PHÒNG GD&ĐT HÀM THUẬN BẮC THCS PHÚ LONG Khóa ngày: 14/05/2015 ******************** KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀTHI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Năm học: 2014 – 2015 (Thời gian làm 150 phút không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Bài 1: (5.0 điểm) a) Cho A= x2 − x − 2x − + − x − x − 7x + 10 x − - Thực rút gọn A - Tìm x nguyên để A nguyên b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc với số a, b, c Bài 2: (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 2x3 + 3x2 − 8x + = b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x3 − xy − = x − 2y Bài 3: (4.0 điểm) 2 Cho biết x + x − 1= ( x + x − 1) ( x − x + 1) a) Phân tích số 10.000.000.099 thành tích chữ số tự nhiên khác b) Cho 2a + 3b = Chứng minh 2a2 + 3b2 ≥ Bài 4: (4.0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vuông góc B AC; E, F, M, N trung điểm AB, DH, HC, AD a) Chứng minh: Tứ giác BEFM hình bình hành b) Chứng minh: EF ⊥ MN Bài 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD phân giác Đường thẳng qua trung điểm M cạnh BC song song với AD cắt AC E cắt AB F Chứng minh: BF = CE * * * * * Hết * * * * * (Thí sinh không làm vào đề thi) (Giám thò coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC: 2010 – 2011 Bài 1: (5.0 điểm) 1 x2 − x − 2x − + − x − x − 7x + 10 x − Ta có x2 − 7x + 10 = x2 − 2x − 5x + 10 = x(x − 2) − 5(x − 2) = (x − 2)(x − 5) ĐKXĐ: x ≠ vàx ≠ a) Cho A = A= x− x2 − x − (2x − 4)(x − 2) + − (x − 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) A= x − 5+ x2 − x − − 2x2 + 4x + 4x − (x − 2)(x − 5) − x2 + 8x − 15 − x2 + 5x + 3x − 15 − x(x − 5) + 3(x − 5) − x + A= = = = (x − 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) x− − x + − x + 2+ 1 = = −1+ Để A nguyên A = nguyên x− x− x− Khi 1Mx− Vậy x = x = b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc với số a, b, c a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ac ⇔ a2 − 2ab + b2 + b2 − 2bc + c2 + a2 − 2ac + c2 ≥ ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (a − c)2 ≥ (*) Bất đẳng thức (*) (a − b)2 ≥ 0;(b − c)2 ≥ 0;(a − c)2 ≥ vớ i a; b; c 2 Vậy a + b + c ≥ ab + ac + bc Bài 2: (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 2x3 + 3x2 − 8x + = ⇔ 2x3 − 2x2 + 5x2 − 5x − 3x + = ⇔ 2x2 (x − 1) + 5x(x − 1) − 3(x − 1) = ⇔ (x − 1)(2x2 + 5x − 3) = ⇔ (x − 1)(2x2 + 6x − x − 3) = ⇔ (x − 1)(x + 3)(2x − 1) = ⇔ x =1 x = -3 x = 1/2 Cách khác: 2x3 + 3x2 – 8x + x – 2x3 – 2x2 2x2 + 5x – 5x2 – 8x + 5x2 – 5x – 3x + – 3x + 2x3 + 3x2 – 8x + = ⇔ (x – 1)(2x2 + 5x – 3) = ⇔ (x – 1)(2x2 + 6x – x – 3) = ⇔ (x – 1)[(2x(x + 3) – (x + 3)] = ⇔ (x – 1)(x + 3)(2x – 1) = ⇔ x =1 x = -3 x = 1/2 Vậy phương trình có nghiệm 1 S = 1; − 3; 2 b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x3 − xy − = x − 2y x3 − xy − = x − 2y ⇔ x3 − x − = (x − 2)y x3 − x − x3 − 4x + 3x − 6+ 3 = = x(x + 2) + 3+ x− x− x− Để y ∈ Z M(x – 2) ⇔ y= + x – = => x = => y = 39 + x – = -3 => x = -1 => y = + x – = => x = => y = 21 + x – = -1 => x = => y = Bài 3: (4.0 điểm) 2 Cho biết x + x − 1= ( x + x − 1) ( x − x + 1) a) Phân tích số 10.000.000.099 thành tích chữ số tự nhiên khác Ta có x = 100 2 Khi 10.000.000.099 = 100 + 100 − 1= ( 100 + 100 − 1) ( 100 − 100 + 1) = 1010099× 9901 b) Cho 2a + 3b = Chứng minh 2a2 + 3b2 ≥ Ta có 2a2 + 2ab + 3b2 + 3ab = 2a(a + b) +3b(b + a) = (2a + 3b)(a + b) = 5(a + b) => 2a2 + 3b2 = (a + b – ab) 5− 2a 5− 2a 3a + 5− 2a − 5a + 2a2 2a2 − 4a + 10 5 = 5 a + −a = × = × = × a − 2a + ÷ ÷ 3 3 2 10 10 = × a2 − 2a + 1+ ÷ = ×( a − 1) + ≥ vớ i a (a − 1)2 ≥ vớ i a 2 Vậy 2a2 + 3b2 ≥ Bài 4: (4.0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vuông góc B AC; E, F, M, N trung điểm AB, DH, HC, AD a) Chứng minh: Tứ giác BEFM hình bình hành b) Chứng minh: EF ⊥ MN Giải: a/ Tam giác HCD có MH = MC FH = FD (gt) B C => MF đường trung bình tam giác HCD Hay MF // BE MF = AB (1) Mặt khác BE = AB (2) M G => MF // CD MF = CD E F H A D N Từ (1) (2) => Tứ giác BEFM hình bình hành b/ Gọi G trung điểm BH Tam giác HBC có MH = MC GH = GB (gt) => MG đường trung bình tam giác HBC => MG // BC MG = BC Mà BC ⊥ AB nên MG ⊥ AB Tam giác ABM có AH MG hai đường cao => G trực tâm tam giác ABM => AG ⊥ BM Mà BM // EF (vì BEFM hình bình hành) nên AG ⊥ EF (3) Mặt khác, tứ giác AGMN có 1 MG // BC MG = BC => MG // AN MG = AD FTa có AN = AD (gt) 2 Do đó, AGMN hình bình hành => MN // AG (4) Từ (3) (4) => EF ⊥ MN A Bài 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD phân E giác Đường thẳng qua trung điểm M cạnh BC song song với AD cắt AC E cắt AB F Chứng minh: BF = CE AD phân giác góc BAC B D M C AB BD AB AC = ⇒ = AC DC BD DC CM CE AC CE = ⇒ = ME // AD ⇒ DC AC DC CM AB BD AB BF = ⇒ = AD // FM ⇒ BF MB BD MB BF CE = Từ (1), (2) (3) ⇒ MB CM Ta có (1) (2) (3) Mà MB = MC nên BF = CE GV GIẢI: PHAN QUỐC BÌNH ... 3)(2x − 1) = ⇔ x =1 x = -3 x = 1/2 Cách khác: 2x3 + 3x2 – 8x + x – 2x3 – 2x2 2x2 + 5x – 5x2 – 8x + 5x2 – 5x – 3x + – 3x + 2x3 + 3x2 – 8x + = ⇔ (x – 1)(2x2 + 5x – 3) = ⇔ (x – 1)(2x2 + 6x – x –... vớ i a; b; c 2 Vậy a + b + c ≥ ab + ac + bc Bài 2: (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 2x3 + 3x2 − 8x + = ⇔ 2x3 − 2x2 + 5x2 − 5x − 3x + = ⇔ 2x2 (x − 1) + 5x(x − 1) − 3(x − 1) = ⇔ (x − 1)(2x2 + 5x... 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) A= x − 5+ x2 − x − − 2x2 + 4x + 4x − (x − 2)(x − 5) − x2 + 8x − 15 − x2 + 5x + 3x − 15 − x(x − 5) + 3(x − 5) − x + A= = = = (x − 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) (x