khoang cach va goc trong oxyz khoang cach va goc trong oxyz

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn MT S BI TON Cể LIấN QUAN N GểC V KHONG CCH I LIấN QUAN N GểC (5 BI ) Bài ( KA-2006) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hỡnh lp phng ABCD.A 'B'C'D' vi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gi M v N ln lt l trung im ca AB, CD Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'C v MN Vit phng trỡnh mt phng cha A'C v to vi mt phng Oxy mt gúc biết cos GII a/ Tớnh h( AC,MN) Z D - Ta cú : A ' C 1;1;1 , MN 0;1;0 , MA ' ;0;1 A B C - Do ú : 1 1 11 A ' C , MN MA ' 0 21 A D M A ' C , MN MA ' N - Vy : h A ' C , MN B 1 2 A ' C , MN C b/ Lp mt phng (P) cha AC - Gi (P) : ax+by+cz+d=0 (1) - Do i qua (AC) cho nờn : Qua A(0;0;1) suy : c+d=0 (2) Suy c=-d = a+b (P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*) - Mt phng (P) cú : n a; b; c , mt phng (Oxy) cú vộc t phỏp tuyn l k 0;0;1 Do ú ta cú : cos n.k n.k ab a b2 c a 2b (4) a b a b2 c b 2a - Vi : a=-2b, chn b=-1, ta c (P) : 2x-y+z-1=0 - Vi b=-2a , thỡ chn a=1 , ta c (P) : x-2y-z+1=0 Bi Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai im A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) v mp(P): x + 2y + z 3= Vit phng trỡnh mp(Q) cha AB v to vi mp(P) mt gúc tha món: cos GII Gi (Q) cú dng : ax+by+cz+d=0 (Q) qua A(-1;2;-3) ta cú : -a+2b-3c+d=0 (1) v (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2) - Mt phng (P) cú n 1; 2;1 Suy cos nP n Q nP n Q a 2b c a b2 c a 2b c a b c (3) a 2b 3c d c a b - T (1) v (2) ta cú : 2a b 6c d d 4a b Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn - Thay vo (3) a 4b c 3b, d 15b 2 : 2a 3b a b a b 3a 11ab 8b a b c 0, d 3b - Vy cú hai mt phng : (Q): -4x+y-3z-15=0 v (Q): -x+y-3=0 Bi Trong khụng gian ta Oxyz cho hai im A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) v ng thng (d): x y z Vit phng trỡnh ng thng () i qua giao im ca ng thng (d) vi mt phng 1 (OAB), nm mt phng (OAB) v hp vi ng thng (d) mt gúc cho cos GII 1 2 ; ; - Ta cú : OA 2; 1;1 , OB 0;1; OA, OB 1; 4; n 2 0 - Do ú : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gi M l giao ca d vi (OAB) thỡ ta ca M l nghim ca h : x y 2z x t t 4(3 t ) 2(2t 1) t 10 M 10;13; 21 y 3t z 2t - Vỡ OAB d , , nP u a 4b 2c - Do ú : cos ud , nP ud nP ud nP a b 2c a b c 2 11 u a; b; c a b 2c a b c 2 b c 2 2 - Suy : 5b 25 4b 2c b c 11b 16bc 5c 11 b c x 10 2t - Vi b c a c ud c; c; c / /u 2; 5; 11 : y 13 5t 11 11 11 11 z 21 11t x 10 6t - Vi b=c, thay vo (2) ta cú a=-6c u 6c; c; c / / u ' 6; 1; : y 13 t z 21 t Bi Trong khụng gian ta Oxyz, vit phng trỡnh ng thng i qua im A(0;1;2), vuụng gúc x+ y- z = = v to vi mt phng (P): 2x + y z +5 = mt gúc 300 vi ng thng (d ) : - 1 GII * ng thng d cú vộc t ch phng u 1; 1;1 , ng thng cú vộc t ch phng u a; b; c Mt phng (P) cú n 2;1; Gi d ; P u , ud Gia s Thnh c - Do ú : cos u , n www.daythem.edu.vn 2a b c a b c u n 2 11 2a b c a b c 2 cos300 2a b c a b c 2a b c a b c - Vỡ : d ud u a b c b a c - Thay (3) vo (2) ta c : c 18a a c a c 2a 2a c 2ac c c 2a c 2a x t - Vi c-0, thay vo (3) ta cú b=a suy u b; b;0 / / u 1;1;0 : y t z x t - Vi : c=-2a , thay vũa (3) ta cú b=-a u a; a; 2a / / u ' 1; 1; : y t z 2t Bi Trong khụng gian vi h trc to cỏc Oxyz, cho hai ng thng : x y z x y z , v : : 1 a/Chng minh hai ng thng v chộo b/Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng v to vi ng thng mt gúc 300 GII a/Chng minh hai ng thng v chộo nhau: * ng thng cú vộc t ch phng u1 1; 2;1 v qua O(0;0;0), cũn qua B(1;-1;1) 1 1 ; ; Cú vộc t ch phng u2 1; 1;3 u1 , u2 5; 2; (1) 3 1 Mt khỏc : u1 , u2 OB Kt hp vi (1) suy hai ng thng v chộo b/ Vit phng trỡnh (P) x y x y ng thng : 3x z x z * Vỡ (P) cha P thuc chựm : m x y n 3x z m 3n x my nz 2n Mt khỏc (P) to vi ng thng mt gúc 300 thỡ : n, u1 300 900 n, u1 n, u1 600 cos60 n u1 m n2 * m 3n 2m n m 3n m2 n2 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 2m 10n 6mn 2n m 2 11 m n 2m 13mn 11n m n 2 - Thay (3) vo (*) ta cú : 11 11 - Vi m n P : x y z P : 5x 11y 2z 2 Vi m=-n thỡ (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0 Bi Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng d d y2 z lần l-ợt có ph-ơng trình : d : x d : x2 z5 y Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua d tạo với d góc 30 GII Tng t nh bi 4, ta chuyn d sang dng l giao ca hai mt phng : x-z=0 v x+y-2=0 Do ú (P) thuc chựm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1) ng thng d cú u 2;1; Vỡ (P) to vi d mt gúc bng 300 cho nờn n, u ' 300 900 n, u1 n, u1 600 cos60 n u' m n n m m n n2 m2 m 2n m 2n m n mn m n 2m 5mn 2n n m n 2m - Vi m=-2n thay vo (1) thỡ (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Vi n=-2m thay vo (1) thỡ (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0 2 2 II LIấN QUAN N KHONG CCH ( 32 BI ) Bi 1.(H_KD-2009) Trong khụng gian ta Oxyz , cho t din ABCD cú ta cỏc nh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A v B cho khong cỏch t im C n mt phng (P) bng khong cỏch t im D n mt phng (P) GII - Mt phng (P) cú dng : ax+by+cz+d=0 - (P) qua A(1;2;1) thỡ : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) thỡ : -2a+b+3c+d=0 (2) 2a b c d 3b c d 2a b c d 3b c d - Theo gi thit : h(C,P)=h(D,P) a b2 c a b2 c 2a b c d 3b c d a b 2a b c d 3b c d a b c d 3b c d b ( P) : cz c ( P) : z Nu a=b thay vo (1) v (2) : b c d d c Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Nu : a+b+c+d=0 thay vo (1) v (2) a 2b c d 2b : a b 3c d c a P : ax az 2a P : x z a b c d d 2a Bi Trong khụng gian ta Oxyz , cho mt phng (P) v ng thng d ln lt cú phng trỡnh : (P): 2x-y-2z-2=0 v (d): x y z Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I thuc (d), I cỏch (P) mt khong bng v (P) ct (S) theo mt ng trũn giao tuyn cú bỏn kớnh bng GII Gi (S) cú tõm I(a;b;c) v bỏn kớnh R Theo gi thit : 2a b 2c 2a b 2c - I thuc d thỡ I( -t;2t-1;t+2) (1) h(I,P)=2 4 - (P) ct (S) theo giao tuyn l ng trũn (C ) tõm H v bỏn kớnh r=3 thỡ : h I , P IH 2 R IH r 13 10 t I1 ; ; 6 2t 2t 2t 6t - Thay (1) vo (2) : 5 2t 2t 2t 6t t I ; ; 6 2 10 S : x y z 13 6 - Vy cú mt cu (S) : 2 S : x y z 13 Bi Trong khụng gian ta Oxyz cho ng thng (d): x y z v hai im 1 A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) Tỡm ta im M thuc ng thng (d) cho tam giỏc ABM cú din tớch nh nht GII - Nu M thuc d thỡ M cú t M=(t;3-t;2t-1) - Ta cú : t 2t 2t t t t AM t 2; t; 2t AM , BM ; ; t 8; t 2; t t t t t t BM t ; t ; t 1 1 2 - Do ú : S AM , BM t t 16 t 34 34 2 2 34 - Vy : S = t=-5 v M=( -5;8;-11) Bi Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;5;0), B(3;3;6) v ng thng : x y z Tỡm to im M thuc ng thng () tam giỏc MAB cú din tớch nh nht 2 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn GII Cỏch gii tng t nh bi - Nu M thuc d thỡ M cú t M=(2t-1;1-t;2t) - Ta cú : t 2t 2t 2t 2t t AM 2t 2; t; 2t AM , BM ; ; t t t t 2t t BM t 4; t ; t 2t 24;8t 12; 2t 12 1 - Do ú : S AM , BM 2 2t 14 8t 12 2t 12 2 2 23 1547 18 t 1547 36 18 23 1547 14 23 t M ; ; 18 18 Bi Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho hai im A(4;9;9), B(10;13;1) v mt phng (P): x + 5y 7z = Tỡm ta im M trờn mt phng (P) cho MA2 + MB2 t giỏ tr nh nht GII Gi M (x;y;z) thuc (P) thỡ ta cú : x+5y-7z-5=0 (1) 2 2 AM x 4; y 9; z AM x y z Khi ú : 2 2 BM x 10; y 13; z BM x 10 y 13 z - Vy : S = Do ú MA2 MB x y z x 10 y 13 z 2 2 2 2 Hay : MA2 MB x y 11 z 156 (2) T (1) -75=1(x+3)+5(y-11)-7(z+4) Theo bt ng thc Bu nhe cp ski suy : 2 2 75 x y 11 z 25 49 x y 11 z 752 2 75 Do ú : x y 11 z 75 2 V : MA2 MB x y 11 z 156 2.75 156 306 50 x 17 x y 11 y 5x+26 5x y 26 192 Du ng thc xy : 7x z 25 z 7x 25 y 17 x3 z x y 7z 50 75 x 17 z 17 Ta cũn cỏch khỏc , s dng h thc trung tuyn : Gi I l trung im ca AB AB Ta cú : MA2 MB 2MI * Vi : AB 14;4;10 AB2 196 16 100 312 V I(-3;11;-4) suy MI x 3; y 11; z 2 Do ú : MI x y 11 z Vy (*) Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 312 2 2 2 MA2 MB x y 11 z x y 11 z 156 ( Kt qu nh trờn ) Bi Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ba im A(5; 8; 11), B(3; 5; 4), C(2; 1; 6) v ng thng thng (d): x y z Xỏc nh to im M thuc (d) cho 1 MA MB MC t giỏ tr nh nht GII im M thuc d thỡ M(2t+1;2+2t;1+t) , cho nờn : MA 2t 4; 2t 6; t 12 MB 2t 2; 2t 3; t MA MB MC 2t 1; 2t 4; t MC 2t 1; 2t 1; t 53 10 53 MA MB MC 2t 2t t 9t 20t 17 t 9 11 x 10 11 Du ng thc xy : t M y M ; ; 9 9 z Bi Trong khụng gian h to Oxyz, cho t din ABCD vi A(1; 1; 2), B(1; 3; 0), C(3; 4; 1) v D(1; 2; 1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) GII Mt phng (P) cú dng : ax+by+cz+d=0 Nu (P) qua A(1;-1;2) thỡ ta cú phng trỡnh : a-b+2c+d=0 (1) Nu (P) qua B(1;3;0) thỡ ta cú phng trỡnh : a+3b+d=0 (2) Theo gi thit : h(C,P)=h(D,P) cho nờn ta cú : 3a 4b c d a 2b c d 3a 4b c d a 2b c d b 2a a b2 c a b2 c2 3a 4b c d a 2b c d a 3b c d Kt hp vi hai phng trỡnh (1) v (2) ta cú hai h xột cho hai trng hp : b 2a b 2a Trng hp 1: a 2c d c 4a P : x y 4z 7a d d 7a 2 a 3b c d a 3b d c 2a Trng hp 2: a b 2c d 2a 4b c a b P : x y 2z a 3b d 2a c d 4a Bi 7.Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): 3x y z 37 v cỏc Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn im A(4;1;5), B(3;0;1), C(1;2; 0) Tỡm to im M thuc () biu thc sau t giỏ tr nh nht: MA.MB MB.MC MC.MA GII Gi M(x;y;z) thuc (P) thỡ ta cú phng trỡnh : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi ú ta cú : MA x 4; y 1; z , MB x 3; y; z , MC x 1; y 2; z v : MA.MB x x y y z z x y z 7x y 6z 17 MB.MC x x y y z z x y z 2x y z-3 MC.MA x x y y z z x y z 3x y 5z Ly (2)+(3)+(4) v vi v ta c : 2 MA.MB MB.MC MC.MA x y z 4x y 4z x y z p dng bt ng thc Bu nhe cp ski cho phng trỡnh (1) : 2 2 44 x y z x y z 44.44 2 88 Suy : x y z 22 2 Hay : x y z 15 3.88 15 249 Vy : MA.MB MB.MC MC.MA 249 Du ng thc xy : x y y x x 2x x2 z z y M 4;7; z 3x y 2z 37 22x 88 Bi Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho A 0;1;2 , B 1;1;0 v mt phng (P): x y z Tỡm to im M thuc (P) cho tam giỏc MAB vuụng cõn ti B GII Gi M=(x;y;z) Nu M thuc (P) thỡ : x-y+z=0 (1) Ta cú : BA 1;0;2 , MB x 1; y 1; z Nu tam giỏc MAB vuụng cõn ti B v kt hp vi (1) thỡ ta cú h phng trỡnh : y x z x 2z x 2z BA.MB BA2 MB y z y=-z-1 y z y x z 2 2 2 x y z 5z y 5z z 10 10 z z 6 10 10 x x 3 10 10 y y 6 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn x 2t Bi Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d): y t v z 2t mt phng (P): x y z Gi (d) l hỡnh chiu ca (d) lờn mt phng (P) Tỡm to im H thuc (d) cho H cỏch im K(1; 1; 4) mt khong bng GII Lp phng trỡnh ng thng d l hỡnh chiu vuụng gúc ca d trờn (P) - Tỡm ta A l giao ca d vi (P) Ta ca A l nghim ca h : x 2t y t 2t t 2t t A 4; 2;3 z 2t x y z 2 2 ; ; - Do l hỡnh chiu vuụng gúc nờn ud ' ud , n 1; 4; 1 1 1 x t - Vy d qua A(4;-2;3)cú vộc t ch phng ud ' 1; 4; d ' : y 4t z 3t Tỡm ta H Nu H thuc d thỡ H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy KH t; 4t 3;3t Do ú : KH t 4t 3t 26t 36t 19 25 26t 36t 2 30 30 , thay vo (*) ta tỡm c ta ca H ; t2 13 13 Bi 10 Trong khụng gian Oxyz cho hai ng thng Vy : t1 x 2t x y z 1: ; 2: y 1 z t ng thng i qua im I(0;3;1), ct ti A, ct ti B Tớnh t s IA =k IB GII Do A thuc A t '; t ';3 t ' B thuc B 2t;1; t Ta cú : IA t '; t ' 4;4 t ' ; IB 2t; 2; t 4t' k t ' k 2t t IA Theo gi thit : t ' 2k 2k k t t ' IB t ' k t t ' k 2t k Bi 11 Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho hai ng thng 1: x y z ; 1 Gia s Thnh c 1: www.daythem.edu.vn x y z ng vuụng gúc chung ca v ct ti A, ct ti B Tớnh din tớch OAB GII *Do A thuc A 2t '; t '; t ' B thuc B t ;1 7t ;3 t Ta cú : AB t 2t ' 2;7t t ' 1;5 t t ' ; - Nu AB l ng vuụng gúc chung thỡ : AB.u1 t 2t ' 7t t ' t t ' t B 1;1;3 t 2t ' 7t t ' t t ' t ' A 1;0; AB.u2 - Gi S l din tớch tam giỏc OAB thỡ : S OA, OB 3 1 ; ; - Do ú : OA 1;0; , OB 1;1;3 OA, OB 2;1; 1 - V S 1 OA, OB 11 2 Bi 12 Trong khụng gian Oxyz , cho mt phng (P): 2x + y 2z + = 0, ng thng (d): x y z Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi (P) v tha ct (d) ti mt im M cỏch (P) mt khong bng GII Tỡm M trờn d thỡ M=(t-1;7t+1;3-t) Khong cỏch t M n (P) l h(M,P)= t 7t t 4 19 45 41 t M ; ; 11 11t 11 11 11 11t 39 29 11t t M ; ; 11 11 11 11 Vỡ ct d cho nờn qua M v (P) u nP 2;1; 19 41 39 29 y z x y z 11 11 11 , Hoc : : 11 11 11 Vỡ vy : 2 2 Chỳ ý : Ta cũn cú mt cỏch khỏc nh sau - Lp mt phng (Q) song song vi (P) v cỏch (P) mt khong bng - Do ú (Q) cú dng : 2x+y-2z+m=0 Vớ h(P,Q) = suy : Trờn (Q) chn N(-2;-3;1) ta tớnh 2(2) (3) 2(1) m m m 14 m h(N,Q)= Nh vy : cú hai mt 4 m m phng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 v 2x+y-2z+2=0 x Gia s Thnh c - www.daythem.edu.vn Bõy gi ta i tỡm ta ca M l giao ca d vi (Q), thỡ ta M l nghim : x t y 7t 2(t 1) 7t 2(3 t ) 14 11t t 11 z 2t 2x y 2z+14 x t y 7t - Hoc : 2(t 1) 7t 2(3 t ) 11t t 11 z 2t 2x y 2z+2 x y z Bi 13 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng : v 1 hai im A(0;1:2), B(2;1;1) Tỡm ta im C thuc ng thng cho tam giỏc ABC cú din tớch nh nht GII Nu C thuc thỡ cú ta l : C=(t+1 ;2-t ;1+2t) Ta cú : t 2t 2t t t 1 t AC t 1;1 t; 2t AC , AB ; ; t 9;3 t; 3 2 AB 2; 2;3 1 2 Gi S l din tớch tam giỏc ABC thỡ : S AC , AB t t 16 2 S t 88 88 22 Du ng thc xy t=-3 , v C=( -2 ;5 ;-5 ) Bi 14 Trong khụng gian ta Oxyz, cho ba im A(1;0;1), B(2; 1;0), C (2; 4; 2) v mt phng ( ) : x y z Tỡm ta im M trờn () cho biu thc T MA2 MB MC t giỏ tr nh nht GII Nu M thuc mt phng ( ) : x y z (1) Khi ú ta cú : 2 MA x 1; y; z MA2 x y z x y z 2x 2z MB x 2; y 1; z MB x y z x y z 4x+2y 2 MC x 2; y 4; z MC x y z x y z 4x y 4z 24 Cng cỏc v ca ba ng thc trờn ta c : 2 2 T= MA2 MB MC x y z 2x y 2z 31 x y z 22 Do M thuc (P) : x+y+2z+2=0 x y z p dng bt ng thc Bu nhe cp ski cho ba cp s : (1;1;2) v (x-1;y-1;z-1 ) ta cú : 2 2 x y z x y z Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 62 2 T x y z 22 22 40 Du ng thc xy xy trng hp du bng bt ng thc Bu nhe cp ski: x y y x x x z z 2x y M 0;0; x x 2x z x y 2z Bi 15 Trong khụng gian ta Oxyz, cho hai im A(0;0;3); B(2;0;1) v mt phng (P): 3x y z +1 = Tỡm ta im C nm trờn (P) cho ABC tam giỏc u GII Nu M=(x;y;z) thuc (P) suy ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi ú ta i tớnh : MA x; y; z MA2 x y z ; MB x 2; y; z MB x y z 2 Nu tam giỏc ABC l tam giỏc u thỡ ta cú h phng trỡnh : x x y z x y z MA2 MB 4x 8z 2 x y z 2 2 6z z MA AB 3x y z 3x y z 3x y z 10 y Vy im M cn tỡm l : M ; ; 3 2 2 2 Bi 16 Trong khụng gian Oxyz cho mp (P): 3x 8y + 7z + = v hai im A(1; 1; 3), B(3; 1; 1) Tỡm ta im C thuc mt phng (P) cho tam giỏc ABC u GII Nu C thuc (P) thỡ ta ca C=(x;y;z) tha : 3x-8y+7z+4=0 (1) Ta cú : AB 2;0;2 AB MA x 1; y 1; z MA2 x y z x y z 2x y 6z 11 2 MB x 3; y 1; z MB x y z x y z 6x y 2z 11 2 Nu tam giỏc ABC l tam giỏc u thỡ ta cú h phng trỡnh : x y x y MA2 MB 6 2 2 y y y y y MA AB 3 3x y z z y z x 6 6 6 ;1 ; ;1 ; Vy cú hai im C : C1 ; C2 3 3 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Bi 17 Trong khụng gian ta Oxyz, cho tam giỏc ABC cú A(3; 1; 0), B nm trờn mt phng Oxy v C nm trờn trc Oz Tỡm ta cỏc im B, C cho H(2; 1; 1) l trc tõm ca tam giỏc ABC GII Nu B nm trờn mp(Oxy) thỡ B( x;y;0), cũn C nm trờn trc Oz thỡ C(0;0;z) Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC thỡ nú l giao ca ba ng cao h t ba nh ca tam giỏc cú ngha AH BC l ta cú h ba phng trỡnh : CH AB (1) BH AC Ta cú : AB x 3; y 1;0 ; CH 2;1;1 z ABCH x y 2x y Tng t : AC 3; 1; z , BH x;1 y;1 ACBH x y z 3x y z V : BC x; y; z , AH 1;0;1 BC AH x z 2x y y 2x x t y 2t t R Do ú h (1) 3x y z z x x z 3x 2x x z t Vy im C cn tỡm cú ta l C=( t;7-2t;-t ) ( Cú vụ s im C) x+ y- Bi 18 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng (d): = = z - v im M(4 ; ; 6) ng thng (d) ct mt cu (S) tõm l M ti hai im A, B cho AB = Vit phng trỡnh ca mt cu (S) GII ng thng d qua N(-5;7;0) v cú vộc t ch phng u 2; 2;1 MN 9;6; 2 6 MN ,U 1 2 Do ú : h M , d u A H B d 36 36 .3 -Xột tam giỏc vuụng MAH ( H l chõn ng vuụng gúc ca M trờn d ) , ta cú : M 2 AB MA R MH 18 Vy mt cu (S) cú tõm M(4;1;6) , bỏn kớnh R= 2 2 Cú phng trỡnh l : S : x y z 18 2 Bi 19 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho mt phng (P): 2x y + z + = x- y+2 z- x+1 y- z- v hai ng thng (d1 ) : = = ;(d2 ); = = 3 Vit phng trỡnh ng thng () song song vi (P); vuụng gúc vi (d1) v ct (d2) ti E cú honh bng Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn GII ng thng d1 qua im M(1;-2;3) cú vộc t ch phng d2 u1 2;1;3 , v ng thng d cú vộc t ch phng u2 2;3;2 E d1 Gi l ng thng song song vi (P) cú u a; b; c thỡ: u a; b; c - nP u nP 0; u nP 2a b c n 2; 1;1 P - d1 u u1 0; 2a b 3c P 2t t - qua E trờn d vi E(3;y;z) y t y E 3; 1;6 z 3t z 2a b c a c - T (1) v (2) ta cú h : u c; c; c / / u 1;1; 2a 2c b c x t - Vy qua E(3;-1;6) cú u 1;1; : y t z t Bi 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đ-ờng thẳng d x y z có ph-ơng trình Lập ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn GII Gi (P) l mt phng qua A(10;2;-1) v cú vộc t phỏp tuyn n a; b; c Do ú (P) cú phng trỡnh l : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*) ng thng d qua B(1;0;1) v cú vộc t ch phng u 2;1;3 - Nu (P) song song vi d thỡ n u nu 2a b 3c - Khong cỏch t d n (P) chớnh l khong cỏch t M thuc d n (P) , vi M=(2t+1;t;3t+1) vy ta a c 10a c 2b 2c 2b 9a cho t=0 thỡ M=(1;0;1) : h(M,P)= (2) p dng bt ng thc Bu nhe a b2 c a b2 c cp ski cho t s : 2c 2b 9a 2 c b a 2 2c 2b 9a c b a 2 89 2c 2b 9a a b2 c2 89 - Vy: h(M;P) t GTNN bng 89 trng hp xy du bng bt ng thc : b c c b a 2 a c Bi 21 Cho im A(1 ; ; 3), B(1 ; ; 2) v hai mp : (P): 2x 6y + 4z + = Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn (Q): x y + z + = Tỡm ta giao im K ca ng thng AB vi mp(P) Tỡm ta im C nm trờn mp(Q) cho tam giỏc ABC l tam giỏc u GII - ng thng (AB) qua A(1;2;3) v cú vộc t ch phng AB 2;2; ú (AB) cú phng trỡnh l x 2t : y 2t ng thng (AB) ct mt phng (P) ti K , t K l nghim ca h : z t x 2t y 2t 23 57 2t 2t t 20t t K ; ; 20 10 10 20 z t 2x y 4z Nu C nm trờn mt phng (Q) thỡ C(x;y;z) tha : x-y+z+1=0 (1) AB AC AB AC Tam giỏc ABC u : AB BC AB BC x y z x y z T (1) v (2) ta cú : 2 AB 2;2; AB2 AC x 1; y 2; z AC x y z BC x 1; y 4; z BC x y z 2 x 12 y 2 z 32 x 12 y 2 z 32 2 2 2 (2) x y z x y z 4x y 2z x y z x y z 11 11 5 y y x y x y 4 2 3 5 z z x hoc x 2 4 2 19 3 y y y 11 y z z 2 Bi 22 Vit phng trỡnh mt phng i qua im M(9; 1; 1) ct cỏc tia Ox, Oy, Oz ti A, B, C cho th tớch t din OABC cú giỏ tr nh nht GII Gi A(a;0;0) tuc Ox,B(0;b;0) thuc Oy v C(0;0;c) thuc Oz ( a,b,c khỏc ) x y z Khi ú mt phng (P) cú dng : bcx acy abz abc a b c 1 Nu (P) qua M(9;1;1) thỡ ta cú : a b c Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn abc Ta ỏp dng bt ng thc cụ si : Do th tớch t din VOABC T (2) abc=9bc+ac+ab 3 abc abc 27.9 abc abc 243 9bc ac a 9b b x y z Du ng thc xy : ac ab c b c P : 27 3 1 1 a 27 a b c b b b Bi 23 Trong khụng gian vi h ta 0xyz cho ng thng d x y z v hai im A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tỡm im I trờn ng thng d cho IA +IB t giỏ tr nh nht GII Nhn xột : A B ng thng d cú vộc t ch phng u 4; 6; / /u ' 2; 3; AB AM 1;1; Cho nờn ng H thng d song song vi (AB) Do ú (AB) v d cựng thuc mt mt phng T ú , theo kt qu ca hỡnh hc phng , ta lm nh sau : d I - Tỡm ta im A i xng vi im A qua ng thng d - Lp ng thng d qua A v B A - Tỡm ta I l giao ca (AB) vi d Theo cỏch lm trờn , rừ rng dng thng d l trung trc ca AA cho nờn IA=IA , cho nờn : IA+IB=IA+IB=AB Nu cú I thuc d thỡ IA+IB>AB Vy I l im nht - Cng theo nhn xột trờn thỡ IH l ng trung bỡnh ca tam giỏc ABA cho nờn AB=2IH Hay IA=IB=IA (*) Do ú : Nu I nm trờn d thỡ im I cú ta l I=(2+4t;-6t;-8t-1) T ú ta cú : AI 4t 1;1 6t ; 8t AI 4t 6t 8t Tng t : BI 4t 1; 6t ;1 8t BI T (*) : IA=IB 4t 6t 8t 2 2 4t 6t 8t 2 = 2 4t 6t 8t 2 Hay : 116t 44t 11 116t 72t 18 44t 72t 18 11 116t t 58 45 64 Ta I tha yờu cu l : I ; ; 29 29 29 Chỳ ý : Nm 1998 H Thỏi nguyờn K-A+B cng ó dng bi ny ri * thi : Cho im A(1;2;-1) v im B(7;-2;3) , ng thng d l giao ca hai mt phng cú phng trỡnh : 2x+3y-4=0 v y+z-4=0 a/ Chng t d v ng thng (AB) cựng thuc mt mt phng Vit phng trỡnh mt phng ú b/ Tỡm ta giao im ca d vi mt phng trung trc ca on thng AB c/ Tỡm im I thuc d cho chu vi tam giỏc ABI cú giỏ tr nh nht ? Tớnh chu vi tam giỏc ABI vi im I tỡm c Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Bi 24 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2; -1), B(7; -2; 3) v ng thng d cú phng trỡnh x 3t y 2t (t R) z 2t Tỡm trờn d nhng im M cho tng khong cỏch t M n A v B l nh nht GII Nhn xột : ng thng d cú vộc t ch phng u 3; 2;2 / / AB 6; 4;4 AN 1; 2;5 Cho nờn ng thng d H song song vi (AB) Do ú (AB) v d cựng thuc mt mt phng T ú , theo kt qu ca hỡnh hc phng , ta lm nh sau : d M - Tỡm ta im A i xng vi im A qua ng thng d - Lp ng thng d qua A v B A - Tỡm ta M l giao ca (AB) vi d Theo cỏch lm trờn , rừ rng dng thng d l trung trc ca AA cho nờn MA=MA , cho nờn : MA+MB=MA+MB=AB Nu cú M thuc d thỡ MA+MB>AB Vy M l im nht - Cng theo nhn xột trờn thỡ MH l ng trung bỡnh ca tam giỏc ABA cho nờn AB=2MH Hay MA=MB=MA (*) Do ú : Nu M nm trờn d thỡ im I cú ta l M=(2+3t;-2t;4+2t) T ú ta cú : A B AM 3t 1; 2t ; 2t AM 3t 2t 2t Tng t : BM 3t 5; 2t ; 2t BM T (*) : MA=MB = 3t 2t 2 2 3t 2t 2t 2t = 2 3t 2t 2t 2 Hay : 17t 34t 30 17t 36t 30 34t 36t 11 70t t Ta I tha yờu cu l : M=(2;0;4 ) Bi 25 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho P : x y z v ng thng x3 (d ) : y z , im A( -2; 3; 4) Gi l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca ( d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d Tỡm trờn im M cho khong cỏch AM ngn nht GII Gi B(x;y;z) l giao ca d vi (P) thỡ ta ca B l nghim ca h : x 2t d y t 2t t t 3t z t M x y z A B P t B 1;0; - Do nm trờn (P) suy nP , 1 1 d / / nP , ud ; ; 3; 3; / / u 1; 1; 1 1 2 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn x t - Vy qua B(-1;0;4) v cú vộc t ch phng u 1; 1; : y t z t - Nu M thuc thỡ M=(-1+t;-t;4-t) AM t 2; t ;1 t AM Do vy AM t GTNN= t t t 2 2 26 3t 2t t 26 26 11 t M ; ; 3 3 x t Bi 26 Trong Khụng gian vi h ta Oxyz.Cho ng thng : y 2t z v im A(1, , 1) Tỡm ta cỏc im E v F thuc ng thng tam giỏc AEF l tam giỏc u GII - Nu E,F u thuc E t1;2t1;1 , F t2 ;2t2 ;1 EF t2 t1;2t2 2t1;0 (1) - Ta li cú : AE t1 1; 2t1; AE t1 4t12 5t12 2t1 Tng t : AE t2 1; 2t2 ; AE t2 4t22 5t22 2t2 - Nu tam giỏc AEF l tam giỏc u thỡ ta cú h : 2 t2 t1 t2 t1 5t12 2t1 5t22 2t2 5t1 AE EF 2 A E AF t t t t t2 t1 t2 t1 2 t1 t2 t1 t2 t1 t2 2 76 76 t2 t2 5t2 2t2 t2 t1 t2 15 15 15t2 2t2 76 76 t1 t1 t2 t1 15 15 Thay hai cp t tỡm c vo ta ca M , ta tỡm c hai cp E,F trờn 76 10 76 76 76 E1 ; ;1 , F1 ; ;1 15 15 15 15 76 10 76 76 76 E2 ; ;1 , F2 ; ;1 15 15 15 15 Bi 27 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho M(2; 1; 2) v ng thng (d): x y z Tỡm 1 trờn (d) hai im A, B cho tam giỏc MAB u GiI Nu A,B thuc d thỡ ta cú : 2 A t1 ; t1 2; t1 AM t1 2; t1 3; t1 MA2 t1 t1 t1 3t12 12t1 14 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn B t2 ; t2 2; t2 MB t2 2; t2 3; t2 MB t2 t2 t2 3t22 12t2 14 2 AB t2 t1 ; t2 t1 ; t2 t1 AB t2 t1 3t12 3t22 6t1.t2 Nu tam giỏc AMB l tam giỏc u thỡ ta cú h : 2 3t12 12t1 3t22 12t2 MA MB t2 t1 t2 t1 t1 t2 2 2 2 MA AB 3t2 t2 t2 14 3t1 12t1 14 3t1 3t2 6t1.t2 3t2 6t1 t2 14 t2 t2 t t t t 1 2 3 9t2 36t2 34 9t2 36t2 34 t t 3 Vy thay hai cp t tỡm c trờn vo ta ca A,B ta cú kt qu 2 2 A ; ; ; ; ; B 3 3 Bi 28 Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho Cho mt phng x y z x y z , d2 : P : x y z v cỏc ng thng d1 : Tỡm im M thuc d1, N thuc d2 cho MN song song vi (P) v ng thng MN cỏch (P) mt khong bng GII 13 t M d1 M 2t 1;3 3t ; 2t h M , P 12t 12 t 12 11 t 12 6t 4t 5t N d N 6t 5; 4t ; 5t h N , P 12t t 12 2t 3t 2t Nh vy ta tỡm c hai cp M,N : 19 13 11 17 1 13 M1 ; ; , M ; ; , N1 ; ; , N ; ; 6 6 6 6 Bi 29 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng: (d1 ) : x y z x y z v (d ) : 1 2 1 Tỡm ta cỏc im M thuc (d1 ) v N thuc (d ) cho ng thng MN song song vi mt phng P : x y z 2010 di on MN bng GII Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn - M thuc d1 M t; t;2t , N d2 N 2t '; t ';1 t ' MN 2t ' t 1; t ' t; t ' 2t - Theo gi thit ta cú h : 2t ' t 12 t ' t t ' 2t 12 t ' t MN 42 2 MN n 3t 4t t 2t ' t t ' t t ' 2t t t ' t M 0;0;0 , N ; ; 7 14t 4t t ' x y z Bi 30 Trong khụng gian to cho ng thng d: v mt phng (P): x + y + z + 2 1 = Gi M l giao im ca d v (P) Vit phng trỡnh ng thng nm mt phng (P), vuụng gúc vi d ng thi tho khong cỏch t M ti bng 42 GII - Tỡm ta im M l giao ca d vi (P) , thỡ ta M l nghim ca h : x 2t y t 2t t 1; M 1; 3;0 z t x y z - ng thng d P u nP ; d u ud u nP , ud 1 2 ; ; Do ú : u nP , ud 2; 3;1 P 1 1 1 -Gi H (x;y;z) l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn thỡ ta cú : H thuc (P) : x+y+z+2=0 (1) u MH x y z 2x y z 11 M H Mt khỏc theo gi thit : MH x y z 2 42 42 x 13 y x 13 y x 13 y z y 15 z y 15 z y 15 y2 y 2 2 2 x y z 42 12 y y y 15 42 Vy : H=(29;-4;-27) hoc H=(21;-2;-21) Do ú cú hai ng thng cú cựng vộc t ch phng x 29 2t x 21 2t : y 3t u 2; 3;1 qua hai im H tỡm c : : y 3t ; z 27 t z 21 t Bi 31 (KB-08 ) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, Cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Vit phng trỡnh mt phng (ABC) v tỡm im M thuc mt phng 2x + 2y + z = cho MA = MB = MC GII Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn - Lp mt phng (ABC) qua A(0;1;2) cú vộc t phỏp tuyn n AB, AC 1 2 ; ; Vi : AB 2; 3; , AC 2; 1; AB, AC 2; 4; Do ú (ABC) cú phng trỡnh l : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 - Tỡm ta im M thuc (P) : 2x+2y+z-3=0 Nu M=(x;y;z) thuc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta cú : 2 MA x; y 1; z MA2 x y z x y z y 4z MB x 2; y 2; z MB x y z x y z 4x+4y 2z 2 MC x 2; y; z MC x y z x y z 4x z 2 - Theo gi thit , MA=MB=MC thỡ ta cú h : MA2 MB 2 y 4z 4x y 2z 2x-3y z z y 4z 4x 2z 2x y z y M 2;3; MA MC 2x y z 2x y z 2x y z x Bi 32 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(x y z 1;2;4) đ-ờng thẳng : Tìm toạ độ điểm M 1 cho: MA2 MB2 28 GII Nu M thuc thỡ M=(1-t;t-2;2t ) Khi ú ta cú : MA t ; t 6; 2t MA2 t t t 6t 20t 40 2 MB t ; t 4; 2t MB t t 2t 6t 28t 36 2 Theo gi thit cho : MA2 MB2 28 12t 48t 76 28, t t M 1;0; ... a b c 0, d 3b - Vy cú hai mt phng : (Q): -4x+y-3z-15=0 v (Q): -x+y-3=0 Bi Trong khụng gian ta Oxyz cho hai im A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) v ng thng (d): x y z Vit phng trỡnh ng thng... b=c, thay vo (2) ta cú a=-6c u 6c; c; c / / u ' 6; 1; : y 13 t z 21 t Bi Trong khụng gian ta Oxyz, vit phng trỡnh ng thng i qua im A(0;1;2), vuụng gúc x+ y- z = = v to vi mt phng... thay vũa (3) ta cú b=-a u a; a; 2a / / u ' 1; 1; : y t z 2t Bi Trong khụng gian vi h trc to cỏc Oxyz, cho hai ng thng : x y z x y z , v : : 1 a/Chng minh hai ng thng v chộo