PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: TOÁNĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/4/2010 (Đề thi gồm trang, có câu) Câu (2,5 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30; b) Giải phương trình x2 + y2 + z2 = y(x + z) Câu (2,5 điểm) a) Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) a+b+c b) Cho tam giác có nửa chu vi p = với a, b, c độ dài ba cạnh 1 1 1 + + ≥ + + ÷ Chứng minh p−a p−b p−c a b c Câu (1,5 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h 50km/h Hỏi đến ô tô vị trí cách xe đạp xe máy? Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng: a) ∆AIM ∆ABI đồng dạng AM AI = ÷ b) BN BI Câu (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc cạnh BC cho BE = BC , F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích ∆AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm2 - Hết Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay Giám thị coi thi không giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LẠNG SƠN HDC CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/4/2010 Câu (2,5 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30; b) Giải phương trình x2 + y2 + z2 = xy + yz a) x5y – xy5 = xy(x4 – y4) = xy(x4 – – y4 + 1) = xy(x4 – 1) – xy(y4 – 1) 0,5 đ Ta có x(x4 – 1) = x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) chia hết cho 2, => xy(x4 – 1) M30 tương tự xy(y4 – 1) M30 0,5 đ 5 => x y – xy M30 0,25 đ 2 2 2 b) x + y + z = xy + yz 2x + 2y +2z – 2xy – 2yz = 0,5 đ (x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0,5 đ x – y = y – z = x = z = x = y = z = 0,25 đ Câu (2 điểm) a) Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức A = a(a2 + 2b) + b(b2 – b) a+b+c b) Cho tam giác có nửa chu vi p = với a, b, c độ dài ba cạnh 1 1 1 + + ≥ + + ÷ Chứng minh p−a p−b p−c a b c 1 a) a + b = => a = + x, b = + y với x + y = 2 2 0,5 đ ta có: A = a(a + 2b) + b(b – a) = a3 + b3 + ab = a2 + b2 2 1 1 = + x ÷ + + y ÷ = + x + y2 ≥ 2 2 1 => GTNN(A) = x = y = a = b = 2 1 + ≥ Ta có: p−c p−b a 1 1 + ≥ ; + ≥ Tương tự p−c p−a b p−b p−a c Cộng vế với vế BĐT chiều 1 4 2 + + ÷≥ a + b + c p − c p − b p − a 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p−a p−b p−c a b c 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ Câu (1,5 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h 50km/h Hỏi đến ô tô vị trí cách xe đạp xe máy? Gọi thời gian ô tô đến vị trí cách xe đạp xe máy x(h) điều kiện x > => Thời gian xe đạp x + (h) Thời gian xe máy x + (h) => Quãng đường ô tô 50x (km) Quãng đường xe đạp 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy 30(x + 1) (km) Vì đến 10 xe máy vượt trước xe đạp => ô tô vị trí cách xe đạp xe máy x nghiệm phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x x = (h) = 50 phút (TMĐK) Vậy đến 10h50 phút ô tô vị trí cách xe đạp xe máy 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng: a) ∆AIM ∆ABI đồng dạng AM AI = ÷ b) BN BI A M I B N C · · a) MAI (AI phân giác góc A) = IAB µ C ·AIM + IAM · · = IMC = 90 − (t/c góc ∆) µ µ 1800 − C C ·IAB + IBA · = = 900 − (t/c góc ∆) 2 · · => AIM = IAB => ∆AIM ∆ABI đồng dạng 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) Chứng minh tương tự có ∆IBN ∆ABI đồng dạng => ∆AIM ∆IBN đồng dạng AM IM AI = = => IN BN BI Có IM = IN tam giác MCN cân C 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ AM AM IM AI = = ÷ => BN IN BN BI 0,25 đ Câu (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc cạnh BC cho BE = BC , F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích ∆AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm2 A B I E K D F C Ta có SAEF = SABCD – ( SABE + SCEF + SADF ) 1 1 = SABCD – SABCD + SABCD + SABCD ÷ = SABCD = 20(cm ) 6 12 SAIK SAFI AK AI AB AD = = Nối FI => SAIF SAFE AF AE AB + DF AD + BE S 1 = = => AIK = => SAIK = SAFE = 10(cm ) SAFE 2 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Chú ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa Trên sở tổng điểm giám khảo chia điểm phần cho phù hợp, đảm bảo xác, công ... PHỐ LẠNG SƠN HDC CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/4/2010 Câu (2,5 điểm) a)... I B N C · · a) MAI (AI phân giác góc A) = IAB µ C ·AIM + IAM · · = IMC = 90 − (t/c góc ∆) µ µ 180 0 − C C ·IAB + IBA · = = 900 − (t/c góc ∆) 2 · · => AIM = IAB => ∆AIM ∆ABI đồng dạng 0,25 đ 0,25... CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích ∆AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm2 A B I E K D F C Ta có SAEF = SABCD – ( SABE + SCEF + SADF ) 1 1 = SABCD – SABCD + SABCD