Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chương 2

https://www.facebook.com/chunli94 Chương 2: Biến ngẫu nhiên I Biến ngẫu nhiên rời rạc Bản chất biến ngẫu nhiên rời rạc dạng biểu diễn khác biến cố Ví dụ 1: Tung viên xúc sắc lần Gọi X số chấm xuất Khi X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị từ đến Dễ thấy, X = tương đương với biến cố xuất mặt chấm  Tung viên xúc sắc đồng thời Gọi X tổng số chấm xuất Hỏi X nhận giá trị nào? Các dạng tập chính:    Lập bảng phân phối xác suất (quan trọng nhất) Xác định vẽ hàm phân phối xác suất Tính toán đại lượng: Xác suất, kì vọng, phương sai Lập bảng phân phối xác suất kĩ quan trọng Hãy tư đơn giản xác định xác suất cho giá trị biến ngẫu nhiên giải toán xác suất nhỏ Ví dụ, bảng phân phối xác suất cho ví dụ là: X p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6  Tổng giá trị p bao nhiêu? Ví dụ 2: Tung viên xúc sắc đồng thời Gọi X số mặt chấm xuất Lập bảng phân phối xác suất X Giải: Dễ thấy X { } X = tương đương với biến cố: Không xuất mặt chấm viên xúc sắc Ta có: P(X = 0) = X =1 tương đương với biến cố: Xuất mặt chấm lần viên xúc sắc Ta có: P(X = ) =  Các bạn nhớ tới công thức xác suất đây? https://www.facebook.com/chunli94 Làm tương tự với trường hợp X = X = ta có bảng phân phối xác suất sau: X p 125/216 25/72 5/72 1/216 Khi bắt đầu luyện tập, bạn quy từ giá trị X biến cố, tính xác suất biến cố qua cách học chương I Sau này, dần quen rồi, nhẩm bấm máy tính, viết kết trực tiếp vào bảng Lưu ý, sau lập xong bảng cần kiểm tra lại cách cộng tổng xác suất tính Xác định vẽ hàm phân phối xác suất toán tương đối dễ có bảng phân phối xác suất Cần làm cẩn thận để lấy đủ điểm từ tập Ví dụ 3: Cho bảng phân phối xác suất sau: X p 0,3 0,2 0,4 0,1 Xác định vẽ hàm phân phối xác suất Giải: Hàm phân phối xác suất: F(x) = P(X < x) Xác định F(x) cách chia khoảng x dựa vào điểm sẵn có biến ngẫu nhiên Với x < 1: F(x) = P(X < x) = giá trị X nhỏ Với < x < 2: F(x) = P(X < x) = P(X = 1) = 0,3 Với < x < 3: F(x) = P(X < x) = P(X =1) + P(X = 2) = 0,5  Làm tương tự với trường hợp lại kết luận Vẽ hàm phân phối xác suất: Lưu ý đồ thị hàm mũi tên song song với nhau, hình thống nhất, liên tục Tính toán đại lượng: Cũng dạng toán dễ Nhớ công thức tính toán cẩn thận máy tính Giả sử biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau: X p x(1) p(1) x(2) p(2) x(n) p(n) https://www.facebook.com/chunli94 Giá trị kì vọng: E(X) = x(1).p(1) + x(2).p(2) + + x(n).p(n) Lưu ý: Giá trị kì vọng có tên gọi khác giá trị trung bình Phương sai: V ( X )  ( x(1)  E( X ))2 p(1)  ( x(2)  E( X ))2 p(2)   ( x(n)  E( X )) p(n) Lưu ý: Độ lệch chuẩn   V ( X ) Tính toán xác suất: P(a < X < b) = F(b) – F(a) P(X < a) = F(a); P(a < X) = – F(a) II Biến ngẫu nhiên liên tục: Nghe “nguy hiểm” thực tập phần dễ, cần biết số công thức tính toán cẩn thận làm Bài toán tìm số c hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất Chìa khóa để giải toán này:  Với hàm phân phối: F(x) hàm liên tục R   Với hàm mật độ: Ta có công thức  f ( x)   0( x  0)  Ví dụ 4: Cho hàm phân phối xác suất: F ( x)  ax3  3x  x(0  x  1) Tìm a 1( x  1)  Giải: F(x) hàm liên tục R nên liên tục điểm Ta có lim F ( x)  lim F ( x)   a.0  3.0  2.0 (hiển nhiên) x 0 x 0 lim F ( x)  lim F ( x)   a.13  3.12  2.1  a  x 1 x 1 k (30  x)( x  (0,30) Tìm k Ví dụ 5: Cho hàm mật độ xác suất: f ( x)   0( x  (0,30))  Giải:   30 30 kx f ( x)dx   k (30  x)dx  (30kx  )  450k   k  450  Tại từ cận ,  lại chuyển cận 30? https://www.facebook.com/chunli94 Dạng tính xác suất: b P(a  x  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx a b P( x  b)  F (b)   f ( x)   f ( x)  F '( x) x F ( x)   f ( x) (chú ý chia khoảng x)   P( x  a)   F (a)  Xác định hàm phân bố xác suất dựa vào hàm mật độ ngược lại f ( x) a Tính phương sai, kì vọng, mốt, trung vị:  E( X )   xf ( x)dx (nếu cho F(x) phải tính f(x) dùng công thức)   Var ( X )  x f ( x)dx  Mốt (còn gọi giá trị có nhiều khả xảy nhất): ModX  x0 f(x) đạt cực đại x0 x e Trung vị: xe : F ( xe )  ;  f ( x)dx   ... hợp X = X = ta có bảng phân phối xác suất sau: X p 125 /21 6 25 / 72 5/ 72 1 /21 6 Khi bắt đầu luyện tập, bạn quy từ giá trị X biến cố, tính xác suất biến cố qua cách học chương I Sau này, dần quen rồi,... Cho bảng phân phối xác suất sau: X p 0,3 0 ,2 0,4 0,1 Xác định vẽ hàm phân phối xác suất Giải: Hàm phân phối xác suất: F(x) = P(X < x) Xác định F(x) cách chia khoảng x dựa vào điểm sẵn có biến... viết kết trực tiếp vào bảng Lưu ý, sau lập xong bảng cần kiểm tra lại cách cộng tổng xác suất tính Xác định vẽ hàm phân phối xác suất toán tương đối dễ có bảng phân phối xác suất Cần làm cẩn thận