Đề hsg toán 9 vòng 1

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : Toán (Vòng 1) Thời gian: 120 phút (không kể Đề thức thời gian giao đề) Bài 1: (8 điểm) Cho parabol ( P) : y = x Viết phơng trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến qua điểm A(2;1) Gọi d đờng thẳng qua điểm A(2;1) có hệ số góc m Với giá trị m đờng thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M N, tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi Tìm quĩ tích điểm M0 từ kẻ đợc hai tiếp tuyến parabol (P) hai tiếp tuyến vuông góc với Bài 2: (4điểm) Giải hệ phơng trình: x + y xy = 19 x + y + xy = Bài 3: (8 điểm) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C điểm thuộc nửa đờng tròn phía tam giác ABC, vẽ hình vuông BCDE ACFG Gọi Ax, By tiếp tuyến nửa đờng tròn Chứng minh C di chuyển nửa đờng tròn cho đờng thẳng ED qua điểm cố định đờng thẳng FG qua điểm cố định khác Tìm quĩ tích điểm E G C di chuyển nửa đờng tròn cho Tìm quĩ tích điểm D F C di chuyển nửa đờng tròn cho Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo (Vòng 1) kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : toán Đáp án thang điểm: Bài 1 ý Nội dung 1.1 (2,0 điểm) Phơng trình đờng thẳng d1 qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b = 2a + b, suy b = - 2a, d1: y = ax - 2a+1 Phơng trình cho hoành độ giao điểm d1 (P) là: x = ax 2a + x 3ax + 6a = Để d1 tiếp tuyến (P) cần đủ là: a = 2 ' = = 9a 24a + 12 = a = Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là: d1 : y = x 3; d : y = x 3 1.2 (4,0 điểm) Phơng trình đờng thẳng d qua A(2; 1) có hệ số góc m là: y = mx + 2m Phơng trình cho hoành độ giao điểm d (P) là: x = mx 2m + x 3mx + 6m = (2) Để d cắt (P) điểm phân biệt cần đủ là: = 9m 24m + 12 > m m + ữ > 3 m m > 2 m< 3 4 (*) m ữ > m > 3 m < m > m > Điể m 8,0 0,50 0.50 2,0 0,50 0,50 0,50 1,5 Với điều kiện (*), d cắt (P) điểm M N có hoành độ x1 x2 nghiệm phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I MN là: 2x 2x 2x m= < ; > x < 1; x > ữ x1 + x2 3m x = = 3 I 2 y = mx + 2m y = x2 x + 3 Vậy m thay đổi, quĩ tích I phần parabol y = x x + , giới hạn x < 1; x > 3 1.3 (2,0 điểm) Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm từ vẽ tiếp tuyến vuông góc đến (P) Phơng trình đờng thẳng d' qua M0 có hệ số góc k là: y = kx + b , đờng thẳng qua M0 nên y0 = kx0 + b b = y0 kx0 , suy pt d': y = kx kx0 + y0 Phơng trình cho hoành độ giao điểm d (P) là: x = kx kx0 + y0 x 3kx + 3kx0 y0 = (**) Để từ M0 kẻ tiếp tuyến vuông góc tới (P) phơng trình: = 9k 12kx0 + 12 y0 = có nghiệm phân biệt k1 , k2 k1k2 = 12 y0 = y0 = Vậy quĩ tích điểm M0 từ vẽ đợc tiếp tuyến vuông góc (P) đờng thẳng y = (4,0 điểm) ( x + y ) xy = 19 x + y xy = 19 S 3P = 19 S = x + y ữ (1) x + y + xy = S + P = P = xy x + y + xy = Giải hệ (1) ta đợc: ( S = 1; P = 6), ( S = 2; P = 5) x + y = x + y = Giải hệ phơng trình tích, tổng: xy = xy = ta có nghiệm hệ phơng trình cho là: x = x = x = x = + ; ; ; y = y = y = + y = 1,0 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 1,0 1,0 2,0 8,0 3.1 Gọi K giao điểm Ax GF, I giao điểm By ED Ta có: ã ã BEI = BCA = 900 (góc có cạnh tơng ứng vuông ã ã EBI = CBA 3.2 3.3 góc) BE = BC , Do đó: BEI = BCA BI = BA mà By cố định, suy điểm I cố định + Tơng tự, K ccố định + Vậy C di chuyển nửa đờng tròn (O) dờng thẳng ED qua điểm I cố định đờng thẳng GF qua điểm K cố định Suy quĩ tích I nửa đờng tròn đờng kính BI (bên phải By, C A E I , C B E B ); quĩ tích K nửa đờng tròn đờng kính AK(bên trái Ax, C A G A, C B G K ) Xét tam giác BEI BDK, ta có: BE BI = = BD BK ã ã ã ã EBI + IBD = KBD + IBD = 450 Do đó: ã ã EBI = KBD BEI : BDK ã ã BDK = BEI = 900 + Vậy: Quĩ tích D nửa đờng tròn đờng kính BK + Tơng tự, quĩ tích F nửa đờng tròn đờng kính AI 3,0 2,0 3,0 UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : Toán (Vòng 2) Thời gian: 120 phút (không kể Đề thức thời gian giao đề) Bài 1: (7 điểm) Giải phơng trình: x +1 x + x + 64 x = 2 Chứng minh a, b, c số không âm b số trung bình cộng a c ta có: 1 + = a+ b b+ c c+ a Bài 2: (6 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y = x + 3x + x2 + Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x + y + xy x y + = Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB CD vuông góc với E điểm cung AD Nối EC cắt OA M, nối EB cắt OD N OM ON ì số Suy giá AM DN OM ON + trị nhỏ tổng , cho biết vị trí AM DN Chứng minh tích điểm E ? Gọi GH dây cung cố định đờng tròn tâm O bán kính R cho GH đờng kính K điểm chuyển động cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam giác GHK lớn Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào tạo (Vòng 2) kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2004 - 2005 Môn : toán Đáp án thang điểm: Bài ý Nội dung Điể m 7,0 1.1 (2,0 điểm) ) ( x 3) = x = (1) y + y = ( y = x 0; x ) (2) x + 64 x = x +1 x + x + ( x + 1,0 (1) y 1: y 0, y < , nên (2) y + y = y = (thoả ĐK) x = nghiệm phơng trình (1) < y : y > 0, y , nên pt (2) y + y = y = pt (2) có vô số nghiệm y ( < y ), suy pt (1) có vô số nghiệm x (1 < x 81 ) y > : y > 0, y > , nên pt (2) y + y = y = , pt vô nghiệm Vậy tập nghiệm pt (1) là: S = [ 1; 81] 1.2 (3,0 điểm) 1 + = a+ b b+ c c+ a 1 1 = (*) a+ b c+ a c+ a b+ c 1 = a+ b c+ a A= Ta có: = ( a+ b )( c b c+ a )( ( b+ c )( c+ a ) ) a+c a + c = 2b b a = c b , nên: Theo giả thiết: b = A= ( b+ c )( = ( b a )( b+ a 0,50 ) ) ( a + b) ( b + c) ( c + a) ( b a) = ( b + c) ( c + a) = A= ( b + c) ( c + a) ( b + c) ( c + a) c + a b + a+ b )( ba c+ a Đẳng thức (*) đợc nghiệm 1,0 0,50 c b a+ b 1,0 1,0 c 1,0 6,0 2.1 (3,0 điểm) x + 3x + y= (xác định với x R ) x2 + ( y 1) x 3x + y = (**) y 1: để pt (**) có nghiệm thì: = 4( y 1)( y 5) = y + 24 y 11 25 5 11 ( y 3) y y y ( y 1) 2 2 11 11 Vậy tập giá trị y ; , Max y = ; Min y = 2 2 0,5 y = 1: pt (**) có nghiệm x = 2.2 (3,0 điểm) x + y + xy x y + = x + ( y ) x + y y + = (***) Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì: = ( y ) ( y y + 3) = y + y số phơng y + y = k ( k Z) ( y + ) k = 12 ( y + k )( y + + k ) = 12 (a) 1,0 1,0 0,5 0,5 Ta có: Tổng ( y + k ) + ( y + + k ) = 2( k + 2) số chẵn, nên 1,0 ( y + k ) ; (y + + k) chẵn lẻ Mà 12 tích 1.12 2.6 3.4, nên có hệ phơng trình sau: y + k = y + k = y + k = y + k = ; ; ; ; y + + k = y + + k = y + + k = y + + k = Giải hệ pt ta có nghiệm nguyên pt (a): ( y = 2; k = ) , ( y = 2; k = ) , ( y = 6; k = ) , ( y = 6; k = ) Thay giá trị y = 2; y = vào pt (***) giải pt theo x có nghiệm nguyên (x; y) là: ( x = 1; y = 2), ( x = 3; y = 2);( x = 11; y = 6), ( x = 9; y = 6) (4 3.1 đ ) Ta có: COM : CED vì: =E = 900 ; C chung Suy ra: O OM CO ED.CO = OM = (1) ED CE CE Ta có: AMC : EAC vì: chung , àA = E = 450 Suy ra: C AM AC EA AC = AM = (2) EA EC CE 0,5 0,5 0,5 7,0 1,0 Từ (1) (2): OM OC.ED ED = = (3) AM AC.EA EA ONB : EAB OB OB.EA = ON = (4) ( Oà = Eà = 90 ; Bà chung ) ON EA EB EB chung , D =E = 450 ) DN = DB DN = DB.ED (5) DNB : EDB ( B ED EB EB ON OB.EA EA = = (6) Từ (3) (6): Từ (4) (5): DN DB.ED ED OM ON ì = AM DN OM ON , y= Đặt x = Ta có: x, y không âm và: AM DN x y = x + y xy x + y xy = = 2 x = y Dấu "=" xẩy khi: 1x= y= xy = ( 1,0 ) OM ED OM ON + = = EA = ED Vậy: Tổng ữ = AM EA AM DN E trung điểm dây cung ằAD 3.2 (3,0 điểm) GKH có cạnh GH cố định, nên chu vi lớn tổng KG + KH lớn Trên tia đối tia KG lấy điểm N cho KN = KH Khi đó, HKN cân K Suy 1ã ã GNH = GKH KG + KH = KG + KN = GN 1ẳ ã = GH mà GKH (góc nội tiếp chắn cung nhỏ cố định), ẳ GH 1,0 1,0 không đổi Vậy N ã GNH chạy cung tròn (O') tập hợp điểm nhìn đoạn GH dới góc 1ã = GOH không đổi GN dây cung cung tròn (O') nên GN lớn GN đờng kính cung tròn, suy GHK vuông H, ã ã (vì lần lợt phụ với hai góc nhau) Khi đó, K KGH = KHG ẳ trung điểm cung lớn GH 1,5 1,5 Vậy: Chu vi GKH lớn K trung điểm cung ẳ lớn GH ... 1, 0 0,50 c b a+ b 1, 0 1, 0 c 1, 0 6,0 2 .1 (3,0 điểm) x + 3x + y= (xác định với x R ) x2 + ( y 1) x 3x + y = (**) y 1: để pt (**) có nghiệm thì: = 4( y 1) ( y 5) = y + 24 y 11 25 5 11 ... suy pt (1) có vô số nghiệm x (1 < x 81 ) y > : y > 0, y > , nên pt (2) y + y = y = , pt vô nghiệm Vậy tập nghiệm pt (1) là: S = [ 1; 81] 1. 2 (3,0 điểm) 1 + = a+ b b+ c c+ a 1 1 = ... = 9k 12 kx0 + 12 y0 = có nghiệm phân biệt k1 , k2 k1k2 = 12 y0 = y0 = Vậy quĩ tích điểm M0 từ vẽ đợc tiếp tuyến vuông góc (P) đờng thẳng y = (4,0 điểm) ( x + y ) xy = 19 x + y xy = 19