Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2015 2016 THPT chuyên nguyễn trãi (sở GDĐT hải dương)

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỤC VÀ ĐÀO TẠO ẠO

H I D ẢI DƯƠNG ƯƠNG NG CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2015 - 2016 KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPT ỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 ỂN SINH LỚP 10 THPT ỚP 10 THPT ỌC 2015 - 2016

Môn thi: TOÁN (Chuyên)

Th i gian làm bài: 150 phút, không k th i gian giao đ ời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ể thời gian giao đề ời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ề

Câu I (2,0 đi m) ểm)

1) Cho a b  29 12 5 2 5  Tính giá tr c a bi u th c:ị của biểu thức: ủa biểu thức: ểu thức: ức:

2( 1) 2( 1) 11 2015

A a a   b b  ab 2) Cho x y, là hai s th c th a mãn ố thực thỏa mãn ực thỏa mãn ỏa mãn xy (1x2)(1y2) 1

Ch ng minh r ng ức: ằng x 1y2 y 1x2  0

Câu II (2,0 đi m) ểm)

1) Gi i phải phương trình ương trình ng trình 2x 3 4x29x2 2 x 2 4x 1

2) Gi i h phải phương trình ệ phương trình ương trình ng trình

2







Câu III (2,0 đi m) ểm)

1) Tìm các s nguyên ố thực thỏa mãn x y, th a mãn ỏa mãn x4x2 y2 y20 0

2) Tìm các s nguyên ố thực thỏa mãn k đ ểu thức: k4 8k323k2 26k10 là s chính phố thực thỏa mãn ương trình ng

Câu IV (3,0 đi m) ểm) Cho đường tròn (ng tròn (O; R) và dây BC c đ nh không đi qua tâm Trên tia đ iố thực thỏa mãn ị của biểu thức: ố thực thỏa mãn

c a tia ủa biểu thức: BC l y đi m ấy điểm ểu thức: A (A khác B) T ừ A k hai ti p tuy n ẻ hai tiếp tuyến ếp tuyến ếp tuyến AM và AN v i đới đường tròn ( ường tròn (ng tròn (O) (M và

N là các ti p đi m) G i ếp tuyến ểu thức: ọi I là trung đi m c a ểu thức: ủa biểu thức: BC.

1) Ch ng minh ức: A, O, M, N, I cùng thu c m t độc một đường tròn và ộc một đường tròn và ường tròn (ng tròn và IA là tia phân giác c a góc ủa biểu thức: MIN.

2) G i ọi K là giao đi m c a ểu thức: ủa biểu thức: MN và BC Ch ng minh ức:

AK AB AC 3) Đường tròn (ng th ng qua ẳng qua M và vuông góc v i đới đường tròn ( ường tròn (ng th ng ẳng qua ON c t ( ắt ( O) t i đi m th hai là ại điểm thứ hai là ểu thức: ức: P Xác

đ nh v trí c a đi m ị của biểu thức: ị của biểu thức: ủa biểu thức: ểu thức: A trên tia đ i c a tia ố thực thỏa mãn ủa biểu thức: BC đ ểu thức: AMPN là hình bình hành.

Đ CHÍNH TH C Ề CHÍNH THỨC ỨC

Câu V (1,0 đi m) ểm) Cho a b, là các s dố thực thỏa mãn ương trình ng th a mãn đi u ki n ỏa mãn ều kiện ệ phương trình (a b )34ab12 Ch ngức:

minh b t đ ng th c ấy điểm ẳng qua ức:

-H t -ếp tuyến

H và tên thí sinh S báo danh ọi ố thực thỏa mãn

Ch kí c a giám th 1: Ch kí c a giám th 2: ủa biểu thức: ị của biểu thức: ủa biểu thức: ị của biểu thức:

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỤC VÀ ĐÀO TẠO ẠO

H I D ẢI DƯƠNG ƯƠNG NG

ĐÁP ÁN VÀ H ƯỚP 10 THPT NG D N CH M MÔN ẪN CHẤM MÔN ẤM MÔN TOÁN

Đ THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN Ề CHÍNH THỨC ỂN SINH LỚP 10 THPT ỚP 10 THPT

NĂM H C 2015 - 2016 ỌC 2015 - 2016

m

I 1 Cho a b  29 12 5 2 5  Tính giá tr c a bi u th c:ị của biểu thức: ủa biểu thức: ểu thức: ức:

2( 1) 2( 1) 11 2015

A a a   b b  ab

1,00

4(a 2ab b ) 2015 4(a b) 2015 2051

I 2 Cho ,x y là hai s d ng th a mãn ố thực thỏa mãn ương trình ỏa mãn xy (1x2)(1y2) 1

Ch ng minh r ng ức: ằng x 1y2 y 1x2 0

1,00

(1 x )(1 y ) (1 xy)

1 x y x y 1 2xy x y

2 2 2 0 ( )2 0

II 1 Gi i phải phương trình ương trình ng trình 2

2x 3 4x 9x2 2 x2 4x 1 1,00

Pt  2x 3 (x2)(4x1) 2 x 2 4x ĐK: 1

1 4

Đ t ặt t 2 x2 4x1,t  7 (ho c ặt t  )0

2

4

t

PTTT t2 4t   3 0 t 1 ho c ặt t 3

0,25

TH1 t  gi i ra vô nghi m ho c k t h p v i ĐK 1 ải phương trình ệ phương trình ặt ếp tuyến ợp với ĐK ới đường tròn ( t  7 b lo iị của biểu thức: ại điểm thứ hai là 0,25

TH 2 t  3 2 x2 4x 1 3 Gi i pt tìm đải phương trình ượp với ĐK c

2 9

x 

(TM)

0,25

V y pt có nghi m duy nh t ậy pt có nghiệm duy nhất ệ phương trình ấy điểm

2 9

x 

Gi i h pt ải phương trình ệ phương trình

2





ĐK: y 2x 1 0, 4x y  5 0,x2y 2 0, x1

TH 1

0 0





TH 2 x1,y Đ a pt th nh t v d ng tích ta đ c1 ư ức: ấy điểm ều kiện ại điểm thứ hai là ượp với ĐK

2

x y

 

0,25

1

nên

1

0,25

Thay y 2 x vào pt th 2 ta đức: ượp với ĐK c x2 x 3 3x7 2 x

2

0,25

Do x  nên 1

3x7 1 2   2 x   x

V y ậy pt có nghiệm duy nhất x  2 0 x2 y (TMĐK)4

0,25

III 1 Tìm các s nguyên ố thực thỏa mãn x y, th a mãn ỏa mãn x4x2 y2 y20 0 (1) 1,00

Ta có (1) x4x220 y 2y

Ta th y ấy điểm x4x2 x4x220 x 4x220 8x 2

0,25

Vì x, y nên ta xét các trường tròn (ng h p sauợp với ĐK

+ TH1 y y 1   x21 x  22  x4x220 x 43x22

2x 18 x 9 x 3

V i ới đường tròn ( x2 9, ta có y2y 9 2 9 20 y2y 110 0 

y 10 ; y 11

0,25

+ TH2 y y 1   x22 x  23  x4x220 x 45x26

2

(lo i)ại điểm thứ hai là

+ TH3 y y 1   x23 x  24 2 2 4

3

(lo i)ại điểm thứ hai là

0,25

+ TH4 y y 1   x24 x  25

8x 0 x 0 x 0

V i ới đường tròn ( x2 0, ta có y2y 20  y2 y 20 0  y5 ; y 4

V y PT đã cho có nghi m nguyên ậy pt có nghiệm duy nhất ệ phương trình x ; y là :

3 ; 10 , 3 ; 11 ,    3 ; 10 , 3 ; 11 , 0 ; 5 , 0 ; 4       

0,25

III 2 Tìm các s nguyên ố thực thỏa mãn k đ ểu thức:

k  k  k  k là s chính ố thực thỏa mãn

Đ t ặt M k4 8k323k2 26k10

Ta có M k4  2k2  1 8k k 2  2k 1 9k2  18k 9

k2 12 8k k 12 9k 12

      k1 2 k 321

0,25

M là s chính phố thực thỏa mãn ương trình ng khi và ch khi ỉ khi  

2

1 0

k   ho c ặt  

2

3 1

k   là s ố thực thỏa mãn chính phương trình ng

TH 1  

2

0,25

TH 2  

2

3 1

k   là s chính phố thực thỏa mãn ương trình ng, đ t ặt    

3 1

k  m m 

         

0,25

Vì m k,  m k  3 ,m k  3 nên

3 1

3 1

m k

m k

  





  

3

k

V y ậy pt có nghiệm duy nhất k 1 ho c ặt k 3 thì k4 8k323k2 26k10 là s chính phố thực thỏa mãn ương trình ng

0,25

IV 1 Ch ng minh ức: IA là tia phân giác c a góc ủa biểu thức: MIN. 1,00

P E

K

I

N

M

C B

O

A

Theo gi thi t ải phương trình ếp tuyến AMO ANO AIO 90    0 5 đi m A, O, M, N, Iểu thức:

thu c độc một đường tròn và ường tròn (ng tròn đường tròn (ng kính AO 0,25

AIN AMN AIM, ANM

   (Góc n i ti p cùng ch n m t cung)ộc một đường tròn và ếp tuyến ắt ( ộc một đường tròn và 0,25

AM AN  AMN cân t i A ại điểm thứ hai là  AMN ANM 0,25

AIN AIM

G i ọi K là giao đi m c a ểu thức: ủa biểu thức: MN và BC Ch ng minh ức:

AK AB AC 1,00

2AB AC AK AB AC( ) AB AC AK AI

(Do AB AC 2AI )

0,25

ABN

 đ ng d ng v i ồng dạng với ại điểm thứ hai là ới đường tròn ( ANC AB AC. AN2 0,25

AHK

 đ ng d ng v i ồng dạng với ại điểm thứ hai là ới đường tròn ( AIO AK AI. AH AO. 0,25

Tam giác AMO vuông t i M có đại điểm thứ hai là ường tròn (ng cao MH  AH AO AM.  2

2

0,25

IV 3 Đường tròn (ng th ng qua ẳng qua M, vuông góc v i ới đường tròn ( ON c t ( ắt ( O) t i đi m th hai là ại điểm thứ hai là ểu thức: ức: P.

Xác đ nh v trí c a đi m ị của biểu thức: ị của biểu thức: ủa biểu thức: ểu thức: A đ ểu thức: AMPN là hình bình hành. 1,00

Ta có AN NO MP, NO M, AN  AN / /MP

Do đó AMPN là hình bình hành  AN MP2x

Tam giác ANO đ ng d ng v i ồng dạng với ại điểm thứ hai là ới đường tròn (

2

2

0,25

TH 1

2

2

2

x

R

Đ t ặt R2 x2 t t,  0 x2 R2 t2.

PTTT

t R







Do t  0 t R  R2 x2  R x 0 A B (Lo i)ại điểm thứ hai là

TH 2

2

2

2

x

R

Đ t ặt R2 x2 t t,  0 x2 R2 t2

PTTT







0,25

Do

2

R

t   t  R R  x  R x  AO R

V y A thu c BC, cách O m t đo n b ng 2R thì AMPN là hbhậy pt có nghiệm duy nhất ộc một đường tròn và ộc một đường tròn và ại điểm thứ hai là ằng

0,25

V

Ch ng minh b t đ ng th c ức: ấy điểm ẳng qua ức:

Ta có 12 ( a b )34ab2 ab34ab

Đ t ặt t  ab t,  thì0

12 8 t 4t  2t t  3 0  (t 1)(2t 3t3) 0

Do 2t23t 3 0,t nên t   1 0 t 1 V y ậy pt có nghiệm duy nhất 0ab1

0,25

Ch ng minh đức: ượp với ĐK c

1a1b 1 ab a b th a mãn ỏa mãn ab 1

Th t v y, BĐT ậy pt có nghiệm duy nhất ậy pt có nghiệm duy nhất

0

1a 1 ab 1b 1 ab 

0

0,25

Ti p theo ta sẽ CM ếp tuyến

2

1 ab  ab a b th a mãnỏa mãn 1

ab 

0,25

Đ t ặt t  ab,0  ta đ c t 1 ượp với ĐK

2

2

2015t 2015t  2016t 2014 0

2 (t 1)(2015t 4030t 2014) 0

V y ậy pt có nghiệm duy nhất

1a1b ab Đ ng th c x y ra ẳng qua ức: ải phương trình a b 1

0,25