8 CD8 phuong phap toa do trong khong gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC khơng gian • • • • • x'Ox : trục hồnh x' ' y Oy : trục tung r z'Oz : trục cao k y' O : gốc toạ độ r rr r O r j : véc tơ đơn vị i, j , k i rr r x (hay i; j;k : véc tơ đơn vị ) z' Quy ước : Khơng gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz gọi khơng gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) y II Toạ độ điểm véc tơ: uuuu r Định nghĩa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo rr r uuuu r r r r z i, j , k hệ thức có dạng : OM = xi + y j + yk voi x,y,z ∈ ¡ Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M Ký hiệu: M(x;y;z) y ( x: hồnh độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) M O x • Ý nghĩa hình học: z R z M3 O p uuuu r r r r OM = xi + yj + zk ⇔ x = OP ; y= OQ ; z = OR M2 M y y Q x x đ/ n M (x; y; z) M1 r r Định nghĩa 2: Cho a∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo r r r r rr r i a1,a2,a3 ∈ ¡ i, j , k hệ thức có dạng : a = a1i + a2 j +a3k vớ r Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a r a = (a1; a2; a3) Ký hiệu: r a =(a1;a ;a ) ⇔ r r r r a = a1 i + a2 j + a3 k 172 II Các cơng thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : ☞Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ; z A ) va B(x B ; yB ; zB ) uuu r AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA ) r r a = ( a ; a ; a ) va b = (b1; b2 ; b3 ) Nếu a1 = b1 r r  * a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r r * a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3) r r * a − b = (a1 − b1; a2 − b2; a3 − b3) r (k∈ ¡ ) * k.a = (ka1; ka2; ka3) ☞Định lý 2: III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Định lý phương hai véc tơ: r r r r ☞ Định lý : Cho hai véc tơ a va b voi b ≠ r r a cung phuong b r r ⇔ ∃!k ∈ ¡ cho a = k b r r Nếu a ≠ số k trường hợp xác định sau: r r k > a hướng b r r k < a ngược hướng b r a k= r b uuu r uuur A, B, C thang hang ⇔ AB cung phuong AC ☞ Định lý : ☞ r r Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) va b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : r r a cung phuong b a1 = kb1  ⇔ a2 = kb2 ⇔ a : a2 : a3 = b1 : b2 : b3  a = kb  IV Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại: rr r r r r a.b = a b cos(a, b) 173 r2 r a =a r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = r r a = ( a ; a ; a ) b = (b1; b2; b3) ta có : 2 ☞ Định lý 6: Cho hai véc tơ rr a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r a Định lý 7: Cho hai véc tơ = (a1; a2; a3) ta có : r a = a12 + a22 + a32 ☞ Định lý 8: Nếu A(xA; yA; zA ) vàB(xB; yB; zB ) AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 r r ☞ Định lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3) vàb = (b1; b2; b3) ta có : r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = r ☞ Định lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3) r vàb = (b1; b2; b3) ta có : rr r r a1b1 + a2b2 + a3b3 a.b cos(a, b) = r r = a.b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi chia đoạnuAB tỷr số k ( k ≠ ) : uur theo uuu MA = k.MB • • • A M B uuur uuur ☞ Định lý 11 : Nếu A(xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ) MA = k.MB ( k ≠ ) xA − k.xB   xM = 1− k  yA − k.yB   yM = 1− k  zA − k.zB   zM = 1− k  174 xA + xB   xM =  y +y  Đặc biệt : M trung điểm AB ⇔  yM = A B  zA + zB   zM =  Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A(xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ), C(xC ; yC ; zC ) xA + xB + xC   xG =  y + y +y  G trọng tâm tam giác ABC ⇔  yG = A B C  zA + zB + zC   zG =  Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a Chứng minh tam giác ABC vng b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ: r r Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a = (a1; a2; a3) vàb = (b1; b2; b3) véc tơ r r ký hiệu :  a; b có tọa độ : r a = (a1; a2; a3) Cách nhớ: r b = (b1; b2; b3) r r a a a a a a   a; b =  ; ;     b2 b3 b3 b1 b1 b2  Tính chất: • • • r r r r r r  a; b ⊥ a và a; b ⊥ b     r suur uuu S∆ABC =  AB; AC  SY ABCD uuu r uuur =  AB; AD  A B C D A' A B uuu r uuur uuur =  AB; AD  AA' • VABCD.ABC ' ' ' ' D • r uuur uuur uuu VABCD =  AB; AC  AD • r r r r r a cù ng phương b ⇔  a; b = D' C C' B' D D C A B C A B 175 • • r r r r r r a, b, c đồ ng phẳ ng ⇔  a, b c = uuur uuur uuur uuur uuur uuur A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB,AC,AD đồng phẳng ⇔  AB,AC AD = BÀI TẬP ỨNG DỤNG: hoctoancapba.com Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng b Tính diện tích tam giác ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; −1;6),B(−3; −1; −4),C(5; −1;0),D(1;2;1) Chứng minh tam giác ABC vng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Các định nghĩa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng: r r  r đn  a ≠ a VTCP đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r c trù ng vớ i (∆) a cógiásong song hoặ  a  a (∆ ) Chú ý: • Một đường thẳng có vơ số VTCP, véc tơ phương với • Một đường thẳng ( ∆ ) hồn tồn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng:   a b a α b r Cho mặt phẳng α xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường r thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : uruu r Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng α Chú ý : • Một mặt phẳng α hồn tồn xác định biết điểm thuộc cặp VTCP  Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : n α r đn n VTPT mặt phẳng α ⇔ r r  n ≠ r ng gó c vớ i mpα  n cógiávuô Chú ý : 176 • • Một mặt phẳng có vơ số VTPT, véc tơ phương với Một mặt phẳng hồn tồn xác định biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: r  a = (a1; a2; a3) Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP :  r mp α có VTPT :  b = (b1; b2; b3) r r r a a a a a a  n =  a; b =  ; ;   b2 b3 b3 b1 b1 b2   a    n = [a , b ]  b α Ví dụ: Tìm VTPT mặt phẳng α biết α qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α qua điểm M0(x0; y0; z0) có r VTPT n = ( A; B;C ) là:  n = ( A; B; C ) M ( x;y;z) • M ( x0 ; y ; z ) A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = α Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : z  n = ( A; B; C ) α Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C ≠ y M0 phương trình tổng qt mặt phẳng x Chú ý : r • Nếu (α ): Ax + By + Cz + D = (α ) có VTPT n = ( A; B;C ) • M0(x0; y0; z0) ∈ (α ): Ax + By + Cz + D = ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oxz ) • (Oxy):z = x • (Oyz):x = • (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:  A(a;0;0)  • Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz  B(0; b;0) (a,b,c ≠ 0) C(0;0; c)  x y z + + =1 a b c Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) (Oyz ) z y O (Oxy ) C c O a là: b B A 177 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A( 1;2;3) , B ( 2; −3;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với đường thẳng AB Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 2y + 3z + = ( R) :3x + 2y − z − 1= Viết phương trình mặt phẳng ( R) qua A( 1;1;1) đồng thời vng góc với ( P ) ( Q) Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ III Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu:  a1 = tb1  a = tb  ( a , a , , a )  n Hai n số :  gọi tỷ lệ với có số t ≠ cho  (b1, b2, , bn)    an = tbn a1 : a2 : : an = b1 : b2 : : bn Ký hiệu: a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : uu r (α ): A1x + B1y + C1z + D1 = cóVTPT n1 = ( A1; B1;C1) uu r (β ): A2x + B2y + C2z + D2 = cóVTPT n2 = ( A2; B2;C2)  n  n2   n1  n1 a n2  n2 b a a b b (α ) cắ t (β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 (hay: ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C2 D2 (α ) ≡ (β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C2 D2 (α ) // (β ) Đặc biệt: A1 B1 B C C A ≠ hoặ c ≠ hoặ c ≠ 1) A B2 B2 C2 C2 A2 α ⊥ β ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 178 I Phương trình đường thẳng: hoctoancapba.com 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng (∆) qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a = (a1; a2; a3) làm VTCP : z  a  x = x0 + ta1  (∆ ):  y = y0 + ta2  z = z + ta  (∆) M0 M ( x, y , z ) y (t ∈ ¡ ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng (∆) qua điểm M0(x0; y0; z0) r nhận a = (a1; a2; a3) làm VTCP : (∆): x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2; 2;1) , B ( 0; 2;5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A B Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A( 1;1;0) , B ( 0; 2;1) trọng tâm G ( 0; 2; - 1) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm C vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Ví dụ 3: x = 1+ 2t  Cho điểm M(-2;1;1) đường thẳng (d): y = −1− t Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm z = 3+ t  M vng góc với đường thẳng (d) Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) đường thẳng (d): x z z = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm −1 M đường thẳng (d) II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : (∆) a M  a  n M  a (∆)  n  n a a M  a (∆) Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : 179 r x − x0 y − y0 z − z0 = = có VTCP a = (a1; a2; a3) qua M0(x0; y0; z0) a1 a2 a3 r mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = có VTPT n = ( A; B;C ) Khi : (∆) cắ t (α ) ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ đường thẳng (∆): Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D = (∆) // (α ) (∆) ⊂ (α )  a (∆) ⊥ (α ) ⇔ Đặc biệt:  n a1 : a2 : a3 = A : B : C a  pt(∆) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M ( ∆ ) ( α ) ta giải hệ phương trình :  tìm x,y,z  pt(α ) Suy ra: M(x,y,z) Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y − 3z + 14 = Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d): x−1 y+ z − = = mặt phẳng (P): x − 3y − 4m2z + m = Tìm m −1 −4 để đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) Vị trí tương đối hai đường thẳng : M M0 ' ∆1  a M0  b  u  u' ∆2 M 0' ∆1 ∆2  u M0 ' ∆1 M M  u  u' ∆2 M ' ∆1  u' ∆2 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : r x − x0 y − y0 z − z0 (∆1) : = = cóVTCP u = (a; b; c) vàqua M 0(x0; y0; z0) a b c ur x − x0 y − y0 z − z0 (∆ 2): = = cóVTCP u' = (a'; b'; c' ) vàqua M '0(x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c 180 r r ur uuuuuuu • (∆1) và(∆ 2) đồ ng phẳ ng ⇔ u,u'  M0M0' =   u r r r ' uuuuuuu u  M M ' = , u   0 • (∆1) cắ t (∆ 2) ⇔   a : b : c ≠ a' : b' : c' • (∆1) // (∆ 2) ⇔ a : b: c = a' : b' : c' ≠ (x0' − x0):(y0' − y0):(z0' − z0) • (∆1) ≡ (∆ 2) ⇔ a : b: c = a' : b' : c' = (x0' − x0):(y0' − y0):(z0' − z0) r r ur' uuuuuuu   ⇔ u,u M0M0' ≠   • (∆1) và(∆ 2) ché o  pt(∆1) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (∆1) và(∆ 2) ta giải hệ phương trình :  tìm x,y,z  pt(∆ 2) Suy ra: M(x,y,z) III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : (α ): A1x + B1y + C1z + D1 =  n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) (β ): A2x + B2y + C2z + D2 = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có cơng thức: cos ϕ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A + B +C A + B +C 2 2 2  n2 = ( A2 ; B2 ; C ) a 2 0 ≤ ϕ ≤ 90 b Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + = 0& (Q) : −x + z + = Xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) Góc đường thẳng mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (∆): x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆) & (α ) ta có cơng thức: sin ϕ = (∆)  a = (a; b; c )  n = ( A; B; C ) Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x − x0 y − y0 z − z0 (∆1) : = = a b c x − x0 y − y0 z − z0 (∆ 2): = = ' a' b' c a  a1 = (a; b; c) 0 ≤ ϕ ≤ 90 ∆1 ∆2  a = ( a ' ; b' ; c ' ) 0 ≤ ϕ ≤ 90 181 r x −1 y +1 z − = = Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho M ( −1; 2; −3) ;a = ( 6; −2; −3 ) , ( d ) : Tìm phương trình −5 r đường thẳng ( ∆ ) qua M, vng góc a cắt (d) Bài giải • • • Lấy điểm N ∈ (d) , tọa độ N có dạng N ( + 3t; −1 + 2t;5 − 3t ) , ta có: uuuu r MN = ( + 3t; −3 + 2t;6 − 5t ) r uuuu rr MN ⊥ a ⇔ MN.a = ⇔ ( + 3t ) − ( −3 + 2t ) − ( − 5t ) = ⇔ t = uuuu r Đường thẳng cần tìm qua M có VTCP MN = ( 2; −3;6 ) có phương trình là: x +1 y − z + = = −3 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tắc đường thẳng d qua A ( 0;1;1) , vng góc x −1 y + z (d1 ) : = = cắt ( d ) giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình: 1 x + y − z + = 0, x + = Bài giải •  x = −1 d Viết phương trình tham số đường thẳng ( ) :  y = −1 + t  z = t 185 • • uuur uur Xét điểm B ( −1; −1 + t, t ) ∈ (d ) Tìm t để AB.a d1 = uuur uur AB.a d1 = ⇔ t = ⇒ B ( −1; 2;3 ) Phương trình (d): x y −1 z −1 = = −1 x − y − z +1 = = mặt phẳng (P): x + y + z + = −1 Gọi M giao điểm (d) (P) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) nằm (P) saocho ( ∆ ) vng góc với Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d): (d) khoảng cách từ M đến ( ∆ ) Bài giải • • • • 42 Do M = (d) I (P) nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  x − y − z +  x = = = ⇔   y = −3 ⇒ M ( 1; −3;0 ) −1  z =  x + y + z + = r uur (d) có VTCP a = ( 2;1 − 1) (P) có VTPT n P = ( 1;1;1) uur r uur Mặt phẳng (Q) chứa (d) vng góc với (P) có VTPT n Q = a; n P  = ( 2; −3;1) Phương trình mp(Q): 2x − 3y + z − 11 = Gọi (d') hình chiếu vng góc (d) mặt phẳng (P) (d) = ( P ) I ( Q ) uur uur uur VTCP (d') a d ' =  n P ; n Q  = ( 4;1; −5 ) , phương trình tham số (d') là:  x = + 4t  y = −3 + t  z = −5t Ta tìm N ∈ ( d ') cho MN = 42 , đặt N ( + 4t; −3 + t; −5 ) , ta có: MN = 42 ⇔ 42t = 42 ⇔ t = ±1 + Với t = ta có N1 ( 5; −2; −5 ) ( ∆1 ) qua N1 nằm (P) vng góc với (d') có VTCP uuu r uur uur a ∆1 =  n P ; n d '  = ( −6;9; −3 ) = −3 ( 2; −3;1) Phương trình đường thẳng cần tìm là: x −5 y+2 z+5 = = ( ∆1 ) : −3 x +3 y + z −5 = = + Với t = −1 ta có: ( ∆ ) : −3 Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A ( 1;0;1) , B ( 1; 2;1) ;C ( 4;1; −2 ) mặt phẳng (P): x + y + z = Tìm (P) điểm M cho MA + MB2 + MC đạt giá trị nhỏ 186 Bài giải • • • • • Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G ( 2;1;0 ) , ta có MA + MB2 + MC = 3MG + GA + GB2 + GC (1) Từ hệ thức (1) ta suy : MA + MB2 + MC đạt GTNN ⇔ MG đạt GTNN ⇔ M hình chiếu vng góc G (P) Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với (P) (d) có phương trình tham số là:  x = + t y = + t z = t Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x = + t t = −1 y = + t  ⇔  x = ⇒ M ( 1, 0, −1) z = t y=0 x + y + z = z = −1   Vậy M ( 1;0; −1) x +1 y + z x − y −1 z −1 = = ; ( d2 ) : = = mặt 2 1 phẳng ( P ) : x + y − 2z + = Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) cắt ( d1 ) , ( d ) A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( d1 ) : Bài giải • Đặt A ( −1 + a; −2 + 2a;a ) , B ( + 2b;1 + b;1 + b ) , ta có uuur AB = ( −a + 2b + 3; −2a + b + 3; −a + b + 1) • Do AB song song với (P) nên: uuur uur AB ⊥ n P = ( 1;1; −2 ) ⇔ b = a − 187 uuur Suy ra: AB = ( a − 5; −a − 1; −3) • Do đó: AB = ( a − 5) + ( −a − 1) + ( −3) = 2a − 8a + 35 = ( a − ) + 27 ≥ 3 2 { a=2 Suy ra: AB = 3 ⇔ b = −2 • Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: x −1 y − z − = = 1 Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, cho A ( 0;0; ) , B ( 2;0;0 ) mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + = Lập phương trình mặt cầu ( S) qua ba điểm O, A, B tiếp xúc mặt phẳng (P) Bài giải • • Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = d = d = O, A, B ∈ S ⇔ 16 + 8c = ⇔ Do ( )  c = −2 + 4a =  a = −1 Suy ra: (S) có tâm I ( 1; −b; ) , R = + b + = b + • Do (S) tiếp xúc với (P) nên: d ( I;(P) ) = R ⇔ • b = = b + ⇔ 4b + 10b = ⇔  +1  b = − 2−b+3 Vậy có hai mặt cầu là: ( S1 ) : x + y + z − 2x − 4z = ( S2 ) : x + y + z − 2x + 5y − 4z = Ví dụ 8: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A ( 0;1; ) , B ( 1;1;1) , C ( 2; −2;3 ) mặt phẳng (P): x − y + z + = uuuu r uuur uuur Tìm điểm M (P) cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài giải 188 • • Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy ra: G ( 1;0; ) Xét điểm M ∈ (P) Ta có: uuuu r uuur uuur uuuu r MA + MB + MC = MG = 3MG uuuu r uuur uuur Suy ra: MA + MB + MC đạt GTNN ⇔ MG đạt GTNN ⇔ M hình chiếu G (P) • Tìm M + Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với mặt phẳng (P)  x = + t Phương trình đường thẳng (d):  y = − t  z = + t x = + t  t = −2  y = −1  ⇔  x = −1 ⇒ M ( −1; 2;0 ) + Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  z = + t y=2 x − y + z + = z =   • Vậy M ( −1; 2;0 ) Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 5x − 4y + 3z + 20 = 0;3x − 4y + z − = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2;3; −1) cắt (d) hai điểm A, B cho AB = 16 Bài giải • • r  −4 3 5 −4  ; ; Đường thẳng (d) có VTCP là: u =  ÷ = ( 8; 4; −8 ) = ( 2;1; −2 ) hoctoancapba.com  −4 1 3 −4  Kẻ IH ⊥ AB HA = HB = IH = d ( I, (d) ) , R = IH + AH 189 • Xét điểm M ( 11;0; −25 ) , ta có: uuu r r  IM = ( 9; −3; −24 ) ⇒  u; IM  = ( −30;30; −15 )  uur  n d = ( 2;1; −2 ) r 2  u; IM  ( −30 ) + 302 + ( −15 )   ⇒ d ( I;(d) ) = = = 15 r u • Do đó: R = IH + AH = 225 + 64 = 17 • Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 2 x + y − z −1 = = Xét hình bình hành ABCD có −2 −2 A(1 ; ; 0), C (2 ; ; 2), D ∈ d Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : Bài giải • • • x + y − z −1 = = ⇒ D(t − ; − 2t + ; − 2t + 1) −2 −2 Vì S ABCD = ⇒ S ACD = Ta có AC = (1 ; ; 2); AD = (t − ; − 2t + ; − 2t + 1) Do D ∈ d : Suy [ AC , AD] = (−4 ; 4t − ; − 4t + 9) • Khi đó: 1 S ACD = AC , AD = 16 + (4t − 7) + (−4t + 9) = 32t − 128t + 146 2 2 Từ (1) (2) ta có 32t − 128t + 128 = ⇔ t = Suy D(0 ; − ; − 3) • Do ABCD hình bình hành nên AB = DC Suy B(3 ; ; 5) [ • ] (1) (2) Vậy B ( 3;3;5 ) 190 C Các tốn thi TN - CĐ - TSĐH năm 2014 Bài 1: (TN) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; −1;0) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = a) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A vng góc với ( P ) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho AM ⊥ OA AM = 3d ( A;( P )) Đáp án Bài 2: (CĐ) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;1; −1), B(1; 2;3) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A ( P ) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B vng góc với ( P ) Đáp án 191 Bài 3: (ĐH-K.D) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − 11 = a) Chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn (C ) b) Tìm tọa độ tâm (C ) Đáp án Bài 4: (ĐH-K.B) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;0; −1) đường thẳng d : x −1 y +1 z = = 2 −1 a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với d b) Tìm tọa độ hình chiếu A d Đáp án 192 Bài 5: (ĐH-K.A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = đường thẳng d: x−2 y z +3 = = −2 a) Tìm tọa độ giao điểm d ( P ) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với ( P ) Đáp án D BÀI TẬP 193 Bài Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua ba điểm A( 1;0;1) , B ( 0;2;0) ,C ( 0;1;2) Kết quả: ( P ) :3x + 2y + z − = Bài Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua ba điểm A( 1;0;3) , B ( 0;2;2) ,C ( 1; −1;5) Kết quả: ( P ) :3x + 2y + z − = Bài Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua M ( −1;2;3) song song với mặt phẳng ( Q) :2x − 3y + 2z − 1= Kết quả: ( P ) :2x − 3y + 2z + = Bài Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua M ( 1; −1;2) vng góc với mặt phẳng ( Q) : x − 3z+ 1= 0; ( R) :2x + y − z+ 1= Kết quả: ( P ) :3x − 5y + z − 10 = Bài Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A( 0;1;0) , B ( 1;2; −2) vng góc với mặt phẳng ( Q) :2x − y + 3z+ 13 = Kết quả: ( P ) : x − 7y − 3z + = Bài Cho M ( 2;3;1) đường thẳng ( ∆ ) : x − y− z = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa ( ∆ ) −1 qua M Kết quả: ( P ) :2x − y − z = Bài Cho A( 1; −1;2) ( P ) :2x − 3y + 5z − 10 = Viết phương trình mặt phẳng ( Q) đối xứng với mặt phẳng ( P) qua A Kết quả: ( P ) :2x − 3y + 5z − 20 = Bài Viết phương trình đường thẳng giao tuyến ( P ) :3x + y + z − = 0, ( Q) : x + 2y + z − = x = t  Kết quả:  y =  z = 6− 5t  Bài Cho A( 1; −2;3) ( P ) :3x − y + z − 1= Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A vng góc với mặt phẳng ( P ) Kết quả: x − y + z− = = −1 194  x = 1+ 3t x − y z+  = = ; ( ∆ ) :  y = − t Viết phương trình đường Bài 10 Cho M ( 2;3; −1) hai đường thẳng ( ∆1 ) : −3  z = 1+ 5t  thẳng ( ∆ ) qua M vng góc với ( ∆1 ) ,( ∆ ) Kết quả: x − y − z+ = = −13 Bài 11 Cho M ( 3;2; −1) hai đường thẳng ( ∆1 ) : x − y+ z x − y z+ Viết phương = = ; ( ∆2 ) : = = −5 −1 −2 trình đường thẳng ( ∆ ) qua M vng góc với ( ∆1 ) cắt ( ∆ ) Kết quả: x − y − z+ = = Bài 12 Cho M ( 1; −1;1) hai đường thẳng ( ∆1 ) : x − y+ z− x + y− z Viết phương = = ; ( ∆2 ) : = = −1 −1 −1 trình đường thẳng ( ∆ ) qua M cắt hai đường thẳng ( ∆1 ) ( ∆ ) Kết quả: x − y + z− = = −13 −6 Bài 13 Tìm hình chiếu vng góc M ( 3;6;2) lên mặt phẳng ( P ) :5x − 2y + z + 25 = Kết quả: ( −2;8;1) Bài 14 Tìm hình chiếu vng góc điểm M ( 1;0;2) lên đường thẳng ( ∆ ) : x + y− z− Từ suy = = −2 tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua ( ∆ ) Kết quả: H ( −1;5; −1) , M '( −3;10; −4) Bài 15 Cho đường thẳng ( ∆ ) : x − y z+ mặt phẳng ( P ) : x + y − 3z − = Viết phương trình hình = = −3 chiếu vng góc ( ∆ ) mặt phẳng ( P ) Kết quả: x − y+ z+ = = −26 29 Bài 16 Cho đường thẳng ( ∆ ) : x − y z+ mặt phẳng ( P ) : x + 4y − 3z + 1= Viết phương trình hình = = 1 chiếu vng góc ( ∆ ) mặt phẳng ( P ) 195   x = 13 + 2t  16  Kết quả:  y = − + t 13  14   z = − + 2t   x = 2+ t x − y− z+  = = ; ( ∆ ) :  y = 1− t Chứng minh ( ∆1 ) ( ∆ ) chéo Bài 17 Cho hai đường thẳng ( ∆1 ) : −1 −2 z =  Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đường vng góc chung ( ∆1 ) ( ∆ ) Kết quả: x y− z = = −1 1 Bài 18 Cho đường thẳng ( ∆ ) : ( ∆) x − y z+ mặt phẳng ( P ) :2x + y − 2z − 1= Tìm tọa độ giao điểm = = −2 ( P ) Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ∆) vng góc với ( P ) 7 3 Kết quả: M  ; −3; ÷,( P ) : x + 8y + 5z + 13 = 2 2 Bài 19 Cho điểm A( 1;0; −1) đường thẳng ( ∆ ) : x − y+ z Viết phương trình mặt phẳng qua A = = 2 −1 vng góc với ( ∆ ) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A ( ∆ )  1 Kết quả: ( P ) :2x + 2y − z − = 0, H  ; − ; − ÷  3 3  x = −1+ 2t  Bài 20 Cho điểm M ( 1,5,3) đường thẳng ( ∆ ) :  y = + t Viết phương trình mặt phẳng ( P ) vng góc  z = −3− 2t  ( ∆) cách M khoảng x = t  Bài 21 Cho đường thẳng ( ∆ ) :  y = t Viết phương trình mặt phẳng ( P ) vng góc ( ∆ ) cách gốc tọa độ z = t  khoảng 196 Bài 22 Cho hai đường thẳng ( ∆1 ) : x − y− z− x − y − z− Chứng minh ( ∆1 ) ( ∆ ) = = ; ( ∆2 ) : = = −1 −7 chéo Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua ( ∆1 ) song song ( ∆ ) Bài 23 Cho hai đường thẳng ( ∆1 ) : x − y− z+ x + y z− Chứng minh ( ∆1 ) ( ∆ ) = = ; ( ∆2 ) : = = 1 1 −1 chéo Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đường vng góc chung ( ∆1 ) ( ∆ ) x = t x − y− z−  = = ; ( ∆ ) :  y = −t Chứng minh ( ∆1 ) ( ∆ ) chéo Bài 24 Cho hai đường thẳng ( ∆1 ) : −2 z =  Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua điểm M ( 0;1;1) , vng góc với đường thẳng ( ∆1 ) cắt đường thẳng (∆ )  x = 1+ t  x = 1+ t '   Bài 25 Cho hai đường thẳng ( ∆1 ) :  y = −1− t; ( ∆ ) :  y = Chứng minh ( ∆1 ) ( ∆ ) cắt Viết z =  z = −1− t '   phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua điểm M ( 1;1;0 ) , vng góc với mặt phẳng chứa ( ∆1 ) ( ∆ )  x = 1+ 2t  Bài 26 Cho điểm I ( 2; −3; −8) đường thẳng ( ∆ ) :  y = −2 + t Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ') đối xứng  z = 7− t  với ( ∆ ) qua I x + y −1 z − = = Bài 27 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : hai mặt phẳng −1 ( P ) : x + y + z + = 0, (Q) : x − y − z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) Bài 28 Trong khơng gian với hệ tọa độ d1 : Oxyz, cho điểm M (1; 1; 0) hai đường thẳng x −1 y − z −1 x −1 y + z − = = , d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 d đồng −1 −1 −3 thời cách M khoảng Bài 29 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; − 4; − 5), B (2; 0; − 1) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho mặt phẳng (MAB) vng góc với (P) MA2 − 2MB = 36 197 Bài 30 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm C ( 0;0; ) , K ( 6; −3;0 ) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua C , K cho ( P ) cắt trục Ox, Oy A, B thể tích khối tứ diện OABC Bài 31 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 : x +1 y z − x y−2 z = = = , d2 : = −3 −1 −2 A ( −1; 2;0 ) Lập phương trình mặt phẳng ( P ) song song với hai đường thẳng d1 , d cách A khoảng Bài 32 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; −2; −4 ) mặt phẳng ( α ) : x − y − 3z − = Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua điểm A song song với mặt phẳng ( α ) đồng thời cắt đường thẳng (d) : x − y + z −1 = = −2 Bài 33 Trong khơng gian với hệ tọa độ ( S ) : x2 + y + z − 4x + y + 2z − = Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x − y + z − = , mặt cầu hai điểm A ( 1; − 1; − ) , B ( 4;0; − 1) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) song song với AB, vng góc với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính Bài 34 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 ) mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = Tìm ( P ) điểm C cho tam giác ABC vng cân C Bài 35 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình thoi ABCD với A ( −1;2;1) , B ( 2;3; ) Tìm toạ độ đỉnh C , D biết tâm I hình thoi thuộc đường thẳng d : x +1 y z − = = −1 −1 Bài 36 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 1;1;0 ) , đường thẳng (d ) : x y −1 z = = mặt phẳng −1 ( P ) : x − y + z + = Tìm điểm M đường thẳng (d ) cho khoảng cách từ M đến A lần khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) Bài 37 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 1;1; −2 ) , đường thẳng (d ) : x +1 y −1 z − = = mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A , cắt (d ) song song với mặt phẳng ( P) Bài 38 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai đường thẳng (d1 ) : x +1 y − z +1 x −1 y −1 z + = = , (d ) : = = Viết phương trình đường thẳng (d ) song song với mặt phẳng 2 2 ( P ) cắt (d1 ), (d ) A B cho AB = 198 -Hết - 199 ... α ⊥ β ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 1 78 I Phương trình đường thẳng: hoctoancapba.com 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường... dụ 8: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A ( 0;1; ) , B ( 1;1;1) , C ( 2; −2;3 ) mặt phẳng (P): x − y + z + = uuuu r uuur uuur Tìm điểm M (P) cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài giải 188 •... Đường thẳng (d) có VTCP là: u =  ÷ = ( 8; 4; 8 ) = ( 2;1; −2 ) hoctoancapba.com  −4 1 3 −4  Kẻ IH ⊥ AB HA = HB = IH = d ( I, (d) ) , R = IH + AH 189 • Xét điểm M ( 11;0; −25 ) , ta có: uuu