Boi duong 8

tr êng THCS lª th¸nh t«ng gi¸o ¸n båi d ìng §¹i sè 8 cCh ¬ng III : ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn Gi¸o viªn: Lª ThÞ HuyÒn Năm học: 2006 - 2007 phơng trình ax + b = 0 A. Kiến thức cần nhớ: I. M ở đầu về ph ơng trình : 1. Định nghĩa phơng trình một ẩn: Là phơng trình có dạng A(x) = B(x) trong đó vế trái Ax) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. 2. Định nghĩa nghịêm của phơng trình: Nghịêm của phơng trình là gía trị của biến mà tại đó gía trị của hai vế bằng nhau. . Chú ý: Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phơng trình. Ph- ơng trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó. - Nghịêm kép: Hai nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm kép. - Nghiệm bội k: k nghiệm bằng nhau gọi là nghiệm bội k. Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một nghịêm, hai nghiệm, ba nghiệm,nhng cũng có thể không có nghiệm nào. Phơng trình không có nghiệm nào gọi là phơng trình vô nghiệm. - Tập hợp tất cả các nghiệm của một phơng trình gọi là tập nghiệm của phơng trình đó và thờng kí hiệu bởi S. 3. Giải phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phơng trình đó. 4. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng: Là hai phơng trình có cùng tập nghịêm. Để chỉ hai phơng trình tơng đơng ta dùng kí hiệu 5. Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng phơng trình: Là phép biến đổi từ một phơng trình thành một phơng trình tơng đơng với nó. 6. Các phép biến đổi tơng đơng phơng trình: a. Qui tắc chuyển vế: Trong một phơng trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. b. Qui tắc nhân với một số(qui tắc nhân): Trong một phơng trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. .Cũng có thể phát biểu qui tắc nhân nh sau: Trong một phơng trình, ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác 0. 7. Định nghĩa phơng trình hệ quả: phơng trình (2) gọi là hệ quả của phơng trình (1) khi mọi nghiệm của phơng trình (1) đều là nghiệm của phơng trình (2) 8. Định nghĩa phép biến đổi hệ quả : là phép biến đổi từ một phơng trình thành một phơng trình hệ quả của nó. GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 2 9. Các phép biến đổi hệ quả: a. Nhân cả hai vế của phơng trình với cùng một đa thức của ẩn ta đợc phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho. b. Bình phơng (hay nâng cả hai vế lên luỹ thừa bậc chẵn) ta đợc phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho. II. Ph ơng trình bậc nhất một ẩn a. Định nghĩa: Phơng trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0 gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn. b. Cách giải phơng trình bậc nhất một ẩn: . Từ một phơng trình, dùng qui tắc chuyển vế hay qui tắc nhân, ta luôn nhận đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. . ax + b = 0 ax = - b x = - III. Cách giải ph ơng trình ax + b = 0 - Nếu a = b = 0 thì phơng trình nghịêm đúng với mọi x - Nếu a = 0; b 0 thì phơng trình vô nghịêm. B. bài tập Chứng minh các phơng trình sau vô nghiệm: 1. 2x + 5 = 2 (x - 1) 2. = 0 3. 3x 2 + 2 x + 1 = 0 H ớng dẫn: Không có gía trị nào của x để gía trị của hai vế trong mỗi phơng trình bằng nhau. Chứng minh các phơng trình sau có vô số nghiệm 1. (x + 2) 2 = x (x + 4) + 4 2. y 2 - 2y = (y - 1) 2 - 1 H ớng dẫn: GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 3 Hai vế có gía trị bằng nhau tại mọi gía trị của biến. Lập phơng trình có nghiệm là a) 3; b) -5; c) 1/2; d) -1 và 3 H ớng dẫn: a) x - 3 = 0 b) x + 5 = 0 c) 2x - 1 = 0 d) (x + 1) (x - 3) = 0 Các cặp phơng trình sau có tơng đơng không? a) x = 2 và x 2 = 4 b) 3x 2 + 4 = 0 và 5x = -3 c) x 2 + x + = 0 và 6x + 3 = 0 d) x + 3 = 0 và (x + 3) (x 2 + 2) = 0 H ớng dẫn: a) Không; b) Có; c) Có; d) Có (Dựa vào định nghĩa hai phơng trình tơng đơng) Phơng trình sau là phơng trình bậc nhất một ẩn A. 1 - 2y = 0 B. x 2 + x = 0 C. 3x = 0 D. 0x + 0,5 = 0 E. 2x + 5y = 0 F. mx + 4 = 0 Câu nào đúng? 1. Chỉ có câu A là đúng. 2. Không có đáp án nào đúng. 3. A và C đúng. H ớng dẫn: Câu 3 đúng Giải phơng trình: {[(x - 3) - 3] - 3} - 3 = 0(1) H ớng dẫn: GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 4 (1) x = 90 *Giải phơng trình: a 2 x + b = a (x + b) (1) H ớng dẫn: (1) a (a - 1) x = (a - 1) b Nếu a = b = 0 hoặc a = 1 thì phơng trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu a = b 0 thì phơng trình (1) vô nghịêm Nếu a 0; a 1 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = Tìm m để phơng trình: 5 (m + 3) (x + 1) - 4 (1 + 2x) = 80 (1) có nghiệm x = 2 H ớng dẫn: Thay x = 2 vào phơng trình ta tìm đợc m = 2/3 *Tìm m, n để phơng trình: a) 5 (x - 2m) = 12 (1 + mx) (1) b) - = 1 - (2) có nghiệm duy nhất. H ớng dẫn: a) (1) (5 - 2m) x = 12 + 10m nên (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 5 - 13m 0 m 5/12 b) m 0; n 0; m n Tìm a để hai phơng trình sau tơng đơng: a) (x + a) (a + 1) + (x - a) (a - 1) = 12 (1) và = (2) b) + 1 = a và - = 2 H ớng dẫn: a) (2) x = 1 nên để hai phơng trình tơng đơng thì phơng trình (1) phảicó nghiệm duy nhất là x = 1 Để x = 1 là nghiệm của phơng trình (1) thì a = 3. GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 5 Khi a = 3 thì (1) (3 + x) (3 + 1) + (x - 3) (3 - 1) = 12 phơng trình này có nghiệm duy nhất. Vậy, hai phơng trình tơng đơng khi và chỉ khi a = 3 b) Đáp số: a = 4,5 Giải phơng trình: + = + (1) H ớng dẫn: (1) ( + 1) + (+ 1) = (+ 1) + (+ 1) (x + 2010) (+ - - ) = 0 x = - 2010 Giải phơng trình: + + + + 4 = 0(1) H ớng dẫn: (1) (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) = 0 (416 - x) (+ + + ) = 0 x = 416 Giải phơng trình: - = - (1) H ớng dẫn: (1) (+ 1) + ( + 1) - (+ 1) - (+ 1) = 0 (x + 110) (+ - - ) = 0 x = -110 Giải phơng trình: + = + (1) H ớng dẫn: (1) (- 1) + (+ 1) - (- 1) - (+ 1) = 0 (x - 28) (+ - -) = 0 x = 28 Giải phơng trình: - = - (1) H ớng dẫn: (1) (- 1) - (- 1) - (- 1) + (-1) (x - 14) (- - + ) = 0 GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 6 x = 14 Giải phơng trình: + = + (1) H ớng dẫn: (1) (+ 1) + (- 1) - (+ 1) - (- 1) + - - = 0 (x + 15) (+- - ) = 0 x = -15 *Giải phơng trình: + + = 18 (1) H ớng dẫn: (1) (- 7) + (- 6) + (- 5) (x - 107) (+ + ) = 0 x = 107 * Giải phơng trình: + + + = 10 (1) H ớng dẫn: (1) (- 1) + (- 2) + (- 3) + (- 4) (x - 258) (+ + + ) = 0 x = 258 * Giải phơng trình: + + ++= 0 (1) H ớng dẫn: (1) (+ 1) + (+1) + (+1) + (+ 1) + (- 4) = 0 (x + 329) (++ + + ) = 0 x = -329 Giải phơng trình: + + = 3 (1) (a; b; c 0) H ớng dẫn: Với a; b; c khác 0 ta có (1) ( - 1) + (- 1) + (- 1) = 0 (x - a - b - c) ( + + ) = 0 Nếu + + = 0 ( hay ab + ac + bc = 0) thì phơng trình (1) nghịêm đúng với mọi x GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 7 Nếu + + 0 ( hay ab + ac + bc 0) thì phơng trình (1) có một nghiệm x = a + b + c * Giải phơng trình: + + = 2 (+ + )(1) (Với a; b; c 0) H ớng dẫn: (1) (-- ) + (--) + (--) = 0 (x - a - b - c) (+ + ) = 0 Nếu + + = 0 (hay a + b + c = 0) thì phơng trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + 0 (hay a + b + c 0) thì phơng trình (1) có một nghiệm là x = a + b + c *Giải phơng trình: + + + = 1 (1) Với abc 0; a + b + c 0 H ớng dẫn: (1) (+ 1) + (+1) + (+ 1) - 4 (1 - ) (a + b + c - x) (+ + - ) = 0 Nếu + + = thì phơng trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + = thì phơng trình (1) có một nghiệm là x = a + b + c * Giải phơng trình: + + = a + b + c (1) H ớng dẫn: Với điều kiện a; b; c đôi một không đối nhau ta có: (1) (- c) + (- b) + (- a) = 0 (x - ab - ac - bc) ( + + ) = 0 Nếu + + = 0 thì phơng trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = ab + ac + bc * Giải phơng trình: + + = 6 - (1) H ớng dẫn: (1) (- 1) + (- 1) + (- 1) = 3 - GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 8 (a + b + c - 3x) (+ + - ) = 0 Nếu + + = thì phơng trình (1) nghịêm đúng với mọi x Nếu + + thì phơng trình (1) có nghịêm x = Giải và biện luận phơng trình: + = 1 (1) H ớng dẫn: ĐK: a; b; c đôi một khác nhau (1) (x - c) [+ ] = 1 (x - c) = 1 (x - c) [(a 2 - b 2 ) - x (a - b) - c (a - b)] = (a - b) (b - c) (c - a) (x - c) (a + b - x - c) = (b - c) (a - c) (x - a) (x - b) = 0 S = {a; b} Phơng trình bậc cao A. Kiến thức cần nhớ: Các cách giải phơng trình bậc cao: - Cách 1: Đa về phơng trình tích rồi giải: A(x) B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 - Cách 2: Đặt ẩn phụ. - Cách 3: Nhận xét gía trị hai vế. B. BàI TậP Giải phơng trình: x (3x - 7) = (1) H ớng dẫn: (1) x (3x - 7) - (3x - 7) = 0 (x - 1) (3x - 7) = 0 S = {1; } Giải phơng trình: x 2 - x - 6 = 0 (1) GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 9 H íng dÉn: (1) ⇔ (x - 3) (x + 2) = 0 S = {3; -2} Gi¶i ph¬ng tr×nh: 20x 2 - 9x + 1 = 0 (1) H íng dÉn: (1) ⇔ 20x 2 - 5x - 4x + 1 = 0 ⇔ 5x(4x - 1) - (4x - 1) = 0 ⇔ (4x - 1) (5x - 1) = 0 S = {; } Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15x 2 +2x - 1 = 0 (1) H íng dÉn: (1) ⇔ 15x 2 + 5x - 3x - 1 = 0 ⇔ 5x(3x + 1) - (3x + 1) = 0 ⇔ (5x - 1) (3x + 1) = 0 S = {; - } Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 +x + 1 = 0 (1) H íng dÉn: (1) ⇔ (x + 0,5) 2 + 0,75 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 24x -9x 2 - 18= 0 (1) H íng dÉn: (1) ⇔ 9x 2 - 24x + 18 = 0 ⇔ (3x - 4) 2 + 2 = 0 S = ∅ GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng 10 [...]... (x + 2)4 + (x + 8) 4 = 272 (1) Đặt x + 5 = y ta có (1) S = {- 4; - 6} Hớng dẫn: y= 1 *Giải phơng trình: (x + 3)4+ (x + 5)4= 2 (1) Đặt x + 4= y ta có (1) S = {- 4} y=0 Hớng dẫn: *Giải phơng trình: x 4 + (x -1)4 = 97 (1) Hớng dẫn: Đặt x 1 2 = y ta đợc (y + 1 4 1 ) + (y - )4 = 97 2 2 16y4 + 24y2 - 775 = 0 (4y2 + 3)2 = 282 y = 2,5 S = {- 2; 3} *Giải phơng trình: (x + 1)4+ (x -3)4 = 82 (1) Đặt x -1=... y = 2,5 S = {- 2; 3} *Giải phơng trình: (x + 1)4+ (x -3)4 = 82 (1) Đặt x -1= y ta có S = {0; 2} Hớng dẫn: *Giải phơng trình: (x - 7)4 + (x - 8) 4 = (15 - 2x)4 (1) Hớng dẫn: Đặt x - 7 = a; x - 8 = b (1) a4 + b4 - (a + b)4 = 0 4ab (a2 + 1,5ab + b2) = 0 S = {7; 8} *Giải phơng trình: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 (1) GV: Lê Thị Huyền 22 Trờng THCS Lê Thánh Tông Hớng dẫn: Đặt x + 4 = y (1) (y - 2)2... - 5x2 + 8x - 3 = 0 (1) GV: Lê Thị Huyền 14 Trờng THCS Lê Thánh Tông Hớng dẫn: (1) (2x - 1) (x2 - 2x + 3) = 0 S = {0,5} * Giải phơng trình: 4x3 + 28x2 - 9x - 63 = 0 (1) Hớng dẫn: (1) (x + 7(2x + 3) (2x - 3) = 0 S = {- 7; - 1,5; 1,5} *Giải phơng trình: 8x3 = (4x + 1)3 - (2x + 1)3 (1) Hớng dẫn: áp dụng các hằng đẳng thức (a - b)3 - (a3 - b3) = 3ab (a - b) (a +b)3 - (a3 +b3) = 3ab (a + b) ta có (1) ... 1; 1; 3} * Giải phơng trình: (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3 (1) Ta có: a + b = (a + b) 3 3 3 Hớng dẫn: 3ba (a + b) = 0 nên (1) có S = {1; - 4; ; - * Giải phơng trình: 9ax3 - 18x2 - 4ax + 8 = 0 (1) Nếu a = 0 thì S = { 2/3} Nếu a 0 thì S = { 2/3; 2/a} Hớng dẫn: Giải phơng trình: x3 - (m2 - m + 7)x - 3 (m2 - m - 2) = 0 (1) biết 1 là một nghiệm của (1) Hớng dẫn: Thay x = 1 vào (1)... 9y2 +16xy +14x -76y + 59= 0 (1) Hớng dẫn: * Giải phơng trình: x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 = 0 (1) Hớng dẫn: GV: Lê Thị Huyền 18 Trờng THCS Lê Thánh Tông (1) (x - 5y + 7)2 + (y - 3)2 + 1 = 0 Phơng trình vô nghiệm * Giải phơng trình:4x2 + 9y2 + 16z2- 6y + 3 - 4x - 8z = 0 (1) (1) Hớng dẫn: (x - 5y + 7) + (y - 3) + (4z - 1)2 = 0 2 1 2 1 3 (x; y; z) = ( ; ; 2 1 ) 4 Hớng dẫn: (1) 5y + 7) + (y - 3)... 0 Phơng trình vô nghiệm (x - 2 2 *Giải phơng trình: x2 + y2 + z2 + t2 - xy - yz - zt + = 0 (1) Hớng dẫn: (1) (x - ) + (y - z) + (z - t) + (t - )2 = 0 S = {(0,2; 0,4; 0,6; 0 ,8) } 2 2 2 Giải phơng trình: x2 + 4y2 + z2 - 2x - 6z + 8y + 15 = 0 (1) * Hớng dẫn: (1) (x - 1) + 4 (y + 1) + (z - 3)2 + 1 = 0 Phơng trình vô nghiệm x2 + + y2 + = 4 *Giải phơng trình: x2 + + y2 + = 4 (1) Hớng dẫn: (x - )2 + (y... 5) (x + 7) = 0 (1) Hớng dẫn: (1) (x + 4x - 21) (x + 4x - 5) = 297 2 Đặt x - 4x - 13 = y S = { -8; 4} * 2 2 Giải phơng trình: (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6 (1) Hớng dẫn: (1) 12 (6x + 7) (3x + 4) (x + 1) = 6.12 Đặt 6x + 7 = y ta đợc y = 3 S = {- 2/3; - 5/3} 2 * Giải phơng trình: (2x + 1) (x + 1)2 (2x + 3) = 18 (1) Hớng dẫn: (1) (2x + 1) (2x + 2) (2x + 3) = 72 Đặt 2x + 2 = y S = {- ; } 2 * Giải phơng... 4x + 1 (1) Hớng dẫn: (1) (x - 1) + 4x = 4x + 4x + 1 2 (x + 1)2 - (2x + 1)2 = 0 (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x) = 0 x (x - 2) = 0 S = {0; 2} 2 2 2 2 *Giải phơng trình: (x2 - 4)2= 8x + 1 (1) Hớng dẫn: (1) (x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 + 8x + 1 S = {1; 3} *Giải phơng trình: (y2 - 1993)2 - 7972y - 1 = 0 (1) Hớng dẫn: (1) y = 1994 y = 1992 *Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (1) Hớng dẫn: Thêm 4x2 vào hai vế ta... trình: x3 - 5x2 + 8x - 4 = 0 (1) (1) (x - 1) (x - 2) = 0 S = {1; 2} 2 Hớng dẫn: Giải phơng trình: x3 -2x2 - x + 2= 0 (1) Hớng dẫn: (x - 1) (x + 1) (x - 2) = 0 S = { 1; 2} Giải phơng trình: x3 + x2 + x + 1 = 0 (1) Hớng dẫn: Cách 1: (1) (x + 1) (x2 + 1) = 0 x = -1 Cách 2: Do 1 S nên (1) (x - 1) (x3 + x2 + x + 1) = 0 x4 - 1 = 0 x= 1 Mà 1 S nên S = {1} * Giải phơng trình: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0 (1)... Cách 2: Nhân hai vế với x đợc (x - 1)5 - (x - 1) = 0 (x - 1) [(x - 1)2 - 1] [(x - 1)2 + 1] = 0 2 *Giải phơng trình: 9x4 -15 x3 + 28 x2 - 20 x + 16= 0 (1) Hớng dẫn: Cách 1: Chia hai vế cho x2 (1) y2 - 5y + 4 = 0 S= * 0 Đặt3x + 4 =y x y = 1 hoặc y = 4 Giải phơng trình: 8x6 - 16x5 + 2x4 + 12 x3 + 3x2 - 36x + 27 = 0 (1) Chia hai vế cho x y = 3; - 4; 5 S = {1; 1,5} 3 GV: Lê Thị Huyền Hớng dẫn: 0 Đặt . = + (1) H ớng dẫn: (1) (- 1) + (+ 1) - (- 1) - (+ 1) = 0 (x - 28) (+ - -) = 0 x = 28 Giải phơng trình: - = - (1) H ớng dẫn: (1) (- 1) - (- 1) - (-. + = 10 (1) H ớng dẫn: (1) (- 1) + (- 2) + (- 3) + (- 4) (x - 2 58) (+ + + ) = 0 x = 2 58 * Giải phơng trình: + + ++= 0 (1) H ớng dẫn: (1) (+ 1) + (+1)