Sử dụng phần mềm matlab vào việc xây dựng bài giảng về phương trình và hệ phương trình cho học sinh phổ thông

LỜI CẢM ƠN Luận văn kết sau hai năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Bản thân tiếp cận với kiến thức chuyên sâu môn học toán ứng dụng, đặc biệt ứng dụng công nghệ thông tin để giải toán liên quan lý thuyết lẫn thực tiễn giảng dạy Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học khóa 2013B Toán tin, phòng ban liên quan Viện đào tạo sau đại học Bách Khoa Hà Nội, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả qua trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Lê Hùng Sơn, người tận tình dẫn, giúp đỡ tác giả nghiên cứu hoàn thành luần văn Mặc dù thân cố gắng, chắn luận văn tránh khỏi thiết sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp bổ sung quý thầy cô giáo đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 15 tháng 03 năm 2016 Tác giả luận văn Thịnh Văn Nghĩa MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu luận văn III Các luận điểm đóng góp tác giả IV Phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ MATLAB Tổng quan Tổ chức Matlab 2.1 Biến 2.2 Số toán tử 2.3 Biểu thức 2.4 Hàm 2.5 Vectơ 2.6 Ma trận 2.7 Các hàm giải phƣơng trình 11 2.8 Các hàm số học 13 2.9 Các hàm lƣợng giác 14 2.10 Các hàm giải tích 14 2.11 Đồ thị 16 CHƢƠNG II : Lập trình Matlab Chƣơng trình Matlab 20 Các dòng lệnh, lệnh truy xuất 20 2.1 Các dòng lệnh 20 2.2 Câu lệnh thích 20 2.3 Lệnh gán 21 2.4 Câu lệnh vào/ra liệu 21 Cấu trúc điều khiển 23 3.1 If elseif else 23 3.2 Câu lệnh swich-case 24 3.3 Câu lệnh for 25 3.4 Câu lệnh while 25 CHƢƠNG III : Các phƣơng trình hệ phƣơng trình Các loại phƣơng trình 27 1.1 Các loại phƣơng trình giải gần 27 1.1.1 Giải phƣơng trình theo phƣơng pháp dây cung 27 1.1.2 Giải phƣơng trình theo phƣơng pháp chia đôi 28 1.1.3 Giải phƣơng trình theo phƣơng pháp pháp tuyến 31 1.2 Các loại phƣơng trình giải 33 1.2.1 Phƣơng trình bậc 33 1.2.2 Phƣơng trình bậc hai 34 1.2.3 Phƣơng trình bậc ba 35 Các loại hệ phƣơng trình 37 2.1 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính theo phƣơng pháp Cramer 37 2.2 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính theo phƣơng pháp Gauss 40 CHƢƠNG IV : Ứng dụng matlab để giải số toán giải phƣơng trình hệ phƣơng trình Toán THPT Giải phƣơng trình 46 Giải hệ phƣơng trình 58 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Hòa chung vào phát triển khoa học kỹ thuật kinh tế xã hội, ngành giáo dục thực chủ trương đổi phương pháp dạy học, nhằm nâng cao chất lượng dạy học sở giáo dục Cùng với chủ trương đắn đó, việc ứng dụng công nghệ thông tin công tác giảng dạy nhiệm vụ bắt buộc Từ đó, phần mềm hỗ trợ giáo dục nghiên cứu phát triển khai thác ngày nhiều Tuy nhiên, số địa phương, số sở giáo dục, sở vật chất nghèo nàn, tư nhận thức đổi chưa cao, việc tiếp cận công nghệ mới, chương trình hỗ trợ giáo dục gặp nhiều khó khăn Hiện nay, khai thác ứng dụng soạn thảo văn số phần mềm ứng dụng quản lý giáo dục, việc sử dụng phần mềm để hỗ trợ giải toán thường gặp chưa đầu tư nghiên cứu sử dụng mức Chính định chọn nghiên cứu phần mềm hỗ trợ cho giảng dạy học tập Có nhiều phần mềm sử dụng lập trình Pascal, lập trình C,lập trình C#, fortran Tuy nhiên có phần mềm mà có trợ giúp trực quan toán nhiều lĩnh vực chương trình Toán THPT, phần mêm Matlab Hiện nay, Matlab phần mềm sử dụng giảng dạy nhiều trường đại học, công cụ hỗ trợ đổi phương pháp giảng dạy nhiều môn học : Toán phổ thông, Toán cao cấp, Vật lý phổ thông, Vật lý đại cương, Toán kinh tế, Xác suất thống kê Một khó khăn nghiên cứu phần mềm số đầu sách viết Tiếng Việt Matlab hạn chế, nên để có lượng kiến thức phong phú luận văn này, tác giả gặp không khó khăn II Mục đích, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu luận văn Luận văn tập trung giới thiệu, nghiên cứu khái niệm ứng dụng Matlab để giải toán nâng cao chương trình Toán học THPT Những khái niệm toán học phép tính số học biểu thức hàm số, giải phương trình, giải hệ phương trình, toán vi phân, tích phân quen thuộc thực tế có trường hợp thời gian giải quyết, chí tìm kết vấn đề lớn Tuy nhiên, Matlab cho ta đáp án nhanh, gọn, xác Luận văn trình bày ứng dụng phần mềm xây dựng giảng môn Toán giải phương trình, hệ phương trình chương trình THPT, đặc biệt áp dụng đồ thị để giải phương trình, hệ phương trình Bên cạnh kiến thức khảo sát hàm số, nhóm thừa số chung Với ứng dụng này, giáo viên tự xây dựng giảng dễ dàng, học sinh tìm lời giải cách nhanh chóng III Các luận điểm đóng góp tác giả Về lý thuyết, luận văn trình bày dạng toán quen thuộc ứng dụng để giải quyết, xây dựng giảng cho giáo viên dạy Toán THPT Nhưng bên cạnh đó, tác giả thêm phương pháp, hướng để giải số dạng toán liên quan, toán giải phương pháp hàm số, sử dụng đồ thị IV Phƣơng pháp nghiên cứu - Tham khảo dịch tài liệu tiếng Anh - Tìm hiểu qua giáo trình học - Tìm hiểu qua thực tế giảng dạy THPT - Tổng hợp trình bày CHƢƠNG I : TỔNG QUAN VỀ MATLAB Tổng quan MatLab (MATrix LABoratory) thiết kế công ty MathWorks ngôn ngữ lập trình bậc cao chuyên sử dụng cho tính toán kỹ thuật, đặc biệt toán có dạng ma trận vectơ MatLab tích hợp tính toán, đồ họa lập trình môi trường thân thiện, cho phép thể toán nghiệm dạng ký hiệu toán học quen thuộc kỹ thuật o Toán học tính toán o Xây dựng thuật toán o Thu thập liệu o Mô phỏng, đồ họa - Matlab mở rộng môi trường để xử lý số toán o Xử lý tính hiệu o Các lệnh điều khiển o Logic Tổ chức Matlab 2.1 Biến (Variables) - Matlab không yêu cầu khai báo biến số chiều Trong matlab, biến khai báo khởi tạo thông qua lệnh gán - Quy tắc đặt tên biến Tên biến dãy ký tự (31 ký tự), (không chứa dấu cách) Tên biến gồm chữ cái, chữ số, dấu gạch (bắt đầu chữ cái) Tên biến phân biệt chữ hoa chữ thường Ví dụ : >> number = 98 number = 98 2.2 Số (numbers) toán tử 2.2.1 Số (Numbers) - MatLab sử dụng ký hiệu thập phân theo qui ước với số chữ số tùy chọn dấu +,- cho số Ký hiệu khoa học sử dụng chữ e cho lũy thừa 10 Số phức sử dụng chữ i j cho đơn vị ảo 2.2.2 Các toán tử ( Operators) Matlab sử dụng toán tử thông dụng Phép tính Ký hiệu Phép cộng + Phép trừ - Phép nhân * Phép chia phải / Phép chia trái \ Lũy thừa ^ Lớn > Nhỏ < 2.3 Biểu thức 2.3.1 Biểu thức số học Biểu thức số học biến kiểu số số biến kiểu số liên kết với số hữu hạn phép toán , dấu (, ) tạo thành biểu thức dạng tương tự cách viết toán học với số quy tắc sau: - Chỉ dùng dấu ngoặc để xác định trình tự thực phép toán - Viết từ trái qua phải - Không bỏ qua dấu * tích - Thứ tự ưu tiên phép toán : + Tính đại lượng ngoặc + Tính phép toán lũy thừa + Tính phép toán *, /, thực từ trái qua phải + Tính phép toán +, - , thực từ trái qua phải 2.3.2 Biểu thức quan hệ Hai biểu thức kiểu liên kết với phép toán quan hệ cho biểu thức quan hệ - Dạng biểu thức quan hệ Ví dụ X = 4+B - Sự thực biểu thức quan hệ: + Tính giá trị biểu thức 1, biểu thức + Thực phép toán quan hệ - Kết biểu thức quan hệ Đúng (1) Sai (0) 2.4 Hàm (Functions) Matlab cung cấp số lượng phong phú hàm toán học sơ cấp cao cấp Một số hàm cài sẵn (built-in functions) sử dụng hiệu ta tính toán chi tiết mã nguồn Các hàm khác ta lập trình dạng m-file, nhờ ta xem mã nguồn chỉnh sửa cho phù hợp thực tế Nhiều hàm đặc biệt cho ta giá trị số hữu ích Một số hàm đặc biệt Hàm Giá trị Pi   3.1415 Eps Số nhỏ nhất, dùng để cộng với để số nhỏ lớn (sai số 2-52) Flops Số phép chia toàn số thực Inf Số vô lớn NaN nan Dùng để số không xác đinh kết 0/0 i (và) j i=j= 1 Realmin Số nhỏ số thực Realmax Số lớn số thực 2.5 Vectơ - Vectơ ma trận có hàng cột Để khởi tạo vectơ hàng chứa giá trị rời rạc, phần tử vectơ phải nằm cặp ngoặc vuông [ ] ngăn cách dấu phẩy "," khoảng trắng ␣ Ví dụ >> vecto1=[2 -1 4] vecto1 = -1 >> vecto2=[3 -1 2] vecto2 = -1 >> vecto3=[vecto1 vecto2] vecto3 = - -1 -1 Hàm linspace *Cú pháp : y = linspace(a,b) Y= linspace(a,b,n) *Giải thích : + Hàm linspace tạo vector với khoảng cách tuyến tính Nó tương tự toán tử hai chấm ":", xác định trước số điểm chia n + hàm y = linspace(a,b) tạo vecto hàng với 100 điểm cách bao gồm a b - Hàm logspace *Cú pháp : y = logspace(a,b) y = logspace(a,b,n) y= logspace(a,pi) *Giải thích + Hàm logspace tạo vectơ vơi khoảng cách logarit + Hàm y = logspace(a,b) tạo vectơ hàng gồm 50 điểm khoảng 10a đến 10b + Hàm y = logspace(a,b,n) tạo vectơ hàng với n điểm khoảng từ 10a đến 10b Nếu n > vecto = [-5:1:5] vecto = -5 -4 -3 -2 -1 >> vecto(4) ans = -2 >> vecto([1 8]) ans = -5 +Xóa phần tử vectơ, ta gán với vectơ rỗng Ví dụ : >> vecto([2 4])=[] vecto = -5 -3 -1 f '( x)  1  3x  3x ; f '( x)   x   >> subs(f,x,-sqrt(6)/3) ans = (2^(1/2)*3^(1/2))/3 + 6^(1/2) + >> subs(f,x,sqrt(8/3)) ans = - (2*2^(1/2)*3^(1/2))/3 >> subs(f,x,-sqrt(8/3)) ans = (2*2^(1/2)*3^(1/2))/3 +  Ta thấy : f     8  64  0; ; f 2  3     8 f    2 0  3 Suy  f ( x)  64 1  0  x 1 f ( x) 64 3  (*) vô nghiệm 57 Vậy nghiệm phương trình x  1 2 Giải hệ phƣơng trình Ví dụ (Đề thi ĐH khối A – 2013) Giải hệ phương trình sau tập số thực   x 1  x 1  y   y  2   x  x( y  1)  y  y   Giảng giải Hệ phương trình có nên ta đặt điều kiện x    x 1   x   y   Ta có x2  x( y  1)  y  y   :  x2  y   xy  x  y  y  ( x  y  1)2  y Vế trái không âm nên y  Biến đổi x  phương trình đầu hệ : x 1  x 1  Đặt u    x 1  x   Phương trình trở thành u4   u  y4   y Đặt f (t )  t   t với t>0 Khảo sát hàm f(t), ta thấy >> f=sqrt(t^4+2)+t; >> diff(f) 58 (3) ans = (2*t^3)/(t^4 + 2)^(1/2) + Vì t>0 nên f‟(t) >0, hàm f(t) đồng biến R Khi , (3)  f (u)  f ( y)  u  y  y  x  Lũy thừa vế (vì y>0), ta : x  y  (*) Thay vào phương trình thứ hệ, ta có >> syms x y >> g=x^2+2*x*(y-1)+y^2-6*y+1; >> simplify(subs(g,x,y^4+1)) ans = y*(y^7 + 2*y^4 + y - 4) Ta phương trình : y( y  y  y  4)  y  (4)  y  y  y    Khảo sát hàm số g ( y)  y  y  y  , ta thấy >> f=y^7+2*y^4+y-4; >> diff(f) ans = 7*y^6 + 8*y^3 + Vì y>0, nên g‟(y)>0 Mặt khác, nhận thấy g(1) = Vì phương trình g(y) = có nghiệm y = Kiểm tra máy tính : >> f=y^7+2*y^4+y-4; 59 >> solve(f) ans = 0.80 + 1.12*i - 0.07 - 1.11*i - 1.22 + 0.39*i - 0.07 + 1.11*i 0.806 - 1.12*i - 1.22 - 0.39*i - Với y = 0, thay vào (*) ta x = - Với y = 1, thay vào (*) ta x = Vậy nghiệm hệ phương trình (1, 0) (2, 1) Ví dụ : Giải hệ phương trình 2 x   y  y  y  2 y   z  z  z  2 z   x  x  x Giảng giải Nhận thấy hệ hệ xoay vòng ẩn Xét hàm số : f (u )  u  u  u >> syms u; >> f=u^3+u^2+u; >> diff(f) ans = 3*u^2 + 2*u + >> solve(diff(f)) 60 ans = (2^(1/2)*i)/3 - 1/3 - (2^(1/2)*i)/3 - 1/3 Ta có f '(u)  3u  2u   nên hàm số đồng biến Không tính tổng quát, giả sử x  y  z Suy f ( x)  f ( y)  f ( z )  z   y   x   z  y  x Vậy x  y  z Thay vào phương trình thứ ba hệ, ta có : x   x3  x  x  x3  x  x   >> syms x; >> f=x^3+x^2-x-1; >> factor(f) ans = (x - 1)*(x + 1)^2 x 1 x  y  z 1 Pt  ( x  1)( x  1)      x  1  x  y  z  1 Vậy nghiệm hệ phương trình (1, 1, 1) (-1, -1, -1) Ví dụ : Cho hệ bất phương trình  x  x  a    x  x  6a  a Tìm a để hệ có nghiệm b Tìm a để hệ có nghiệm nhât Giảng giải 61  x  x  a  Hệ bpt   2  x  xa 6 Đặt f ( x)   x  x ; g ( x)  2 x  x Ta có ( P1 ) : y  f ( x) Parabol có đỉnh I(-1, 1) quay bề lõm xuống ( P2 ) : y  g ( x) Parabol quay bề lõm lên Tìm hoành độ giao điểm hai Parabol cách giải phương trình hoành độ :  x  x  x  x  x  x   x  x   6 >> x=linspace(-2,2,28); >> y=-x.^2-2*x; >> z=(1/6)*x.^2-(2/3)*x; >> plot(x,y,x,z) 62 Dựa vào đồ thị ta thấy, nghiệm hệ nằm khoảng hai đồ thị a Hệ có nghiệm :  a  b Hệ có nghiệm : a  a  Ví dụ : (Đề thi Đại học A – 2008) Giải hệ phương trình : 2   xy  x  y  x  y   x y  y x   2x  y (1) (2) Giảng giải Hệ có chứa căn, nên đặt điều kiện x 1  x    2 y  y  ĐK :  Biến đổi phương trình (1) >> syms x y; >> f=x*y+x+y-x^2+2*y^2; >> factor(f) ans = -(x - 2*y - 1)*(x + y) x  y 1  (1)  ( x  y  1)( x  y)    x  y  * Với x = 2y + Từ (3), thay vào (2) >> syms x y; >> g=x*sqrt(2*y)-y*sqrt(x-1)-2*x+2*y; >> simplify(subs(g,x,2*y+1)) 63  x  y  (3)  (4) x   y ans = (y + 1)*(2^(1/2)*y^(1/2) - 2)  y 1  y  1    y   y  Ta có : ( y  1)( y  2)     y2 ( điều kiện y  )  x  ( tm đk) *Với x = - y Khi x, y trái dấu Điều vô lý điều kiện x, y dấu Vậy nghiệm hệ (5, 2) Ví dụ (đề thi đại học A – 2003 ) Giải hệ phương trình sau 1  x  x  y  y  2 y  x3   (1) (2) Giảng giải Điều kiện : x, y  Biến đổi (1) >> syms x y; >> f=x-1/x-y+1/y; >> factor(f) ans = ((x - y)*(x*y + 1))/(x*y) x  y (1)  ( x  y)( xy  1)     xy  1 *Với x = y, thay vào (2) ta : x3  x   >> syms x ; 64 (3) >> f=x^3-2*x+1; >> factor(f) ans = (x - 1)*(x^2 + x - 1) x 1  y x 1  (3)  ( x  1)( x  x  1)       x  1   y x  x 1   2 *Với xy  1  y   Thay vào (2) ta x  x   (4) x Xét hàm số : f ( x)  x  x  ; f '( x)  x3  >> syms x; >> f=x^4+x+2; >> diff(f) ans = 4*x^3 + >> solve(diff(f)) ans = -2^(1/3)/2 (2^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 + 1/2))/2 -(2^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 - 1/2))/2 Vẽ đồ thị hàm f(x) ta thấy 65 >> x=linspace(-10,10,20); >> y=x.^4+x+2; >> plot(x,y) >> syms x; >> f=x^4+x+2; >> subs(f,x,-2^(1/3)/2) ans = 10/65 )0 Ta có f ( x)  f ( x)  f ( 66 Nên phương trình (4) vô nghiệm  1  1   ;  2   Vậy nghiệm hệ phương trình (1, 1)  67 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu đề tài tốt nghiệp “ Sử dụng phần mềm Matlab vào việc xây dựng giảng Phương trình Hệ phương trình cho học sinh phổ thông” , hướng dẫn GS-TSKH Lê Hùng Sơn, cá nhân hoàn thành nội dung yêu cầu đặt đề tài Cụ thể : - Trình bày phép toán số học số , biểu thức hàm, yêu cầu đặt yêu cầu thực tiễn - Trình bày khái niệm ứng dụng Matlab việc giải toán giải phương trình, hệ phương trình - Trình bày số cách giải phương trình, hệ phương trình, đặc biệt sử dụng đồ thị, phù hợp với chương trình THPT Tuy nhiên, đề tài tồn số hạn chế : - Chưa nêu sâu sắc ưu điểm nhược điểm lệnh Matlab - Do thời gian trình độ có hạn nên đề tài tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp lượng thứ Hƣớng phát triển đề tài - Nghiên cứu xây dựng giảng Toán THPT cho nhiều vấn đề khác - Xây dựng giảng Toán cao cấp, đồ thị chiều cho giảng viên trường đại học cao đẳng Kiến nghị *Đối với Đảng Nhà nước : - Đẩy mạnh công tác cải cách hành chính, xây dựng máy quản lý nhà nước đội ngũ cán công chức vững mạnh, có lực đáp ứng yêu cầu đổi - Có chế độ sách phát triển giáo dục, đầu tư sở vật chất đầy đủ để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy giáo viên việc tiếp thu kiến thức học sinh, sinh viên *Đối với sở giáo dục : 68 - Khuyến khích, động viên cán giáo viên nghiên cứu ứng dụng công nghệ thông tin dạy học - Tạo điều kiện cho giáo viên học sinh tiếp cận với gói chương trình trợ giúp dạy học - Tổ chức bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho cán giáo viên để nâng cao trình độ 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số 10.(2011), Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Đặng Minh Hoàng.(2000), Đồ họa với Matlab 5.3, nhà xuất Thống Kê Giải tích 12.(2011), Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Trần Minh Toàn.(2012) Matlab ứng dụng, Viện Toán ứng dụng tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội website : https://vi.wikipedia.org/wiki/ 70 ... nhiên, Matlab cho ta đáp án nhanh, gọn, xác Luận văn trình bày ứng dụng phần mềm xây dựng giảng môn Toán giải phương trình, hệ phương trình chương trình THPT, đặc biệt áp dụng đồ thị để giải phương. .. nghiên cứu sử dụng mức Chính định chọn nghiên cứu phần mềm hỗ trợ cho giảng dạy học tập Có nhiều phần mềm sử dụng lập trình Pascal, lập trình C,lập trình C#, fortran Tuy nhiên có phần mềm mà có... lĩnh vực chương trình Toán THPT, phần mêm Matlab Hiện nay, Matlab phần mềm sử dụng giảng dạy nhiều trường đại học, công cụ hỗ trợ đổi phương pháp giảng dạy nhiều môn học : Toán phổ thông, Toán cao