Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chương 4 BAI GIANG DIEN TU XSTK

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: X x1 x2……xk P 1/k 1/k…….1/k Phân phối không – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) ⇔ X P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(P) E(X) = P, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k n−k Định nghĩa 1.2: Χ : Β ( n, p ) ⇔ Ρ ( Χ = k ) = Cn p q , k = 1, n Định lý1.2: Χ : Β ( n, p ) ⇒ Ε ( X ) = np, D ( Χ ) = npq, Mod Χ = k0 = ( n + 1) p  Phân phối siêu bội Bài toán: Cho hộp có N bi có M bi trắng lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (không hoàn lại), n không lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy k n−k Giải: CM C N −M Ρ( Χ = k) = C n N , k = 0, n Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n) Χ : H ( N , M , n) ⇒ Ε ( Χ ) = np, Định lý 1.3: Giả sử N −n M D ( Χ ) = npq ,p= N −1 N Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k a −a Χ : Ρ a ⇔ Ρ Χ = k = e , k = 0,1, ( ) ( ) Định nghĩa 1.4: k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson) Ρ ( ≤ x ≤ 12 ) = 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm ∑ …) Ρ ( ≤ X ≤ 12 ) = Ρ ( ≤ X ≤ 12 ) − Ρ ( ≤ Χ ≤ ) Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ công cộng X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm Giải: Gọi X số người ngẫu nhiên vào trạm 10 phút X có phân phối P(a), a = Khi ấy: Ρ ( Χ = ) = e −5 4! §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn Ν ( a, σ ) , σ > Định nghĩa 2.1: Χ : Ν ( a, σ ) ⇔ f ( x ) = e σ 2π −( x − a ) 2σ 2 Định lý 2.1: X có phân phối Ν ( a, σ ) E(X) = a, D(X) = σ Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn − u /2 (hàm mật độ tắc N(0,1) nếu: f ( u) = e Gauss) 2π u Định lý 2.2: FU ( u ) = 0,5 + U có phân phối N(0,1) ∫ với Φ(U ) −t /2 e dt = 0,5 + Φ ( U ) 2π tích phân Laplace (hàm lẻ) Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: ( 1) Ρ ( u1 < U < u2 ) = Φ ( u2 ) − Φ ( u1 ) ; ( ) Ρ ( U < ε ) = 2Φ ( ε ) ( Định lý 2.4: Giả sử Χ : Ν a, σ ) X −a ⇒U = : Ν ( 0,1) σ Định lý 2.5: Giả sử Χ : Ν ( a, σ ) Khi ta có:  β −a  α −a  Ρ α < Χ < β = Φ () ( )  ÷− Φ  ÷  σ   σ  ε ( ) Ρ ( Χ − a < ε ) = 2.Φ  ÷ σ  Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn  160 − 165  Ρ ( −∞ < X < 160 ) = Φ  ÷− Φ ( −∞ )   = −Φ ( 1) + Φ ( +∞ ) = −0, 34134 + 0, Ví dụ 2.2: Cho U : Ν ( 0,1) tính kỳ vọng củaU m • Giải: +∞ −u /2 m m Ε(U ) = ∫ u e du = m lẻ cận đối xứng, −∞ 2π ∫ hàm dấu tích phân hàm lẻ +∞ +∞ −u2 / −u2 / 2 Ε(U ) = ∫ u e du = ∫ u.u e du −∞ −∞ 2π 2π −u2 / −u / dv = u e ⇒v=− e 2π 2π +∞ − u / +∞ −u2 / 2 ⇒ Ε ( U ) = −u e +∫ e du = −∞ −∞ 2π 2π Tương tự: −u2 /2 Ε ( U ) = ∫ u u e du −∞ 2π +∞ +∞ − u /2 − u /2 = −u e + 3.∫ u e du = 3.Ε ( U ) = 3.1; −∞ −∞ 2π 2π +∞ Ε ( U ) = 5Ε ( U ) = 5.3.1; Ε ( U n ) = ( 2n − 1) !! Ví dụ 2.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại gặp vàng dừng Tính xác suất để lấy trắng, đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C 63 C52 P = 15 C 10 Phân phối liên tục: (Xem SGK) λ e Phân phối mũ :(Xem SGK) Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) 10 §3 Các định lý giới hạn Định lý Chebyshev (Xem SGK) Định lý Bernoulli (Xem SGK) Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.1(Lyapounov): Giả sử Χ1 , Χ , , Χ n đôi độc n lập E X k − E( X k ) ∑ lim k =1 =0 3/2 n →∞ n   D Χ ∑ ( k ) ÷  k =1  Khi ta có: U= n n Χi − ∑ E ( Χi ) ∑ n i =1 n i =1 n n ∑ D( x ) i =1 ≈ N ( 0,1) n đủ lớn ( n ≥ 30 ) i 11 Hệ 3.1:Giả sử thêm vào ta có E ( X i ) = a, D ( X i ) = σ , i = 1, n n ( ∑ X i − a ) n n i =1 ⇒U = ≈ N (0,1) σ m − p) n U= n ≈ N (0,1) p(1 − p ) n đủ lớn ( Hệ 3.2: n đủ lớn 12 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: Χ1 , Χ , Χ n với phương sai: D ( Χ k ) = ( k = 1, 2, n ) Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n Χ = ∑ Χi , E (Χi ) = a ⇒ E ( X ) = a → D ( Χi ) = σ = n i =1 13 a )Ρ ( Χ − E ( Χ ) ≤ 0, 01) ≥ 0, 9973  Χ − a ) n 0, 01 n  ( ⇔ Ρ U = ≤ ÷ ≥ 0, 9973  ÷ σ    0, 01 n  ⇔ Φ  + 0, ≥ 0, 9973 ÷ ÷    0, 01 n  ⇔ Φ  ≥ 0, 4973 = Φ 2, 785 ( ) ÷ ÷    2,875  0, 01 n ⇔ ≥ 2, 785 ⇔ n ≥  ÷ ÷ 0, 01   14 b) Ρ( U = Χ − E ( Χ ) < 0, 005) ≥ 0, 9973  0, 005 n  ⇔ 2.Φ  ≥ 0, 9973 ÷ ÷    0, 005 n  0, 9973 ⇔ Φ  ≥ = Φ ( 3) ÷ ÷     0, 005 n ⇔ ≥ ⇒ n ≥  ÷ ÷ 0, 005   15 $4.Các công thức tính gần Công thức gần siêu bội nhị thức Định lý 4.1:Khi n