Đang tải... (xem toàn văn)
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các dạng bất đẳng thức, phương trình vô tỉ, được giải một cách tỉ mỉ rất dễ hiểu giúp cho các bạn học sinh lớp 9 có thể đạt hiệu quả cao trong kì thi tuyển sinh lớp 10 ....................................................................................................................................................................................................
TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 TỔNG HỢP NHỮNG CÂU PHÂN LOẠI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Bài 1: [Chuyên Trần Phú-Hải Phòng_2015-2016] Cho x, y, z ba số thực dương Chứng minh: x2 x y 14 xy 2 y2 y 3z 14 yz 2 z2 z 3x 14 zx 2 x yz Hướng dẫn giải Với x, y, z dương, ta có: x y 14 xy (9 x 12 xy y ) ( x xy y ) (3x y) ( x y) (3x y) x y 14 xy 3x y Tương tự ta có: y 3z 14 yz y z z 3x 14 zx 3z x Suy P x2 x y 14 xy y2 y 3z 14 yz z2 8z 3x3 14 zx x2 y2 z2 (*) 3x y y z 3z x Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có: x2 3x y x2 3x y x x2 7x y 2 3x y 25 3x y 25 3x y 25 Ta có BĐT tương tự y2 y 2z 3y 2z 25 z2 z 2x 3z x 25 Cộng vế BĐT trên, ta có x2 y2 z2 x yz 3x y y z 3z x Từ (*) (**) ⇒ x2 x y 14 xy (**) y2 y 3z 14 yz z2 z 3x 14 zx x yz Dấu xảy x = y = z = Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 Bài 2: [Chuyên Trần Phú-Hải Phòng_2015-2016] Tìm số x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 16( x3 y3 ) 15xy 371 Hướng dẫn giải 16( x3 y3 ) 15xy 371 (1) Vì x, y ∈ ℕ * nên từ (1) ⇒ 16( x3 y3 ) 15xy 371 x3 y3 x y Mặt khác từ (1) 15xy 16( x3 y3 ) 371 số lẻ, suy x, y lẻ Suy y ≥ 1, x > y ≥ ⇒ x ≥ Xét hai trường hợp: x = ⇒ y < ⇒ y = Thử lại ta có (x; y) = (3;1) thỏa mãn (1) x ≥ Ta có: x – ≥ y Suy 16( x3 y3 ) 16 x3 ( x 2)3 16 x3 ( x3 x2 12x 8 16(6x 12x 8) Mặt khác: 15xy 371 15x( x 2) 371 15x2 30 x 371 Ta chứng minh 16(6 x2 12 x 8) 15x2 30 x 371 81x2 162x 243 x2 2x ( x 1)( x 3) (đúng ∀ x ≥ 5) Suy 16( x3 y3 ) 15xy 371 với x ≥ Vậy (x;y) = (3;1) cặp số thỏa mãn toán Câu 3: [Sở GD Hải Phòng_2016-2017] a a) Cho a > 0, b > 0, c > Chứng minh rằng: (a b c)( 1 )9 b c b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2(ab bc ca) a b2 c Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có: a b c 3 abc 1 1 1 33 a b c a b c Nhân vế hai bất đẳng thức chiều dương, ta được: Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 1 1 1 (a b c)( ) 3 abc 3 (đpcm) a b c a b c b) Với a, b, c > ta có 1 (a b) (b c) (c a) a b c ab bc ca 2 1 6(ab bc ca) 6(a b c ) 13 3(ab bc ca) 6(ab bc ca) a b c 13 2 2 3(ab bc ca) 6(a b c ) a b c 13 13 13 1 ( ) 2 3(ab bc ca) 6(a b c ) ab bc ca ab bc ca a b c P Áp dụng ý a, ta có 1 )9 ab bc ca ab bc ca a b2 c 1 9 2 ab bc ca ab bc ca a b c (a b c ) 39 P Dấu xảy a b c 39 Vậy GTNN P (2ab bc 2ca a b2 c )( Câu 4: [Sở GD Hưng Yên_2016_1017] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2a ab 2b2 2b2 bc 2c2 2c ca 2a Hướng dẫn giải Với a,b,c số dương a b c 1 Cách giải Ta có: 2a ab 2b2 5 ( a b) ( a b ) ( a b) 4 Dấu “=” xảy a =b Hay 2a ab 2b (a b) b 4ac Tương tự : 2b2 bc 2c 2c ca 2a (b c) Dấu “=” xảy c =b (c a) Dấu “=” xảy a = c Suy P 2a ab 2b2 2b2 bc 2c 2c ca 2a 5(a b c) Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có : (12 12 12 )[( a )2 ( b )2 ( c )2 ] (1 a b c )2 Do a b c => P 3 a 0; b 0; c Dấu “=” xảy a b c a b c a b c 1 Vậy MinP = a b c Cách giải Ta chứng minh bất đẳng thức: a b2 c2 d (a c)2 (b d )2 (*) dấu xảy a b c d Thật vậy: (*) a b c d (a b )(c d ) (a c) (b d ) (a b )(c d ) ac bd (a b )(c d ) (ac bd ) (ad bc) 0(luon dung) => P b 15b c 15c a 15a (a )2 ( ) (b ) ( ) (c ) ( ) 4 4 4 Áp dụng bất đẳng thức * ta có: P b c 15b 15c a 15a (a b ) ( ) (c ) ( ) 4 4 4 b c a 15b 15c 15a (a b c ) ( ) ( a b c) 4 4 4 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có ( a b c )2 (1 1)(a b c) a b c dấu = a = b = c Do P 5 (a b c) 2 P Dấu = a = b = c = 1/9 Cách giải Ta có: 2a ab 2b2 2(a b)2 3ab Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 Mà ab ( a b) Nên 2a ab 2b 2(a b) 3ab 2(a b) (a b) (a b) 4 2a ab 2b ( a b) 5 TT : 2b bc 2c (b c); 2c ca 2a (c a) 2 Do P 5(a b c) Mặt khác ta có x y z xy yz zx 3( x y z ) x y z xy yz zx 3( x y z ) ( x y z )2 x y z ( x y z )2 Áp dụng bất đẳng thức ta có: 1 Dấu “=” a b c a b c ( a b c )2 => MinP = 3 Câu 5: [Sở GD Nam Định 2016_2017] Giải phương trình 2( x 1) x 3(2 x3 5x x 1) x3 3x Hướng dẫn giải 2( x 1) x 3(2 x3 5x2 x 1) 5x3 3x2 (1) Điều kiện: x ≥ Với x ≥ 0, ta có (1) 2( x 1) x 3( x 1) (2 x 1) ( x 1)(5 x x 8) 2( x 1) x ( x 1) 3(2 x 1) ( x 1)(5 x x 8) 0( Do x+1 1>0) x 0(2) x 3(2 x 1) (5 x x 8) 0(3) Ta có (2) ⇔ x = –1 (loại) Giải phương trình (3): Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có: x x 1 2x 1 x2 VT (3) x x (5 x x 8) 5 x 10 x 5( x 1) 3(2 x 1) Dấu xảy ⇔ x = Vậy (3) ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho {1} Câu 6: [Sở GD Nghệ An 2016_2017] Cho số thực a,b,c thỏa mãn ≤ a,b,c ≤ a + b + c ≥ Chứng minh rằng: ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) ≥ Hướng dẫn giải Vì a, b,c (1 a)(1 b) a b ab Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 ab a b (a b c) (c 1) ab(a 1) a ab ab a(a b 1) ab a 2ab a Tương tự ta có bc(b 1) b 2bc b ca(c 1) c 2ca c Cộng lại ta được: ab(a 1) bc(b 1) ca(c 1) a b2 c 2(ab bc ca) (a b c) (a b c)2 (a b c) (a b c 1)(a b c) 1.2 =>đpcm Câu 7: [Sở GD Quảng Ninh 2016_2017] Với x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + xy = 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 Hướng dẫn giải Vì x, y số thực dương nên theo BĐT Côsi ta có x y xy dấu “=” xảy x = y hay x x x 15 x y GT: x y xy 15 xy 15 ( x y) Do đó: P x y ( x y)2 xy ( x y)2 30 2( x y) xy 30 2.2 xy dấu “=” xảy x = y = Pmin 4.32 30 4.3 18 x = y = Câu 8: [Sở GD Thanh Hóa 2016_2017]: Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a 2b2 3c Chứng minh rằng: a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số, ta có (a 2b)2 (1.a 2b)2 (1 2)(a 2b2 ) 3.3c 9c a 2b 3c Với x,y,z > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có 1 1 ( x y z )( ) 3 xyz 3 9 x y z xyz 1 x y z x yz Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có 1 9 (đpcm) a b a b b a b b a 2b 3c c Dấu xảy ⇔ a = b = c Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 Câu 9: [Yên Bái 2016_2017]: Cho số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1) = a2 + b2 Tìm giá trị lớn biểu thức: Q 1 2 a b 2ab b a 2ba Hướng dẫn giải Từ điều kiện đề suy a b a b a b2 2ab (a b) a b 2ab a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a b 2ab 2 a b a b a b 2 a b a b 2a 2b; b a 2b a 1 Q 2 2a b 2ab 2b a 2ba 2ab(a b) ab(a b) Vì a b 2; ab ab 1 1 Q ab(a b) 2 Dấu xảy ⇔ a = b = Vậy GTLN Q Câu 10: [Yên Bái 2016_2017] Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: P ab bc ca 5 5 a b ab b c bc c a5 ca Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương, ta có: a5 a5 a5 b5 b5 5 a5 a5 a5 b5 b5 5a3b 3a5 2b5 5a3b2 Tương tự ta có: 2a 3b5 5a 2b3 5a 5b5 5(a 3b a 2b3 ) a b5 a 2b (a b) ab ab c c 5 2 a b ab a b (a b) ab ab(a b) abc(a b) c a b c Ta có bất đẳng thức tương tự, cộng lại ta có: P c a b 1 abc a bc a bc Dấu xảy a = b = c = Vậy GTLN P Câu 11: [Hà Tĩnh 2016_2017] Cho a, b số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 P (2a 2b 3)(a b3 ) ( a b) Hướng dẫn giải Cách Ta có: P (2a 2b 3)(a3 b3 ) 7 [2(a b) 3](a b)(a ab b ) ( a b) ( a b) Do a, b số dương, nên áp dụng BĐT Cô si ta có: a b2 2ab ( a b) [2(a b) 3](a b)(2 1) ( a b) [2(a b) 3](a b) ( a b) 2(a b) 3(a b) ( a b) 7 5 13 25 (a b) [ (a b) ]2 (a b) 16 ( a b) 4 P [2(a b) 3](a b)(2 ab) Ta có: 7 7 (a b) 2 ( a b) 2 16 ( a b) 16 ( a b) 5 5 [ (a b) ]2 [ ab ]2 4 13 13 ( a b) 13 25 15 Nên ta có: P 2 4 a b a=b=1 ab Vậy giá trị nhỏ P = 15/4 Dấu đẳng thức xảy Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM: a b3 a 3b3 2(do ab=1) a+b (a+b) 2(a b )( Bunhiacopski ) P 2(2(a b) 3) 7 15 2(2.2 3) 2(a b ) 2.2 Suy Min P=15/4a=b=1 Câu 12: [Hà Tĩnh 2016_2017] Với số thực x, y thỏa mãn x x y y tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + y Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ –6, y ≥ –6 Từ điều kiện đề ta có x + y ≥ Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 x y x y ( x y)2 x y 12 ( x 6)( y 6) (*) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có ( x 6)( y 6) ( x 6) ( y 6) x y 12 ( x y ) x y 12 ( x 6)( y 6) 2( x y ) 24 ( x y ) 2( x y ) 24 4 x y Khi x = y = x + y = Ta có ( x 6)( y 6) nên từ (*) suy ( x y ) x y 12 ( x y 4)( x y 3) x y 4( Do x y 0) Khi x = 10, y = –6 x = –6, y = 10 x + y = Vậy GTLN P x = y = GTNN P x = 10, y = –6 x = –6, y = 10 Câu 13: [Chuyên DHSP Hà Nội 2016_2017] Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh 5a 5b 5c Hướng dẫn giải a(1 a) a a Vì a, b, c không âm có tổng nên a, b, c b(1 b) b b c(1 c) c c Suy 5a a 4a (a 2)2 a Tương tự 5b b 2; 5c c Do 5a 5b 5c (a b c) Câu 14: [Sở GD Sơn La 2016_2017] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 a b Hướng dẫn giải Cách 1: Với a, b ta có: (a - b) 0 a2 b2 2ab a b2 2ab a b2 2ab 4ab (a b)2 4ab (*) Vì a, b dương nên ab a+ b dương bất đẳng thức (*) trở thành: ab 1 4 mà a+b 2 P ab a b a b a b a b 4 P ab 2 Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 ( a b) Dấu “ = ” xảy a b 2 a b Vậy P= Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 0 (a + b)2 4ab => (*) giải tiếp ta co si 1 Cách 3: Với hai số a > 0, b > ta có P a b co si 2.2 4 ab a b 2 ab Dấu “ = ” xảy a b Vậy P= Cách 4: Ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương Chứng minh rằng: 1 (*) a b ab Thật áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a b, 1 ; ta được: a b a b ab (1) 1 2 (2) a b ab Do vế (1) (2) dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương chiều, tađược: 1 (a b)( ) a b Dấu đẳng thức xảy a=b Áp dụng (*) => P 1 4 a+b 2 2(3) ab ab 2 a b 2 P dấu "=" xẩy (1), (2) (3) đồng thời xẩy dấu "=" kết hợp với điều kiện ta có: a b 1 a b Vậy minP = Khi đó: a b a b 2 a=b= Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương Chứng minh rằng: 1 => bạn giải tiếp a b ab Cách 6: Cho hai số x, y dương a, b hai số ta có: ( a b) a b a b ( a b) hay (1) ( Bất đẳng thức Svac – xơ) x y x y x y x y Đẳng thức xảy a b x y Thật áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 10 TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 a 2 b 2 a b2 2 ( )( x y ) ( x ) ( y ) x y x y 2 a b a b (a b) (a b) ( )( x y ) (a b) hay x y x y x y Áp dụng (1) ta có: 12 12 (1 1)2 (1 1)2 hay P x y 2 x y x y 1 Dấu "=" xẩy khỉ hay a=b kết hợp với điều kiện ta có:Vậy minP = a b a=b= Câu 15: [Sở GD Vũng Tàu hệ chuyên 2016_2017] Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh rằng: a b c a bc b ca c ab 2 Hướng dẫn giải Từ điều kiện đề ta có ab bc ca 1 3 3 abc a b c Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: a bc a bc 2a bc a a bc 2a bc bc 1 11 1 a 11 1 b c b c a bc b c Tương tự ta có: Suy b 11 1 c 11 1 ; b ca c a c ab a b a b c 11 1 a bc b ca c ab a b c 2 Câu 16: [Sở GD Vĩnh Phúc 2015_2016] Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P ab bc ca c ab a bc b ca Hướng dẫn giải Có a + b + c = => c = (a + b + c).c = ac + bc + c2 => c + ab = ac + bc + c2 + ab = a(c + b) + c(b + c) = (c + a)(c + b) Áp dụng BĐT Cô-si với hai số dương x, y ta có: xy x y Dấu “=” xảy x = y Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 11 TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 1 1 ab ab 1 c a c b ( ) c ab (c a)(c b) c ab c a c b (1) Tương tự: a + bc = (a + b)(a + c) b + ca = (b + c)(b + a) => bc bc bc 1 ( ) c bc (a b)(a c) a b a c (2) ca ca ca 1 ( ) b ca (b c)(a b) b c b a (3) Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có: ab bc ca bc ca bc ab ca ab a b c 2 c ab a bc b ca 2(a b) 2(a c) 2(b c) 1 Từ giá trị lớn P đạt a = b = c = P Câu 17: [Sở GD Vĩnh Long 2015_2016] Biết phương trình bậc hai (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = (x ẩn số) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Hướng dẫn giải Theo đề: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = ⇔ x2 – ax – bx + ab + x2 – bx – cx + bc + x2 – cx – ax + ca = ⇔ 3x2 – 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = ' (a b c)2 3(ab bc ca) a b c 2ab 2bc 2ca 3ab abc 3ca a b c ab bc ca [(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ca a )] [(a b) (b c) (c a) ] 0a, b, c Vì phương trình có nghiệm kép nên: a b ' b c a b c c a b' a b c Nghiệm kép: x1 x2 abc a Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 12 ... y 3) x y 4( Do x y 0) Khi x = 10, y = –6 x = –6, y = 10 x + y = Vậy GTLN P x = y = GTNN P x = 10, y = –6 x = –6, y = 10 Câu 13: [Chuyên DHSP Hà Nội 2016_2017] Cho a, b, c... Ta có (2) ⇔ x = –1 (loại) Giải phương trình (3): Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có: x x 1 2x 1 x2 VT (3) x x (5 x x 8) 5 x 10 x 5( x 1)... Đình Cư Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế SĐT: 01234332133 Page TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017 Câu 9: [Yên Bái 2016_2017]: Cho số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1)