Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N.. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LẠNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/4/2010
(Đề thi gồm trang, có câu) Câu (2,5 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30; b) Giải phương trình x2 + y2 + z2 = y(x + z).
Câu (2,5 điểm)
a) Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a)
b) Cho tam giác có nửa chu vi
a b c p
2
với a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh
1 1 1
2
p a p b p c a b c
.
Câu (1,5 điểm)
Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h 50km/h Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy?
Câu (2 điểm)
Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vng góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng:
a) AIM ABI đồng dạng
b)
2
AM AI
BN BI
Câu (1,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc cạnh BC cho
1
BE BC
3
, F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm2
Hết
-Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi khơng giải thích thêm.
(2)PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LẠNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn thi: Tốn
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/4/2010
Câu (2,5 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30; b) Giải phương trình x2 + y2 + z2 = xy + yz
a) x5y – xy5 = xy(x4 – y4) = xy(x4 – – y4 + 1) = xy(x4 – 1) – xy(y4 – 1)
Ta có x(x4 – 1) = x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) chia hết cho 2, => xy(x4 – 1) 30 tương tự xy(y4 – 1) 30
=> x5y – xy530
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ b) x2 + y2 + z2 = xy + yz <=> 2x2 + 2y2 +2z2 – 2xy – 2yz = 0
<=> (x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0 <=> x – y = y – z = x = z =
<=> x = y = z =
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Câu (2 điểm)
a) Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức A = a(a2 + 2b) + b(b2 – b)
b) Cho tam giác có nửa chu vi
a b c p
2
với a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh
1 1 1
2
p a p b p c a b c
.
a) a + b = => a =
2 + x, b =
2+ y với x + y = 0
ta có: A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) = a3 + b3 + ab = a2 + b2 =
2
2
1 1
x y x y
2 2
=> GTNN(A) =
2 <=> x = y = <=> a = b =
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ
Ta có:
1
p c p b a Tương tự
1
p c p a b;
1
p b p a c Cộng vế với vế BĐT chiều
1 1 4
2
p c p b p a a b c
0,5 đ 0,25 đ
(3)<=>
1 1 1
2
p a p b p c a b c
Câu (1,5 điểm)
Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h 50km/h Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy?
Gọi thời gian tơ đến vị trí cách xe đạp xe máy x(h) điều kiện x >
=> Thời gian xe đạp x + (h) Thời gian xe máy x + (h) => Quãng đường ô tô 50x (km)
Quãng đường xe đạp 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy 30(x + 1) (km)
Vì đến 10 xe máy vượt trước xe đạp => tơ vị trí cách xe đạp xe máy x nghiệm phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x
<=> x =
6 (h) = 50 phút (TMĐK)
Vậy đến 10h50 phút tơ vị trí cách xe đạp xe máy
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ Câu (2 điểm)
Cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vng góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng:
a) AIM ABI đồng dạng
b)
2
AM AI
BN BI
a) MAI IAB (AI phân giác góc A)
C
AIM IAM IMC 90
(t/c góc ngồi )
1800 C C
IAB IBA 90
2
(t/c góc )
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ A
B C
I M
(4)=> AIM IAB
=> AIM ABI đồng dạng 0,25 đ
b) Chứng minh tương tự có IBN ABI đồng dạng
=> AIM IBN đồng dạng
=>
AM IM AI
IN BN BI
Có IM = IN tam giác MCN cân C =>
2
AM AM IM AI
BN IN BN BI
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu (1,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc cạnh BC cho
1
BE BC
3
, F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm2
Ta có SAEF SABCD – S ABE SCEF SADF
2
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
1 1
S – S S S S 20(cm )
6 12
Nối FI =>
AIK AFI AIF AFE
S S AK AI AB AD
S S AF AE AB DF AD BE AIK
AIK AFE AFE
2 S 1
S S 10(cm )
3 S 2
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Chú ý:
Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa Trên sở tổng điểm giám khảo chia điểm phần cho phù hợp, đảm bảo xác, cơng bằng.
A B
C D
E
F K