Dạng toàn phương và ứng dụng để nhận dạng đường và mặt bậc hai

Chu . o . ng 6 Da . ng to`an phu . o . ng v`a´u . ng du . ng d ˆe ’ nhˆa . nda . ng du . `o . ng v`a m˘a . tbˆa . c hai 6.1 Da . ng to`an phu . o . ng Dath´u . cd ˘a ’ ng cˆa ´ pbˆa . c hai cu ’ a c´ac biˆe ´ n x 1 ,x 2 , .,x n du . o . . cgo . i l`a da . ng to`an phu . o . ng cu ’ a n biˆe ´ nd ´o : ϕ(x 1 , .,x n )= n  i=1 n  j=1 a ij x i x j = n  i,j=1 a ij x i x j . (6.1) D ´ol`aph´ep tu . o . ng ´u . ng d ˘a . ttu . o . ng ´u . ng mˆo ˜ i vecto . x =(x 1 ,x 2 , .,x n ) ∈ R n v´o . isˆo ´ ϕ(x 1 , .,x n ). Nˆe ´ ud ˘a . t X =       x 1 x 2 . . . x n       ,A=       a 11 a 12 . a 1n a 21 a 22 . a nn . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . a nn       6.1. Da . ng to`an phu . o . ng 237 th`ı thu du . o . . c ϕ(x 1 ,x 2 , .,x n )=X T AX. (6.2) D - i . nh l´y. Nˆe ´ u C l`a ma trˆa . ncu ’ aph´epbd tt thu . . chiˆe . ntrˆen c´ac biˆe ´ n cu ’ ada . ng to`an phu . o . ng (6.1) v´o . i ma trˆa . n A th`ı da . ng to`an phu . o . ng m´o . i thu d u . o . . c c´o ma trˆa . nl`aC T AC. Da . ng to`an phu . o . ng da . ng α 1 x 2 1 + α 2 x 2 2 + ···+ α n x 2 n (6.3) khˆong ch´u . a c´ac sˆo ´ ha . ng v´o . i t´ıch cu ’ a c´ac biˆe ´ n kh´ac nhau (v`a do d ´on´o c´o ma trˆa . nd u . `o . ng ch´eo) d u . o . . cgo . il`ada . ng to`an phu . o . ng ch´eo hay da . ng ch´ınh t˘a ´ c. Tiˆe ´ p theo ta tr`ınh b`ay nˆo . i dung cu ’ a c´ac phu . o . ng ph´ap d u . ada . ng to`an phu . o . ng vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. 6.1.1 Phu . o . ng ph´ap Lagrange D - i . nh l´y Lagrange. B˘a ` ng ph´ep biˆe ´ ndˆo ’ i tuyˆe ´ nt´ınh khˆong suy biˆe ´ n d ˆo ´ iv´o . i c´ac biˆe ´ n x 1 , .,x n mo . ida . ng to`an phu . o . ng d ˆe ` udu . ad u . o . . cvˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. Tinh thˆa ` nco . ba ’ ncu ’ aphu . o . ng ph´ap Lagrange l`a nhu . sau. 1 + ´ It nhˆa ´ tmˆo . t trong c´ac hˆe . sˆo ´ a ii kh´ac khˆong. Khˆong gia ’ mtˆo ’ ng qu´at, c´o thˆe ’ cho r˘a ` ng a 11 =0(nˆe ´ u khˆong th`ı d ´anh sˆo ´ la . i). Khi d´ob˘a ` ng ph´ep tr´ıch mˆo . tb`ınh phu . o . ng d u ’ t`u . cu . mtˆa ´ t ca ’ c´ac sˆo ´ ha . ng ch´u . a x 1 ta c´o ϕ(·)=αy 2 1 + ϕ 2 (x 2 ,x 3 , .,x n ) y 1 = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + ···+ λ n x n trong d´o λ 1 ,λ 2 , .,λ n l`a c´ac h˘a ` ng sˆo ´ , ϕ 2 (x 2 , .,x n ) l`a da . ng to`an phu . o . ng chı ’ c`on n − 1biˆe ´ n (khˆong c`on x 1 ). Dˆo ´ iv´o . i ϕ 2 (x 2 , .,x n )ta la . i thu . . chiˆe . n thuˆa . t to´an nhu . v`u . a tr`ınh b`ay, . 238 Chu . o . ng 6. Da . ng to`an phu . o . ng v`a ´u . ng du . ng 2 + Tru . `o . ng ho . . p a ii =0∀ i = 1,n nh˜u . ng a ij =0(i = j)du . o . . cd u . a vˆe ` tru . `o . ng ho . . p trˆen b˘a ` ng ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i tuyˆe ´ n t´ınh khˆong suy biˆe ´ n x j = y j + y i x k = y k ,k= j V´ı d u . 1. D u . ada . ng to`an phu . o . ng ϕ(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. Gia ’ i. Nh´om c´ac sˆo ´ ha . ng c´o ch´u . a x 1 th`anh mˆo . tcu . m v`a tr´ıch t`u . cu . md ´omˆo . tb`ınh phu . o . ng d u ’ ta c´o ϕ(·)=(x 2 1 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 )+x 2 2 + x 2 3 +4x 2 x 3 =(x 1 + x 2 +2x 3 ) 2 − (2x 2 +2x 3 ) 2 + x 2 2 + x 2 3 +4x 2 x 3 =(x 1 +2x 2 +2x 3 ) 2 − 3x 2 2 − 3x 2 3 − 4x 2 x 3 . Nh´om c´ac sˆo ´ ha . ng c´o ch´u . a x 2 rˆo ` i tr´ıch b`ınh phu . o . ng ta c´o ϕ(·)=(x 1 +2x 2 +2x 3 ) 2 − 3(x 2 + 2 3 x 3 ) 2 − 5 3 x 2 3 . D`ung ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i tuyˆe ´ n t´ınh khˆong suy biˆe ´ n y 1 = x 1 +2x 2 +2x 3 y 2 = x 2 + 2 3 x 3 y 3 = x 3        ⇒ x 1 = y 1 − 2y 2 − 2 3 y 3 x 2 = y 2 − 2 3 y 3 x 3 = y 3 ta thu du . o . . c ϕ(·)=y 2 1 − 3y 2 2 − 5 3 y 2 3 .  V´ı d u . 2. D u . ada . ng to`an phu . o . ng ϕ(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 x 2 +2x 1 x 3 +4x 2 x 3 6.1. Da . ng to`an phu . o . ng 239 vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. Gia ’ i. V`ı a 11 = a 22 = a 33 =0nˆen dˆa ` u tiˆen thu . . chiˆe . n ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i so . bˆo . khˆong suy biˆe ´ nthud u . o . . csˆo ´ ha . ng c´o b`ınh phu . o . ng: x 1 = y 1 x 2 = y 1 + y 2 x 3 = y 3      (6.4) v`a thu d u . o . . c ϕ(·)=y 1 (y 1 + y 2 )+2y 1 y 3 +4(y 1 + y 2 )y 3 = y 2 1 + y 1 y 2 +6y 1 y 3 +4y 2 y 3 . Xuˆa ´ t ph´at t`u . da . ng to`an phu . o . ng m´o . ithud u . o . . c, tu . o . ng tu . . nhu . trong v´ıdu . 1 ta c´o ϕ(·)=  y 1 + 1 2 y 2 +3y 3  2 −  1 2 y 2 +3y 3  2 +4y 2 y 3 =  y 1 + 1 2 y 2 +3y 3  2 − 1 4 y 2 + y 2 y 3 − 9y 3 . Thu . . chiˆe . n ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i khˆong suy biˆe ´ n z 1 = y 1 + 1 2 y 2 +3y 3 , z 2 = y 2 , z 3 = y 3 v´o . i ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i ngu . o . . c y 1 = z 1 − 1 2 z 2 − 3z 3 , y 2 = z 2 , y 3 = z 3        (6.5) ta thu d u . o . . c ϕ(·)=z 2 1 − 1 4 z 2 2 + z 2 z 3 − 9z 2 3 . 240 Chu . o . ng 6. Da . ng to`an phu . o . ng v`a ´u . ng du . ng Nh´om c´ac sˆo ´ ha . ng c´o ch´u . a z 2 ta c´o ϕ(·)=z 2 1 − 1 4 (z 2 − 2z 3 ) 2 − 8z 2 3 . Thu . . chiˆe . n ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i khˆong suy biˆe ´ n u 1 = z 1 , u 2 = z 2 − 2z 3 , u 3 = z 3      ⇒ z 1 = u 1 , z 2 = u 2 +2u 3 , z 3 = u 3      (6.6) Sau ba ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i liˆen tiˆe ´ p (6.4)-(6.6) da . ng d˜a cho c´o da . ng du . `o . ng ch´eo ϕ(·)=u 2 1 − 1 4 u 2 2 − 8u 2 3 . D ˆe ’ t`ım ma trˆa . ncu ’ a ph´ep biˆe ´ ndˆo ’ iho . . p ta cˆa ` n nhˆan c´ac ma trˆa . ncu ’ a (6.4), (6.5) v`a (6.6). Ta c´o    100 110 001        1 − 1 2 −3 01 0 00 1        100 012 001    =      1 − 1 2 −4 1 1 2 −2 00 1      = C. Do ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i khˆong suy biˆe ´ ndu . ada . ng ϕ vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ cl`a x 1 = u 1 − 1 2 u 2 − 4u 3 , x 2 = u 1 + 1 2 u 2 − 2u 3 , x 3 = u 3 .          D ˆe ’ kiˆe ’ m tra ta t´ınh t´ıch C T AC.Tac´o C T AC =     110 − 1 2 1 2 0 −4 −21          0 1 2 1 1 2 02 120           1 − 1 2 −4 1 1 2 −2 00 1      =     10 0 0 − 1 4 0 00−8     D ´o l`a ma trˆa . ncu ’ ada . ng ch´ınh t˘a ´ cthudu . o . . c.  6.1. Da . ng to`an phu . o . ng 241 6.1.2 Phu . o . ng ph´ap Jacobi Phu . o . ng ph´ap n`ay chı ’ ´ap du . ng d u . o . . c khi mo . id i . nh th´u . c con ch´ınh cu ’ a ma trˆa . n A cu ’ ada . ng to`an phu . o . ng d ˆe ` u kh´ac 0, t´u . c l`a khi ∆ 1 = a 11 =0, ∆ 2 =      a 11 a 12 a 21 a 22      =0, .,∆ n =           a 11 a 12 . a 1n a 21 a 22 . a 2n . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . a nn           =0. (6.7) Cu . thˆe ’ ta c´o D - i . nh l´y. Nˆe ´ uda . ng to`an phu . o . ng ϕ(x 1 , .,x n )= n  i,j=1 a ij x i x j tho ’ a m˜an diˆe ` ukiˆe . nv`u . a nˆeu: ∆ i =0∀ i = 1,n th`ı tˆo ` nta . iph´ep biˆe ´ n d ˆo ’ i tuyˆe ´ n t´ınh khˆong suy biˆe ´ nt`u . c´ac biˆe ´ n x 1 , .,x n dˆe ´ n c´ac biˆe ´ n y 1 , .,y n sao cho ϕ(·)= ∆ 1 ∆ 0 y 2 1 + ∆ 2 ∆ 1 y 2 2 + ···+ ∆ n ∆ n−1 y 2 n , ∆ 0 ≡ 1. Ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i nˆeu trong di . nh l´y Jacobi c´o da . ng x 1 = y 1 + α 21 y 2 + α 31 y 3 + ···+ α n1 y n , x 2 = y 2 + α 32 y 3 + ···+ α n2 y n , . . . . . x n = y n          (6.8) trong d ´o c´ac hˆe . sˆo ´ α ji cu ’ aph´ep bdtt (6.8) du . o . . c x´ac d i . nh theo c´ac cˆong th´u . c α ij =(−1) j+i D j−1,i ∆ j−1 (6.9) 242 Chu . o . ng 6. Da . ng to`an phu . o . ng v`a ´u . ng du . ng o . ’ d ˆay ∆ j−1 l`a di . nh th´u . c con ch´ınh trong (6.7), c`on D j−1,i l`a di . nh th´u . c con cu ’ a ma trˆa . n A lˆa . pnˆen bo . ’ i c´ac phˆa ` ntu . ’ n˘a ` m trˆen giao cu ’ a c´ac h`ang th´u . 1, 2, .,j− 1 v`a c´ac cˆo . tth´u . 1, 2, .,i− 1,i+1, .,j V´ı d u . 3. D u . ada . ng to`an phuwo . ng ϕ(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2x 2 1 +3x 2 2 + x 2 3 − 4x 1 x 2 +2x 1 x 3 − 2x 2 x 3 vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. Gia ’ i. Ma trˆa . ncu ’ ada . ng d ˜a cho c´o da . ng A =    2 −21 −23−1 1 −11    v´o . ic´acd i . nh th´u . c con ch´ınh ∆ 1 =2, ∆ 2 =2, ∆ 3 =1. Khi d ´oda . ng to`an phu . o . ng d ˜achodu . ad u . o . . cvˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c ϕ(·)=2y 2 1 + y 2 2 + 1 2 y 2 3 . (6.10) Ta t`ım ph´ep bd tt du . ada . ng to`an phu . o . ng d ˜a cho vˆe ` da . ng (6.10). N´o c´o da . ng x 1 = y 1 + α 21 y 2 + α 31 y 3 , x 2 = y 2 + α 32 y 3 , x 3 = y 3 .      (6.11) Ta t`ım c´ac hˆe . sˆo ´ cu ’ a (6.11) theo cˆong th´u . c (6.9). Ta c´o α 21 =(−1) 3 D 1,1 ∆ 1 = − −2 2 =1, α 31 =(−1) 4 D 2,1 ∆ 2 =      −21 3 −1      2 = − 1 2 , α 32 =(−1) 5 D 2,2 ∆ 2 = −      21 −2 −1      2 =0. 6.1. Da . ng to`an phu . o . ng 243 Nhu . vˆa . y x 1 = y 1 + y 2 − 1 2 y 3 , x 2 = y 2 , x 3 = y 3 .        V´ı d u . 4. D u . ada . ng to`an phu . o . ng ϕ(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2x 2 1 +3x 1 x 2 +4x 1 x 3 + x 2 2 + x 2 3 vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. Gia ’ i. Ta c´o ma trˆa . ncu ’ a ϕ l`a A =      2 3 2 2 3 2 10 201      v´o . i c´ac d i . nh th´u . c con ch´ınh b˘a ` ng ∆ 1 =2, ∆ 2 = − 1 4 , ∆ 3 = − 17 4 · Khi d ´o theo di . nh l´y Jacobi ta thu du . o . . cda . ng ch´ınh t˘a ´ cl`a ϕ(·)=2y 2 1 − 1 8 y 2 2 +17y 3 nh`o . ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i x 1 = y 1 + α 21 y 2 + α 31 y 3 , x 2 = y 2 + α 32 y 3 , x 3 = y 3      244 Chu . o . ng 6. Da . ng to`an phu . o . ng v`a ´u . ng du . ng v´o . ic´achˆe . sˆo ´ d u . o . . c x´ac d i . nh theo (6.9). ´ Ap du . ng (6.9) ta thu du . o . . c α 21 =(−1) 3 D 1,1 ∆ 1 = − 3 2 2 = − 3 4 , α 31 =(−1) 4 D 2,1 ∆ 2 =       3 2 2 10       − 1 4 =8, α 32 =(−1) 4 D 2,2 ∆ 2 = −       22 3 2 0       − 1 4 = −12. Vˆa . y ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ il`a x 1 = y 1 − 3 4 y 2 +8y 3 , x 2 = y 2 − 12y 3 , x 3 = y 3        .  6.1.3 Phu . o . ng ph´ap biˆe ´ nd ˆo ’ i tru . . c giao V`ı ma trˆa . n A cu ’ ada . ng to`an phu . o . ng l`a ma trˆa . nd ˆo ´ ix´u . ng, thu . . cnˆen b`ai to´an d u . ada . ng to`an phu . o . ng vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c c´o thˆe ’ quy vˆe ` b`ai to´an d u . a ma trˆa . nd ˆo ´ ix´u . ng A vˆe ` da . ng d u . `o . ng ch´eo. C´ac nghiˆe . mcu ’ a phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng |A − λE| = 0 l`a c´ac sˆo ´ d ˘a . c tru . ng, c`on c´ac vecto . riˆeng tu . o . ng ´u . ng v´o . i c´ac sˆo ´ d ˘a . c tru . ng d ´o l`a c´ac hu . ´o . ng ch´ınh cu ’ a da . ng to`an phu . o . ng (Lu . u´yr˘a ` ng hai vecto . riˆeng tu . o . ng ´u . ng v´o . i c´ac gi´a tri . riˆeng kh´ac nhau cu ’ a ma trˆa . nd ˆo ´ ix´u . ng l`a tru . . c giao v´o . i nhau). M˘a . t kh´ac v`ı A l`a ma trˆa . nd ˆo ´ ix´u . ng thu . . c nˆen n´o c´o n sˆo ´ d ˘a . c tru . ng thu . . c (nˆe ´ umˆo ˜ isˆo ´ d u . o . . c t´ınh mˆo . tsˆo ´ lˆa ` nb˘a ` ng bˆo . icu ’ a n´o). T`u . d ´ot`ımdu . o . . cd u ’ n vecto . riˆeng d ˆo . clˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh. B˘a ` ng ph´ep tru . . cchuˆa ’ nh´oatathud u . o . . cmˆo . tco . so . ’ gˆo ` mt`u . c´ac vecto . riˆeng cu ’ a A. 6.1. Da . ng to`an phu . o . ng 245 Ma trˆa . n T chuyˆe ’ nt`u . co . so . ’ tru . . cchuˆa ’ n(e)d ˆe ´ nco . so . ’ tru . . cchuˆa ’ n(E) lˆa . pnˆent`u . c´ac vecto . riˆeng cu ’ a ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ idˆo ´ ix´u . ng (v´o . i ma trˆa . n A) l`a ma trˆa . n tru . . c giao v`ıca ’ hai co . so . ’ d ˆe ` u tru . . cchuˆa ’ n. Nhu . vˆa . yd ˆo ´ iv´o . imo . i ma trˆa . nd ˆo ´ ix´u . ng thu . . c A c´o thˆe ’ t`ım mˆo . t ma trˆa . n tru . . c giao T c`ung cˆa ´ p sao cho B = T −1 AT l`a ma trˆa . n ch´eo. D ´oc˜ung ch´ınh l`a ma trˆa . ncu ’ ada . ng to`an phu . o . ng d ˜a cho trong co . so . ’ (E). T`u . d ´o ta c´o quy t˘a ´ c t`ım ph´ep biˆe ´ ndˆo ’ i tru . . c giao d u . ada . ng to`an phu . o . ng vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. 1) Viˆe ´ t ma trˆa . n A cu ’ ada . ng to`an phu . o . ng v`a t`ım c´ac sˆo ´ d ˘a . c tru . ng cu ’ a n´o. 2) T`ım hˆe . vecto . riˆeng tru . . cchuˆa ’ ncu ’ a A. 3) Lˆa . p ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i tru . . c giao. V´ı d u . 5. D u . ada . ng to`an phu . o . ng ϕ(x 1 ,x 2 )=27x 2 1 − 10x 1 x 2 +3x 2 3 vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c. Gia ’ i. 1 + Viˆe ´ t ma trˆa . n A cu ’ ada . ng A =  27 −5 −53  . Lˆa . pphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng |A − λE| =      27 − λ −5 −53− λ      =0⇔ λ 2 − 30λ +56=0. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng ta c´o λ 1 =2,λ 2 = 28. 2 + T`ım c´ac vecto . riˆeng chuˆa ’ nt˘a ´ c. D ˆe ’ t`ım to . adˆo . cu ’ a c´ac vecto . riˆeng ta lˆa ` nlu . o . . t gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh (27 − λ i )ξ 1 − 5ξ 2 =0, −5ξ 1 +(3− λ i )ξ 2 =0 [...]... y3 ) 2 6 3 ’ ` ınh o a ’ o a a a a e 6.2 Du.a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t bˆc hai vˆ ´c dang ch´ t˘ ınh a 263 6.2 ’ ’ Du.a phu.o.ng tr` ınh tˆng qu´t cua o a ` o a a a a e du.`.ng bˆc hai v` m˘t bˆc hai vˆ dang ´ ch´ ınh t˘c a ’ ınh o a ’ o a 1◦ X´t phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai e a11x2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 (6.20) ’ ` ´ ’ Tˆng cua ba... nˆn hˆ c´ hai nghiˆm co ban Hˆ (6.15) du.o.c du.a vˆ mˆt a a e e o e phu.o.ng tr` ınh ξ1 = 2ξ2 + 2ξ3 ’ o e o a ’ e o Do d´ nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ (6.15) c´ dang ξ1 = 2α + 2β, ξ2 = α, ξ3 = β: (2α + 2β, α, β), (6.16) 6.1 Dang to`n phu.o.ng a 251 ´ e o o a t´.c l` ho c´c vecto riˆng phu thuˆc hai tham sˆ α v` β u a a tru.c giao n`o d´ cua ho u = 2(α + β)e1 + αe2 + ´ Ta lˆy ra hai vecto ...   2ξ2 + ξ2 + 2ξ3 = 0 ’ ’ ’ o ` o Hang cua ma trˆn cua hˆ b˘ng 1 nˆn hˆ nghiˆm co ban cua n´ gˆm a ’ e ` e e e a ’ hai nghiˆm Nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ c´ dang e e o a ’ e o v(α, −2α − 2β, β), α, β ∈ R, α2 + β 2 = 0 (6.18) ’ e o a a u e T` nghiˆm tˆng qu´t n`y ta r´t ra hai vecto riˆng tru.c giao v1 v` v2 u a ’ ´ o a e tu.o.ng u.ng v´.i gi´ tri riˆng λ2 = λ3 = 9 Dˆ c´ v1 ta cho α = 1, β... su λ = −2 Ta c´  8ξ1 + 2ξ2 + 2ξ3 = 0,  2ξ1 + 5ξ2 − 4ξ3 = 0,   2ξ1 − 4ξ2 + 5ξ3 = 0 ’ ’ ` ’ o o e Hang cua ma trˆn cua hˆ b˘ng 2 nˆn hˆ co ban chı gˆm mˆt nghiˆm a ’ e a e e ` ξ2 ’ ng han giai hai phu.o.ng tr` cuˆi ta c´ ξ2 = ξ3 v` ξ1 = − v` ´ ’ a Ch˘ a ınh o o a 2 ξ3 ξ1 do d´ ξ1 = − = − o 2 2 ´ D˘t ξ1 = α ta c´ ho vecto riˆng phu thuˆc mˆt tham sˆ e o o o a o u3(α, −2α, −2α), α∈R a a´... 0 hay l` a  5ξ1 − 2ξ2 − 4ξ3 = 0,  ξ1 − 4ξ2 + ξ3 = 0,   4ξ1 + 2ξ2 − 5ξ3 = 0 ’ ’ V` hang cua ma trˆn cua hˆ b˘ng 2 nˆn hˆ c´ nghiˆm kh´c 0 Ta giai ı a ’ e a e e o e a ` o.ng tr` dˆu ınh ` a hˆ hai phu e 5ξ1 − 2ξ2 − 4ξ3 = 0, ξ1 − 4ξ2 + ξ3 = 0 a a´ Chu.o.ng 6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung 254 ’ e o a a v` thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t l` a u(2α, α, 2α), α ∈ R ´ D´ l` ho vecto riˆng (phu thuˆc... + 2ξ3 = 0,   2ξ2 − 4ξ3 = 0 ta c´ ξ1 = 2γ, ξ2 = 2γ, ξ3 = γ v` vecto riˆng tu.o.ng u.ng c´ dang o e ´ o a u3 (2γ, 2γ, γ), γ∈R ’ v` sau khi chuˆn h´a ta c´ a a o o 2 2 1 E3 = e1 + e2 + e3 3 3 3 c´c khai triˆn cua E1 , E2 , E3 suy r˘ng ch´ng lˆp th`nh mˆt co ’ ’ ` e a u a a o T` a u tru.c chuˆn cua khˆng gian R3 ’ ’ a ’ o so ´ ’ Ma trˆn cua ph´p biˆn dˆi tru.c giao c´ dang a ’ e e o o   2... khi chuˆn h´a v1 v` v2 ta thu du.o.c a o a 2 1 E∈ = √ , − √ , 0 5 5 √ 2 5 −4 E3 = √ , − √ , 3 5 3 5 3 ` (Lu.u y r˘ng E1 ⊥ E2 , E1 ⊥ E3 v` E1 v` E2 , E3 l` c´c vecto riˆng tu.o.ng ´ a e ı a a a ng v´.i hai gi´ tri riˆng kh´c nhau nˆn ch´ng tru.c giao v´.i nhau) u ´ o a e a e u o ’ ´ ’ ’ 3+ X´c dinh ph´p biˆn dˆi tru.c giao Trong co so tru.c chuˆn v`.a a u a e e o ` thu du.o.c E1 , E2 , E3 dang... ´ Ta lˆy ra hai vecto a a o ’ o.c vecto riˆng ’ βe3 Ch˘ng han d˘t α = 0, β = 1 th` thu du e a ı a u1(2, 0, 1) ’ v` sau khi chuˆn h´a ta du.o.c a a o 1 2 E1 = √ , 0, √ 5 5 ’ ` u Dˆ c´ vecto th´ hai u2 ta cˆn chon α v` β sao cho u1 , u2 = 0 t´.c e o a a u l` a 2 · 2(α + β) + β = 0 ⇔ 4α + 5β = 0 ’ o Ta c´ thˆ chon α = 5, β = −4 v` t` (6.16) ta c´ o e a u u2 (2, 5, −4) ’ v` sau khi chuˆn h´a ta... o ınh ’ a ’ du.`.ng x´c dinh bo.i phu.o.ng tr` (6.20) o a ınh `.i ta ch´.ng minh r˘ng tˆn tai hˆ toa dˆ Dˆc´c vuˆng g´c m` ` ` e o e a u a o o o a Ngu o o.ng tr` tˆng qu´t (6.20) cua du.`.ng bˆc hai c´ dang ’ ’ trong d´ phu ınh o a o a o o ch´ t˘c ınh ´ a ’ ´ Dˆ t`m hˆ toa dˆ d´ ta tiˆn h`nh nhu sau e ı e o o e a 264 a a´ Chu.o.ng 6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung ´ ’ a ´ 1+ T` ph´p biˆn... ım a o ’ phu o e a o ’ e o ` a o.c O E1 E2 phu.o.ng tr`nh cua du.`.ng d˜ ’ t` ım Trong hˆ toa dˆ t`m du e o ı ı o a cho c´ dang ch´ t˘c o ınh ´ a ’ 2◦ X´t phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua m˘t bˆc hai ınh o a ’ a a e a11x2 + a22y 2 + a33z 2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + bx + by + ez + f = 0, (6.22) ´ o e o trong d´ ´ nhˆt mˆt hˆ sˆ aij = 0, i = 1, 3, j = 1, 3 o ıt a ´ ’ ` ´ ’ a o Tˆng cua s´u . nda . ng du . `o . ng v`a m˘a . tbˆa . c hai 6.1 Da . ng to`an phu . o . ng Dath´u . cd ˘a ’ ng cˆa ´ pbˆa . c hai cu ’ a c´ac biˆe ´ n x 1 ,x 2 , .,x. ng 251 t´u . cl`aho . c´ac vecto . riˆeng phu . thuˆo . c hai tham sˆo ´ α v`a β. Ta lˆa ´ y ra hai vecto . tru . . c giao n`ao d ´ocu ’ aho . u =2(α+ β)e