Câu 3. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đờng thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đờng tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) tại D cắt đờng thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. a) Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đờng tròn. b) Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. c) Gọi F là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C). Giải. c) Để c/m ã ABF có số đo không đổi ta chứng minh B, F, C thẳng hàng Cách 1: Để c/m B, F, C thẳng hàng ta c/m CF vuông góc với AC hay AC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Thật vậy: ã ã ACH ABC= (cùng phụ góc CHA) Mà ã ã ABC IDC= (góc nội tiếp chắn cung AC của đờng tròn (O)) Suy ra ã ã 1 2 ACH IDC sd ID= = ( của đờng tròn nggoại tiếp tam giác IDC) AC là tiếp tuyến của đờng tròn (F) AC CF mà AC CB C, F, B thẳng hàng. E I F C D O H B A Cách 2: Để chứng minh B, F, C thẳng hàng ta c/m ã ã ICF HCB= . Ta có ã ã ã ã ã 0 0 0 180 90 90 2 2 IFC IFC ICF ICF IDC = = = (Do ã 0 90IDC < ) Mặt khác ã ã 0 90HCB HBC= mà ã ã ã ã IDC HBC ICF HCB= = Suy ra C, F, B thẳng hàng. E I F C D O H B A C¸ch 3: Gäi P lµ trung ®iÓm cña IC, Q lµ trung ®iÓm cña CD. §Ó c/m C, F, B th¼ng hµng ta c/m · · ICF HCB= . E F Q P H O D C B A Ta có tứ giác CQFP nội tiếp · · CFP CQP⇒ = mà · · CQP CDA= (do PQ//AD) lại có · · CDA CBA= suy ra · · CFP CBA= Ta có · · · · 0 0 90 90 CFP PCF CBA HCB + = + = Suy ra · · PCF HCB= ⇒ C, F, B thẳng h ng. à C¸ch 4: Gäi K lµ giao ®iÓm cña ®t(F) vµ BC. §Ó c/m C, F, B th¼ng hµng ta c/m C, F, K th¼ng hµng hay · 0 90CIK = . Ta cã · · · · · · ,KID KCD KCD BAD KID BAD = = ⇒ = L¹i cã · · CID AIH= (® ®) · · · · 0 0 90 90AIH BAD KID CID+ = ⇒ + = hay · 0 90CIK = suy ra CK lµ ®êng kÝnh cña ®t(F) ⇒ C, F, K th¼ng hµng hay C, F, B th¼ng hµng. H O K I F C E D B A . F, C thẳng hàng C ch 1: Để c/ m B, F, C thẳng hàng ta c/ m CF vuông g c với AC hay AC là tiếp tuyến c a đờng tròn ngoại tiếp tam gi c ICD. Thật vậy: ã ã ACH ABC= (c ng phụ g c CHA) Mà ã ã ABC. E I F C D O H B A C ch 2: Để chứng minh B, F, C thẳng hàng ta c/ m ã ã ICF HCB= . Ta c ã ã ã ã ã 0 0 0 180 90 90 2 2 IFC IFC ICF ICF IDC = = = (Do ã 0 90IDC < ) Mặt kh c ã ã 0 90HCB HBC=. HCB= . E F Q P H O D C B A Ta c tứ gi c CQFP nội tiếp · · CFP CQP⇒ = mà · · CQP CDA= (do PQ//AD) lại c · · CDA CBA= suy ra · · CFP CBA= Ta c · · · · 0 0 90 90 CFP PCF CBA HCB + = + = Suy ra · · PCF