tổng hợp các dạng toán trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi (9)

Sau khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, do đờng khó đi nên ngời đó giảm vận tốc đi 2km/h trên quãng đờng còn lại, vì thế ngời đó đến B chậm hơn dự định 15 phút.. Chứng minh 3 đường thẳ

Ôn thi chuyển cấp

đề số 1Bài 1: (2đ)

Cho biểu thức:

1

1 2 : 1

1 4

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tìm x khi P = x

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 2: (2đ) Một ngời đự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20 km trong một thời gian

đã định Sau khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, do đờng khó đi nên ngời đó giảm vận

tốc đi 2km/h trên quãng đờng còn lại, vì thế ngời đó đến B chậm hơn dự định 15 phút

Tính vận tốc dự định của ngời đi xe đạp

x y mx

1 2

3 2

a) Giải hệ phơng trình với m = 3

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y = 1

Bài 4: (3đ) Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Điểm M tuỳ ý trên nửa đờng tròn

Gọi N và P lần lợt là điểm chính giữa của cung AM và cung MB AP cắt BN tại I

a) Tính số đo góc NIP

b) Gọi giao điểm của tia AN và tia BP là C; tia CI và AB là D

Chứng minh tứ giác DOPN nội tiếp đợc

c) Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn OC khi M di động trên nửa tròn tròn tâm O

Bài 5: (1,5đ) Cho hàm số y = -2x2 (P) và đờng thẳng y = 3x + 2m – 5 (d)

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm toạ độ hai điểm đó

b) Tìm quỹ tích chung điểm I của AB khi m thay đổi

Bài 1: (2đ)

a) (1,5đ)

- Thực hiện đợc biểu thức trong ngoặc bằng:

) 4 )(

1 (

) 1 ( 5

Ôn thi chuyển cấp

- Điều kiện đúng: x  0; x  1 b) (0,5đ)

- Viết P =

4

5 1

3) đối chiếu kết quả và trả lời đúng

Bài 3: (1,5đ) a) Thay m = 3 và giải hệ đúng:

b) (0,5đ)

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất đúng Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y = 1 và KL Bài 4: (3đ) Vẽ hình đúng

a) Tính đợc số đo góc NIP = 135 0

b) (1đ)

Vẽ hình và C/m đợc góc NDP = 90 0 Chứng minh đợc tứ giác DOPN nội tiếp đợc.

c) (1đ) + C/m phần thuận

Kẻ JE//AC, JF//BC và C/m đợc góc EJF = 45 0 Lập luận và kết luận điểm J:

+ C/m phần đảo 0,25đ

+ Kết luận quỹ tích Bài 5: (1,5đ) a) (1đ)

Tìm đợc điều kiện của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt:

Tìm đợc toạ độ 2 điểm A, B c) Tìm đợc quỹ tích trung điểm I:

4 3 2

m y

y y

x x x

B A I

B A I

1/ Khi m = 1 Vẽ đồ thi (P) và (d) trờn cựng một hệ trục toạ độ

2/ Tỡm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị và bằng phộp toỏn khi m = 1

3/ Tỡm cỏc giỏ trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A(x ; y ) A A và

¤n thi chuyÓn cÊp

Bài 3: (1,0 điểm

Rút gọn biểu thức P y x x x y y (x 0; y 0)

1 xy

1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB

2/ Gọi H là giao điểm của DB và CE Gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh

AH  BC

3/ Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm).Chứng

minh ANM= AKN

1 2 3 4

y



y2x

1

1

N M

O K

H

D E

C B

A

¤n thi chuyÓn cÊp

+Dựa vào đồ thị ta nhận thấy (d)

tiếp xúc với (P) tại điểm A( 1; 1)  

+PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

Vậy: Với m = -1 2/3 ;  thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x ; y ) A A và B(x ; y ) B B

 H là trực tâm của  ABC  AH là đường cao

thứ 3 của  ABC  AH  BC tại K

3/ Nối OA, OM, ON ; Ta có:

OM  AM, ON  AN (t/c tiếp tuyến);

¤n thi chuyÓn cÊp

AK

OK  (c/m trên)

 AMO=AKO=ANO=900

 5 điểm A,M,O,K,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO (quỹ tích cung chứa góc)

 K1=M1(=1/2 sđ cung AN) ; Mà N1=  M1 (=1/2 sđ cungMN của (O))  N1=

K1 hay AMN=AKN

4/ + ADH  AKC (g-g) AD AH AD.AC AH.AK (1)

Ôn thi chuyển cấp

a) x2 + 3x = 0

b) –x4 + 8x2 + 9 = 0

3) Chứng minh: 4  15  5  3 4  15  2

Bài 2 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Một bè nứa trôi tự do (trôi theo vận tốc dòng nớc) và một ca nô đồng thời rời bến A để

xuôi sông Ca nô xuôi dòng đợc 96 km thì quay ngay trở lại A Trên đờng quay về A khi còn

cách A là 24 km thì ca nô gặp chiếc bè nứa nói trên Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vân tốc

của dòng nớc là 2km/h

Bài 3

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P): y = - 3x2 Viết phơng trình đờng thẳng song song

với đờng thẳng y = -2x + 3 và cắt (P) tại điểm có tung độ y = -12

Bài 4:

Cho phương trỡnh x4  (m2  4 )m x2  7m 1 0  Định m để phương trỡnh cú 4 nghiệm phõn

biệt và tổng bỡnh phương tất cả cỏc nghiệm bằng 10

Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB =a Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax,

By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (O) (M khác A

và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn (O); nó cắt Ax, By lần lợt ở E và F

a) Chứng minh: Góc EOF bằng 900

b) Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng

c) Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh: MK vuông góc với AB

d) Khi MB = 3MA, tính diện tích tam giác KAB theo a

Ôn thi chuyển cấp

S P

 phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm x1, 2 =  X1 ; x3, 4 =  X2

Với m = 1, (I) được thỏa món

Với m = –5, (I) khụng thỏa món.

Vậy m = 1.

Bài 2 (2 đ)

0,50,250,50,50,25

Bài 3 (1 đ)

Đờng thẳng cần tìm song song với đờng thẳng y = -2x + 3 nên có phơng

-12 = - 3x2  x =±2

=> Trên (P) có 2 điểm mà tung độ bằng -12 là A(-2;-12); B(2; -12) 0,25

Đờng thẳng y = -2x + b đi qua A(-2; -12)  -12 = 4 + b  b = -16 0,25

Đờng thẳng y = -2x + b đi qua B(2; -12)  -12 = -4 + b <=> b = -8

Ôn thi chuyển cấp

 x =  1

Bài 5 (4điểm)

Có EA  AB => EA là tiếp tuyến với (O), mà EM là tiếp tuyến

b) (1đ)

có góc OAE = góc OME = 900=> Tứ giác OAEM nội tiếp 0,5

Có góc AMB = 900 (AB là đờng kính) => OEF và  MAB là tam giác

Ôn thi chuyển cấp

a) Hàm số đă cho là đồng biến hay nghịch biến trờn R? V́ sao?

b) Tớnh giỏ trị của y khi x = 1  3

Cõu 3 (3 điểm)

Cho phương trỡnh bậc hai:

x2 – 4x + m + 1 = 0

a) Tỡm điều kiện của tham số m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt

b) Giải phương trỡnh khi m = 0

Cõu 4 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 90 km, đi ngợc chiều

và gặp nhau sau 1,2 giờ (xe thứ nhất khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc

của mỗi xe Biết rằng thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đờng AB ít hơn thời gian để xe thứ

hai đi hết quãng đờng AB là 1 giờ

Cõu 5

Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phõn biệt Đường thẳng OA cắt

(O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ

hai E, F

1 Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I

2 Chứng minh tứ giỏc BEIF nội tiếp được trong một đường trũn

3 Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ẻ (O), Q ẻ (O’)) Chứng minh đường

thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ

Cõu 6

Cho một tam giỏc cú số đo ba cạnh là x, y, z nguyờn thỏa măn:

2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0

Chứng minh tam giỏc đă cho là tam giỏc đều

GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MễN TOÁN CHUNG

TRƯỜNG THPT CHUYấN Lấ QUí ĐễN BèNH ĐỊNH

¤n thi chuyÓn cÊp

C

D E

F I

P

Q H

¤n thi chuyÓn cÊp

AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy

2

ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O)

Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)

 EBA = AFD hay EBI = EFI

 Tứ giác BEIF nội tiếp

3

Gọi H là giao điểm của AB và PQ

Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng

Nêu z = 1 thì  = - 3 – 8 + 32 = 21: không chính phương, suy ra phương trình (2)

không có nghiệm nguyên

Ôn thi chuyển cấp

đề số 5

Câu 1 ( 2 điểm )

a)Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :

2 3 2

1 2

2 2

xy y x

xy y x

Câu2 : ( 2 điểm )

Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3

3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 ( 2 điểm )

Cho phơng trình bậc hai : x2  3x 5 0  và gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2

Không giải phơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau :

Câu 5 : ( 2 điểm ) ( 3.5 điểm )

Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B Đờng tròn đờng kính

BD cắt BC tại E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G

Chứng minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn

c) AC song song với FG

Ôn thi chuyển cấp

2 1

x x

x A

a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)?

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt?

c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm

Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài 4

Một ca nô đi xuôi dòng 48 km rồi đi ngợc dòng 22 km Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lớn

hơn thời gian đi ngợc dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngợc là 5 km/h Tính

vận tốc ca nô lúc đi ngợc dòng

Bài 5

Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn

thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) tại N Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt

tiếp tuyến tại N của đờng tròn ở P Chứng minh :

1 Tứ giác OMNP nội tiếp

2 CM CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

3 Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào

Bài 6: ( 1 điểm) a) Cho cỏc số thực dương x; y Chứng minh rằng:xy yx x y

2 2

đặt ẩn phụ x y( y 0 ) ta có phương trình -y(y-1)= - 2

- y2 + y + 2 = 0 giải phương trình này có 2 nghiệm y1= -1 ( Loại ) và y2 = 2

Câu a: Khi m =1 thì PT đường thẳng d là y = 2x – 1

Toạ độ của giao điểm của (d) và (P) phải là nghiệm của hệ phương trình

Ôn thi chuyển cấp

(d) và (P) cát nhau tại 2 điểm phân biệt

m m mx y x y

có 2 nghiệm 0,25đ

0 1

Khi đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm

Vậy x1; x2 là nghiệm của PT x2  2mxm2  m10 0,25đ

A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2)

Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức trên … 0,25đ

tính đợc nếu m = 1,5 thì A đạt giá trị nhỏ nhất 0,25đ

Bài 4: 3 điểm

1 Ta có OMP = 900 ( vì PM  AB ); ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến )

Nh vậy M và N cùng nhìn OP dới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đờng tròn

đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp

Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (nội tiếp

chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => OMC NDC

=> CM CO

CD CN => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R

2 không đổi =>

CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc

) )(

b a

1

2 1

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a =

3 2

2

 c) Tìm giá trị lớn nhất của D

Câu 2: Cho phơng trình

3 2

2

 x 2 - mx +

3 2 2

 m 2 + 4m - 1 = 0 (1)

Ôn thi chuyển cấp

a) Giải phơng trình (1) với m = -1

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn 1 2

2 1

1 1

x x x

x   

Câu 3: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, xí nghiệp I v ợt mức

kế hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm đợc 404 dụng cụ.

Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động trên một nửa đờng tròn sao cho

.

B

N

A

N   Vễ vào trong đờng tròn hình vuông ANMP.

a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q.

b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp.

c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1

Hãy tính giá trị của:

B =

x

xyz y

zx z

ab b

2

2

3 2 2

10 1

2 8

2 3 4

0 1

4 2

1

2 1 2

m m

m m

0 0

) 1 )(

( 1

1

2 1

2 1 2

1 2 1 2 1 2

x x x

x x x x

19 4

1 2

1

2 1

F

I

Q P

N

M

B A

Ôn thi chuyển cấp

Câu 4: a) N ˆ1 Nˆ2Gọi Q = NP (O)

QA QB

   Suy ra Q cố định

b) Aˆ1 Mˆ1( Aˆ2)

 Tứ giác ABMI nội tiếp

c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định.

Tam giác ABF có: AQ = QB = QF

 ABF vuông tại A  Bˆ  45 0  A FˆB 45 0

Lại có Pˆ1 450  AFBPˆ1  Tứ giác APQF nội tiếp

 A PˆF A QˆF  90 0

180 90

90 ˆ

1 1 1

z y

xyz xyz



đề số 8

Bài 1: (2,0 điểm)

Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau:

Một tam giỏc vuụng cú hai cạnh gúc vuụng hơn kộm nhau 8m Nếu tăng một cạnh

gúc vuụng của tam giỏc lờn 2 lần và giảm cạnh gúc vuụng cũn lại xuống 3 lần thỡ được một

tam giỏc vuụng mới cú diện tớch là 51m2 Tớnh độ dài hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc

vuụng ban đầu .

Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ Sau 2 giờ làm chung thì tổ

II đợc điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ

làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

¤n thi chuyÓn cÊp

Bài 4: (3,5 điểm)

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đường tròn

Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

1)Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

2)Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA

và OE.OA=R2

3)Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C) Tiếp

tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q Chứng

minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

4)Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại



  b) x2 – x - 1000 1  8000x  1000

¤n thi chuyÓn cÊp

x - 2

    ; Giải PT được : x 1  9 (tm ®k) ; x 2  17 (lo ¹i)

Vậy: độ dài cạnh góc vuông bé là 9m ; độ dài cạnh góc vuông lớn là 17m

¤n thi chuyÓn cÊp

một góc không đổi bằng 900

HBCD

  nội tiếp trong đường tròn

đường kính DC (quỹ tích cung chứa góc)

+AD = BD ( ADBcân) ; AD = BC (c/m trên)  AD BD BC  

+ Gọi I AC   BD ; Xét  ADB vuông tại D , đường cao DH ; Ta có:

BD 2  AD 2  AH.AI CK.AI  (hệ thức tam giác vuông) (1)



Ôn thi chuyển cấp

a/ Tỡm hai số u và v biết: u+v = 1; uv = -42 và u >v

b)Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.

Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 100km với vận tốc xác định Khi từ B về A ngời

đó đi theo con đờng khác dài hơn 20km nhng vận tốc lớn hơn lúc đi là 5km/h Tìm vận tốc lúc

đi Biết thời gian về nhiều hơn thời gian đi 10 phút và vận tốc xe máy không quá 60lm/h

Câu IV: (3,0đ) Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay

đổi không trùng với AB Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD

lần lợt tại E và F

1 Chứng minh rằng BE.BF = 4R2

2 Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn

3 Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh rằng tâm I luôn nằm

trên một đờng thẳng cố định

Gợi ý Đáp án Câu I:

d

H

I F

E

D

C

B A

Ôn thi chuyển cấp

Theo Viét ta có:

1 2

1 2

3 2 2

m

x x m

b Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc BAE)

Mà góc BAD = góc ADC ( Tam giác AOD cân)

=> Góc CEF = góc ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn.

c Gọi trung điểm của EF là H.

=> IH // AB (*)

Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác

vuông AEF, góc A = 90 0 ) => góc HAC = góc HEA (1)

Nên I cách đờng thẳng cố định EF một khoảng không đổi = R =>

I thuộc đờng thẳng d // EF và cách EF một khoảng =R.

* Chú ý: Trờng hợp CD  AB thì I thuộc AB và vẫn cách d một khoảng = R.