung tổ theo hàng dọc mà ln có học sinh nam đứng đầu cuối hàng.Khi ta có: n  A  A72 10! (cách)  Vậy suy ra: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC P  A  A72 10!  12! 22 Bài Tốn 5: Một hộp chứa bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để viên bi lấy có đủ ba màu Hướng Dẫn Giải:  Số cách lấy viên bi từ hộp là: C20 cách  Ta tìm số cách lấy viên bi từ hộp khơng có đủ ba màu: - Trường hợp 1: Lấy viên bi có màu Trường hợp chọn màu vàng, suy có: C88 = cách - Trường hợp 2: Lấy viên bi có màu a) Nếu màu xanh đỏ có: C128 cách b) Nếu màu đỏ vàng có: C158  C88 cách c) Nếu màu vàng xanh có: C138  C88 cách   Vậy trường hợp có: C128  C158  C88  C138  C88  8215 cách Suy số cách lấy viên bi từ hộp khơng có đủ ba màu là: 8216 cách Gọi A biến cố lấy viên bi có đủ màu Khi suy ra: 8216 4529 P  A    C20 4845 Bài Tốn 6: Cần chọn ngẫu nhiên học sinh lớp học có 15 nam 10 nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất cho học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số học sinh nam Hướng Dẫn Giải:  Số cách chọn học sinh lớp học 25 học sinh là: C25 cách  Gọi A biến cố học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số học sinh nam Trường hợp 1: Có học sinh nữ, học sinh nam  Trường hợp có: C10 C154 cách Trường hợp 2: Có học sinh nữ, học sinh nam  Trường hợp có: C102 C153 cách  C154  C102 C153 (cách) Từ suy ra: n  A  C10  Vậy ta có: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC P  A  C10 C154  C102 C153 325  C25 506 Bài Tốn 7: (Chun Vĩnh Phúc-2014) Một hộp đựng bút màu xanh, bút màu đen, bút màu tím bút màu đỏ đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên bút Tính xác suất để lấy bút màu Hướng Dẫn Giải:     Số cách lấy bút từ 20 bút cho là: C204 cách Gọi A biến cố lấy hai bút màu Ta tìm số cách lấy bút khơng có màu với nhau:  Trường hợp có: C61C61.C51.C31 cách Vậy suy ra: C1C1.C1.C1 287 P  A   6  C20 323 Bài Tốn 8: (Chun Vĩnh Phúc-2014) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tìm xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Hướng Dẫn Giải:    10 Số cách chọn 10 thẻ từ 30 thẻ là: C30 cách Gọi A biến cố “5 thẻ mang số lẻ,5 thẻ mang số chẵn có thẻ chia hết cho 10” Số cách chọn thẻ 15 mang số lẻ là: C155 cách Số cách chọn thẻ 12 mang sỗ chẳn mà khơng chia hêt cho 10 là: C124 cách Số cách chọn thẻ thẻ lại (ba mang số chia hết cho 10 10,20,30) là: C31 Từ ta suy ra: n  A  C155 C124 C31 (cách)  Vậy suy ra: P  A  C155 C124 C31 99  10 C30 667 Bài Tốn 9: Lấy ngẫu nhiên chữ số khác từ chữ số {0;1; 2;3; 4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tính xác suất để nhận số tự nhiên có chữ số Hướng Dẫn Giải: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC    Đặt: S={0,1,2,3,4} Số cách lấy chữ số khác tập S xếp chúng thành hàng ngang từ trái sang phải là: A53 cách Gọi A biến cố nhận số tự nhiên có chữ số khác Giả sử số tự nhiên có chữ số tạo thành abc  a  0; a, b, c  S  Khi đó: a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Từ ta suy ra: n  A  4.4.3 (số)  Vậy ta có: P  A  4.4.3  A53 Bài Tốn 10: (Vĩnh Phúc-2014) Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ khơng q hai cầu màu vàng Hướng Dẫn Giải:    Số cách lấy cầu hộp là: C164 cách Gọi A biến cố lấy cầu có cầu màu đỏ khơng q hai màu vàng Ta xét trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có đỏ, xanh  Trường hợp có: C41 C53 cách - Trường hợp 2: Có đỏ, xanh vàng  Trường hợp có: C41 C52 C71 cách - Trường hợp 3: Có đỏ, xanh vàng  Trường hợp có: C41 C51.C72 cách Từ ta suy ra: n  A  C41 C53  C41 C52 C71  C41 C51.C72 (cách)  Vậy ta có: C41 C53  C41 C52 C71  C41 C51.C72 37 P  A   C164 91 Bài Tốn 11: Gọi M tập hợp số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ tập M, tính xác suất để số chọn số có tổng chữ số số lẻ Hướng Dẫn Giải:    Đặt: S={0,1,2,3,4,5,6} Gọi số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lập từ S là: a1a2 a3 Tính số số có ba chữ số đơi khác lập từ S: - a1 có cách Lập a2 a3 có A62 cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Từ suy ra: n  M   A62 (số)   Gọi A biến cố số chọn có tổng chữ số số lẻ Tính số số có ba chữ số đơi khác M có tổng chữ số số lẻ: - Trường hợp 1: Có chữ số lẻ, chữ số chẵn:  Trường hợp có: C31.C42 3! C31.C41 2!  84 số - Trường hợp 2: Có chữ số lẻ:  Trường hợp có: 3!  số Từ suy được: n  A  90 (số)  Vậy suy ra: P  A  90  A6 Bài Tốn 12: Một hộp chứa 11 bi đánh số từ đến 11 Chọn bi cách ngẫu nhiên cộng số bi rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ Hướng Dẫn Giải:    Số cách rút viên bi từ 11 viên bi là: C116 cách Gọi A biến cố thu số lẻ Tính số cách rút viên bi cho tổng số viên bi số lẻ : Ta có trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có bi mang số chẵn, bi mang số lẻ  Trường hợp có: C61.C55 cách - Trường hợp 2: Có bi mang số lẻ, bi mang số chẵn  Trường hợp có: C63 C53 cách - Trường hợp 3: Có bi mang số lẻ, bi mang số chẵn  Trường hợp có: C65 C51 cách Từ suy ra: n  A  C61.C55  C63 C53  C65 C51 (cách)  Vậy suy ra: P  A  C61.C55  C63 C53  C65 C51 118  C116 231 Bài Tốn 13: Trong kì tuyển sinh năm 2015, trường THPT Lê Quảng Chí có học sinh gồm nam nữ đậu vào khoa A trường đại học Số sinh viên đậu vào khoa A chia ngẫu nhiên thành lớp Tính xác suất để có lớp có nam nữ trường THPT Lê Quảng Chí Hướng Dẫn Giải:  Với học sinh có cách xếp học sinh vào lớp Do đó, số cách xếp học sinh vào lớp 45 cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC    Gọi X biến cố chia lớp có nam nữ trường THPT Lê Quảng Chí Số cách chọn học sinh nam học sinh nữ học sinh là: C32 C21 cách Ứng với cách chọn , có cách xếp học sinh vào lớp có 32 cách xếp học sinh lại vào lớp lại Vậy số cách xếp có học sinh nam học sinh nữ trường THPT Lê Quảng Chí vào lớp là: 4.32.C32 C21 cách hay n  X   4.32 C32 C21 (cách) Từ suy ra: P X   4.32 C32 C21 27  45 128 Bài Tốn 14: Cho tập E={1,2,3,4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đơi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Hướng Dẫn Giải:     Số số có chữ số đơi khác lập từ E là: A53 =60 số Suy số cách viết số lên bảng mà số có chữ số đơi khác lập từ E là: C602 cách Số số có chữ số mà số khơng có mặt chữ số lập từ E là: A43  24 (số)  Số số có chữ số mà số có mặt chữ số lập từ E là: 60  24  36 (số) Gọi A biến cố viết lên bảng hai số mà hai số có số có chữ số Ta có, số cách viết hai số lên bảng mà có số có chữ số là: 1 C24 C36 1 C36 Từ suy ra: n  A  C24 (cách)  Vậy ta có: P  A  1 C24 C36 144  C60 295 Bài Tốn 15: Một hộp có viên bi đỏ ,3 viên bi vàng viên bi xanh Hỏi có cách lấy viên bi số bi đỏ lớn số bi vàng Hướng Dẫn Giải:  Ta có trường hợp sau: - Trường hợp 1: Cả viên lấy bi đỏ  Trường hợp có C54 cách - Trường hợp 2: Có viên bi đỏ, viên bi vàng  Trường hợp có C53 C31 cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Trường hợp 3: Có viên bi đỏ, viên bi xanh  Trường hợp có C53 C41 cách - Trường hợp 4: Có viên bi đỏ, viên bi xanh  Trường hợp có C52 C42 cách - Trường hợp 5: Có viên bi đỏ, viên bi xanh  Trường hợp có C51.C43 cách - Trường hợp 6: Có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh  Trường hợp có C52 C31.C41 cách Từ trường hợp ta suy ra, số cách lấy viên bi thỏa mãn u cầu tốn là: C54  C53 C31  C53 C41  C52 C42  C51.C43  C52 C31.C41  275 cách -  Bài Tốn 16: Trong lớp học gồm có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có học sinh nam học sinh nữ Hướng Dẫn Giải:  Số cách chọn học sinh lớp lên bảng là: C354 cách   Gọi A biến cố học sinh lên bảng có học sinh nam học sinh nữ Ta tính số cách gọi học sinh lên bảng có học sinh nam học sinh nữ: Ta có trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có học sinh nam, học sinh nữ  Trường hợp có: C20 C153 cách - Trường hợp 2: Có học sinh nam, học sinh nữ  Trường hợp có: C20 C152 cách - Trường hợp 3: Có học sinh nam, học sinh nữ  Trường hợp có: C20 C15 cách C153  C20 C152  C20 C15 Từ suy ra: n  A  C20 (cách)  Vậy ta có: P  A  C20 C153  C20 C152  C20 C15 4615  C35 5236 Bài Tốn 17: Cho hai đường thẳng song song d1 d Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d có n điểm phân biệt  n  3, n  * Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho.Tìm n Hướng Dẫn Giải: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC  Ta có số tam giác tạo từ điểm thuộc d1 d là: Cn310  C103  Cn3  Theo đề ta suy ra: Cn310  C103  Cn3  2800   n  10  n   n    10.9.8  n  n  1 n    2800.6  n  8n  560   n  20  Do n  3, n  *  Vậy n  20 điểm Bài Tốn 18: Một hộp có viên bi xanh,6 viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp.Tính xác suất biến cố viên chọn có đủ màu số bi đỏ số bi vàng Hướng Dẫn Giải:    Số cách lấy ngẫu nhiên viên từ hộp là: C185 cách Gọi A biến cố viên bi chọn có đủ ba màu số bi đỏ số bi vàng Tính n  A : - Trường hợp 1: Có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh:  Trường hợp có: C61.C71 C53 cách - Trường hợp 2: Có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh  Trường hợp có: C62 C72 C51 cách -  Từ suy ra: n  A  C61.C71 C53  C62 C72 C51 (cách) Vậy ta có: P  A  C61.C71 C53  C62 C72 C51 95  C185 408 Bài Tốn 19: Biển số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ từ A,B,C,…….,Z Các chữ số chọn từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hỏi có biển số xe có hai chữ số khác nhau, đồng thời có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ giống ( Có phân biệt vị trí xếp chữ chữ số biển số với nhau: VD: AK 1698 KA 1698 ) Hướng Dẫn Giải:  Chọn hai chữ số khác nhau, ta có số cách chọn là: A262 cách  Chọn hai số lẻ giống ta có cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC  Chọn vị trí vị trí để đặt chữ số lẻ giống nhau, cách chọn vị trí vị trí mà khơng quan tâm đến thứ tự xếp Do có C42 cách  Sắp xếp chữ số chẵn vào vị trí lại, cách chọn phần tử lặp lại phần tử Mỗi vị trí có năm cách chọn Do có 52 cách Từ ta suy ra, số biển xe thỏa mãn u cầu đề là: A26 5.C42 52  487500 (cách)  Bài Tốn 20: Lớp học đủ ánh sáng có bòng đén sáng Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng Trong lớp học có bóng đèn, bóng đèn có xác suất bị cháy Hướng Dẫn Giải:   Gọi A, B, C cách biến cố “ lớp có bóng đèn sáng”, “lớp có bóng đèn sáng” “lớp có bóng đèn sáng ” Vì bóng có xác xuất sáng Theo cơng thức nhân ta có kết sau:  3  P  A    4    53 P B  C          43 1  P  C   C6      4 4  Do với S biến cố lớp học đủ sáng thì: P  S   P  A  P  B   P  C   1701   0,8306  2048 Nguyễn Minh Đức 16-02-1998 K10A-Trường THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TỐN NÂNG CAO Bài Tốn 21: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Hướng Dẫn Giải:   Số số tự nhiên có chữ số 9.104  90000 số Gọi số tự nhiên có chữ số mà chia hết cho có chữ số hàng đơn vị là: a1a2 a3a41  a1    Ta có biến đổi sau: a1a2 a3a41  3.a1a2 a3a4   7.a1a2 a3a4 (*) Từ (*) ta có nhận xét: Để a1a2 a3a41 chia hết cho 3.a1a2 a3a4  phải chia hết cho 7 x 1 x 1 Đặt: 3.a1a2 a3a4   x  x  *  Suy ra: a1a2 a3a4   2x  ** 3 Từ (**) ta suy x  phải chia hết cho 3.Đặt x   3t  x  3t  t  *   Khi đó: a1a2 a3a4  7t   1000  7t   9999  t 143,144, ,1428 Vậy số cách chọn t cho số a1a a3a41 chia hết cho có chữ số hàng  đơn vị 1286 cách (ứng với t ta số a1a a3a41 ) Từ ta có xác suất cần tính là: 1286 643 P    0, 0143 90000 45000 Bài Tốn 22: (Đề Thi HSG Tốn 11 cấp tỉnh-Thái Ngun 2012) Cho tập hợp A  1;2;3; ;18 Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ Hướng Dẫn Giải: Lời giải Sở GD&ĐT Thái Ngun (bài khó q khơng giải được, tham khảo lời giải nhé!  ):  Ta cần tìm số phần tử tập T sau:   T  (a1,a , ,a ) : a1  a   a ;  a i  18; a i  a j   Xét tập hợp H  (b1,b2 , ,b5 ) : b1  b   b5 ;  bi  14 Xét ánh xạ f cho tương ứng (a1 ,a , ,a ) với (b1,b2 , ,b5 ) xác định sau: b1  a1,b2  a  1,b3  a  2,b4  a  3,b5  a  Dễ thấy f song ánh, suy T  H Mặt khác (b1,b2 , ,b5 ) H tổ hợp chập 14 phần tử  Do Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC H  C14  2002 Vậy T  2002 Bài Tốn 23: Từ chữ số 0, 2, 3, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau, hai chữ số khơng đứng cạnh Hướng Dẫn Giải:   Đặt S={0,2,3,5,6,8} Gọi a1a2 a3a4 a5a6 số gồm chữ số đơi khác thiết lập từ tập S  Ta tính số cách lập thành số a1a2 a3a4 a5a6 từ tập S   - a1 có cách - a2 a3a4 a5a6 có A55 cách Từ suy ra, có 5.A55 số gồm gồm chữ số đơi khác thiết lập từ tập S Ta tìm số số chữ số đơi khác thiết lập từ tập S mà số có hai chữ số đứng cạnh nhau: - Trong a1a2 a3a4 a5a6 có vị trí để đứng cạnh vị trí đầu bên trái có khả 50a3a4 a5a6 , vị trí lại hốn vị cho - Sau chọn vị trí để hai chữ số đứng cạnh nhau, ta chọn hốn vị chữ số lại Từ suy ra, có 9.4! số dạng a1a2 a3a4 a5a6 lập từ S mà có hai chữ số đứng cạnh Vậy ta có A55  9.4!  384 cách lập số tự nhiên có chữ số từ tập S mà số hai chữ số khơng đứng cạnh Bài Tốn 24: (Đề nghị 30-4 2008) Có số tự nhiên có 10 chữ số khác đơi một, chữ số 1,2,3,4,5 xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải số 1,2,3,4,5,6 khơng xếp vậy?     Hướng Dẫn Giải: Gọi số tự nhiên có 10 chữ số a1a2 .a9 a10  0,1, 2, ,7,8,9 , a1   Theo u cầu đề chữ số 1,2,3,4 thiết phải đứng trước chữ số Do chữ số đứng vị trí a6 , a7 , a8 , a9 ,a10 Ta xét vị trí chữ số , đến vị trí chữ số 6, vị trí (1,2,3,4) cuối vị trí chữ số lại Xét trường hợp sau: - Trường hợp a10  : Chữ số có vị trí , (1,2,3,4) có C84 vị trí bốn chữ số 0,7,8,9 có 4! vị trí Như có 9.C84 4! cách xếp kể a1  Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Ta bỏ trường hợp a1  ( có 8.C74 3! cách xếp)  Trường hợp có 9C84 4! 8.C74 3! số  - Trường hợp a9  ta có: 8.C74 4! 7.C64 3! số - Trường hợp a8  ta có: 7.C64 4! 6.C54 3! số - Trường hợp a7  ta có: 6.C54 4! 5.C44 3! số - Trường hợp a6  ta có: 5.C44 4! số Từ trường hợp trên, cộng lại ta suy số số thỏa mãn đề là: 22680 (số) Bài Tốn 25: Xếp học sinh nam học sinh nữ ngồi vào bàn tròn 10 ghế Tính xác suất để khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh Hướng Dẫn Giải:  Ta cố định vị trí cho học sinh nữ, đánh ghế lại từ đến Khi ta có số khơng gian mẫu n     9! (cách)   Gọi A biến cố khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh Ta xét trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có học sinh nữ ngồi ghế số 2, học sinh nữ ngồi ghế số 4, học sinh nữ lại ngồi ghế vị trí 6,7,8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3.3! cách - Trường hợp 2: Có học sinh nữ ngồi ghế số 2, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 7,8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 2.3! cách - Trường hợp 3: Có học sinh nữ ngồi ghế số 2, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3! cách - Trường hợp 4: Có học sinh nữ ngồi ghế số 3, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 7,8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 2.3! cách - Trường hợp 5: Có học sinh nữ ngồi ghế số 3, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3! cách - Trường hợp 6: Có học sinh nữ ngồi ghế số 4, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3! cách Ứng với cách xếp nữ có ! cách xếp nam Từ suy ra: n  A  6! 3.3! 2.3! 3! 2.3! 3! 3!  10.6!.3! Vậy ta có: 10.6!.3! P  A   9! 42   Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC [ Tài Liệu Tham Khảo ] Cảm ơn tài liệu sau làm nguồn đề, nguồn tài liệu cho Nguyễn Minh Đức hồn thành chun đề này: Các đề thi thử đại học Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc, Chun Vĩnh Phúc, Chun Đại Học Vinh số tỉnh, trường nước Đề thi HSG cấp tỉnh Tốn 11-Thái Ngun năm học 2011-2012 Một số đề thi thử trung tâm Viettelstudy Một đề khơng rõ nguồn gốc, Nguyễn Minh Đức xin cảm ơn tác giả -The End- Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com ... ĐẠI HỌC MÔN TOÁN www.facebook.com/tilado.toanhoc TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC (phiên 1) Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Hà Nội tháng 12 năm 2014 www.tilado.edu.vn HÌNH... = −4 ⇒ B (−3; −4) 2 Bài toán giải xong Tổng hợp toán đặc sắc 26 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 32 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình... điểm AM ⇒ A (1; 3) Bài toán giải xong Tổng hợp toán đặc sắc 29 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 36 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có A (−2; 6),