Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

Tài liệu gồm 21 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn giải bài toán xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng, được phát triển dựa trên câu 17 đề thi tham khảo THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Góc hai đường thẳng Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác   Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vectơ phương hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức  u.v   cos   cos u, v    u.v   2) Góc đường thẳng mặt phẳng: a a' P Muốn xác định góc đường thẳng a  P  ta tìm hình chiếu vng góc a a  P   a, a ' Khi đó,  a,  P      3) Góc hai mặt phẳng: Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b vng góc với hai mặt phẳng      Khi đó, góc         ,     a , b Tính góc a ,b       Phương pháp 2: β b φ c a α  Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng       Dựng hai đường thẳng a , b nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến c điểm c Khi đó:    ,     a ,b     Trang 162 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ    vng góc với giao tuyến c mà        a ,   ,       a ,b        b Suy   4) Sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian: Chọn hệ trục thích hợp cụ thể hóa tọa độ điểm   a) Giả sử đường thẳng a b có vectơ phương a, b  a b a, b       a, b  Khi đó: cos a.b  b) Giả sử đường thẳng a có vectơ phương a  a n Khi đó: sin  a,  P        a,  P   a.n P  có vectơ pháp tuyến n   c) Giả sử mặt phẳng      có vectơ pháp tuyến a, b  a b   Khi đó: cos   ,            ,     a.b BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định hình chiếu SC mặt phẳng  ABCD  B2: Tính góc SC hình chiếu Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Trang 163 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A D B C Ta có: SA   ABCD  nên AC hình chiếu SC mặt phẳng  ABC    Do đó:  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA Xét hình vng ABCD ta có: AC  a  Xét SAC vng A , ta có: tan SCA SA a   30 o    SCA AC a Bài tập tương tự phát triển: Câu 17.1: Cho hình thoi ABCD cạnh a điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi cho SA  a vng góc với  ABC  Tính góc SD BC A 60 B 90 C 45 D 30 Lời giải Chọn C S A B D C   450 SD, BC    SD, AD   ADS Ta có: AD / / BC   Câu 17.2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với BC  2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  3a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SD BC nằm khoảng nào? Trang 164 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  20;30  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 B  30; 40  C  40;50 D  50;60  Lời giải Chọn D  ( Do SAD vuông A nên SDA   90o ) Ta có: BC / / AD   SD, BC    SD, AD   SDA  Xét SAD vng A , ta có: tan SDA SA 3a   arctan  56o    SDA AD 2a 2 Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có AC  BD  a Gọi M , N trung điểm BC , AD Biết MN  a Tính góc AC BD A 450 B 30 C 600 D 900 Lời giải Chọn C A I N a a a 2a B 2a D M C Gọi I trung điểm AB Ta có IM  IN  a Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:  cos MIN IM  IN  MN a  a  3a   1200     MIN 2.IM IN 2.a.a Trang 165 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 AC , BD    IM , IN   1800  1200  600 Vì IM / / AC , IN / / BD   Câu 17.4: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM A B C D Lời giải Chọn B      AC CM  CB AC.BM    cos  AC , BM   cos AC , BM     a AC BM a      AC.CM  AC.CB    a2  a2 a2 a a2   a cos1200  a.a.cos1200    24  2 a a a 2 Câu 17.5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , BC  a Các cạnh bên hình chóp a Khi đó, góc hai đường thẳng AB SC bằng: A 45 B 30 C 60 D 90 Lời giải Chọn A S A D M B C   Ta có: AB //CD nên  AB , SC  CD , SC  SCD     Gọi M trung điểm CD Tam giác SCM vuông M có SC  a , CM  a nên   45 Vậy  tam giác vuông cân M nên SCD AB , SC  45   Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , I trung điểm BC , AD AC Cho AB  2a , CD  a MN  a Tính góc    AB, CD  A 135 B 60  C 90 D 45 Lời giải Trang 166 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn D A N 2a I a a D B 2a M C   IN / / CD; IN  CD  a Theo tính chất đường trung bình tam giác:   IM / / AB; IM  AB  a      AB, CD    IM , IN  Áp dụng định lý cosin ta có: cos   IM  IN  MN 2       450 2.IM IN 2 Câu 17.7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SC BD nằm khoảng nào? A  30; 40  B  40;50  C  50; 60  D  60;70  Lời giải Chọn D Trang 167 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Gọi O  AC  BD M trung điểm SA BD  Xét hình chữ nhật ABCD , ta có: OB  OA  AB  AD a  3a 2 a    a 2 Xét MAB vng A , ta có: MB  AB  MA2  a  a  a Xét MAO vuông A , ta có: MO   Xét MBO , ta có: cos MOB AO  MA2  a  a  a OB  OM  BM a  2a  2a   69o    MOB 2.OB.OM 2.a.a 2   69o ( Do MOB   90o ) SC , BD    MO, BD   MOB Ta có: SC / / MO   Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ     Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a; 0;0  , C a; a 3;0 , D 0; a 3; S  0;0; 2a    Ta có: SC  a; a 3; 2a  SC có vectơ phương u  1; 3; 2   BD   a; a     3;  BD có vectơ phương v  1; 3;     u.v SC , BD         SC , BD   69o Suy ra: cos  2.2 2 u.v Câu 17.8: Cho hình chóp S ABC có ABC SBC tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Góc đường thẳng SA  ABC  A 45 B 75 C 60 D 30 Trang 168 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A C H B Theo giả thiết ta có  ABC    SBC  Trong mặt phẳng  SBC  kẻ SH  BC  SH   ABC  nên AH hình chiếu SA  SA,  ABC     SA, AH   SAH  ABC  Do đó,  Giả sử AB  a Ta có: SBC ABC tam giác nên H trung điểm BC AH  SH   Xét tam giác vuông SHA ta có tan SAH a SH   45   SAH AH  Vậy  SA,  ABC    45 Câu 17.9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAB  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Trang 169 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  BC  SA Ta có:   BC   SAB  nên SB hình chiếu SC mặt phẳng  SAB   BC  AB   Do đó:  SC ,  SAB     SC , SB   BSC Xét SAB vuông A , ta có: SB  SA2  AB   Xét SBC vng B , ta có: tan BSC a   a  a BC a   30o    BSC SB a 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ   Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;  , C  a; a;0  S 0; 0; a  Ta có:  SAB  : y   vectơ pháp tuyến  SAB  j   0;1;0    SC  a; a; a  SC có vectơ phương u  1;1;       j.u  Suy ra: sin  SC ,  SAB         SC ,  SAB    30 o j u Câu 17.10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng  SAB  bằng: Trang 170 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 30 B 45 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Ta có: AD   SAB  nên SA hình chiếu SD mặt phẳng  SAB   Do đó:  SD,  SAB     SD, SA    ASD Xét SAD vng A , ta có: tan  ASD  AD a    ASD  30o SA a 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ   Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;  , D  0; a;  S 0; 0; a  Ta có:  SAB  : y   vectơ pháp tuyến  SAB  j   0;1;0    SD  0; a; a  SD có vectơ phương u  0;1;       j.u Suy ra: sin  SD,  SAB         SD,  SAB    30 o j u Trang 171 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 17.11:Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC cạnh a Tính góc SB  ABC  A 30o B 60 C 45 D 90 Lời giải Chọn C S C A B Ta có SA   ABC   AB hình chiếu SB mặt phẳng ASB   SD, AD   450  ABC      Câu 17.12:Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC cạnh a Gọi  góc SC mặt phẳng  SAB  Khi đó, tan  A B C D Lời giải Chọn A S a a A C a I B CI  AB Gọi I trung điểm AB Ta có:   CI   SAB  CI  SA Trang 172 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   SI hình chiếu SC mặt phẳng  SAB    SC ,  SAB     SC , SI   CSI   CI   tan   tan CSI SI CI SA  AI a  a a2    2  Câu 17.13:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với  ABCD  cà SA  a Tính sin góc tạo AC mặt phẳng  SBC  A B C D Lời giải Chọn D Kẻ AH  SB  BC  AH  AH   SBC    AC , HC   ACH  AH hình chiếu AC lên mặt phẳng  SBC    AC ,  SBC     Tam giác SAB vuông  AH  SA AB a 6.a a   SB a 7 AH ACH   Vì AHC vng H  sin  AC Câu 17.14:Cho hình chóp S ABCD có cạnh đá a , cạnh bên 2a (minh họa hình vẽ) Góc cạnh bên mặt đáy bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Trang 173 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn C Ta có: góc cạnh bên mặt đáy góc SD  ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD   OD hình chiếu SD  ABCD   Do đó:  SD,  ABCD     SD, OD   SDO Xét hình vng ABCD ta có: OD  BD AB a 2    a 2  Xét SOD vng O , ta có: cos SDO OD a   60o    SDO SD 2a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có: AC  BD  AB  2a SO  SD  OD  a  a  a   Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O  0; 0;  , C  a;0;  , D  0; a;  S 0;0; a  Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1   SD  0; a; a  SD có vectơ phương u  0;1;       k u    SD,  ABCD    60o Suy ra: sin  SD,  ABCD       k u Trang 174 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 17.15:Cho hình chóp S ABCD 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 có đáy ABCD hình thang vng A B với AD  AB  2BC  2a; SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng  SAC  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn A Gọi M trung điểm AD Ta có: ACM DCM vuông cân M   45o  45o  90o  CD  AC mà CD  SA nên CD   SAC   ACD   ACM  DCM  SC hình chiếu SD mặt phẳng  SAC   SD,  SAC     SD, SC   CSD Do đó:  Xét ACD vng cân C , ta có: AC  CD  a Xét SAC vng A , ta có: SC  SA2  AC  4a  2a  a  Xét SCD vuông C , ta có: tan CSD CD a   30o    CSD SC a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;  , D  0; a;  S  0; 0; 2a  Trang 175 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Ta có: SD   0; 2a; 2a   SD có vectơ phương u   0;1; 1    AS   0;0; 2a   2     AS , AC    2 a ; a ;  AC   a; a;      SAC  có vectơ pháp tuyến n   1;1;0   u n   Suy ra: sin  SD,  SAC         SD,  SAC    30o u.n Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a SA  SB  SC  SD  a Khi đó, cosin góc hai mặt phẳng  SAB   SAD  A B 3 C D  Lời giải Chọn B S I A D B C Gọi I trung điểm SA  BI  SA  Do tam giác SAD SAB nên    SAB  ,  SAD   BI , DI DI  SA      Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2     a   a  a  2 2 IB  ID  BD      cos BID  IB.ID 3 a a 2    Vậy cos  SAB  ,  SAD     Câu 17.17:Cho tam giác ABC vuông cân A có AB  a , đường thẳng d vng góc với  ABC  điểm A ta lấy điểm D cho DBC Khi đó, góc hai mặt phẳng  ABC   DBC  nằm khoảng nào? Trang 176 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  40o ;50o  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 B  50o ; 60o  C  60o ;70o  D  70 o ;80o  Lời giải Chọn B D a A C a a M B Gọi M trung điểm BC  BC  DM  BC   DMA  Ta có:   BC  DA  ABD    DBC   BC   DMA  BC  Mặt khác:    AM , DM   DMA  ABC  ,  DBC      DMA   ABC   AM  DMA  DBC  DM     Ta có: AM  BC AB a BC a   , DM   2 2 Xét ADM vng A , ta có: cos  AMD  AM 3   AMD  arccos  54 o DM 3 Cách khác: Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   DBC  Theo công thức diện tích hình chiếu đa giác Ta có: S ABC  S DBC cos  Mà: S DBC  1 a2 DB.DC sin 60  a 2.a  2 2 Mặt khác: S ABC   cos   1 AB AC  a 2 S ABC 3     arccos  54 o S DBC 3 Trang 177 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 17.18:Cho hình chóp S ABCD có cạnh 2a , cạnh bên a (minh họa hình vẽ) Góc mặt bên mặt đáy bằng: A 30 C 60 B 45 D 90 Lời giải Chọn B Ta có: góc mặt bên mặt đáy góc  SCD   ABCD  Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD   Gọi M trung điểm CD Ta có: CD  SM  CD   SOM  CD  OM CD   SOM   SCD    ABCD   CD  Do đó:    SM , OM   SMO  SCD  ,  ABCD     SOM    SCD   SM    SOM    ABCD   OM Xét hình vng ABCD ta có: OM  a OD  BD AB 2a    a 2 2 Xét SOD vuông O , ta có: SO  SD  OD   Xét SOM vng O , ta có: tan SMO a   a   a SO a   45o    SMO OM a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Gọi O  AC  BD Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có: AC  BD  AB  2a SO  SD  OD  3a  2a  a Trang 178 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020     Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O  0; 0;  , C a 2; 0; , D 0; a 2;0 S  0; 0; a   Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1 z   x  y  2z  a  a a a    SCD  có vectơ pháp tuyến n  1;1;  SCD  : x  y     k n    Suy ra: cos   SCD  ,  ABCD        SCD  ,  ABCD    45o k.n Câu 17.19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn C  Gọi O  AC  BD Ta có: BD  SA  BD   SAC  BD  AC Trang 179 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  BD   SAC   SBD    ABCD   BD    Do đó:     SBD  ,  ABCD     SO, AC   SOA SAC    SBD   SO    SAC    ABCD   AC Xét hình vng ABCD ta có: OA  AC AB a 2    a 2 SA a   60o    SOA OA a  Xét SAO vuông A , ta có: tan SOA Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ       Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B a 2; 0; , D 0; a 2; S 0; 0; a  Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1  SBD  : x a  y a  z a   3x  y  z  a     SBD  có vectơ pháp tuyến n    3; 3;  k.n   Suy ra: cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD    60 o k.n Câu 17.20:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  2a , AD  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  bằng: Trang 180 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 30 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 C 60 B 45 D 90 Lời giải Chọn B  Vẽ AM  BD M Ta có: BD  SA  BD   SAM  BD  AM  BD   SAM   SBD    ABCD   BD  Do đó:    SM , AM   SMA  SBD  ,  ABCD     SAM  SBD  SM       SAM    ABCD   AM Xét ABD vuông A , ta có: 1 1       AM  a 2 AM AB AD 4a 4a a  Xét SAM vng A , ta có: tan SMA SA a   45o    SMA AM a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ  2a  Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a; 0;  , D  0; ;  S  0;0; a     Ta có:  ABCD  : z    ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0; 0;1 x y z     x  y  z  2a  a 2a a    SBD  có vectơ pháp tuyến n  1; 3;  SBD  :   Trang 181 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  k n Suy ra: cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD    45o k n Trang 182 ... góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt. .. 17.9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAB  bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn... 17.10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng  SAB  bằng: Trang 170 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU