Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chương 7 BAI GIANG DIEN TU XSTK

Chương Lý thuyết kiểm định §1: Khái niệm chung kiểm định Việc dùng kết mẫu để khẳng định hay bác bỏ giả thiết H gọi kiểm định giả thiết H Khi kiểm định ta mắc loại sai lầm sau: Sai lầm loại1: Là sai lầm mắc phải ta bác bỏ H α Ta ký hiệu xác suất để mắc sai lầm α H gọi mức ý nghĩa Sai lầm loại 2: Là sai lầm mắc phải ta công nhận H H sai Ta ký hiệu xác suất để mắc sai lầm loại B gọi 1-B lực kiểm định Trong cácαbài toán kiểm định ta xét sau mức ý nghĩa cho trước Giả thiết Η : Ρ = Ρ0 Giả thiết đối lập: Η này) Ρ < Ρ (thiếu) Ρ > Ρ0 (thừa) Ρ ≠ Ρ (đối xứng-ta xét §2: Kiểm định giả thiết tỉ lệ Bài toán mẫu: Bài toán: Ký hiệu tỉ lệ tổng thể P(chưa biết) Từ α lấy mẫu kích thước n, có tỉ lệ mẫu f Với tổng thể mức ý nghĩa kiểm định giả thiết: Η : Ρ = Ρ0 Giải: Bước 1: Tra Ζα f − Ρ0 ) n ( Bước 2: Tính giá trị quan sát: U qs = Ρ0 ( − Ρ0 ) Bước 3: Kết luận: U qs ≤ Ζα ⇒ H ⇒ Ρ = Ρ0 U qs > Ζα ⇒ H sai ⇒ Ρ ≠ Ρ0 Ρ ≠ Ρ0 U qs < −Ζα ⇒ Ρ < Ρ U qs > Ζα ⇒ Ρ > Ρ Bài toán mẫu Bài toán: kí hiệu tỉ lệ tổng thể 1, Ρlà1 , Ρ (cả chưa n1 , n2 ,có biết).Từ tổng thể lấy mẫu kích thước tỉ lệf = m1 , f = m2 α n1 n2 Với mức ý nghĩa , kiểm mẫu định Η : Ρ = Ρ Ζα m1 m2 giả thiết: − n1 n2 Bước 1: U = qs Bước 2: m1 + m2 n1.n2  m1 + m2  1 − ÷ n1 + n2   • Bước 3: Kết luận: U qs ≤ Ζα ⇒H ⇒ Ρ1 = Ρ U qs > Ζα ⇒H sai Ρ1 ≠ Ρ ⇒ Ρ1 ≠ Ρ U qs < −Ζα ⇒ Ρ1 < Ρ U qs > Ζα ⇒ Ρ1 > Ρ Ví dụ 2.1:Nếu áp dụng phương pháp I tỉ lệ phế phẩm 6%, áp dụng phương pháp II 100 phế phẩm có phế phẩm Vậy kết luận áp dụng phương pháp thứ II tỉ lệ phế phẩm phương pháp thứ I không? Hãy kết luận với mứa ý nghĩa 0,05.Ρ = 0,06 Giải: Ký hiệu tỉ lệ phế phẩm phương pháp I ; Η : Ρ = Ρ = 0, 06, f = 0, 05 P tỉ lệ phế phẩm phương pháp II ( chưa biết) Ζα = 1, 96 Bước 1: U qs ( = f − Ρ0 ) n Ρ0 ( − Ρ0 ) 0, 05 − 0, 06 ) 10 ( = = −0, 42 0, 06.0, 94 Bước 2: Bước 3: U qs < Ζ 0,05 = 1,96 ⇒ Ρ = Ρ Vậy tỉ lệ phế phẩm phương pháp II với tỉ lệ phương pháp I • Ví dụ 2.2.Thống kê số phế phẩm nhà máy sản xuất loại sản phẩm có bảng số liệu : Nhà máy Số sản phẩm Số phế phẩm I 1200 20 II 1400 60 Với mức ý nghĩa 0.05 ,hãy xét xem tỷ lệ phế phẩm nhà máy có hay không ? Ρ1 -tỷ lệ phế phẩm nhà máy I Ρ -tỷ lệ phế phẩm nhà máy II Bước H : Ρ1 = Ρ α = 0, 05 ⇒ Zα = 1,96 20 60 + Bước 1200 1400 Uqs = = −3,855 20 + 60  80  −  ÷ 1200.1400  2600  Bước Uqs < − Zα = −1,96 ⇒ Ρ1 < Ρ Vậy tỷ lệ phẩm nhà máy thấp nhà máy § 3.Kiểm định giả thiết giá trị trung bình 1.Bài toán mẫu: Ký hiệu trung bình tổng thể a (chưa biết).Từ x mẫu tổng thể lấy mẫu kích thước n có trung bình S 2mẫu , phương sai điều chỉnh Với mứcαý nghĩa H = a = a0 ,hãy kiểm định giả thiết: Giải: σ2 Trường hợp1: Zα Đã biết phương sai tổng thể x − a0 n B1: U qs = B2: σ ( ) B3 U qs ≤ ZαH đúng: U qs > Zα a ≠ a0 : H sai : a = a0 a ≠ a0 U qs < − Zα ⇒ a < a0 U qs > Zα ⇒ a > a0 TH 2: Chưa biết phương sai tổng thể B1: Zα B2: x−a n U qs B3: ( = U qs ≤ Zα U qs > Zα σ , n ≥ 30 ) S H đúng: H sai: a = a0 a ≠ a0 10 Kiểm định giả thiết phân phối rời rạc B1 r = B2 B3 H:X có phân phối rời rạc (do phân phối tham số chưa biết) χα2 ( k − 1) pi = , i = 1, k k n  n − ÷ k  i k k B4  χ qs = ∑ = n k − n ( i ) ∑ n nk i =1   i =1  ÷ k B5 Theo toán chung 29 Ví dụ 5.1 Tung xúc xắc ta bảng điểm sau đây: Số điểm Số lần 6 Với mức ý nghĩa 0.05 ,hãy kết luận xúc sắc có hay không? Giải:  2 2 Χ qs = ( 3.6 − 31) + ( 7.6 − 31) + ( 6.6 − 31) + ( 5.6 − 31) + ( 4.6 − 31)  31.6 = 2,1 < χ 0.05 (5) = 11,4 Vậy xúc xắc 30 Kiểm định giả thiết phân phối Poison H : Χ : Ρ ( a) X 2… k-1 ni n2… nk −1 B1.r =1 (có tham số chưa biết a),a = x χ B2 α ( k − ) B3 n0 pi = p ( Χ = i ) = e − a ni − npi ) ( χ qs = ∑ npi i =0 B5 Như b5 B4 k −1 n1 , i = 0, k − i! 31 Ví dụ 5.2: Để kiểm tra công việc 200 công nhân,người ta chọn ngẫu nhiên 1000 sản phẩm người đem thử nghiệm để tìm phế phẩm Kết sau: Số phế phẩm trên1000 sản phẩm Số công nhân 109 65 22 Với mức ý nghĩa 0.01, coi mẫu phù hợp với phân phối Poisson 32 Giải: a = x = 0, 61 i 0, 61 npi = 200.e −0,61 , i = 0, i! ni i npi 109 65 22 108,67 66,29 20,21 4,111 0,627 33 ⇒χ = qs ( 109 − 108,67 ) ( − 4,11) 4,11 + 108,67 + ( − 0,637 ) 0,637 ( 65 − 66, 29 ) 66, 29 + ( 22 − 20, 21) 20, 21 + = 0,72 < χ 0.01 = 11,34 Vậy mẫu phù hợp với phân phối Poison 34 II Trường hợp F(x) liên tục: H : Χ : F ( x) Giả sử bảng phân phối tần số mẫu có dạng: X a0, a1 ( a1 , a2 )… ( ak −1 , ak ) ni n1 n2 … nk B1 r số tham số chưa biết.Thay tham số ước lượng hợp lý tối đa chúng B2.Tra χα2 ( k − r − 1) B3 Tính ( ) p1 = Ρ ( −∞ < Χ < a1 ) , p2 = Ρ ( a1 < Χ < a2 ) , , pk −1 = Ρ ( ak − < Χ < ak −1 ) pk = Ρ ( ak −1 < Χ < +∞ ) Chú ý: ∑p i =1 i 35 B4 χ qs k =∑ ( ni − npi ) npi i =1  k ni2 = ∑  i =1 pi  ÷ − n  n B5 Giống trường hợp F(x) rời rạc Kiểm định phân phối chuẩn B1: Χ ( a0 , a1 ) ni n1 H : Χ : N ( a, σ ) ( a1 , a2 ) n2 ( ak −1 , ak ) nk r = 2, a = x, σ = S$ = xσ n 36 B2 B3 χα2 ( k − 3)  a1 − x  p1 = Φ  ÷+ 0,5  σ   a2 − x   a1 − x  p2 = Φ  ÷− Φ  ÷, ,  σ   σ   ak −1 − x   ak − − x  pk −1 = Φ  ÷− Φ  ÷ σ σ      ak −1 − x  pk = 0,5 − Φ  ÷ σ   37 B4 χ qs ni − npi ) ( =∑ npi i =1 k  k ni2 = ∑  i =1 pi  ÷ − n  n B5 kết luận b5 toán chung Ví dụ 5.3 : Bảng điểm lớp học sau Số điểm 0-3 Số học sinh 3-5 5-7 7-8 8-10 24 43 16 11 Với α = 0,05 kết luận bảng có phù hợp với phân phối chuẩn hay không? x = 5,82, σ = xσ n = 1,8688 38 Bài giải:  − 5,82  p1 = Φ  + 0, = Φ ( −1,51) + 0,5 = −0, 43448 + 0,5 = 0, 06552 ÷  1,8688   − 5,82  p2 = Φ  + 0, 43448 = −Φ ( 0, 44 ) + 0, 43448 ÷  1,8688  = −0,17003 + 0, 43448 = 0, 26445  − 5,82  p3 = Φ  + 0,17003 = Φ ( 0, 03) + 0,17003 = 0, 40568 ÷  1,8688   − 5,82  p4 = Φ  − 0, 23565 = Φ ( 1,17 ) − 0, 23565 = 0,14335 ÷  1,8688  p5 = 0,5 − Φ ( 1,17 ) = 0,12  62 242 432 162 112  χ = + + + + ÷:100 − 100  0, 06552 0, 26445 0, 40568 0,14335 0,121  = 0, 707 ≤ χ 0.05 (2) = qs 39 §6.Bảng phân phối tần số đồng thời hay bảng tương quan mẫu Giả sử X,Y đại lượng ngẫu nhiên gốc tổng thể Bảng phân phối tần số mẫu đồng thời X,Y là: y1 y2 Y yh X ni x1 x2 n11 n21 n12 n22 n1h n2h n1 n2 xk nk nk mj m1 m2 nkh mh nk n 40 ⇔ xi yi nij x1 y1 n11 x1 y2 n12 xk yh nkh 41 §7 Kiểm định độc lập Giả sử X,Y đại lượng ngẫu nhiên tổng α thể,từ tổng thể lấy mẫu kích thước n Với mức ý nghĩa kiểm định giả thiết : H:X,Y độc lập χ B1 α  ( k − 1) ( h − 1)  B2 nij − γ ij ) ni m j ( χ qs = ∑ , γ ij = ≥5 γ ij n i,j χ qs B3 χ qs   nij2  =  ∑ − 1 n ÷  ÷  i , j ni m j   ≤ χα2 () ⇔ Χ, Y độc lập χ qs > χα2 () ⇔ Χ, Y phụ thuộc 42 Ví dụ.7.1:Nghiên cứu ảnh hưởng hoàn cảnh gia đình tình trạng phạm tội trẻ em có kết quả: Tình trạng phạm tội Bố mẹ Bố mẹ ly hôn Còn bố mẹ ni Không phạm tội 20 25 13 58 Có phạm tội 29 43 18 90 49 68 31 148 mj 2   20 25 11 2 χ qs =  + + + − 1 = 0,32 < χ 0,05 (2) = 90.31   58.49 58.68 Vậy hoàn cảnh gia đình không ảnh hưởng tới tính trạng phạm tội 43 ... a0 a0 = 14, 25 định mức cũ ,a suất trung bình (24) Giải T0.05 = 2, 064 Tqs = ( 15 − 14,5) 2, 226 25 = 1,118 < 2.046 ⇒ a = a0 Vậy không nên thay đổi định mức 17 Bài toán mẫu: Kí hiệu trung bình... nhiên 27 vòng bi loại thấy độ lệch trung bình S=0.003 Theo số liệu quy định độ lệch chuẩn cho phép không vượt 0.0025 Với mức ý nghĩa 0.05, cho kết luận? 25 .Giải : 26.0,003 2 n = 27, χ 0. 975 (26)... k B5 Theo toán chung 29 Ví dụ 5.1 Tung xúc xắc ta bảng điểm sau đây: Số điểm Số lần 6 Với mức ý nghĩa 0.05 ,hãy kết luận xúc sắc có hay không? Giải:  2 2 Χ qs = ( 3.6 − 31) + ( 7. 6 − 31) +