Download Đề thi HSG Toán lớp 12

[r]

ONTHIONLINE.NET

thi h c sinh gi i toán l p 12-B ng A

Đề ọ ỏ ớ ả

(Th i gian l m b i 180 phút)ờ à à

B i 1à : (7 i m)đ ể

1) Xét tính đ ện i u c a h m s : y=ủ ố 2−3x¿

2

¿

3 √¿

(x-5) 2) Cho h m s y=à ố ax

2

+bx+c x −2

Xác định a, b, c bi t r ng h m s có c c tr b ng x=1 v ế ằ ố ự ị ằ đường ti m c n xiên c a ệ ậ ủ đồ ị th vng góc v i đường th ng y=ẳ 1− x

2 3)Gi i b t phả ấ ương trình:

√2−5x −3x2 +2x > 2x.3x.

√2−5x −3x2 + 4x2.3x

B i 2à : (4 i m)đ ể

Trong t t c nghi m c a b t phấ ả ệ ủ ấ ương trình: logx2

+y2(x+y)≥1

Hãy tìm nghi m (x; y) m x + 2y l n nh t.ệ ấ

B i 3à (5 i m)đ ể

Gi i phả ương trình:

1)

1+x¿3 ¿ 1− x¿3 ¿=2+√1− x2

¿

√¿

√1+√1− x2¿

2) sin3x.(1- 4sin2x) =

B i 4à :(4 i m)đ ể

ABC l tam giác c nh a Trên đường th ng Ax vng góc v i m tẳ ặ ph ng (ABC) t i A, l y i m S v i AS = h.ẳ ấ đ ể

1) Hy l đường th ng qua tr c tâm H c a tam giác SBC v vng góc v iẳ ự ủ m t ph ng (SBC) Ch ng t r ng S di ặ ẳ ứ ỏ ằ động Ax đường th ng Hy ln ln i qua m t i m c ẳ đ ộ đ ể ố định

2) Hy c t Ax t i S' Xác nh h theo a ắ đị để SS' ng n nh t.ắ ấ

L p 12ớ

B i 1à :

Câu 1: (2 i mđ ể )

T p xác ậ định: D = R 0,25

i m

đ ể

y'= (-3)

3 2−3x¿

−1

¿

(x-5) + 2−3x¿

2

¿

0,25 i m

đ ể

= −6x+30

3√32−3x + 3(2-3x) =

−5x+12

3

√2−3x 0,25

i m

đ ể

i m t i h n: x=

Đ ể

3 ; x= 12

5 0,25

i m

đ ể

x - 2/3 12/5 +

y' +  - +

y 0,5

i m

đ ể

H m s ố đồng bi n kho ng (-ế ả ; 2/3) (12/5; +) 0,25 i m

đ ể

H m s ngh ch bi n kho ng (2/3; 12/5)à ố ị ế ả 0,25 i m

đ ể

Câu 2: (2 i m)đ ể

ng ti m c n xiên có h s góc k =

Đườ ệ ậ ệ ố lim

x → ∞

ax2

+bx+c

x −2 =a 0,25 i m

đ ể

ng ti m c n xiên vng góc v i ng th ng y=

Đườ ệ ậ đườ ẳ −1

2x+

ta có a=2 0,25

i m

đ ể

Xét y= 2x2+bx+c

x −2 y' =

x −2¿2 ¿

2x2−8x −2b − c

¿

0,25 i m

đ ể

h m s có c c tr b ng x=1 i u ki n c n l :

¿

y '(1)=−6−2b − c=0 y(1)=−(2+b+c)=1

¿{

¿

0,5

i m

đ ể

=> ¿

b=−3 c=0

¿{

¿

0,25 i m

đ ể

Th l i ta th y a=2, b=-3, c=0 h m sử ấ ố y= 2x

2

−3x

x −2 tho mãn i u ki nả đ ề ệ 0,25

i m

đ ể

K t lu n: a=2, b=-3, c=0ế ậ 0,25

i m

đ ể

Câu 3: (3 i m)đ ể

B t phấ ương trình tr th nh:

( √2−5x −3x2 +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5 i m

đ ể

T p xác ậ định: -2 x

3 0,25

i m

đ ể

(1) (2) (3) (4) (*) 

¿√2−5x −3x2+2x>0

1−2x 3x

>0

¿

(II)

¿

¿√2−5x −3x2+2x<0

¿ 1−2x 3x

<0

¿ ¿ ¿ ¿

(I)

¿

0,5

i m

đ ể

Xét h (I): Gi i (1) ta ệ ả -1< x  1/3 0,5 i m

đ ể

t f(x) = 1-2x.3

Đặ x ta th y:ấ

-1  x  hi n nhiên f(x)>1ể 0,25

i m

đ ể

Khi 0<x 1/3  0<3x≤313

0<2x 3x≤2.1

3

3

√3<1

Do ó f(x) =1-2x.3đ x > 0 Nghi m c a (I) l : ệ ủ −1<x ≤1

3 0,25

i m

đ ể

Xét h (II): Gi i (3) ta ệ ả −2≤ x ≤−1 0,25 i m

đ ể

Nh ng f(x) = 1-2x.3ư x > x nên b t phấ ương trình (4) khơng th a mãn v i nh ng giá tr c a x thu c kho ng nghi m c a (3).ỏ ữ ị ủ ộ ả ệ ủ

V y h phậ ệ ương trình ã cho vơ nghi mđ ệ 0,25 i m

đ ể

Tóm l i, b t phạ ấ ương trình ã cho có nghi m đ ệ −1<x ≤1

3 0,25

i m

đ ể

B i 2à : (4 i m)đ ể

Xét trường h p:ợ

+TH1: x2+ y2 > ó d th y b t phđ ễ ấ ấ ương trình logx2

+y2(x+y)≥1 (1) có nghi m (ch ng h n x=y=0,9)ệ ẳ 0,5 i m

đ ể

Ta có (1)  x+y x2+ y2  x+2y  x2 + y2 + y (2) 0,5 i m

đ ể

G i S= x+2y ọ  x=S - 2y thay v o (2) ta

S(S-2y)2 +y2+y  5y2 -(4S-1)y +S2 - S  (3) 0,5 i m

đ ể

B t phấ ương trình (3) có nghi m nên ta ph i có ệ ả 0, V y ậ 3−√10

2 ≤ S ≤

3+√10

2 0,5 i mđ ể V i S = 3+√10

2 = ó (3) đ  y=

4S −1

10 =

1 2+

2

√10 0,25

i m

đ ể

Suy x= S -2y = 12+

√10 (th a mãn xỏ

2+ y2 > 1) 0,5 i m

đ ể

+TH2: 0< x2 + y2 < Khi ó (1) đ  <x+y<x2+y2 => S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2< 3+√10

2 (do x

2 + y2 < 1, |y|<1 ) 0,5 i m

Tóm l i: v i nghi m ệ

¿

x=1

2+ √10

y=1

2+ √10 ¿{

¿

t ng x+2y l n nh tổ ấ 0,25

i m

đ ể

B i 3à : (5 i m)đ ể

Câu 1:(3 i m)đ ể TX : -1Đ x1 0,25 i m

đ ể

Pt ã cho đ 

1+x¿3 ¿ 1− x¿3 ¿=2+√1− x2

¿

√¿

√1− x

2 +√1− x

2

+1+x

2 ¿

1,0 i mđ ể

 √(√1+x+√1− x

2 )

2

[√1+x −√1− x]⋅[1+x+√1− x2+1− x]=2+√1− x2 0,75đ

( √1+x + √1− x )( √1+x - √1− x )= √2 0,5 i m

đ ể

 1+x-1+x = √2  x= √2

2 (th a mãn)ỏ 0,5

i m

đ ể

Câu 2: (2 i m)đ ể

Vì cosx=0 khơng ph i l nghi m c a phả ệ ủ ương trình: Vì cosx=0 => x= π

2+kπ sin3(

π

2+kπ ).[1-4sin2(

π

2+kπ )]

2 0,25 i m

đ ể

Nhân hai v c a phế ủ ương trình v i cosx ta được: Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) =

2 cosx

 2sin3x(4cos3x-3cosx) = cosx 0,25

i m

đ ể

 2sin3x.cos3x = cosx 0,5

i m

đ ể

 sin6x =sin( π

2 -x) 0,5

i m



6x=π

2− x+k2π ¿

6x=π

2+x+k2π ¿

¿ ¿ ¿



x= π

14+

k2π

7 ¿

x= π

10+

k2π

5 ¿ ¿ ¿ ¿

, (kZ) 0,5

i m

đ ể

B i 4: à (4 i m)đ ể

a) (2 i m)đ ể

G i I l trung i m c a BC, ta có AI ọ đ ể ủ  BC, SA  mp(ABC)

Nên SI  BC (định lý đường vng góc) 0,5 i m

đ ể

K CL ẻ  SB SI  CL = H

G i J l trung i m c a AB; O l tr c tâm c a ọ đ ể ủ ự ủ ABC Ta có CJ  mp(SAB) => CJ  SB (1)

M t khác CL ặ  SB (2)

T (1) v (2) suy SB  HO 0,5

i m

đ ể

Vì OH mp(SAI) nên OH  BC => OH  mp(SBC) 0,5 i m

đ ể

Hay OH l đường th ng Hy V y Hy luôn i qua i m O c ẳ ậ đ đ ể ố định 0,5 i mđ ể

b) (2 i m)đ ể

Xét SIS' ta có IA  SS', S'H  SI

Do ó O l tr c tâm c a đ ự ủ SIS' 0,5

i m

đ ể

A

B

C

S

'

S

I

J

L

H

O

Nên AS.AS' = AI.AO => AS' = a

2

2h 0,5

i m

đ ể

V y SS' = SA + AS' = h+ậ a

2

2h  a

√2 =a √2 0,75

i m

đ ể

D u "=" x y h=ấ ả a

2

2h => h= a√2

2 0,25

i m

đ ể

Chú ý:

1)B i hình khơng có hình v không ch mà ẽ ấ