CHUYÊN đề PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I KIẾN THỨC CĂN BẢN Tọa độ củar véc tơ tọa độr điểm r r r     Véc tơ u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk uuuu r r r r Điểm M = ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk r Véc tơ = (0;0;0) Điểm A = ( x A ; y A ; z A ) ; B = ( xB ; yB ; z B ) ; C = ( xC ; yC ; zC ) uuur uuur AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z B − z A ) AB = AB =  Tọa độ trung điểm I AB: xI = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) 2 x A + xB y + yB z +z ; yI = A ; zI = A B 2  Tọa độ trọng tâm G tâm giác ABC: xG = x A + xB + xC y + yB + yC z +z +z ; yG = A ; zG = A B C 3 Các phép toán r r ' ' ' Cho u = ( x; y; z ) ; v = ( x ; y ; z )    x = x' r r r r r  u ± v = ( x ± x ' ; y ± y ' ; z ± z ' ) ; ku = ( kx; ky; kz ) ; u = v ⇔  y = y ' z = z'  '  x = kx r r r  r x y z ' ' ' ' u phương với v ⇔ u = kv ⇔  y = ky ⇔ ' = ' = ' ( x y z ≠ ) x y z  z = kz '  Tích vô hướng tích có hướng hairvéc tơ r Trong không gian Oxyz cho u = ( x; y; z ) ; v = ( x ; y ; z ) 3.1.Tích vô hướng hai véc tơ rr r r r r  Định nghĩa: Tích vô hướng hai véc tơ số: u.v = u v cos u, v ' ' ' ( )    rr r r rr Biểu thức tọa độ: u v = x.x ' + y y ' + z.z ' ; u ⊥ v ⇔ u.v = ⇔ x.x ' + y y ' + z.z ' = r Độ dài véc tơ: u = x + y + z rr r r u.v x.x ' + y y ' + z.z ' cos u , v = = r r Góc hai véc tơ: u.v x + y + z x '2 + y '2 + z '2 ( ) 3.2.Tích có hướng hai véc tơ  Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ véc tơ tính sau r r y z z x x y u , v  =  = yz ' − y ' z ; zx ' − z ' x; xy ' − x ' y )    y ' z' ; z ' x' ; ÷ ÷ x ' y' (    Tính chất: r r r r r r o u, v  ⊥ u; u, v  ⊥ v r r r r r o u phương với v ⇔ u, v  = o r r r r r r u , v  = u v sin u , v   ( ) (∗)  Ứng dụng tích có hướng: r r uu r r r r uu r o u , v, w đồng phẳng u, v  w = (∗) (ba véc tơ có giá song song nằm mặt phẳng) r r uu r r r r uu r o u, v, w không đồng phẳng u, v  w ≠ (∗) uuur uuur uuur o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔  AB, AC  AD = (∗) (bốn điểm nằm mặt phẳng) uuur uuur uuur o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔  AB, AC  AD ≠ (∗) (bốn đỉnh tứ diện) uuur uuur o Diện tích hình bình hành: S ABCD =  AB, AD  (∗) uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur  AB, AC  (∗) ; S = AB AC − AB AC ∆ABC   r uuu r uuur uuuu o Thể tích khối hộp: VABCD A' B'C ' D' =  AB, AD  AA ' (∗) r uuur uuur uuu o Thể tích tứ diện: VABCD =  AB, AC  AD (∗) o Diện tích tam giác: S ∆ABC = ( ) Phương trình mặt cầu Dạng 1: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 2 (1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R Dạng 2: x + y + z − Ax − By − 2Cz + D = (2) , với điều kiện A2 + B + C − D > phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) bán kính R = A2 + B + C − D Phương trình mặt phẳng r r  Véc tơ n ≠ vuông góc với mặt phẳng ( α ) gọi VTPT mặt phẳng ( α ) r r  Véc tơ u ≠ có giá song song nằm mặt phẳng ( α ) gọi VTCP mặt phẳng ( α ) r r  Nếu u , v hai véc tơ không phương có giá song song nằm mặt phẳng r r r u , v  = n VTPT mặt phẳng ( α )   uuu r uuur r Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng  AB, AC  = n VTPT mặt phẳng ( α )  (ABC) r  Mặt phẳng ( α ) qua điểm M o ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C ) có phương trình A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = (∗∗)  Phương trình dạng Ax + By + Cz + D = gọi phương trình tổng quát mặt r phẳng với VTPT n = ( A; B; C ) Phương trình đường thẳng r r  Véc tơ u ≠ có giá song song trùng với đường thẳng ∆ gọi VTCP đường thẳng ∆ r  Đường thẳng ∆ qua điểm M o ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = ( a; b; c ) ,  x = x0 + at  + Phương trình tham số là:  y = y0 + bt ;(t ∈ R) , t gọi tham số  z = z + ct  x − x0 y − y0 z − z0 = = (abc ≠ 0) + Phương trình tắc là: a b c  Nếu hai mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = giao  Ax + By + Cz + D = hệ phương trình:  ' ' ' ' A x + B y + C z + D = gọi phương trình tổng quát đường thẳng ∆ không gian Khoảng cách 7.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = thì: d ( M0;( α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 7.2 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song Cho đường thẳng ∆ P( α ) : Ax + By + Cz + D = , M ( x0 ; y0 ; z0 ) điểm thuộc ∆ d ( ∆, ( α ) ) = d ( M ; ( α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 7.3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song ' ' ' ' Cho hai mặt phẳng song song ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( β ) : A x + B y + C z + D = , d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M0;( β ) ) = A' x0 + B ' y0 + C ' z0 + D ' A'2 + B '2 + C '2 M ( x0 ; y0 ; z0 ) điểm ∈ ( α ) 7.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến đường thẳng  x = x0 + at r  ∆ :  y = y0 + bt ; M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ∆, VTCP u = (a; b; c) ; tính CT:  z = z + ct  r uuuuuu r u , M M    d ( M , ∆) = r u 7.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo r Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = (a; b; c ) ur ' ' ' ' Đường thẳng ∆ ' qua điểm M ( x ; y ; z ) có VTCP u ' = (a ' ; b ' ; c ' ) r ur uuuuuur u , u '  M M '   0 d ( ∆, ∆ ' ) = r ur' u , u    Lưu ý: Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm nằm trênđường thẳng đến đường thẳng lại, nghĩa ur uuuuuur u ' , M M '  0   d ( ∆, ∆ ' ) = d ( M , ∆ ' ) = ur u' , M0 ∈∆ Vị trí tương đối 8.1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng ' ' ' ' Cho ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( β ) : A x + B y + C z + D = + (α) + (α) + (α) ur r ' A B C D n = k n P( β ) ⇔  ⇔ '= '= '≠ ' ' A B C D  D ≠ kD ur r n = k n ' A B C D ≡(β) ⇔  ⇔ '= '= '= ' ' A B C D  D = kD ur r ( β ) cắt ⇔ n ≠ kn ' ⇔ ( A : B : C ) ≠ ( A' : B ' : C ' ) r ur ( β ) vuông góc vớ n.n' = ⇔ AA' + BB ' + CC ' = + (α) 8.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng  x = x0 + at r  Cho hai đường thẳng ∆ :  y = y0 + bt ; M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ∆, VTCP u = (a; b; c)  z = z + ct  '  x = x0 + a 't ' ur  ∆ ' :  y = y0' + b't ' ; M 0' ( x0' ; y0' ; z0' ) ∈ ∆ ' ,VTCP u ' = (a ' ; b ' ; c ' )  ' ' '  z = z0 + c t (  x0 + at = x0' + a 't '  ' ' ' Xét hệ phương trình  y0 + bt = y0 + b t ( I ) ,  ' ' '  z0 + ct = z0 + c t ur r u = ku ' ' + ∆≡∆ ⇔ , hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm ' '  M ∈ ∆ ( M ∈ ∆ ) ur r u = ku ' ur r ' + ∆ P∆ ⇔  , hay u = ku ' hệ (I) vô nghiệm ' '  M ∉ ∆ ( M ∉ ∆ ) ur r + ∆ ∆ ' cắt ⇔ u ≠ ku ' hệ phương trình (I) có nghiệm r ur uuuuuur hay u , u '  M M 0' =   r ur' uuuuuur' ur r + ∆ ∆ ' chéo ⇔ u ≠ ku ' hệ phương trình (I) vô nghiệm hay u , u  M M ≠ ) ) ( 8.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x = x0 + at r  Cho đường thẳng ∆ :  y = y0 + bt ; M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ∆, VTCP u = (a; b; c) mặt phẳng  z = z + ct  r ( α ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n = ( A; B; C ) Xét phương trình A ( x0 + at ) + B ( y0 + bt ) + C ( z0 + ct ) + D = (∗) ẩn t , ( rr + ∆ P( α ) ⇔ phương trình (*) vô nghiệm u.n = 0, M ∉ ( α ) ) rr + ∆ ⊂ ( α ) ⇔ phương trình (*) có vô số nghiệm u.n = 0, M ∈ ( α ) ( ) ( rr + ∆ ( α ) cắt điểm ⇔ phương trình (*) có nghiệm u.n ≠ r r Lưu ý: ∆ ⊥ ( α ) ⇔ u = k n ) 8.4 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 2 Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R Gọi d = d ( I ; ( α ) ) = A.a + B.b + C.c + D A2 + B + C + Nếu d > R ⇒ ( α ) (S) không giao + Nếu d = R ⇒ ( α ) (S) tiếp xúc điểm H ( ( α ) gọi tiếp diện mặt cầu (S)) + Nếu d < R ⇒ ( α ) (S) cắt theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r = R − d có tâm H hình chiếu vuông góc I ( α ) Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H đường tròn (C) ta làm sau - Lập phương trình đường thẳng ∆ qua I vuông góc với ( α ) - Tọa độ điểm H nghiệm hệ gồm phương trình ∆ phương trình ( α ) 8.5 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu  x = x0 + at  2 Cho đường thẳng thẳng ∆ :  y = y0 + bt mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R  z = z + ct  r uuuur u , M I  r d = d I , ∆ = Gọi ( )  r  , M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ∆, u = (a; b; c) VTCP ∆ u + Nếu d > R ⇒ ∆ (S) điểm chung + Nếu d = R ⇒ ∆ tiếp xúc với (S) ( ∆ tiếp tuyến mặt cầu (S)) + Nếu d < R ⇒ ∆ cắt (S) tai hai điểm A, B ( ∆ gọi cát tuyến mặt cầu (S)) 8.6 Vị trí tương đối điểm mặt cầu 2 Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R ,tâm I ( a; b; c ) , bán kính R MI = ( a − x0 ) + ( b − y0 ) + ( c − z ) 2 + Nếu MI > R điểm M nằm mặt cầu (S) + Nếu MI = R điểm M nằm mặt cầu (S) + Nếu MI < R điểm M nằm mặt cầu (S) Góc 9.1 Góc hai đường thẳngr r Nếu đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) đường thẳng ∆ ' có VTCP u = (a ' ; b' ; c ' ) r ur u.u ' cos ( ∆, ∆' ) = r ur = u u' aa ' + bb ' + cc ' a +b +c a +b +c 2 '2 '2 '2 ( ; 00 ≤ ( ∆, ∆' ) ≤ 90 ) 9.2 Góc đường thẳng mặt phẳng r r Đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) mặt phẳng ( α ) có VTPT n = ( A; B; C ) sin ( ∆, ( α ) ) rr u.n r r = cos u, n = r r = u.n ( ) Aa + Bb + Cc A + B +C a +b +c 2 2 2 ; ( 0 ≤ ( ∆, α ) ≤ 90 ) 9.3 Góc hai mặt phẳng ur r Nếu mặt phẳng ( α ) có VTPT n = ( A; B; C ) mặt phẳng ( β ) có VTPT n ' = ( A' ; B ' ; C ' ) cos ( ( α ) , ( β ) ) r ur n.n' r ur' = cos n, n = r ur = n n' ( ) AA' + BB ' + CC ' A + B +C A + B +C 2 '2 '2 '2 ; ( 0 ≤ ( α , β ) ≤ 90 ) ... I ( α ) Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H đường tròn (C) ta làm sau - Lập phương trình đường thẳng ∆ qua I vuông góc với ( α ) - Tọa độ điểm H nghiệm hệ gồm phương trình ∆ phương trình ( α ) 8.5... ' y + C ' z + D ' = giao  Ax + By + Cz + D = hệ phương trình:  ' ' ' ' A x + B y + C z + D = gọi phương trình tổng quát đường thẳng ∆ không gian Khoảng cách 7.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt... A; B; C ) có phương trình A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = (∗∗)  Phương trình dạng Ax + By + Cz + D = gọi phương trình tổng quát mặt r phẳng với VTPT n = ( A; B; C ) Phương trình