Tổng hợp các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán của Hà Nội từ năm 2009 đến 2015

Tiếp tuyến tại K của ñường tròn O, R cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q.. 4 ðường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các ñường thẳng AB, AC theo thứ tự tại... Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

− − + với x≥0;x≠41) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25

3) Tìm giá trị của x ñể 1

3

A = −

Bài 2 ( 2,5 ñiểm )

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may ñược 1310 chiếc áo Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may ñược nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo Hỏi mỗi tổ trong một ngày may ñược bao nhiêu

chiếc áo?

Bài 3 ( 1 ñiểm )

Cho phương trình (ẩn x): x2−2(m+1)x+m2+2 0=

1) Giải phương trình ñã cho khi m =1

2) Tìm giá trị của m ñể phương trình ñã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn hệ thức: 2 2

1 2 10

x +x =

Bài 4 ( 3,5 ñiểm )

Cho ñường tròn (O, R) và ñiểm A nằm bên ngoài ñường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

ñường tròn (B, C là các tiếp ñiểm)

1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

2) Gọi E là giao ñiểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và

2

OE OA=R

3) Trên cung nhỏ BC
của ñường tròn (O, R) lấy ñiểm K bất kì (K khác B, C) Tiếp tuyến tại K của ñường tròn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q Chứng minh tam giác

APQ có chu vi không ñổi khi K chuyển ñộng trên cung nhỏ BC

4) ðường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các ñường thẳng AB, AC theo thứ tự tại

Gợi ý làm bài thi môn Toán

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 Hà Nội năm học 2009-2010

Bài I/ (2,5 điểm)

Cho biểu thức A =

2

12

2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25

2(

2)

2)(

2(

22

x x x

x

x x

x

=

2)

2)(

2(

)2(

x

x x

25

 = 35

1

  3 x  x 2

2

4 x 2

Bài II/ (2,5 điểm)

Giải bài toán sau đây bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

Giải:

Gọi số áo tổ 2 may được trong 1 ngày là x (x N*)

số áo tổ 1 may được trong 1 ngày là x +10

3 ngày tổ 1 may được 3(x+10)

5 ngày tổ 2 may được 5x

Theo đề bài hai tổ may được 1310 chiếc, ta có:

Vậy 1 ngày tổ 2 may được 160 chiếc áo

1 ngày tổ 1 may được 160+10 = 170 chiếc áo

Bài III/ (1,0 điểm)

Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0

1/ Giải phương trình đã cho khi m = 1

2/ Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức x12 +

lo¹i5-m

Bài IV/ (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm)

1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2

3/ Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự các điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

4/ Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm

M, N Chứng minh PM + QN  MN

Giải:

Q P

N

M

E B

C

K

1/ Xét ABOC có ABO = 1V (tính chất tiếp tuyến)

ACO = 1V (tính chất tiếp tuyến)

 ABO + ACO = 1V + 1V = 2V

là hai góc đối diện  ABOC nội tiếp

2/ AB = AC (t/c 2 tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm)  ABC cân

mà AO là phân giác của BAC (t/c 2 tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm)  AO là đường cao của ABC hay AOBC

Xét ABO vuông ở B có BE là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông  OB2 = OE.OA, mà OB = R  R2 = OE.OA

3/ PK = PB (t/c 2 tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm)

KQ = QC (t/c 2 tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm)

MN MN

= 4

 3 + x2 + 2x + 1)

 2

4

14

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

2) Tìm giá trị của x ñể A 1

3

= 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Bài II (2,5 ñiểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một mảnh ñất hình chữ nhật có ñộ dài ñường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh ñất ñó

Bài III (1,0 ñiểm)

Cho parabol (P) : y = − x2 và ñường thẳng (d) : y = mx − 1

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì ñường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai ñiểm phân biệt

2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành ñộ các giao ñiểm của ñường thẳng (d) và parabol (P) Tìm giá trị của m ñể : 2 2

E, tia AC cắt tia BE tại ñiểm F

1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp

−

=

−

33

x

=+2) A = 1

3

33

x

=+ ⇔ x + =3 9 ⇔ x =6 ⇔ x = 36

Bài II: (2,5 ñiểm)

Gọi x (m) là chiều rộng của hình chữ nhật (x > 0)

⇒ chiều dài của hình chữ nhật là x + 7 (m)

Vì ñường chéo là 13 (m) nên ta có : 132 =x2+(x+7)2 ⇔ 2x2+14x+49 169 0− =

Bài III: (1,0 ñiểm)

1) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P) và (d) là:

-x2 = mx – 1 ⇔ x2 + mx – 1 = 0 (2), phương trình (2) có a.c = -1 < 0 với mọi m

⇒ (2) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m ⇒ (d) luôn cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt

2) x1, x2 là nghiệm của (2) nên ta có :

Bài IV: (3,5 ñiểm)

1) Tứ giác FCDE có 2 góc ñối
FED 90= o =FCD

nên chúng nội tiếp

2) Hai tam giác vuông ñồng dạng ACD và DEB vì

hai góc
CAD CBE=
cùng chắn cung CE, nên ta

có tỉ số : DC DE DC.DB DA.DE

3) Gọi I là tâm vòng tròn ngoại tiếp với tứ giác

FCDE, ta có
CFD CEA=
(cùng chắn cung CD)

Mặt khác
CEA CBA=
(cùng chắn cung AC)

và vì tam OCB cân tại O, nên
CFD OCB=

Ta có :
ICD IDC HDB=
=

OCD OBD= và

HDB OBD 90+ = 0

⇒

OCD DCI 90+ = 0 nên IC là tiếp tuyến với ñường tròn tâm O

Tương tự IE là tiếp tuyến với ñường tròn tâm O

4) Ta có 2 tam giác vuông ñồng dạng ICO và FEA vì có 2 góc nhọn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một ñội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy ñịnh Do mỗi ngày ñội ñó chở vượt mức 5 tấn nên ñội ñã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy ñịnh 1 ngày và chở thêm ñược 10 tấn Hỏi theo kế hoạch ñội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

Bài III (1,0 ñiểm)

Cho parabol (P) : y = x2 và ñường thẳng (d) : y = 2x – m2 + 9

1) Tìm tọa ñộ các giao ñiểm của parabol (P) và ñường thẳng (d) khi m = 1

2) Tìm m ñể ñường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai ñiểm nằm về hai phía của trục tung

Bài IV (3,5 ñiểm)

Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB = 2R Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của ñường tròn (O) tại hai ñiểm A và B Gọi I là trung ñiểm của OA và E là ñiểm thuộc ñường tròn (O) (E không trùng với A và B) ðường thẳng d ñi qua ñiểm E và vuông góc với EI cắt hai ñường thẳng d1, d2 lần lượt tại M, N

1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh
ENI EBI=
và
MIN = 900

3) Chứng minh AM.BN = AI.BI

4) Gọi F là ñiểm chính giữa của cung AB không chứa E của ñường tròn (O) Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba ñiểm E, I, F thẳng hàng

BÀI GIẢI ðỀ THI MÔN TOÁN – TS LỚP 10 HN – 2011

x x

−+ < 1

Cách 2: Gọi a (tấn) (a ≥ 0): số tấn hàng mỗi ngày,

b (ngày) (b ∈ N*) : số ngày Theo ñề bài ta có : . 140

Vậy tọa ñộ giao ñiểm của (P) và (d) khi m = 2 là : (-2; 4) và (4; 16)

2) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P) và (d) là: x2 = 2x – m2 + 9

⇔ x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1)

Ycbt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ a.c = m2 – 9 < 0

⇔ m2 < 9 ⇔ m  < 3 ⇔ -3 < m < 3

Bà i IV: (3,5 ñiểm)

1) Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là góc A, và góc E (ñối nhau)

nên chúng nội tiếp trong ñường tròn ñường kính MI

2) Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp ñường tròn ñường

kính IN Vậy góc ENI = góc EBI (vì cùng chắn cung EI)

Tương tự góc EMI = góc EAI (vì cùng chắn cung EI)

Mà góc EAI + góc EBI = 900 (∆EAD vuông tại E)

⇒ góc MIN = 1800 – (góc EMI + góc ENI)

= 1800 – 900 = 900 3) Xét 2 tam giác vuông MAI và IBN

Từ (1) và (2) ⇒ AM + BN = 2R và AM.BN =

23R4Vậy AM, BN là nghiệm của phương trình X2 – 2RX +

23R

Cách khác góc AEF = 450 ( chắn cung AF ) mà góc AMI = góc AEI

suy ra góc AMI = 450 suy ra tam giác AMI cân tại A Tương tự tam giác BNI cân tại B

khi x = 1

2 ta có M = 2011 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Ngày thi: 21 tháng 6 năm 2012

Thời gian làm bài:120 phút

Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai người cùng làm chung một công việc trong 12

5 giờ thì xong Nếu mỗi người làmmột mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏinếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài III (1,5 điểm)

2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x) Tìm m để phương trình

có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn điều kiện : 2 2

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ACM ACK 

3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM làtam giác vuông cân tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm

P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB R

MA  Chứng minh đường thẳng

PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức: M x2 y2

xy





……….Hết………

Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

GỢI Ý – ĐÁP ÁN Bài I: (2,5 điểm)

Bài II: (2,0 điểm)

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK

12

5

x

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được1

x(cv), người thứ hai làm được 1

2

x (cv)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong 12

5 giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được1:12

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ,

người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ.

Bài III: (1,5 điểm) 1)Giải hệ:

Bài IV: (3,5 điểm)

1) Ta có HCB900( do chắn nửa đường tròn đk AB)

 900

HKB (do K là hình chiếu của H trên AB)

=> HCB HKB  1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB 2) Ta có  ACM ABM (do cùng chắn AM của (O))

và   ACK HCK HBK  (vì cùng chắn .của đtròn đk HB)

Vậy  ACM ACK

3) Vì OC  AB nên C là điểm chính giữa của cung AB  AC = BC

và sd AC sd BC 900

C M

H

E

Xét 2 tam giác MAC và EBC có

MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và MAC = MBC vì cùng chắn cung MC của (O)

 MAC và EBC (cgc)  CM = CE  tam giác MCE cân tại C (1)

Ta lại có CMB450(vì chắn cung CB 900)

CEM CMB  450(tính chất tam giác MCE cân tại C)

Mà CME CEM MCE    1800(Tính chất tổng ba góc trong tam giác) MCE900 (2)

Từ (1), (2)  tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm).

4) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK Xét  PAM và  OBM :

Theo giả thiết ta có AP MB. R AP OB

Vì AMB900(do chắn nửa đtròn(O))AMS900

 tam giác AMS vuông tại M  PAM PSM  900

và  PMA PMS 900

 

PMS PSM PS PM (4)

Mà PM = PA(cmt) nên PAM PMA 

Từ (3) và (4)  PA = PS hay P là trung điểm của AS.

Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có:

2, đạt được khi x = 2y

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT

Bài II:(2, 0 điểm)Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người đi xe máy từ A đến B Khi đến B,người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h.Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Bài III:(2, 0 điểm)

a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2

sao cho x x1 2  2

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).

1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2) Chứng minh AN2= AB.AC.

Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.

3) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC.

4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài II: (2,0 ñiểm)

ðặt x (km/h) là vận tốc ñi từ A ñến B, vậy vận tốc ñi từ B ñến A là x+9 (km/h)

31 180 0

⇔ − − = ⇔ x=36 (vì x > 0)

Bài III: (2,0 ñiểm)

1) Hệ phương trình tương ñương với:

1 2 2 1 2 4

1 2 1 2(x x ) 4x x 4

AMO=90 nên là tứ giác nội tiếp

2/ Hai tam giác ABM và AMC ñồng dạng

MN trong ñường tròn (O)), và
AIN=AON

(do 3 ñiểm N, I, M cùng nằm trên ñường tròn ñường kính AO và cùng chắn cung 900) Vậy
AIN =MTI
=TIC
nên MT // AC do có hai góc so le bằng nhau

4/ Xét ∆AKOcó AI vuông góc với KO Hạ OQ vuông góc với AK Gọi H là giao ñiểm của OQ và AI thì H là trực tâm của ∆AKO, nên KMH vuông góc với AO Vì MHN vuông góc với AO nên ñường thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với

AO Vậy K nằm trên ñường thẳng cố ñịnh MN khi BC di chuyển

Cách giải khác:

Ta có KB2 = KC2 = KI.KO Nên K nằm trên trục ñẳng phương của 2 ñường tròn tâm O

và ñường tròn ñường kính AO Vậy K nằm trên ñường thẳng MN là trục ñẳng phương của 2 ñường tròn trên

Bài IV: (0,5 ñiểm)

Từ giả thiết ñã cho ta có 1 1 1 1 1 1

6

ab bc ca a b c

+ + + + + = Theo bất ñẳng thức Cauchy ta có:

O

B

C

N

M

I

T

K

Q

P H

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

1) Tính giá trị biểu thức : 1

1

x A x

Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

51

11

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x2

a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)

b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB

Bài IV (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P

1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF

4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất

Bài V (0,5 điểm)

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 2abc 2bca 2cab.

-Hết -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh Số báo danh:

Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)

ĐỀ CHÍNH THỨC