Môn bất đẳng thức và áp dụng GT chuong1

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNG BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Hà Nội, 2006 Chương Bất đẳng thức Cauchy Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG • TAM THỨC BẬC HAI Từ chương trình PTTHCS ta làm quên với BĐT sau: Dấu đẳng thức xảy Dựa sở này, xây dựng BĐT liên quan đến tam thức bậc hai => thiết lập chứng minh BĐT Cauchy Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG • BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Tại Việt Nam nước Đông Âu: -BĐT giá trị trung bình cộng trung bình nhân BĐT Cauchy -BĐT Cauchy Bunhiacovski, Cauchy - Bunhiacovski Cauchy - Schwarz Theo chuyên gia BĐT thông lệ quốc tế: -BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy có tên Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Xét hai số dương a, b Nếu tổng a + b = const  a.b đạt max a = b Nếu tích a.b = const  (a+b) đạt a = b Hai nhận xét tương đương với: a+b ≥ a.b Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Với số ta có bất đẳng thức sau Bất đẳng thức (1.4) thường gọi bất đẳng thức Cauchy (®«i cßn ®îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski bất đẳng thức Cauchy – Schwarz) Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG • BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNG Ta có nhận xét bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng xem bất đẳng thức tam thức bậc hai trường hợp dấu đẳng thức xảy Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự (1.8) cách thay số số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng Sao cho dấu đẳng thức xảy Thay vào (1.9), ta nhận tức (1.9) có dạng Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Đây bất đẳng thức Bernoulli quen biết Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) sử dụng trường hợp đảm bảo chắn dấu đẳng thức xảy Trong trường hợp, dấu đẳng thức xảy cho trước, ta cần chuyển đổi số số cho cách: -Tịnh tiến - Đồng dạng (tốt với Bernoulli) Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Tiếp theo ta lại có nhận xét bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng xem bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa luỹ thừa ), trường hợp dấu đẳng thức xảy Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cách tự nhiên cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự (1.12) cách thay luỹ thừa số luỹ thừa Ta có: dấu đẳng thức xảy Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG • BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG PHỨC Nhận xét từ đẳng thức cho số thực ta mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành đẳng thức cho số phức Chẳng hạn, ta coi số thực cho phần thực số phức Ta nêu số đồng thức sau cần sử dụng Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG VD2: Xét số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = Tìm x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4 Ta cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z  tường minh Tuy nhiên tìm x2 + 2y2 + 3z2  kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ lúc dấu “=“ không xảy vị trí x=y=z  phải lựa chọn phương thức đặc biệt  thêm bớt hệ số Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Độ gần thứ tự dãy cặp điểm Từ bất đẳng thức Ta suy với cặp số không âm đạt giá trị lớn với tổng cho trước tích Tuy nhiên x, y biến đổi miền miền x khác y chúng đạt vị vị trí x y gần  khái niệm độ gần Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Xét cặp số không âm độ lệch cặp số Ta gọi hiệu độ gần cặp số Nếu ρ(x,y) =  x = y  cặp Nếu x ≠ y  ρ(x,y) >  độ gần Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Khi ta có cặp số a, b dương có tổng Ta có loạt số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng Tất có chung đặc trưng: (x.y) ≤ (9/2)2 Nếu xem xét kỹ ta thấy tích: 1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5 Vậy cặp số có tổng không đổi x y gần tích lớn  ta thứ tự chặt số  tiến gần đến trường hợp Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Định lý Xét cặp số không âm (để đơn giản, ta chọn Khi cặp ) Khi gần cặp với tổng không đổi Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Định lý Xét cặp số không âm (để đơn giản, ta chọn cặp ) Khi gần cặp với tích không đổi Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Định lý (H W Melaughlin, F T Metcalf) Với cặp dãy số dương cho ta có dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy [0,1] Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Kỹ thuật tách ghép số Thông thường xem xét BĐT Cauchy BĐT số Tuy nhiên thực tế, đa số số xuất phát từ số (1 số cố định số thu từ biến đổi số cố định này) Đây toán dùng nhiều phân tích cấu trúc Thực chất kỹ thuật tách ghép cách thứ tự điều chỉnh số theo trình gần theo nhóm Ứng dụng chúng cho toán tối ưu đời sống hàng ngày nhiều Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Thứ tự lại thứ tự số Cho số gồm số a,b, c thoả mãn a < b < c Khi gọi: a min(x,y,z); c max(x,y,z); b med(x,y,z), ta có: max(a,b,c) ≥ med(a,b,c) ≥ min(a,b,c) Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Cho Δ ABC Dưới góc độ bất biến, không kể độ lớn ta khẳng định: Ba góc A, B, C > A + B + C = π Trong tam giác ta có: A = B = C = π/3 Như cho Δ Δ xa Δ hiệu max tam giác lớn không, hiệu giưa max tam giác không Do toán BĐT thường ta so sánh BĐT cho với BĐT tam giác Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Không tính tổng quát coi A góc lớn nhất, góc C góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có: A ≥ π/3 max ≥ (A+B+C)/3 C≤ π/3 Thứ tự số đó: A ≥ π/3 A + B ≥ π/3 + π/3 A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = π Từ so sánh ta thay góc A, B, C biểu thức khác Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Xét Δ ABC không nhọn (tù vuông), A > B > C, ta có: A ≥ π/2 C ≤ π/4 B + C ≤ π/2 Ta thấy rằng: Trong tam giác không nhọn tam giác vuông cân tam giác gần Vì ta có BĐT liên quan đến tam giác so sánh với tam giác ta có BĐT liên quan đến tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Ứng dụng BĐT Cauchy nhiều Đặc biệt liên quan đến tam thức bậc hai, ứng dụng lớn tìm max dạng phân thức Dạng phân thức có cấu trúc trặt gặp nhiều toán thi Olympic quốc gia quốc tế dạng phân thức mà tử số mẫu số đa thức bậc không hai Cấu trúc đề tìm max dùng BĐT Cauchy tam thức bậc hai cấu trúc có chiều ngược lại với truyền thống toán sử dụng phép tính vi phân ... đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Với số ta có bất đẳng thức sau Bất đẳng thức (1.4) thường gọi bất đẳng thức Cauchy (®«i cßn ®îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski bất. .. Cauchy-Bunhiacovski bất đẳng thức Cauchy – Schwarz) Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG • BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNG Ta có nhận xét bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng xem bất đẳng thức tam thức bậc... Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy DẪN CHƯƠNG Đây bất đẳng thức Bernoulli quen biết Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) sử dụng trường hợp đảm bảo chắn dấu đẳng thức xảy Trong trường hợp, dấu đẳng thức