Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2015 2016 THPT chuyên nguyễn trãi (sở GDĐT hải dương)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đ ề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a (a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn Chứng minh xy + (1 + x )(1 + y ) = x + y2 + y + x2 = Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + x2 + x + = x + + x + 2) Giải hệ phương trình 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x   x − y − = x + y + − x + y − Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y 2) Tìm số nguyên k để thỏa mãn x + x − y − y + 20 = k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 = + AK AB AC · MIN 3) Đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho minh bất đẳng thức a, b số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b ( a + b)3 + 4ab ≤ 12 Hết -Họ tên thí sinh S ố báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: Chứng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu Ý I Nội dung Cho a − b = 29 + 12 − Điể m Tính giá trị biểu thức: 1,00 A = a (a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2 a − b = 29 + 12 − = ( 3+ 5) − = 3+ −2 = A = a − b3 + a + b − 11ab + 2015 0,25 = (a − b)(a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 I 0,25 = 3( a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 0,25 = 4( a − 2ab + b ) + 2015 = 4(a − b) + 2015 = 2051 0,25 Cho x, y hai số dương thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = 1,00 x 1+ y + y 1+ x = Chứng minh xy + (1 + x )(1 + y ) = ⇔ (1 + x )(1 + y ) = − xy 0,25 ⇒ (1 + x )(1 + y ) = (1 − xy ) II ⇔ + x + y + x y = − xy + x y 0,25 ⇔ x + y + xy = ⇔ ( x + y ) = ⇔ y = − x 0,25 ⇒ x + y2 + y + x2 = x + x2 − x + x2 = 0,25 Giải phương trình Pt 2x + + 4x2 + 9x + = x + + 4x + ⇔ x + + ( x + 2)(4 x + 1) = x + + x + x≥− ĐK: 1,00 0,25 Đặt t = x + + x + 1, t ≥ (hoặc t ≥0 ) ⇒ t = x + ( x + 2)(4 x + 1) + ⇔ x + ( x + 2)(4 x + 1) = PTTT TH1 t − 4t + = ⇔ t = t =1 t2 − t =3 giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t≥ bị loại x=− t = ⇒ x + + 4x +1 = TH Giải pt tìm (TM) x=− II Vậy pt có nghiệm 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x  2  x − y − = x + y + − x + y − Giải hệ pt y − x + ≥ 0, x + y + ≥ 0, x + y − ≥ 0, x ≤ ĐK: 0 =  y − 2x + = x =  ⇔ ⇒  3 − x = y =1  −1 = 10 − TH (Không TM hệ) x ≠ 1, y ≠ TH Đưa pt thứ dạng tích ta x+ y−2 ( x + y − 2)(2 x − y − 1) = y − x + + − 3x   ( x + y − 2)  + y − x + 1 =  y − x + + − 3x  nên Do x + x − = 3x + − − x Thay vào pt thứ ta ⇔ x + x − = 3x + − + − − x 3x + 2+ x ⇔ ( x + 2)( x − 1) = + 3x + + + − x 0,25 0,25 1,00 0,25 y − 2x + ≥ + y − 2x + > ⇒ x + y − = y − x + + − 3x y = 2− x 0,25 0,25 0,25   ⇔ ( x + 2)  + +1 − x =  3x + + + − x  x ≤1 Do Vậy III + +1− x > 3x + + + − x 0,25 nên x + = ⇔ x = −2 ⇒ y = (TMĐK) x + x − y − y + 20 = x, y Tìm số nguyên thỏa mãn (1) 2 (1) ⇔ x + x + 20 = y + y Ta có x + x < x + x + 20 ≤ x + x + 20 + 8x Ta thấy ⇔ x x + < y ( y + 1) ≤ x + x + ( Vì ) ( )( 1,00 0,25 ) x, y ∈¢ nên ta xét trường hợp sau y ( y + 1) = x + x + ⇔ x + x + 20 = x + 3x + ( )( + TH1 ⇔ 2x = 18 ⇔ x = ⇔ x = ±3 ) 0,25 y + y = + + 20 ⇔ y + y − 110 = x2 = Với , ta có ⇔ y = 10 ; y = −11 (t.m) y ( y + 1) = x + x + ⇔ x + x + 20 = x + 5x + ( + TH2 ⇔ 4x = 14 ⇔ x = + TH3 )( ) 0,25 (loại) 2 y ( y + 1) = ( x + 3) ( x + ) ⇔ 6x = ⇔ x = y ( y + 1) = ( x + ) ( x + ) (loại) 0,25 + TH4 ⇔ 8x = ⇔ x = ⇔ x = Với x2 = , ta có y + y = 20 ⇔ y + y − 20 = ⇔ y = −5 ; y = Vậy PT cho có nghiệm nguyên ( x ; y) : ( ; 10 ) , ( ; − 11) , ( −3 ; 10 ) , ( −3 ; − 11) , ( ; − ) , ( ; ) III Tìm số nguyên k để phương Đặt k − 8k + 23k − 26k + 10 số 1,00 M = k − 8k + 23k − 26k + 10 M = ( k − 2k + 1) − 8k ( k − 2k + 1) + 9k − 18k + Ta có 0,25 2 2 = ( k − 1) − 8k ( k − 1) + ( k − 1) = ( k − 1) ( k − 3) + 1 M số phương phương TH TH ( k − 1) ( k − 3) ( k − 1) =0 ( k − 3) +1 số = ⇔ k =1 +1 số phương, đặt ( k − 3) + = m2 ( m ∈ ¢ ) ⇔ m − ( k − 3) = ⇔ (m − k + 3)(m + k − 3) = 2 Vì m, k ∈ ¢ ⇒ m − k + ∈ ¢ , m + k − ∈ ¢ m − k + =  m + k − = Vậy IV k =1 0,25 hoặc nên m − k + = −1  m = 1, k = ⇔ ⇒k =3  m + k − = −1  m = −1, k = k =3 0,25 0,25 k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương · MIN Chứng minh IA tia phân giác góc 1,00 M E H P O I B A C K N · · · AMO = ANO = AIO = 900 ⇒ Theo giả thiết IV điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO ⇒ ·AIN = ·AMN , ·AIM = ·ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM = AN ⇒ ∆AMN ⇒ ·AMN = ·ANM cân A ⇒ ·AIN = ·AIM ⇒ đpcm 1 = + AK AB AC Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 = + ⇔ AB AC = AK ( AB + AC ) ⇔ AB AC = AK AI AK AB AC AB + AC = AI (Do ∆ABN ∆ANC ⇒ AB AC = AN ∆AIO ⇒ AK AI = AH AO đồng dạng với ∆AMO ⇒ AH AO = AM Tam giác vuông M có đường cao MH ∆AHK IV 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 ) đồng dạng với ⇒ AK AI = AM 0,25 AN = AM ⇒ AB AC = AK AI Do Đường thẳng qua M, vuông góc với ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A để AMPN hình bình hành 0,25 0,25 0,25 1,00 Ta có AN ⊥ NO, MP ⊥ NO, M ∉ AN ⇒ AN / / MP Do AMPN hình bình hành Tam giác TH Đặt PTTT Do ⇔ AN = MP = x ∆NEM ⇒ ∆ANO R − x2 = t , t ≥ ⇒ x2 = R2 − t TH PTTT 0,25  2t = − R 2( R − t ) = R − Rt ⇔ 2t − Rt − R = ⇔  t = R t ≥ ⇒ t = R ⇔ R2 − x2 = R ⇔ x = ⇒ A ≡ B Đặt (Loại) 2x = R + R2 − x2 ⇔ 2x2 = R2 + R R2 − x2 R R − x2 = t , t ≥ ⇒ x2 = R2 − t 0,25  2t = R 2( R − t ) = R + Rt ⇔ 2t + Rt − R = ⇔  t = − R t ≥ ⇒ 2t = R ⇔ R − x = R ⇔ x = Do R ⇒ AO = R 0,25 Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b Chứng minh bất đẳng thức ( 12 ≥ (a + b )3 + 4ab ≥ ab ) + 4ab t = ab , t > Ta có Đặt 3 12 ≥ 8t + 4t ⇔ 2t + t − ≤ ⇔ (t − 1)(2t + 3t + 3) ≤ Do 0,25 đồng dạng với 2x2 NE = NO − OE ⇒ = R − R2 − x2 ⇔ 2x2 = R2 − R R2 − x2 R NE = NO + OE ⇒ V AN NO 2x = ⇒ NE = NE EM R 2t + 3t + > 0, ∀t nên t −1 ≤ ⇔ t ≤ Vậy < ab ≤ 1,00 0,25 Chứng minh Thật vậy, BĐT 1 + ≤ , ∀a, b > + a + b + ab thỏa mãn ab ≤ 1 1 − + − ≤0 + a + ab + b + ab  b − a  a ab − a ab − b b  + ≤0⇔ − ÷ ÷≤ + a + b (1 + a )(1 + ab ) (1 + b)(1 + ab ) + ab    ( ⇔ b− a ) ( ab − 1) (1 + ab )(1 + a )(1 + b) 0,25 ≤0 < ab ≤ Do nên BĐT + 2015ab ≤ 2016, ∀a, b > + ab Tiếp theo ta CM thỏa mãn ab ≤ Đặt t = ab ,0 < t ≤ ta 0,25 + 2015t ≤ 2016 1+ t 2015t + 2015t − 2016t − 2014 ≤ ⇔ (t − 1)(2015t + 4030t + 2014) ≤ Vậy 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b BĐT ∀t : < t ≤ 0,25 Đẳng thức xảy a = b =1 ... -Họ tên thí sinh S ố báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: Chứng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT. .. nguyên ( x ; y) : ( ; 10 ) , ( ; − 11) , ( −3 ; 10 ) , ( −3 ; − 11) , ( ; − ) , ( ; ) III Tìm số nguyên k để phương Đặt k − 8k + 23k − 26k + 10 số 1,00 M = k − 8k + 23k − 26k + 10 M = ( k − 2k +... VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu Ý I Nội dung Cho a − b = 29 + 12 − Điể m Tính giá trị biểu thức: 1,00 A =