Đường conic và mặt bậc hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Hương Dịu CONIC VÀ MẶT BẬC HAI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM THỊ HƯƠNG DỊU Đường conic mặt bậc hai Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Các đường conic dạng toàn phương aphin 1.1 1.2 Mặt bậc hai conic aphin (tổng quát) 1.1.1 Định nghĩa mặt bậc hai aphin 1.1.2 Giao mặt bậc hai đường thẳng 1.1.3 Tiếp tuyến mặt bậc hai 1.1.4 Tiếp tuyến đường conic 1.1.5 Mặt bậc hai có tâm Phân loại tính chất đường conic aphin 11 1.2.1 Phân loại Ơ-clit đường conic aphin 11 1.2.2 Một số thuật ngữ 16 1.2.3 Phân loại aphin 16 1.2.4 Định nghĩa tiêu điểm - đường chuẩn 17 1.2.5 Tiêu điểm conic có tâm 19 1.2.6 Đường phân giác tiếp tuyến 21 Mặt bậc hai conic xạ ảnh 2.1 28 Mặt bậc hai xạ ảnh conic xạ ảnh 28 2.1.1 Định nghĩa mặt bậc hai xạ ảnh 28 2.1.2 Aphin với xạ ảnh 29 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 phạm thị hương dịu 2.1.3 Giao đường thẳng mặt bậc hai 30 2.1.4 Không gian tiếp xúc 31 2.1.5 Đối ngẫu đối cực 33 2.1.6 Phân loại xạ ảnh 36 2.1.7 Chùm mặt bậc hai 38 2.1.8 Giao hai đường conic 40 Tỉ số kép bốn điểm đường conic định lí Passcal 42 Mặt bậc hai aphin conic Ơ-clit theo hình học xạ ảnh 47 3.1 Mặt bậc hai aphin theo hình học xạ ảnh 47 3.2 Các đường conic Ơ-clit theo hình học xạ ảnh 54 3.2.1 Tiếp tuyến qua điểm vòng 59 Đường tròn, phép nghịch đảo, chùm đường tròn 62 3.3.1 Không gian đường tròn 62 3.3.2 Mặt bậc hai 63 3.3.3 Đường tròn tâm đường tròn 64 3.3.4 Phép nghịch đảo 66 3.3.5 Đường tròn trực giao 67 3.3.6 Chùm đường tròn 68 3.3.7 Nghịch đảo chùm 69 3.3.8 Nhóm vòng tròn 69 Phụ lục: Tóm tắt dạng toàn phương 70 3.4.1 Vi phân 71 3.4.2 Phép toán sở 71 3.4.3 Dạng không suy biến 72 3.3 3.4 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu 3.4.4 Tính trực giao 72 3.4.5 Phân loại 73 3.4.6 Phương pháp Gauss 77 3.4.7 Sự trực giao hóa đồng thời 79 3.4.8 Định lí Witt 81 KẾT LUẬN 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 86 iii Chương Các đường conic dạng toàn phương aphin 1.1 Mặt bậc hai conic aphin (tổng quát) 1.1.1 Định nghĩa mặt bậc hai aphin Trong mục này, vấn đề đặt là: nên trình bày định nghĩa mặt bậc hai tập hợp điểm thỏa mãn phương trình hay phương trình Giả sử xét không gian E Ta muốn định nghĩa mặt bậc hai aphin tập điểm thỏa mãn phương trình bậc hai C = {M ∈ E | f (M ) = 0} f đa thức bậc hai, điều có nghĩa tồn điểm O, dạng toàn phương q khác O, dạng tuyến tính LO số cO cho −−→ −−→ f (M ) = q(OM ) + LO (OM ) + cO Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Chú ý biểu diễn không phụ thuộc vào điểm O Ta chọn điểm O (khác O) −−→ −−→ −−→ −−→ f (M ) = q(OO + O M ) + LO (OO + O M ) + cO −−→ −−→ = q(O M ) + LO (O M ) + cO , −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ LO (O M ) = 2ϕ(OO , O M ) + LO (O M ) cO = q(OO ) + −−→ LO (OO )+cO Tính toán chứng tỏ phần bậc hai đa thức, cụ thể dạng q không phụ thuộc vào điểm O Dạng tuyến tính số không phụ thuộc vào O Chú ý 1.1.1 Ta vừa định nghĩa khái niệm đa thức bậc hai mà không sử dụng đơn thức! Nếu thay chọn gốc tọa độ ta chọn toàn mục tiêu aphin đa thức f viết tọa độ (x1 , ,xn ) f (x1 , , xn ) = M ai,j xi xj + −−→ q(OM ) bi xi +c −−→ L(OM ) Tôi đoán người đọc đồng ý với cách gọi đa thức bậc hai Định nghĩa không hoàn toàn thỏa đáng xét phương diện phân loại chùm bậc hai Ví dụ, mặt phẳng aphin thực cho mục tiêu aphin, cho phương trình: • x2 + y + = • x2 + = Rõ ràng chúng xác định tập hợp điểm (tập rỗng) Tuy nhiên, không hợp lý coi chúng tương đương nhau: xét chúng Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu mặt phẳng phức, phương trình mô tả đường conic phương trình thứ hai mô tả hai đường thẳng song song Đó lí nên xét đa thức f thay xét điểm mà xác định Tất nhiên hai phương trình tỉ lệ với nhau: f λf (λ = 0) nên coi tương đương Định nghĩa 1.1.1 Các lớp tương đương đa thức bậc hai f : E −→ K quan hệ " f ∼ g g tích vô hướng f " gọi mặt bậc hai aphin Một mặt bậc hai phẳng gọi đường conic Tập hợp điểm E thỏa mãn phương trình f (M ) = ảnh mặt bậc hai Chú ý 1.1.2 Tôi khẳng định: Đa thức f có bậc Điều có nghĩa phần bậc hai q f giả thiết khác Cho mặt phẳng aphin với mục tiêu aphin, ta muốn tìm khác phương trình xy = (mô tả hai đường thẳng cắt nhau) x2 = (mô tả đường thẳng hay gọi hai đường thẳng trùng nhau) x2 + y − = x2 − y = (mô tả đường conic thật sự) Điều dẫn tới yêu cầu dạng toàn phương q cho phương trình f không suy biến, điều trường hợp f = xy không trường hợp f = x2 − y Giải pháp sử dụng biến phụ Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian aphin E, mặt bậc hai xác định đa thức −−→ −−→ f (M ) = q(OM ) + L(OM ) + c Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu gọi mặt bậc hai thật dạng toàn phương Q(u, v) = q(u) + L(u)z + cz xác định E × K không suy biến Dạng toàn phương gọi dạng f Chú ý 1.1.3 Việc thay đổi điểm O thay Q(u, z) −−→ Q (u, z) = Q(u + z OO , z) Do đó, ta có Q = Q ◦ ϕ với ϕ phép đẳng cấu từ E × K vào xác định −−→ ϕ(u, z) = (u + z OO , z) Vậy dạng không suy biến Q tương đương với dạng không suy biến Q (xem Chú ý 3.4.1) Khái niệm mặt bậc hai thật định nghĩa tốt Ví dụ 1.1.1 Ta trở lại ví dụ đề cập trước Cho f = xy có dạng Q = xy; với f = x2 , dạng Q = x2 hai dạng toàn phương suy biến ba biến (x, y, z); với f = x2 + y − ta tìm Q = x2 + y − z với f = x2 − y ta có Q = x2 − yz, hai không suy biến 1.1.2 Giao mặt bậc hai đường thẳng Vì phương trình mặt bậc hai có bậc nên để tìm giao điểm ảnh mặt bậc hai với đường thẳng ta giải phương trình bậc Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu (Hình 1.1) Hình 1.1: Xét đường thẳng D qua A định hướng vectơ u Như ta biết, phương trình mặt bậc hai C viết (điểm A cố định): −−→ −−→ q(AM ) + LA (AM ) + cA = −−→ điểm M ∈ D AM = λu với vô hướng λ Do đó, giao điểm C D điểm M nằm đường thẳng xác định nghiệm phương trình ẩn λ λ2 q(u) + λLA (u) + cA = Đường thẳng nằm mặt bậc hai q(u) = LA (u) = cA = Chúng cắt điểm q(u) = LA (u) = Khi q(u) = 0, đường thẳng D cắt C: Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Chú ý rằng, A không ma trận tự đồng cấu Chứng minh tốt điều cách biến đổi phép đổi sở: (e1 , , e2 ) sở khác S ma trận (e1 , , en ) sở (e1 , , en ) với x = Sx , y = Sy xt Ay = (Sx )t A(Sy ) = (x )t (S t AS)y có dạng (x )t A y với ma trận biến đổi A = S t AS 3.4.3 Dạng không suy biến Dạng song tuyến tính ϕ xác định ánh xạ tuyến tính ϕ: ϕ : E −→ E ∗ x −→ (y −→ ϕ(x, y)) Nhớ lại ϕ (hoặc q) không suy biến ϕ đơn ánh Không gian vectơ E có hữu hạn chiều tương đương với ϕ đẳng cấu Viết kí hiệu toán học, ϕ không suy biến tương đương với (∀y ∈ E, 3.4.4 ϕ(x, y) = 0) =⇒ x = Tính trực giao Hai vectơ x y gọi trực giao ϕ(x, y) = Một sở gồm vectơ trực giao với gọi sở trực giao Nếu F không gian E sở trực giao F 72 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu F ⊥ không gian F ⊥ = {x ∈ E | ϕ(x, y) = ∀y ∈ F } gồm vectơ E trực giao với vectơ F Nếu ϕ không suy biến F ⊥ ánh xạ, ϕ, từ F ◦ F F ◦ = {f ∈ E ∗ | f |F = 0} Với giả thuyết ϕ không suy biến ta có dimF + dimF ⊥ = dimE (sử dụng sở F , bổ sung thành sở E sở đối ngẫu E ∗ ) Chú ý F F ⊥ giao Ví dụ, để khẳng định x đẳng hướng khẳng định x ⊂ x⊥ 3.4.5 Phân loại Mệnh đề 3.4.1 Cho dạng toàn phương q, tồn sở trực giao Chứng minh Nếu q = tồn sở Mặt khác, gọi x vectơ khác không cho q(x) = Dạng tuyến tính ϕ ∈ E ∗ khác không ϕ(x)(x) = q(x) = Nhân siêu phẳng E kí hiệu x⊥ (đây trực giao x) Do E tổng trực tiếp trực giao (với q) x⊥ đường thẳng sinh x 73 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Do đó, phép quy nạp kết luận số chiều E, kết rõ ràng với số chiều Hệ 3.4.1 Tồn số nguyên R, vô hướng λi (tất khác 0) sở E mà sở ta có R λi x2i q(x) = i=1 (trong (x1 , , xn ) tọa độ vectơ x) Hơn nữa, K = C tồn sở mà ta có R x2i q(x) = i=1 Nếu K = R tồn sở mà ta có s R x2i q(x) = i=1 x2i − i=s+1 Chứng minh Ta viết q sở trực giao Trong trường hợp phức, ta thay xi µi xi (với µi bậc hai λi ) để thu công thức cần tìm Trong trường hợp thực, ta sử dụng cách tương tự, bậc hai λi không âm bậc hai số đối chúng số không dương Số nguyên R xuất phát biểu gọi hạng dạng toàn phương q Đây hạng ánh xạ tuyến tính ϕ : E −→ E ∗ Hai dạng toàn phương q E q E tương đương tồn phép đẳng cấu tuyến tính f : E −→ E cho q ◦ f = q 74 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Chú ý 3.4.1 Gọi q q hai dạng toàn phương tương đương Khi q không suy biến q không suy biến Thật vậy, chúng tương đương phép đẳng cấu f dạng cực chúng liên hợp với phép đẳng cấu f Khi đó, ta ý đến đẳng thức ánh xạ ft ◦ ϕ ◦ f = ϕ từ E vào E ∗ : ta có f t ◦ ϕ ◦ f (x) = f t ◦ ϕ (f (x)) ϕ (f (x)) dạng tuyến tính E mà ánh xạ y đến ϕ (f (x), y) cho f t ◦ ϕ ◦ f (x) dạng tuyến tính E mà ánh xạ y đến ϕ (f (x), f (y)) theo định nghĩa ϕ(x, y) Khi đó, ta có đẳng thức cần chứng minh Vì f phép đẳng cấu nên ϕ phép đẳng cấu ϕ phép đẳng cấu Nếu ta muốn kết xác hơn, ta phải rõ trường mà ta xét Ta tập trung vào R C Trường hợp Fq dễ dàng chứng minh Hệ 3.4.2 Hai dạng toàn phương phức tương đương chúng xác định không gian có số chiều chúng có hạng Hệ 3.4.3 (Luật quán tính Sylvester) Hai dạng toàn phương tương đương chúng xác định hai 75 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu không gian có số chiều viết s s+r x2i q(x) = i=1 s x2i , − q (y) = i=s+1 s +r yi2 i=1 yi2 − i=s +1 với r = r , s = s Chú ý 3.4.2 Đặc biệt, cặp có thứ tự (s, r) phụ thuộc vào dạng toàn phương q không phụ thuộc vào sở mà viết Nó gọi kí số dạng toàn phương Hạng dạng toàn phương R = s + r Chứng minh Nếu r = r , s = s hai dạng toàn phương tương đương Ngược lại, để chứng minh kí số dạng toàn phương tương đương đủ để mô tả đặc điểm chúng cách hình học Cho   σ = sup{dim F | F không gian E q |F xác định dương}  σ = sup{dim F | F không gian E q |F xác định âm} cho (e1 , , en ) sở mà dạng toàn phương q viết s s+r x2i q(x) = x2i − i=1 i=s+1 Cho A không gian mở rộng (e1 , , es ) Dạng q xác định dương A ta có σ s ρ r Cho B không gian mở rộng (es+1 , , er , , en ) cho F không gian cho q |F xác định dương Khi đó, giao 76 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu F ∩ B Do ta có dim F + dim B Nói cách khác, σ + n − s n tức σ n s Khi đó, ta có σ = s Đẳng thức ρ = r chứng minh tương tự 3.4.6 Phương pháp Gauss Đây chứng minh có tính xây dựng tồn sở trực giao Ta chứng minh kết phương pháp quy nạp không gian E có số chiều n Giả sử hệ với dạng toàn phương (nhiều nhất) n − biến, ta xét dạng toàn phương q n biến Trong sở ai,j xi yj q(x) = i,j Khi đó, tồn số hạng đường chéo khác không số hạng khác không – Nếu có số hạng đường chéo khác 0, giả sử a1,1 = λ1 = ta viết q(x) = λ1 x21 + 2A(x2 , , xn )x1 + B(x1 , xn ) = λ1 x1 + A λ1 + B− A2 , λ1 A dạng tuyến tính, B dạng toàn phương Điều có 77 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu nghĩa là, ta có q(x) = λ1 x1 + C(x2 , , xn ) x1 dạng tuyến tính x1 , , xn độc lập với x2 , , xn C dạng toàn phương n − biến x2 , , xn – Nếu ai,i = với ∀i, q = nên tồn hệ số ai,j = Giả sử λ = a1,2 = Như ta có q(x) = λx1 x2 + Ax1 + Bx2 + C A, B dạng tuyến tính C dạng toàn phương n − biến x3 , , xn Phân tích thành nhân tử: A AB +C − λ λ A+B A−B x1 + x2 + − x1 − x2 − λ λ q(x) = λ x1 + = λ B λ x2 + +C − AB λ Cái mà ta thu khác bình phương hai dạng AB tuyến tính độc lập x1 , , xn mà dạng toàn phương (C − ) λ biến x1 x2 không xuất bổ sung Theo phương pháp quy nạp theo n ta có kết luận Chú ý 3.4.3 Đây cách bạn dùng bạn cần viết dạng toàn phương cho trước tổ hợp tuyến tính bình phương dạng tuyến tính độc lập 78 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4.7 phạm thị hương dịu Sự trực giao hóa đồng thời Ta giả sử K = R E không gian vectơ Ơ-clit Điều có nghĩa là, ta có dạng toàn phương xác định dương q Ta nghiên cứu khả chéo hóa dạng khác q sở trực chuẩn Nói cách khác, ta tìm sở mà dạng q q viết tổng bình phương Kết hữu ích, ví dụ kết nói trục đường conic có tâm trực giao với (Mệnh đề 1.2.1) Định lý 3.4.1 Nếu q dạng toàn phương xác định dương q dạng toàn phương tồn sở trực chuẩn q trực giao q Chứng minh Để chứng minh định lí này, sử dụng phương pháp quy nạp không gian vectơ n chiều Định lí với không gian vectơ có số chiều Giả sử định lí với không gian vectơ có số chiều n − Bây ta chứng minh định lí với không gian vectơ có số chiều n Thật vậy, dạng q xác định dương, q xác định tích vô hướng Kí hiệu q = ϕ(x, y) = x · y Ta tìm vectơ đơn vị e1 E cho x trực giao với e1 q (nghĩa e1 · x = 0), chúng trực giao với q (nghĩa ϕ (e1 , x) = 0) Khi phân tích E tổng trực tiếp trực giao (đối với q) E = e1 ⊕ e1 79 ⊥ Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Sử dụng tính chất thỏa mãn e1 , trực giao e1 q chứa siêu phẳng e1 ⊥ Do đó, tương đương với không gian E tương đương với trực giao e1 Trong trường hợp bất kì, u vectơ e1 ⊥ ta có q (xe1 + u) = λx2 + q (u) với λ (có thể 0) ta sử dụng giả thiết quy nạp e⊥ Do ta chứng minh tồn vectơ e1 Vì e1 có độ dài nên ta xét mặt cầu đơn vị S không gian Ơ-clit Xác định hàm số f : E\{0} −→ R f (x) = q (x) x Mặt cầu S compact (không gian vectơ E hữu hạn chiều) ánh xạ f |S ánh xạ liên tục, dẫn đến giá trị f đạt giá trị lớn e1 thuộc S Vì ta có f (λx) = f (x) với ∀x, nên vectơ e1 cho ta giá trị lớn f E\{0} Bây giờ, f ánh xạ khả vi xác định tập mở E\{0} không gian vectơ định chuẩn E Nếu f đạt cực trị điểm e1 vi phân phải triệt tiêu e1 Do đó, ta có = dfe1 (x) = e1 2ϕ (e1 , x) e1 = 2ϕ (e1 , x) − 2q (e1 )(e1 · x) 80 − 2q (e1 )(e1 · x) với ∀x ∈ E Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Do với x thuộc E, từ trực giao x e1 (cụ thể e1 ·x = 0) suy ϕ (e1 , x) = Chú ý 3.4.4 Hàm số f đạt giá trị lớn e1 ta có f (e1 ) = q (e1 ) Chứng minh trước xây dựng phương pháp quy nạp sở trực chuẩn (e1 , , en ) trực giao q vectơ điểm tới hạn f Trong sở này, q viết n q (ei )x2i q (x) = i=1 3.4.8 Định lí Witt Kết khác dạng toàn phương hữu ích định lí Witt Định lí khẳng định: q không suy biến q |F , q |F (F F hai không gian con) tương đương qua phép đẳng cấu F −→ F phép đẳng cấu thác triển lên toàn không gian Định lý 3.4.2 (Witt) Cho q dạng toàn phương không suy biến không gian vectơ E Cho F, F hai không gian E f : E −→ E ánh xạ tuyến tính cho q ◦ f (x) = q(x) với ∀x ∈ F (f phép đẳng cự từ q |F lên q |F ) Khi tồn phép đẳng cấu tuyến tính f : E −→ E thác triển f cho q ◦ f = q (f phép đẳng cự q) Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh định lí trường hợp q|F không suy biến Chứng minh phép quy nạp F có số chiều r 81 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Nếu r = 1, F mở rộng vectơ x cho q(x) = Đặt y = f (x); ta có q(y) = q(f (x)) = q(x), thỏa mãn q(x + y) + q(x − y) = 4q(x) = Do đó, có hai vectơ x + εy (với ε = ±1) không đẳng hướng H = (x + y)⊥q siêu phẳng chứa x − εy Nếu sH phép phản xạ H sH (x + εy) = −(x + εy), sH (x − εy) = x − εy Do −εsH thác triển f Giả sử định lí với không gian có số chiều r xét không gian F có số chiều r + (sao cho q |F không suy biến) Gọi x1 vectơ khác không F F1 trực giao x1 F Đây không gian r chiều E, q |F1 không suy biến, để ta sử dụng giả thiết quy nạp tìm thác triển f1 f |F1 tới E Chú ý f1−1 ◦ f |F1 = IdF1 Để thác triển f điều kiện đủ cần thác triển f1−1 ◦ f , cho ta giả sử f |F1 = IdF1 Xét x ∈ F1⊥ Sử dụng r = giả thiết quy nạp x1 ⊂ F1⊥ suy phép đẳng cự f2 ◦ f q |F1⊥ ánh xạ IdF1 ⊕ f2 thác triển cần tìm IdF1 Ta có điều cần chứng minh trường hợp q |F không suy biến Bây giờ, ta giả sử trường hợp ngược lại gọi K0 nhân q |F F0 không gian bù F = K ⊕ F0 82 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu Gọi x1 , , xs sở K0 Ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 3.4.1 Tồn vectơ y1 , , ys ∈ E cho mặt phẳng Pi = xi , yi , phép thu hẹp q có ma trận   1   Các không gian F0 , P1 , , Ps đôi trực giao với tổng trực tiếp E Bỏ qua việc chứng minh bổ đề, ta kết thúc việc chứng minh định lí Witt: Đặt xi = f (xi ) ∈ F Vì f phép đẳng cự q |F nên không gian x1 , , xs nhân q |F Sử dụng bổ đề F , ta vectơ y1 , , ys ta thác triển f tới P1 ⊕ ⊕ Ps ⊕ F0 cách công nhận F (yi ) = yi Bây giờ, ta có phép đẳng cự phép thu hẹp q f : F = P1 ⊕ ⊕ Ps ⊕ F0 −→ F = P1 ⊕ ⊕ Ps ⊕ F0 bây giờ, q |F không suy biến cách xây dựng, ta sử dụng trường hợp Chứng minh (Chứng minh bổ đề) Ta xây dựng vectơ y1 , , ys phép quy nạp Ta bắt đầu với y1 Với x1 vectơ khác không thuộc K0 Chú ý dạng toàn phương q thu hẹp tới F0 ⊥ không suy biến, để tồn vectơ y thuộc F0 ⊥ cho ϕ(x1 , y) = a = 0, q(y) tồn vectơ y cho ϕ(x1 , y ) = y1 = y − x1 có 83 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu tính chất cần tìm Cho P1 = x1 , y1 , ta xét F1 = P1 ⊕ x2 , , xs ⊕ F0 Đây tổng trực tiếp trực giao, nhân q |F1 x2 , , xs phép quy nạp ta có điều cần chứng minh 84 Khóa luận tốt nghiệp Đại học phạm thị hương dịu KẾT LUẬN Khóa luận "Đường conic mặt bậc hai" đạt kết sau: Chương trình bày "Các đường conic dạng toàn phương aphin" gồm nội dung chính: – Mặt bậc hai conic aphin (tổng quát) – Phân loại tính chất đường conic aphin Chương trình bày "Mặt bậc hai conic xạ ảnh" gồm nội dung chính: – Mặt bậc hai xạ ảnh conic xạ ảnh – Tỉ số kép bốn điểm đường conic định lí Passcal Chương trình bày "Mặt bậc hai aphin conic Ơ-clit theo hình học xạ ảnh" gồm nội dung chính: – Mặt bậc hai aphin theo hình học xạ ảnh – Các đường conic Ơ-clit theo hình học xạ ảnh – Đường tròn, phép nghịch đảo, chùm đường tròn – Phụ lục: Tóm tắt dạng toàn phương Đề tài nghiên cứu sâu thời gian kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế, mong bạn sinh viên tiếp tục quan tâm nghiên cứu sau 85 Tài liệu tham khảo [1] Michele Audin, Geometry and Groups, Cambridge University, 2002 [2] I Ed Leonard–J E Lewis–F Liu–G.W.Tokarsky, Classical Geometry, John Wiley Sons, 2014 [3] Văn Như Cương–Tạ Bân, Hình học aphin hình học Ơ-clit, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 1998 [4] Nguyễn Duy Bình–Phạm Ngọc Bội–Trương Đức Hinh–Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học Afin hình học Ơclit, NXBGD, 1999 [5] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 1999 [6] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD, 1997 [7] Nguyễn Mộng Hy, Hình học sơ cấp, NXBGD, 2002 86 ... nghĩa 1.1.3 Điểm Ω thỏa mãn LΩ = gọi tâm mặt bậc hai Khi mặt bậc hai có tâm mặt bậc hai gọi mặt bậc hai có tâm Định lý 1.1.1 Mặt bậc hai aphin mặt bậc hai có tâm dạng toàn phương không suy biến... đường conic dạng toàn phương aphin 1.1 1.2 Mặt bậc hai conic aphin (tổng quát) 1.1.1 Định nghĩa mặt bậc hai aphin 1.1.2 Giao mặt bậc hai đường thẳng 1.1.3 Tiếp tuyến mặt. .. đương đa thức bậc hai f : E −→ K quan hệ " f ∼ g g tích vô hướng f " gọi mặt bậc hai aphin Một mặt bậc hai phẳng gọi đường conic Tập hợp điểm E thỏa mãn phương trình f (M ) = ảnh mặt bậc hai Chú ý