2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P[r]
(1)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm :120
Câu 1:
1) Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a23a b 23b2 a) Chứng minh a b 3
b) Chứng minh a3b3 45
2) Giải hệ phương trình 2
2
4
x y xy x y xy
Câu 2
1) Tìm số nguyên x y, không nhỏ cho xy 1 chia hết cho x1 y1 2) Với x y, số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 22y 1 0.Tìm giá trị lớn
nhỏ biểu thức
3
xy P
y
Câu
Cho tam giác nhọn ABC khơng cân có tâm đường trịn nội tiếp điểm I Đường thẳng AI cắt BC D Gọi E,F điểm đối xứng D qua IC,IB.
1) Chứng minh EF song song với BC.
2) Gọi M,N,J trung điểm đoạn thẳng DE,DF,EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN P khác A Chứng minh bốn điểm M,N,P,J nằm đường tròn.
3) Chứng minh ba điểm A,J,P thẳng hàng. Câu 4.
1) Cho bảng ô vuông 2015 2015 Kí hiệu ơi j, ô hàng thứ i , cột thứ j Ta viết số nguyên dương từ đến 2015 vào ô bảng theo quy tắc sau:
i) Số viết vào ô (1,1)
ii) Nếu số k viết vào ô i j, , i 1 số k+1 viết vào ô i1,j1
iii) Nếu số k viết vào 1, j số k+1 viết vào j 1,1 (Xem hình 1.)
Khi số 2015 viết vào m n, Hãy xác định m và n.
1 10 …
2 …
4 …
7 …
…
Hình
2) Giả sử a,b,c số thực dương thỏa mãn ab bc ac abc 4.Chứng minh
2 2
2
(2)Hướng dẫn:
Câu a) Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn
a) 2 3 a b b a
2 3 0
3
3
0
a b a b
a b a b a b a b a b
a b loai a b b) 3 3 27 27 27 a b
a b ab a b a b ab
2
3
2
2
a a b b
a b ab a b ab
vậy a3b345
b) Giải hệ phương trình 2
2
4
x y xy x y xy
Ta thấy x-y =0 nghiệm phương trình Nếu y 0 nhân hai vế phương trình với y
2
2 2
2
4
xy y xy x y xy
2
2
4
x y xy x y xy
2
2
2
x y xy x xy y
2
2
4
x y xy x y xy
2
2
x y xy x y x y
2
1
2
2 2 4
,
0 5
x y xy
x y x y
x y xy
x y x y x y xy
x y x y Câu 2.
a) Tìm số ngun x y, khơng nhỏ cho xy 1 chia hết cho x1 y1 Ta có xy – x1 y1 suy xy - 1xy +1- x –y
Mà xy +1- x –y xy +1- x –y
(3)x2 – (x - 1)2 ta có x + x - suy x - suy x = x = 3
3) Với x y, số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 22y 1 0.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức
3
xy P
y
3 2 1 0. x y y
2
2
2
2 x y
y x y y
2 2
2
2
3
3
4 12
xy xy
P
x y x y
px y xy p p
Phương trình có nghiêm 0 suy – 12p2 0 3p2 3 p
Vây max P =
1 3 xy
suy
1
1 14 1 27
27 .
2 27 3 14
y x
Câu 3:
a) Ta có: AD phân giác
BD AB DC AC
mà BED CDF, tam giác cân, BE AB
BC FE CF AC
(4)mà APM 180 AEM BED APM DEF Tương tự : DFE APN
APN APM DFE FED MPN
mà MJN MDNEDF MJN MPN 180 MPNJ nội tiếp
c) Ta có : APM DEF JPM JNM JEM JPM APM A PJ, thẳng hàng Câu 4:
1) Theo đề bài, số nguyên dương xếp theo hàng chéo bảng: Hàng chéo thứ có số, hàng chéo thứ hai có số,
Giả sử số x nằm hàng chéo thứ kthì ta có:
( 1) ( 1) 1 1 1
2 2 2
k k k k x x x
x k k
Áp dụng x 2015ta có
1 8.2015 63
k
Số hàng chéo thứ k 63là
( 1)
1 1954
k k
Như số 2015 nằm vị trí thứ 2015 1954 62 của hàng chéo thứ 63(Vị trí áp chót)
Tọa độ (2,62)
2) Theo Cauchy số ta có : 4abc ab bc ac 44 a b c3 3 1abc 2
3
3
a b c abc a b c
BĐT tương đương :
3
2 2 3 2 2
a b c a b c ab bc ac
(1)
Đặt
3 3
, , , ,
a x b y c z x y z
1 x3 y3 z3 3xyz 2 x y3 2 z x3 2 z y3
Áp dụng BĐT Schur bậc 3:
3 3 3
x y z xyz xy x y yz y z xz x z
x x y x z y y x y z z z x z y
với số thực không âm x y z, ,
Chứng minh BĐT :
Do vai trò x y z, , , giả sử x y z
z z x z y
Ta xét : x x z y y z x2 xz yz y x y x y z 0
0
0
x x z x y y y z x y x x z x y y y z y x x x y x z y y x y z z z x z y
dpcm
Ta có : x3y3z33xyz xy x y yz y z xz x z 2 x y3 32 z x3 2 z y3 Dấu = xảy
1
,
x y z
a b c x y z