Trị riêng và vecto riêng đối với bài toán vi phân

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Đề tài: Trị riêng vectơ riêng toán vi phân Tác giả luận văn: Phạm Văn Đoàn Chuyên ngành: Đảm bảo toán học cho máy tính hệ thống tính toán Khóa: 2008 - 2010 Người hướng dẫn: PGS.TS Lê Trọng Vinh Nội dung tóm tắt: A Lý chọn đề tài: Nhiều tượng khoa học kỹ thuật dẫn đến toán biên dạng phương trình vật lý toán Giải toán đến đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong số trường hợp, thật đơn giản việc làm nhờ vào nghiệm tường minh toán dạng công thức sơ cấp, tích phân chuỗi hàm Còn đại đa số trường hợp khác, đặc biệt toán có hệ số biến thiên, toán phi tuyến, toán miền nghiệm tường minh toán không có, có phức tạp Trong trường hợp việc tính nghiệm phải dựa vào phương pháp giải gần Đến có hai lớp phương pháp gần quan trọng nghiên cứu nhiều phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn Cả hai phương pháp tìm cách đưa toán biên phương trình vật lý toán toán đại số, thường hay nhiều hệ đại số Tuy nhiên cách làm khác Cách làm khác dẫn đến hệ là: Có trường hợp phương pháp sai phân hiệu hơn, lại có trường hợp phương pháp phần tử hữu hạn hiệu B Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu luận văn: Luận văn tập chung giới thiệu, nghiên cứu phương pháp sai phân để giải toán biên thường gặp ứng dụng Bài toán biên phương trình vi phân cấp hai toán mà điều kiện phụ cho hai điểm khác (hay gọi điều kiện cho hai biên đoạn [a,b ]) Việc tìm nghiệm toán vấn đề phức tạp khó khăn Tuy nhiên dùng phương pháp giải gần để tìm nghiệm toán biên phương pháp sai phân Phương pháp tìm cách đưa toán biên toán đại số, thường hay nhiều hệ đại số tuyến tính Tuy nhiên ta bỏ qua cấp độ đúng, ổn định nghiệm vấn đề hội tụ nghiệm toán sai phân toán vi phân để nhận thấy hiệu phương pháp Một toán quan trọng giải tích số xác định trị riêng véc tơ riêng ma trận Trong phương trình vật lý toán, vấn đề tìm trị riêng véc tơ riêng không tầm thường (hàm riêng) toán vi phân nghiên cứu nhiều học ta thường gặp toán trị riêng hàm riêng Một số tính chất trị riêng hàm riêng toán vi phân tương ứng nhà toán học đưa vấn đề giải gần toán không dễ dàng phương pháp sai phân phương pháp thường sử dụng để tìm giá trị xấp xỉ trị riêng hàm riêng Luận văn đề cập đến kết có trị riêng hàm riêng toán vi phân đơn giản toán Stuôc-Liôvin Thông qua đưa lược đồ sai phân vào toán biên thuộc dạng parabol toán Stuôc-Liôvin, trình bày chứng minh số tính chất trị riêng hàm riêng tương ứng toán sai phân tương ứng với toán vi phân toán Stuôc-Liôvin Đồng thời trình bày xấp xỉ ổn định nghiệm toán sai phân toán vi phân toán biên dạng parabol, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm sai số phương pháp sai phân Chứng minh đánh giá hội tụ nghiệm toán sai phân tới nghiệm toán Stuôc-Liôvin, trình bày phương pháp để giải toán C Cấu trúc luận văn: Luận văn chia làm ba chương phần phụ lục chương trình tính Chương Trình bày số khái niệm công cụ cần thiết để nghiên cứu lược đồ sai phân Bao gồm: 1.1 Công thức đạo hàm sai phân (u.v)x = ux v + u+1 vx (1.1) (u.v) x = u x v + u-1.v x = u x v-1 + u.v x (1.2) 1.2 Công thức tổng riêng phần (u.vx ) = uN.vN - u0.v1 – (u x , v] (1.3) (u.v x ) = uN.vN-1 - u0 v0 – (ux, v] (1.4) 1.3 Công thức Grin sai phân thứ (z, (ay x )x ) = -(ay x , z x ] + (azy x )N – a1z0yx0 (1.6) Nếu z0 = zN =0 (1.6) trở thành (z, y ) = -(ay x , z x ] (1.7) Trong trường hợp riêng z = y y0 = yN=0 từ (1.7) có dạng (y, y ) = (y, (ay x )x) = -(a, y2 x ] với y = (ay x )x (1.8) 1.4 Công thức Grin sai phân thứ hai (z, (ay x )x) - (y, (az x )x ) = aN (zy x - yz x )N - a1(zyx - yzx )0 (1.10) Nếu y z có y0 = yN = 0, z0 = zN = từ (1.10) ta có (z, (ay x )x ) = (y, (az x )x) Nếu đặt v = (av x )x ta có (z, y ) = (y, z ) (1.11) 1.5 Bất đẳng thức Cosi - Bunhiacopski (u, v)  u v với y  ( y, y) (1.12) 1.6 Trị riêng hàm riêng toán sai phân đơn giản Xét toán sai phân y xx   y  yo  y N  (y  0) (1.15) Nghiệm không tầm thường hàm riêng ứng với trị riêng (1.15) ta tìm sau: Ta viết phương trình (1.15) dạng số i: yi+1 -2(1- h 2 )yi+yi-1=0 với i=1, 2, …,N-1 Nghiệm tìm có dạng: y(x)=sin  x, với  cần xác định Do ta tìm nghiệm không tầm thường: y   sin  x  Giá trị  cần chọn cho y(x)=sin  x thoả mãn điều kiện biên toán (1.15) là: y(0)=y(1)=0 Vậy hàm riêng trị riêng toán (1.15) là: kh k y(k)(x)=sin x;  k = sin2 21 ; với k=1, 2, …, N-1 h (1.17) 1.7 Bất đẳng thức hàm trội Để nghiên cứu ổn định toán sai phân, ta thường sử dụng bất đẳng thức hàm trội sau đây: a/ Bổ đề 1: Mọi hàm lưới cho lưới wh = xi  ih; i  1,2, , N ; x0  0; x N  1 Có tính chất triệt tiêu biên x=0 x=1 ta có bất đẳng thức y y c  max xw y( x) ; c  y ]| x (1.24) 1/2 y x ] | =(y x , y x ] b/ Bổ đề 2: Mọi hàm y(x) cho lưới [0,1]: wh = xi  ih; i  1,2, , N ; x0  0; x N  1 có tính chất triệt tiêu biên x=0 x=1 h2 l2 2 yx ] |  y  yx ] | (1.26) Chương Dùng phương pháp sai phân tính chất trị riêng hàm riêng toán vi phân để giải đánh giá ổn định hội tụ nghiệm toán biên dạng parabol Bao gồm: 2.1 Bài toán vi phân Xét toán vi phân: Tìm u=u(x,t) với (x,t)  D  0  x  1;0  t  T  nghiệm toán  u  u    f ( x, t );0  x  1,0  t  T (2.1)  t x u ( x,0)  u ( x);  x  (2.2)   u (0, t )  u (t ); u (1, t )  u (t ),0  t  T (2.3)   2.2 Họ lược đồ điểm Đưa vào D lưới với: 1  wh =  xi  ih; i  0,1, , N ; h   ; N  w = t j  j ; j  0,1, , M ;   T   M Khi lưới miền D là: wh = wh xw = ( xi , t j ); i  0,1, , N ; j  0,1, , M  Ký hiệu y ij giá trị hàm lưới y điểm (xi, tj) xác định lưới wh Thay toán vi phân{(2.1), (2.2), (2.3)} toán sai phân sau:  y ij 1  y ij  y xjxi1  (1   ) yy xjxi   i j ; i  1,2, , N  1(2.4)    y 0j  (u1 )(t j ) ; y Nj  u (t j ) (2.5)   y i0  u ( xi ) ; j  0,1,2, , (2.6)   với  tham số Lược đồ (2.4) - (2.6) gọi lược đồ điểm theo tham số  Trong  i j  ( xi , t j ); t j  tj   ;  chọn phụ thuộc vào cấp độ ổn định lược đồ 2.3 Độ sai xấp xỉ Để cấp độ lược đồ (2.4) - (2.6), cần so sánh nghiệm y=yij toán (2.4) - (2.6) với nghiệm u(x,t) toán (2.1) - (2.3) Trong toán (2.1) - (2.3) u(x,t) nghiệm liên tục, lú ta đặt: uij=u(xi,tj) ^ xét ký hiệu: zij=yij-uij; yij=y; yij+1 = ŷ; yt = z  z C  max z i 0i  N y-y N 1  ; y xx  y z  ( hz i2 ) i 1   (uˆ  (1   )u)    ut (2.13) độ sai xấp xỉ lược đồ sai phân (2-4) - (2.6) lên nghiệm u(x,t) toán vi phân (2-1) - (2.3) Lược đồ với   0,5  h2    gọi lược đồ có độ cấp cao 12 2.4 Sự ổn định theo điều kiện đầu Xét toán sai phân:  y t  (yˆ  (1   ) y )    y (0, t )  y (1, t )    y ( x,0)  u ( x)  ( x, t )  wht (2.16) t  wt (2.17) x  wh (2.18) Định nghĩa: Lược đồ (2.16) - (2.18) gọi ổn định nghiệm thoả mãn bất đẳng thức: y(t ) (1)  M u0  M max  (t ' ) (1) 0t 't ( 2) (2.19) đó: M1, M2 số dương không phụ thuộc vào h,  , chuẩn lưới wh lớp t  Nếu   y(t ) (1)  M u0 (1) ; t  w gọi ổn định theo điều kiện đầu  Nếu u0=0=y(x,0) y (t ) (1)  M max  (t ' ) 0t 't ( 2) gọi ổn định theo vế phải  Nếu có (2.19) gọi ổn định theo điều kiện đầu theo vế phải Nghiệm toán (2.20)-(2.21) thoả mãn bất đẳng thức y k( j )  u với j=1,2,…    (2.32) nghĩa lược đồ sai phân (2.16) - (2.18) ổn định theo điều kiện đầu theo chuẩn L2(wh)   h2   0 4 Trường hợp riêng: Khi   ta lược đồ hiện: Khi   ổn định với giá trị h  Khi     lược đồ đối xứng ẩn ổn định tuyệt đối 2.5 Sự ổn định theo vế phải Nếu thoả mãn điều kiện   h2 ;   lược đồ sai phân (2.16)-(2.18) ổn định  4 theo điều kiện đầu theo vế phải 2.6 Sự hội tụ cấp độ Sự hội tụ nghiệm thể từ xấp xỉ ổn định lược đồ sai phân (2.16) (2.18) 2.7 Phương pháp sai phân toán biên dạng Parabol Xét toán:  u  u xt xt    e (1  x)( x  t )  2te  t x u ( x,0)  x    u (0, t )  1; u (1, t )  2e t   :  x  1;0  t  (2.41)  x 1 (2.42)  t 1 (2.43) Với (x,t)  D ={  x  1;0  t  } Đặt f(x,t)=e xt (x+1)(x-t2 )-2te xt Nghiệm toán u(x,t)=e xt (1+x) 2.7.1 Lưới sai phân: Chọn N>1 M  Đưa vào D lưới 1  wh =  xi  ih; i  0,1, , N ; h   ; N    w = t j  j ; j  0,1, , M ;  T   M Khi lưới miền D wht  wh xwt  {(x i , t j ); i  0,1, , N; j  0,1, , M} 2.7.2 Bài toán sai phân: Trong toán sai phân (2.4)-(2.6) với trường hợp riêng   Ta có toán sai phân thay cho toán vi phân (2.41)-(2.43): Tìm yij thoả mãn:  y i( j 1)  y ij  y x( xij 1)   i( j 1)    j y Nj  2e tj  y  1;  y  x  i  1,2, , N  1; j  0,1, , M i  i  (2.44) i( j 1) = f(xi, tj+1 ) Trong đó: 2.7.3 Cách giải lược đồ sai phân: Từ (2.44) ta có: yi( j 1)  yij  y i( j 1)  yij  = y x( xij 1)  i( j 1) = yij11  yij 1  yij11   i j 1 h2 (**)  Đặt   , từ (**) ta có: h yij11  (1  2 ) yij 1  yij11 = - yij -  i j 1 Ta có hệ phương trình: yij11  (1  2 ) y ij 1  y ij11   Fi j 1 ; i  1,2, , N   Fi j 1  yij   i j 1  ( I ) y 0j  1; y Nj  2e tj   yi0  xi  Hệ hệ đường chéo nên ta giải phương pháp truy đuổi 2.7.4 Cách giải hệ (I): Hệ (I) có dạng:  Ai y ij11  Ci y ij 1  Bi yij11   Fi j 1 ; i  1,2, , N   Fi j 1  yij   i j 1   y 0j  1; y Nj  2e tj   y i0  xi  Với Ai=A=  ; Bi=B=  ; Ci=C=1+2  ; Fij+1=yij +  f(xi, tj+1 ) Biết yij lớp j, giải hệ để tính yij+1 phương pháp truy đuổi từ phải Ta tìm nghiệm hệ dạng: yij 1   i 1 yij11   i 1 Ta có thuật toán sau: Tính hệ số lớp j+1: Biết yij Tính Fij+1=yij +  f(xi, tj+1) 1  0; 1   i 1 A i  Fi j 1 B  ;  i 1  ; i  1,2, , N  C (1   i ) C (1   i ) Tính nghiệm Biết yNj+1 yij 1   i 1 yij11   i 1 với i=N-1,N-2,…,1,0 Khi tìm nghiệm hệ (I) theo công thức truy đuổi, ta gặp sai số quy tròn trình tính ổn định Ai  0; Bi  0; Ci  Ai + Bi Chương Dùng phương pháp sai phân tính chất trị riêng hàm riêng toán vi phân để giải đánh giá ổn định hội tụ nghiệm toán Stuôc-Liôvin Bao gồm: 3.1 Bài toán vi phân 3.1.1 Phát biểu toán vi phân Tìm số  (trị riêng) ứng với có véctơ riêng không tầm thường y(x) (hàm riêng)  x  thoả mãn phương trình: d du (k ( x) )  q( x)u  r ( x)u  ; 0