Tải Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nội - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Theo bài ra các điểm đã cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên tồn tại ít nhất một điểm không cùng nằm trên đường thẳng đó nối điểm đó với n- 1 điểm đã cho ta được n-1 đường thẳng v[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

MƠN THI: TỐN(VỊNG II)

Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3 điểm)

1) Với a b c, , số thực thỏa mãn:

3 3

(3a3b3 )c 24 (3 a b c  ) (3b c a  ) (3c a b  ) Chứng minh rằng: a 2b b 2c c 2a         1

2) Giải hệ phương trình: 3

2

27( ) 26 27 x y xy

x y y x x x

   



     

 Câu II (3 điểm)

1) Tìm số tự nhiên n để n5 n30 số phương (số phương bình phương số nguyên)

2) Tìm x y, nguyên thỏa mãn đẳng thức: 1 x y  3 x y

3) Giả sử x y z, , số thực lớn 2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4 4

x y z

P

y z z x x y

  

     

Câu III.(3 điểm)

Cho tam giác ABCnhọn không cân với AB AC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC.Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn AM.Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho

2 AN  MH

1) Chứng minh BN AC

2) Gọi Qlà điểm đối xứng với A qua N.Đường thẳng ACcắt BQtại D.Chứng minh bốn điểm B D N C, , , thuộc đường tròn,gọi đường tròn  O

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt  O G khác D.Chứng minh NGsong song với BC

Câu IV.(1 điểm)

Ký hiệu S tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt mặt phẳng.Giả sử tất điểm S không nằm đường thẳng.Chứng minh có 2015 đường thẳng phân biệt mà đường thẳng qua hai điểm S

Câu 1: Đặt 3

a b c x b c a y c a b z               Ta có:

3 3 3 3

3

(3 3 ) 24 (3 ) (3 ) (3 ) ( ) 24

( ) 24 ( ) 3( )( )( ) 24 3( )( )( ) 24 3(2 )(2 )(2 )

24 24( )( )( ) ( )( )( )

a b c a b c b c a c a b x y z x y z

x y z x y z x y y z z x x y y z z x

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

                  

                

     

     

    

2 Ta có :

 

3

3

3 3

3 3

3

2

27( ) 26 27 ( 2)( 2)

27( ) 26 27

7 3( )( 2)( 2) 27 27 ( ) 12( ) 6( ) (3 1)

( 2) (3 1)

1 2

x y xy

x y y x x x

x y

x y y x x x

y x x y x y x x x

y x xy x y x y x y x

x y x x y x

y x x x                                                           

   1 1

3,5 x y x y           

Vậy x y, 1,1 ; 3,5, 8    Câu 2: 1) Đặt 2 30 n x n y      

 x y, , ,x y0 2 25 ( )( ) 1.25

y x y x y x

       vì x y, , ,x y0

Lại có y x y x   nên

1 13

25 12

y x y

y x x

            

Thay vào ta tính n139thoả mãn

2) Ta thấy : 1 x y  3 x y x y,  x y, số phương 3, ,

x y x y

    

     

2

2 2

2

2 2 2

1

1 3

1

2 2

1

2

3

3

2

a b c

a b c x y a b

c a b

x y c

a b a b

a b ab

a b a x b y a x b y                                                                  

3) Ta có :

4 4

4 4

4 4 4

4 4

4 4 4

4

x y z

P

y z z x x y

x y z

P

y z z x x y

x y z

y z x z x y

x y z

y z x z x y

                                          

a P điểm đối xứng A qua M



HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN



H trung điểm NP

Mà BH NP  Tam giác PNB cân B BN = BP.

Mặt khác lại có: M trung điểm BC, AP  Tứ giác ACPB hình bình hành  AC = BP



AC = BN

b,Do tứ giác ACPB hình bình hành PACAPB

Mà tam giác PBN cân B APBANB ANBPAC CAN BNQ

Có: AC = NB, NQ = AN

BNQCAN NBDNCD  N, B, C, D thuộc đường tròn.

P

G D

Q

N

H

M A

C, G giao điểm (DQG) với (DBC) CAGBQG

Mà GBQGCA  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA



GA GQ

AC QB 

GA GQ

NB NC

Mà BNCBDC AGQ  Tam giác NBC đồng dạng với tam giác GAQ

GQANCB NCBGDC  GC = NB  NG//BC