Chủ đề 01 : khảo sát hàm số

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018 CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MỤC LỤC NỘI DUNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ NỘI DUNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 14 NỘI DUNG 3: GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ 22 NỘI DUNG 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 28 NỘI DUNG 5: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 36 NỘI DUNG 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 42 NỘI DUNG 7: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 44 NỘI DUNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f (x) đồng biến K f '(x)  với x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x)  với x  K  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) không đổi K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) khơng đổi K  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có f '  x   3ax  2bx  c a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   đồng biến  f '  x   3ax  2bx  c  x  b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   nghịch biến  f '  x   3ax  2bx  c  x  NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax2  f ( x) x  f ( x) x bx c (a Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng 0) ta có: a 0 a 0 THPT 2018 | Trang B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng định giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập hợp X cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D B2 Tính y ' ? ? B3 Lập luận: y đồng biến X y' 0, x X y nghịch biến X y' 0, x X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện dấu xảy phương trình y ' nghiệm, phương trình y ' có hữu hạn có vơ hạn nghiệm điều kiện khơng có dấu CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  m) x  2mx  x  Tìm m để hàm số ln đồng biến Bài giải: ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  m) x2  4mx  ♣ Hàm số đồng biến  y '  x  m  ♥ Trường hợp 1: Xét m2  m    m  + Với m  , ta có y '   0, x  , suy m  thỏa + Với m  1, ta có y '  x    x   , suy m  không thỏa m  ♥ Trường hợp 2: Xét m2  m    , đó: m  ♣ y '  x   '  m2  3m  3  m       3  m  m  m  m   m  ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm 3  m  Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;2  Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x2  6mx  3(m2 1) ♣ Hàm số nghịch biến khoảng 1;2   y '  x  1;  Nhận tài liệu tự động qua mail năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys THPT 2018 | Trang 10 Ta có  '  9m2  9(m2  1)   0, m Suy y ' ln có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  ( x1  x2 ) x  m   Do đó: y '  x  1;   x1    x2      1 m  m    x2  ♦ Vậy giá trị m cần tìm  m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  2;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  x  x  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  0;   Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x2  x  m ♣ Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  , x   0;   (có dấu bằng)  3x2  x  m  , x   0;    3x2  x  m , x   0;   ♣ Xét hàm số f ( x) 3x x , x   0;   , ta có: x ; f '( x) f '( x) (*) x Bảng biến thiên: x f '( x) f ( x) 0 ♣ Từ BBT ta suy ra: (*) ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3 Bài tập tương tự Cho hàm số y   x  x  3mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng Đáp số: m  0;   Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 11 Ví dụ Cho hàm số y  mx  7m  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định xm Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  \ m m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m2  7m  y '  , x  D (khơng có dấu bằng) ♣ Hàm số đồng biến khoảng xác định m2  7m   ♦ Vậy giá trị m cần tìm Ví dụ Cho hàm số y  m m mx  7m  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 3; xm Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  \ m m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m2  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng 3; y '  , x   3;   (khơng có dấu bằng) m  7m    m  m m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3 C BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y  (1  m) x  2(2  m) x  2(2  m) x  Tìm m để hàm số ln nghịch biến Đáp số: m Bài 2: Cho hàm số y  (m  4) x  (m  2) x  x  Tìm m để hàm số ln đồng biến Đáp số: m m Bài 3: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  Tìm m để hàm số ln đồng biến 1; Đáp số: m Nhận tài liệu tự động qua mail năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys THPT 2018 | Trang 12 Bài 4: Cho hàm số y  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x  m 3 Đáp số: m m Bài 5: Cho hàm số y  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xm  ;2  Đáp số: Bài 6: Cho hàm số y  m mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;   x  m 1 Đáp số: m ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC Quý Thầy/Cô cần file word chia sẻ tài liệu đến học sinh Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu Kys Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 13 NỘI DUNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 ) 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x x0 ; b Khi a) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b với x x0 ; b hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) f có đạo hàm cấp hai khác khơng điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt Nhận tài liệu tự động qua mail năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys THPT 2018 | Trang 14 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D B2 Tính y ' ? ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  1) x  (m  1) x  x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải: ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x  2(m  1) x  y' (m2  1) x2  2(m  1) x   y '  có hai nghiệm phân biệt ♣ Hàm số có hai điểm cực trị m2 ' (m 1)2 m 2m m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m 1 m 3(m2 1) 2m m m 1 m Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  x  mx  m  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Đáp số: m Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 15 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  9) x  10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị Bài giải: ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  x.(2mx2  m2  9) y' x 0 2mx m2 ♣ Hàm số có ba điểm cực trị (1) y '  có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m( m ' m m ♦ Vậy giá trị m cần tìm 0 m m m m m 9) m m Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  (m  1) x  2m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x0 PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D B2 Tính y ' ? ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x0 y '( x0 ) Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc Nhận tài liệu tự động qua mail năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys THPT 2018 | Trang 16 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x  m  m  x  (3m  1) x  m    Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x Bài giải: ♦ Tập xác định: D    ♦ Đạo hàm: y '  x  m  m  x  3m  a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x y '( 2) m2 4m 0 m m b) Điều kiện đủ: ♣ Với m , ta có: y ' x2 , y' 4x x Bảng biến thiên x y' y Từ BBT ta suy m ♣ Với m , ta có: y ' không thỏa x2 16 x 28 , y ' x x 14 Bảng biến thiên x 14 y' 0 y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x ♦ Vậy giá trị m cần tìm m Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  mx  x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x m Đáp số: 15 Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 17 ... Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x  m 3 Đáp s? ?: m m Bài 5: Cho hàm số y  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xm  ;2  Đáp s? ?: Bài 6: Cho hàm số y  m mx  Tìm m để hàm số nghịch... hàm số có hồnh độ dương Đáp s? ?: m Bài 3: Cho hàm số y  x  (m  1) x  (3m  4) x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x  Đáp s? ?: m Bài 4: Cho hàm số y  x  3(m  1) x   m   x  Tìm m để hàm. .. Bài 1: Cho hàm số y  (1  m) x  2(2  m) x  2(2  m) x  Tìm m để hàm số nghịch biến Đáp s? ?: m Bài 2: Cho hàm số y  (m  4) x  (m  2) x  x  Tìm m để hàm số ln đồng biến Đáp s? ?: m m