Giáo trình Toán sơ cấp (Tái bản) Phần 2

Phần hình học sơ cấp giúp sinh viên nhận rõ cách giảng dạy hình học ở trường phổ thông là giảng dạy theo phương pháp tiên đề và nhìn nhận rõ các khái niệm hình học được dạy ở trường tiểu học: Đa giác, khối, diện tích và đo diện tích cắt ghép hình, dựng hình,... Mời các bạn cùng tham khảo.

PHẦN HAI: H Ì N H H Ọ C s ơ C Á P

CHƯƠNG ì

P H Ư Ơ N G P H Á P T I Ê N Đ Ể

§1 Sơ lirợc lịch sử

1 Ngay từ những năm dầu ở trường tiểu học, học sinh đã

được biết các khái niệm hình học như điểm, đoạn thẳng, hình chữ nhật, hình tam giác, đường thẳng sau đó là mặt phảng, khối lập phương, khối hộp chữ nhật, Tất cả các khái niệm đó chỉ được mô

tả bằng hình vẽ hoặc các mô hình trực quan Tuy nhiên trong cách trình bày hình học truyền thống, người ta chỉ mô tả một số khái niệm gọi là các khái niệm cơ bán như điểm, đường thẳng, mặt phăng, điểm thuộc đường thẳng, một điểm ở giữa hai điểm, hai đoạn thẳng bằng nhau, còn các khái niệm khác của hình học đểu được

định nghĩa chính xác Trong cách trình bày truyền thống của hình

học, người ta cũng thừa nhận một số khẳng định của hình học, gọi là các tiên đề, nói lên tính chất các khái niệm cơ bản, sau đó chứng minh các khẳng định của hình học Cách trình bày hình học như vậy được dùng để giảng dạy bộ môn hình học trong trường phổ thông không những ở nước ta mà ở hầu hết các nước khác trên thế giới Người đặt nền móng cho cách trình bày hình học như vậy là nhà Toán học ơcơlit sống ở Alexandri và khoảng những năm 300 trước

công nguyên

2 Tác phẩm "Nguyên lý" của ơcơlit

Hình học sơ cấp là một trong những khoa học cổ nhất, được phát sinh do nhu cầu thực tiễn của đời sống con người như đo đạc ruộng đất, tính toán các công trình xây dựng Từ thế kỷ thứ v u đến thế kỷ thứ IU trước công nguyên, các kiến thức hình học dần dần

được hệ thống lại mang tính chất của một bộ môn khoa học Công lao ấy thuộc về các trường phái toán học và triết học của Talét, Pitago, Aristôt, Đêmôcret

Những công trình nghiên cứu của các nhà toán học cố đại đã

được tống kết và hoàn tất xuất sắc trong các tác phẩm của ơcơlit nhan đề "Nguyên lý", viết vào khoảng 300 năm trước công nguyên Tác phẩm "Nguyên lý" của ơcơlit không những tập hợp được

hầu hết các kiến thức toán học đương thời mà giá trị chủ yếu của nó

là phương pháp trình bày các kiên thức đó Ớ mỗi tập sách trong tác phẩm "Nguyên lý" ơcơlit đã bắt đầu bàng việc đưa các khái niệm (sẽ dùng đến) sau đó đưa ra một số khẳng định xem như chân lý (gọi

là tiên đề hoặc là định đề) về các khái niệm đã nêu ra Phần chủ yếu của mỗi tập sách là các kiến thức cơ bản của môn học bao gồm các

khái niệm, thuộc tính và quan hệ giữa chúng được phát biểu thành các định lý Tất cả các khái niệm này đều được định nghĩa và tất cả các định lý đều được chứng minh

Như vậy, qua tác phẩm "Nguyên lý", ơcơlit đã thể hiện rõ ý đồ muốn toán học trở thành bộ môn khoa học trừu tượng và suy diễn, độc lập với ý niệm vật lý về không gian vật chất xung quanh, ơcơlit

muốn định nghĩa mọi khái niệm muốn chứng minh mọi chân lý

Khi bất tay thực hiện mới thấy rằng không thể làm được vì chứng minh điều này lại phải dựa vào điều kia và như vậy là không cùng

Và do đó dẫn đến ý tưởng phải thừa nhận một số khái niệm không định nghĩa, thừa nhận một số chân lý làm cơ sở cho các suy diễn

tiếp theo

Phương pháp trình bày của ơcơlit đã có ảnh hưởng đến sự phát triển của hình học trong nhiều thế kỷ tiếp theo và của toán học nói chung Với tác phẩm "Nguyên lý", ơcơlit là người đặt nền móng cho việc xây dựng cơ sở của toán học, dẫn dắt các nhà toán học, theo những phương hướng nghiên cứu khác nhau, làm cho toán học trớ thành một khoa học trừu tượng, suy diễn và đã dạng Có thể nói ơcơlit và tác phẩm "Nguyên lý" của mình trở thành người thày của

các thế hệ toán học sau này

Tuy nhiên trong tác phẩm "Nguyên lý" cũng có một số thiếu sót, song chính việc khắc khắc phục các thiếu sót đó của các nhí toán học thế hệ sau đã thúc đẩy toán học phát triển

3 Lòbasepxki và Hinbe

Bởi giá trị to lớn của tác phẩm "Nguyên lý" của ơcơlit, nhiều nhà toán học ở các thế hệ sau đã bỏ công nghiên cứu và hoàn thiện

nó theo các phương hướng khác nhau

Trước hết người ta cố gắng bổ sung thêm các tiên đề đủ để làm

cơ sở cho các suy diễn hình học, làm cho bộ môn hình học thực sự trở thành một bộ môn khoa học chính xác và chặt chẽ Công lao lớn

thuộc về các nhà toán học Acsimet Cangto, Pastơ

Mặt khác, các nhà toán học cũng có cố gắng tìm kiếm rút bỏ

các tiên đề mà có thể chứng minh được nhờ các tiên đề khác Tiên

đề được nhiều nhà toán học chú ý là định đề được đánh số V trong

tác phẩm "Nguyên lý" Nội dung của định đề đó là:

"Hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc trong cùng phía

có tổng nhỏ hơn hai vuông thì cắt nhau về phía của hai góc đó" Nội dung của định đẻ này có hình thức phát biểu khá phức tạp so với các định đề khác và được dùng đến khá muộn trong bộ sách nên người ta nghi ngờ rằng chính ơcơlít đã cố gắng chứng minh nó, song chưa được nên'đành xếp vào danh mục các mệnh đề được thừa nhận

Nhiều nhà toán học tìm cách chứng minh định đề V Có người

đã tuyệt vọng vì nó, có người đã tưởng chứng minh được định đề V, nhưng đến phút cuối trước khi công bố đã phát hiện rằng mình đã dùng một kết quả suy ra từ định đề đó Mãi đến thế kỷ 19, ba nhà

toán học Bôlyai (Hungari), Gaoxơ (Đức) và Lôbasepxki (Nga) đã

độc lập với nhau cùng đi đến kết luận: Không thể chứng minh được

định đề V nhờ các định đề và tiên đề khác Tuy nhiên do hoàn cảnh

và chính kiến khác nhau chỉ có Lôbasepxki là người đã mạnh dạn

công bố kết quả nghiên cứu của mình và tiến xa hơn - sáng tạo ra

một bộ môn hình học mới mang tên ông "Hình học Lôbasepxki"

Để chứng minh định đề V, nhiều nhà toán học trước Lôbasepxki thường sử dụng phương pháp phản chứng, có nghĩa là giả sử định đề đó không đúng và cố gắng tìm mâu thuẫn Song, tiếc thay những mâu thuẫn nhận được chỉ là những điều trái với nhận thức thực tế xung quanh chứ không phải là mâu thuẫn nội tại trong các mệnh đề được thừa nhận Thừa kế những kết quả đó, Lôbasepxki đã đi đến ý tưởng tuyệt vời là không thể chứng minh

được và cũng không thể phủ nhận được nó Vì vậy, cùng với việc thừa nhận nó là một chân lý cũng có thể thay thế nó bằng một mệnh

đề phủ định nó Lôbasepxki đã thừa nhận mệnh đề phủ định của

định đề:

"Tồn tại hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai vuông mà không cắt nhau về phía của hai góc trong đó"

Với việc thừa nhận mệnh đề phủ định này và các mệnh để được thừa nhận khác của ơcơlit, Lôbasepxki đã phát triển và xây dựng trên một bộ môn hình học mới Tuy nhiên những kết quả nghiên cứu của ông hết sức xa lạ với nhận thức thế giới đã khá quen thuộc và bển vững, nên sinh thời ông đã bị nghi ngờ và phản đối Chỉ đến khi

ra đời lý thuyết tương đối và thiên văn học phát triển, người ta hiểu

ra rằng vũ trụ là bao la và trong vũ trụ bao là đó nhiều điều nghiệm đúng hoặc gần gũi với các kết quả nghiên cứu của Lôbasepxki, thì các kết quả nghiên cứu của ông mới được thừa nhận Công lao to lớn của Lôbasepxki là mở rộng tầm nhìn ra vũ trụ và mở đường cho

các lý thuyết hình học "phi ơcơlit"

Công lao cuối cùng trong việc hoàn thiện các tiên đề do ơccỉit thừa nhận thuộc về nhà toán học Hinbe người Đức Công trình của ông

đã được ông trình bày trong Hội nghị Toán học thế giới năm 1901 và

đã được nhận giải thưởng lớn Chúng ta sẽ xem xét nó trong §3

§2 Phương pháp tiên đề

1 Nội dung của phương pháp tiên đề

Mỗi môn học chứa đựng những khái niệm, những mối quan hệ

giữa chúng và những thuộc tính của các khái niệm Theo tinh thần của

ơcơlit, không thể chứng minh được mọi điều, vì vậy phải chọn lọc mội

số tối thiểu các tính chất phải thừa nhận để làm cơ sở cho toàn bộ các suy diễn tiếp theo Với các khái niệm cũng vậy, phải chọn lọc ra một si

tối thiểu các khái niệm không định nghĩa, những thuộc tính và quan hí

giữa chúng đã được thể hiện qua một số mệnh đề được thừa nhận rồi ti

đó định nghĩa tất cả các khái niệm khác Những khái niệm không địnl

nghĩa gọi là các khái niệm cơ bản; những mệnh đề được thừa nhận không chứng minh gọi là các tiên đề

Như vậy, để xây dựng một môn học bằng phương pháp tiên đề

người ta đưa ra:

1 Các khái niệm cơ bản

2 Các tiên đề (đặc trưng cho tính chất của các khái niệm cơ bản)

Và trên cơ sở đó, người ta định nghĩa các khái niệm và suy diễn

ra các tính chất khác liên quan đến các khái niệm đã có Để định

nghĩa theo chủng loại, mỗi khái niệm lại thuộc vào một lớp các khái

niệm rộng hơn Các tính chất và các khảng định khác tiên đề gọi là

định lý, mệnh đề, bổ để, hệ quả tuy thuộc vào nội dung và vị trí của

nó Các khẳng định này được suy diễn nhờ các quy tắc suy luận của logic Hai quy tắc suy luận thông thường là luật bài trung, tức là mỗi khẳng định chỉ có thể đúng hoặc sai và quy tắc tam đoạn luận, tức là nếu mệnh đề A —» B đúng, A đúng thì B đúng Tập hợp các khái niệm cơ bản và các tiên đề của một môn học gọi là một hệ tiên đề

của môn học đó

2 Các yêu cầu cơ bản của một hệ tiên đề

Có nhiều cách khác nhau để lựa chọn các khái niệm cơ bản và

các tiên đề, vì vậy một môn học có thể có nhiều hệ tiên đề khác nhau Để có thể đóng vai trò nền tảng cho một môn học, mỗi hệ tiên

đề cẩn thoa mãn các hệ tiên đề sau đây:

a Tính phi mâu thuẫn

Một hệ tiên đề được gọi là phi mâu thuẫn nếu từ hệ tiên đề đó

không thể suy ra hai kết quả trái ngược nhau

Nếu một hệ tiên đề có mâu thuẫn thì không thể phân biệt được đúng, sai và lý thuyết dựa trên hệ tiên đề đó trở nên vô nghĩa Vì vậy, tính phi mâu thuẫn là yêu cầu cơ bản nhất của một hệ tiên đề

b Tính độc lập

Một hệ tiên đề được gọi là độc lập nếu mỗi tiên đề của hệ không thể được chứng minh nhờ các tiên đề còn lại Như vậy, với yêu cầu này, một hệ tiên để độc lập là hệ tiên đề mà không thể rút bớt một tiên đề nào, đó là số tối thiểu các khẳng định phải thừa nhận

c Tính đầy đủ

Một hệ tiên đề được gọi là đầy đủ nếu mọi khảng định của môn

học đều được suy diễn từ nó

Tính phi mâu thuẫn là yêu cầu bắt buộc của một hệ tiên đề, còn hai yêu cầu tính độc lập và tính đầy đủ trong thực tiễn đôi khi có thể châm chước Chảng hạn, một hệ tiên đề không độc lập vẫn được dùng cho một lý thuyết nhằm giảm bớt quá trình suy diễn và do đó giúp người học sớm tiếp cận những kiến thức tinh tế của môn học

3 Mô hình một hệ tiên đề

Vì các khái niệm cơ bản không được định nghĩa, nên nếu có thể

gán cho mỗi khái niệm cơ bán của hệ tiên đề một khái niệm đã có của một môn học nào đó sao cho mỗi tiên để của hệ tiên đề được

"dịch" sang ngôn ngữ của môn học đó đều là chân lý, thì người ta

coi là đã tìm được một thể hiện (hay một mô hình) của hệ tiên đề trong môn học đó Điều đó có thể ví như ý tưởng của con người được thể hiện bằng một thứ ngôn ngữ Như vậy một hệ tiên đề có thể có nhiều mô hình trong các môn học khác nhau hay thậm chí trong cùng một bộ môn Khi một hệ tiên đề đã có mô hình thì mỗi định lý trừu tượng suy ra từ hệ tiên đề cho ta các định lý cụ thể của

mô hình, tức là các định lý của các môn học mà hệ tiên đề được thể

hiện Đó là ý nghĩa thực tiễn quan trọng của phương pháp tiên đề Bằng mô hình, ta còn có thể xét xem một hệ tiên đề có thoa mãn các yêu cầu cơ bản đạt ra cho nó hay không Ta biết rằng "chưa có" không đủ để khẳng định là "không có" Với một hệ tiên đề đến nay chưa tìm thấy mâu thuẫn thì hoàn toàn chưa đủ để nói ràng nó

là phi mâu thuần Tuy nhiên, dễ thấy rằng một hệ tiên đề có mâu

thuần mà lại có một số mô hình trong một bộ môn nào đó thì bản

thân lý thuyết đó cũng có mâu thuẫn Vì vậy, một hệ tiên đề là phi mâu thuẫn nếu có một mô hình trong một lý thuyết đã được chứng minh (hay giả thiết) là phi mâu thuẫn

Một tiên đè của một hệ tiên đề phi mâu thuẫn sẽ là độc lập nếu khi thay nó bàng một khẳng định phủ định nó ta vẫn nhận được một hệ tiên đề phi mâu thuẫn Vì vậy muốn chứng minh một tiên đề của một hệ tiên đề là độc lập, ta chỉ cần tìm một mô hình của hệ tiên đề trong một lý thuyết đã được xem là phi mâu thuẫn

sao cho tất cả các tiên đề khác thể hiện thành các định lý của lý thuyết đó duy có tiên đề đó thế hiện trên mô hình là một kết quả phi lý (trong lý thuyết đó)

Bàng mô hình người ta cũng xem xét được một cách tương đôi

về tính dầy đủ của một hệ tiên đề Hai mô hình của cùng một hệ

được gọi là đẳng cấu nếu có một tương ứng một một giữa các khái

niệm cơ bản của hệ tiên đề và bảo tồn những quan hệ cơ bản giữa

các đối tượng Một hệ tiên để được coi là đầy đủ nếu bất cứ hai mô hình nào của nó đểu đẳng cấu Như vậy nếu một hộ tiên đề đầy đủ thì từ một định lý trên mô hình bàng cách "dịch ngược", ta sẽ có một định lý trừu tượng của hệ tiên đề

§3 Hệ tiên đề Hinbe của hình học ơcơlit

1 Giới thiệu tiên dề Hinbe

Hệ tiên đề Hinbe của hình học ơcơlit gồm:

a) Sáu khái niệm cơ bản: điểm đường thẳng, mặt phang, thuộc,

ớ giữa, toàn đẳng

b) Các tiên đề được phân thành 5 nhóm

Nhóm ĩ (Các tiên đề về "thuộc")

ì,: Có ít nhất hai điểm thuộc mỗi đường thẳng

I2: Có một và chỉ một đường thẳng thuộc hai điểm phân biệt cho trước

lý Có ít nhất ba điếm không thuộc một đường thẳng

I4: Có một và chỉ một mặt phảng thuộc ba điểm không thẳng hàng (không cùng thuộc một đường thẳng) Mạt phảng có ít nhất

một điếm

ì,: Đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phảng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phảng đó

I6: Hai mặt phảng phân biệt có một điểm chung thì còn có một

điểm chung thứ hai khác nữa

I7: Tổn tại bốn điếm không cùng thuộc một mặt phảng

Nhổm l i (Các tiên đề về thứ tự)

l i , : Nếu điểm B ở giữa hai điểm A và c thì A B c là ba điểm

phân biệt cùng thuộc một đường thảng và điểm B ờ giữa hai điểm c

và A

n2: Bất kỳ hai điểm A và c nào cũng có một điểm B sao cho c ở

giữa A và B

l i , : Trong ba điểm cùng thuộc một đường thảng có không quá

một điếm ở giữa hai điểm kia

I I4: (Tiên đề Patsơ) Cho ba điểm A B và c không cùng thuộc

một đường thẳng và cho đường thảng a không đi qua hai điểm nào trong ba điểm đó Khi đó nêu đường thảng a thuộc một điểm ở giữa

A và B thì khi đó nó còn thuộc một điểm ờ giữa B và c hoặc ở giữa

c và A

Nhóm HI (Các tiên đề về toàn đảng)

ni,: Cho điểm A thuộc đường thẳng a Ngoài ra cho CD là một đoạn thảng bất kỳ (đoạn thảng hiểu là tập hợp gồm hai điểm) Khi

đó có hai điểm Bị, B: thuộc a sao cho AB, và AB2 bằng đoạn CD

Ký hiệu AB, = CD, AB2 = CD Với mỗi đoạn thẳng AB ta đều có

m3: Cho điểm B ờ giữa hai điếm A và c, điểm B' ở giữa hai

điểm A' và c Khi đó nếu AB = A'B', ÁC = A'C thì BC = B'C

I I I4: Cho góc (k.l) và nửa đường thẳng a có gốc o (Các khái niệm này được định nghĩa nhờ khái niệm điểm, đường thẳng, ờ giữa

Xem chương li)

Khi đó có duy nhất hai nửa đường thẳng b' và b" cùng có gốc o

sao cho (Co = (ãTb') và ( Q ) = (ãTb")

III5: Quan hệ bằng đôi với các góc có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu cụ thể là:

1 ( Q ) = ( Q )

IV,: (Tiên đề Acsimet) Với bất kỳ hai đoạn thẳng AB và CD

bao giờ cũng có số tự nhiên n sao cho nAB > CD

IV2: (Tiên đề Cangto) Giả sử trên đường thẳng a cho một dãy vô

hạn các đoạn thảng A,Bi, A2B2 A„Bn, sao cho mỗi đoạn thẳng nằm trông đoạn thẳng trước nó và bất kỳ đoạn thảng CD nào cho trước bao giờ cũng có số tự nhiên n để AnBn < CD Khi đó trên

đường thẳng a có một điểm X thuộc mọi đoạh thảng của dãy đã cho Nhóm V (Tiên đề về đường thẳng song song)

V Qua mỗi điểm A không thuộc đường thảng a có không quá một đường thẳng b cùng nằm trong mặt phảng p = (A,a) không có điểm chung với a

2 Một vài mô hình của tiên đề Hinbe

a Mô hình vật lý

Các kiến thức hình học có được chính là sự mô hình hoa và trừu tượng hoa không gian vật chất mà chúng ta đang sống Người ta bắt

đầu hình dung điểm như một cái gì đó "không có chiểu dài, không

có chiều rộng" như đầu mũi kim, đường thẳng là một cái gì đó chỉ

có chiều dài được chiếu thẳng như các tia sáng, mặt phảng là một cái gì đó "chỉ có bề rộng không có bề dày" như mặt hồ yên lặng Để biểu diễn "điểm" người ta vẽ một cái "chấm" trên tờ giấy, để biểu diễn đường thẳng, người ta đặt kẻ một đường trên tờ giấy, còn mặt phang thì biểu diễn bởi một hình bình hành trên tờ giấy Bằng những hình vẽ như vậy, ta mô tả khái niệm thuộc, ở giữa

B

Điếm A thuộc đường thẳng a Điểm B ở giũa A và c

Khái niệm bằng nhau của các hình được mô tả bới việc đem

chổng khít lên nhau Đó là mô hình vật lý của hệ tiên đề Hinbe

Mô hình vật lý của hệ tiên đề Hinbe đã là công cụ để giảng dạy hình học ơcơlit ở tất cả các nước

b Mô hình số học

Từ đại số ta có một mô hình sau đây của hệ tiên đề Hinbe và

gọi là mô hình số học

Điếm được hiểu là bộ ba số thực có số thứ tự (x.y,z) Mạt phảng

được hiểu là một phương trình bậc nhất ba ẩn Ax + By + Cz + D = 0 (1),

trong đó A2 + B2 + c2 * 0

X = x0 + a,t

Đường thẳng là hệ phương trình ị y = y0 + a,t (2)

z = z0+ a3t

trong đó t thay đổi af + à* + aj * 0

Điếm (X|, y,, Z|) thuộc mặt phảng Ax + By + Cz + D = 0 nếu

Ax, + By, + Cz, + D = 0, còn phụ thuộc đường thẳng (2) nếu có

t = tị để X, = x„ + a,t|„ ý, = y„ + a2t„ z, = Z(, + a3t| Ba điểm

A = (X|,y,,z,), B = (x2.y2.z2), c = (x.,,y3,z3) thuộc đường thẳng (2) ứng với các số t„ t2, t, tức là Xi = Xo + a,tj, y, = y() + a2tj,'

Zj = z„ + a3tj, i = Ì 2, 3 Khi đó điểm B ở giữa A và c nếu t| < t2 < t,

hoặc t, < t2 < t| Đường thẳng (2) thuộc mặt phảng (1) nếu:

A(x„ + a,t) + B(y„ + a2t) + C(z„ + a,t) + D = 0 với mọi t

Cũng bằng đại số người ta thể hiện được khái niệm bằng nhau

và ta nhận được mô hình số học của hệ tiên để Hinbe

Người ta dùng mô hình số học để nghiên cứu hình học ơcơlit,

đó chính là phương pháp toa độ trong hình học ơcơlit

3 Một số định lý suy ra từ hệ tiên đề Hinbe

a Các kết quả suy ra từ nhóm ỉ, li

Từ nhóm tiên đề ì ta biết răng mỗi đường thẳng có ít nhất hai

điếm (tiên để lị), không gian có ít nhất bốn điếm (tiên đề I7)

ì) Định lý Mỗi mặt phang có ít nhất ba điểm

Chítiig minh Với mặt phảng (a), có điểm A e (a) (tiên đề I4),

có điểm B Ễ (a) (tiên đề ly) Có đường thẳng (d) đi qua A, B (tiên

đề I2) Có điếm c e(d) (tiên đề ì,) Có mặt phảng (P) đi qua A, B c

(tiên đề I4) Có điếm chung D * A cua hai mặt phang (cx) (P) (tiên

đề I6) Có điểm F Ể (P) (tiên đề I7)

Có mặt phang (ý) đi qua A, D F Có

hai điểm E và D là điếm chung của (a) và

(y) Như vậy mặt phảng (a) có ít nhất ba

điểm A, D, E

2) Định lý Trong ba điểm cùng thuộc Ẽ

một đường thẳng có đúng một điểm ở giữa

I ' • §• ỉ I • Hình Ì hai diêm kia

Chứng minh Xét ba điếm phân biệt thảng hàng A, B, c Giả sử

A không ớ giữa B và c, điếm c khổng ớ giữa A và B Ta sẽ chứng minh B ớ giữa A và c

đường thẳng AB (tiên đề ì,) Có điếm E

sao cho D ở giữa B và E (tiên đề II2)

Đường thẳng AD cắt đường thẳng ÉC ờ

F, điểm ớ giữa E và c (tiên đề II4) Xét

tam giác AEF và đường thẳng CDG, ta

có D ở giữa A, F (vì đã có G ở giữa A,

E, điểm c không ở giữa E, F)

Xét tam giác FEA và đường thẳng EBD, vì D ớ giữa A, F, điểm

E không ở giữa F, c nên B ớ giữa A và c

3) Định lý Môi đường thẳng có vô số điểm (do đó mỗi mặt phang và cả không Ịịian có vô sô điểm)

Ta bỏ qua chứng minh định lý này và lưu ý ràng việc chứng minh sự kiện "hiển nhiên" này không phải là đơn giản

4) Mỗi điểm trên đường thẳng tạo nên sự "phân lớp" tập điểm còn lại của đường thẳng Giả sử o là một điểm của đường thẳng (d), các điểm của đường thẳng d khác o được chia thành hai tập con sau: Điểm o ở giữa hai điểm thuộc hai tập con đó

Điểm o không ở giữa hai điểm của cùng một tập con

Mỗi tập con như vậy gọi là một nửa đường thẳng mở Bổ sung thêm điểm o vào mỗi nửa đường thẳng mở đó ta được một nửa đường thẳng đóng hay còn gọi là một tia với gốc o Tương tự, ta xây dựng được khái niệm nửa mặt phang, nửa không gian Trong các kết

quả trên, tiên đề Patsơ (II4) đóng vai trò cơ bản

b Những kết quả suy từ nhóm ì, li, HI

Với nhóm tiên đề IU ta đã có dấu hiệu bằng nhau của tam giác

Từ đó ta có thể suy ra các kết quả sau:

ỉ ) Định lý Mỗi đoạn thẳng có một và chỉ một trung điểm Chứng minh

Xét đoạn thẳng AB Có điểm c c không thuộc đường thẳng AB Có tia Bx

khác phía với c đối với AB sao cho

ABx = CAB Có điểm D thuộc Bx sao A

cho BD = ÁC Đoạn thẳng CD cắt AB

tại o

Ta có AABC = ABAD (c.g.c) nên

Be = DA, ẤBC = BÂD

Từ đó suy ra AACD = ABCD Do đó Ấ c ồ = BDỒ

Vậy AOAC = AOBD và suy OA = OB

2) Định lý Góc ngoái của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

Chứng minh

Xét AABC với ẤCx là góc ngoài

tại c Ta so sánh nó với góc A Lấy

trung điểm ì của ÁC và điểm D đôi

xứng với B qua ì Ta có AIAB = AICD

Suy ra Ầ = Ấ c ồ < ẤCx

Hình 4

3) Định lý Trong mặt phang có một và chi một đường thẳng đì qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác

4) Định lý Qua điểm A ở ngoài đường thẳng a có đường thẳng nằm trong mặt phàng a = (A.ci) không có điếm chung với a

5) Định lý Tổng các góc trong của một tam giác không vượt quá hai lần góc vuông

Chứng minh các định lý này dựa vào kết quả của định lý 2

Chẳng hạn ta chứng minh định lý 5 (dùng hình 4 trong chứng minh

Làm như vậy đối với ABCD ta được — > oe Tiếp tục quá trình

đó n lần ta được — B > a Điều này vô lý vì —ồ có thể nhỏ tuy ý

c Những kết quả suy từ nhóm IV, V

Đến nhóm IV, ta có thể đưa ra khái niệm số đo đoạn thẳng Nếu chọn trước một đoạn thẳng làm thước đo, thì có thể gán cho mỗi đoạn thẳng một số thực dương gọi là số đo của nó sao cho hai đoạn thẳng toàn đẳng thì có cùng số đo Ngoài ra, số đo củạ tổng hai đoạn thẳng bằng tổng hai số đo của hai đoạn đó

Cũng từ nhóm IV ta cũng nhận thấy rằng trên mỗi nửa đường thẳng Ox bao giờ cũng có một và chí một điểm A sao cho số đo của đoạn OA bằng một số thực dương cho trước Tập các điểm của một đường thẳng lấp đầy đường thẳng đó (đường thảng và do đó mặt phảng và không gian không có "kẽ hở") Chính kết quả này giải thích tên gọi đặt cho nhóm tiên đề IV

Từ ba nhóm tiên để đầu ta suy ra được sự tồn tại của đường thẳng đi qua điểm A ở ngoài đường thãngr a không có điểm chung với a Sau khi có tiên đề V, ta định nghĩa được khái niệm song song

của hai đường thảng

§4 Hệ tiên đề pỏgórclõp cứa hình học ơcơlit

Hệ tiên đề Hinbe của hình học ơcơlit rất hoàn hảo song quá phức

tạp Nhà toán học Nga Pôgôrêlốp đa đưa ra hệ tiên để sau đây của hình học ơcơlit (đã được dùng trong một thời gian đè giảng dạy hình

học ơcơlit trong các trường phôt thông trung học ớ Liên Xô cũ)

1 Các khái niệm cơ bàn

Điểm, đường tháng, mặt phảng, thuộc, ớ giữa độ dài (đoạn thẳng),

số đo (góc)

2 Các tiên đè

Tiên dê của hình học phang

Ị Nhóm tiên đè liên thuộc

ì,: Tổn tại một và chi một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

I2: Mỗi đường thẳng chúa ít nhất hai điếm Tồn tại ba điếm

không cùng thuộc một đường thảng

// Nhóm tiên đề thứ tự

l i , : Trong ba điểm thẳng hàng có một và chi một điểm ở giữa

hai điểm kia

I I2: Mỗi đường thẳng phàn tập điếm của mặt phảng không thuộc đường thẳng ấy thành hai tập con sao cho đoạn thẳng nối bất kỳ hai điếm của cùng một tập không cắt đường thảng ấy, đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai tập khác nhau bao giờ cũng cắt đường thảng /// Nhóm tiên đề về độ đo

IU,: Mỗi đoạn thẳng có một độ dài là một số số thực dương Nếu c ở giữa A và B thì độ dài đoạn thẳng AB bằng tổng các độ dài

của ÁC và BC

III2: Mỗi góc có một độ đo xác định Độ đo góc bẹt bằng 180" Nếu tia Oz nằm trong miền góc xOy thì độ đo góc xOy bằng tổng

độ đo các góc xOz và zOy

IV Tiên đê tồn tại các tam giác bằng nhau

Với tam giác ABC bất kỳ, trong nửa mạt phảng có bờ chứa tia A,x có điểm B| 6 A,x, C| ỂA|X sao cho AABC và AAiBiC, có các cạnh tương ứng có độ dài bằng nhau và các góc tương ứng có số đo bằng nhau

V Tiên đề tồn tại đoạn thẳng có độ dài cho trước

Với mọi số thực a > 0 tổn tại đoạn thảng có không quá một đường thẳng không cát đường tháng đã cho

VI Tiên đề song song

Qua một điếm nam ngoài một đường thẳng có không quá một đường thảng không cắt đường tháng đã cho

Tiên đề của hình học khôniị tỳ tín

c,: Mỗi mặt phàng có điểm thuộc nó và có điếm không thuộc nó

c:: Hai mặt phảng phân biệt đã có một điểm chung thì có một đường thẳng chung

c,: Có một vài và chi một mặt phang đi qua hai đường thẳng cắt nhau

3 Hệ tiên đề của Pògôrêlốp cũng có mô hình vật lý như mô hình vật lý của hệ tiên đề Hinbe thèm vào số đo đoạn thẳng và số

đo góc

Ở trường phổ thông, dạy hình học ơcơlit bàng phương pháp tổng hợp là dạy hình học trên cơ sở hệ tiên đề của Hinbe hay Pôgôrêlốp trên mô hình vật lý của nó Song thực tế không thể để học sinh học hết các tiên đề rồi từ đó suy luận, nên người ta đã thừa nhận nhiều điều kể cả các định lý rồi đưa học sinh đến các kiến

thức cần thiết của hình học

§5 Hệ tiên dề không gian vectơ của hình học ơcơlit

1 Định nghĩa không gian vctơ

2) Trong mô hình vật lý hình học ơcơìit ta hiểu

2.1) Vectơ là một cặp điểm (A, B) có thứ tự và ký hiệu AB, A

gọi là điểm đầu, B gọi là điểm cuối của vectơ Hai vectơ AB và CD

được gọi là cùng phương nếu đường thẳng AB song song hoặc trùng

với đường thẳng CD Hai vectơ cùng phương AB, CD gọi là cùnf

hướng nếu hướng đi từ điểm đầu đến cuối như nhau, còn ngược lại

thì gọi là hai vectơ ngược hướng

Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của AB và ký hiệu là

|ÃB|,nhưvậy: I ÃBI = AB

Hai vectơ ÃB và CD được gọi là bằng nhau nếu I AB 1=1 CDI

và AB và CD là hai vectơ cùng hướng

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ không

và ký hiệu õ Vectơ có độ dài bằng Ì gọi là vectơ đơn vị Người ta

còn dùng các chữ cái thường trên đó có mũi tên để ký hiệu vectơ:

ã,b,x

2.2) Cho hai vectơ a và b ta định nghĩa vectơ mới a + b bằng

cách sau đây Từ một điểm A tuy ý xác định được điểm B sao cho

AB = ã và điểm c sao cho BC = b, ta có vectơ mới a + b = ÁC

B

A c

Hình 6

Vectơ ă + bgọi là tổng của hai vectơ avà b Dễ thấy định

nghĩa đó không phụ thuộc vào việc chọn điểm A (nếu thay cho A ta

chọn A' thì xác định được B' và c sao cho A ' B ' = a, B'C' = B, và

khi đó ÃC = ÃĨC*')

Từ định nghĩa trên ta thấy với ba điểm tuy ý trong không gian

M, N, p ta có: MN = MP + PN

Ta cũng dễ nhận thấy các tính chất sau đây của phép cộng

vectơ Với bất kỳ các vectơ a,b,c ta có:

i) ă + b = b + a (tính chất giao hoán)

li) (ã + b) + c = ã + (b + c) (tính chất kết hợp)

iii) a + Õ = a

iv) ã + (-a) = 0 trong đó - ã là vectơ có cùng độ dài cùng

phương những ngược hướng với ã Vectơ gọi là vectơLÍối của vectơ a 2.3) Cho vectơ a và một số thực k ta định nghĩa vectơ mới ka

như sau:

i)|kă 1=1 k li ã Ị

li) kã và ã cùng hướng nếu k > 0 và ngược hướng nếu k < 0

Nếu k = 0 ta định nghĩa 0 ã = õ Vectơ kã còn gọi là tích của số k và vectơ a

Dễ thấy các tính chất sau đáy của phép nhân vectơ với một số thực

SỐ thực là một không gian vectơ

c Cơ sở và sô chiều của không gian vectơ

ỉ) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Cho không gian vectơ V Nếu xét đồng thời các vectơ -» -» -»

a,,a2, ,ancủa V thì ta gọi chúng là một hệ vectơ và vectơ

2) Cơ sở không gian của vectơ

Hệ vectơ [a,,a, ,a } được gọi là cơ sở của không gian vectơ

V nếu:

i) {a,.a: ,an ỉ là hệ vectơ độc lập tuyên tính

li) Với mỗi vectơ X e V, có duy nhất các số a an sao cho

X = à, a, + a, a:+ + a„ an Bộ sô (à,, a2 an) gọi là toa độ của

vectơ X đối với cơ sớ {a,,a, an Ị

Người ta chứng minh được ràng nêu không gian vectơ V có một

cơ sở gồm n vectơ thì mọi cơ sớ khác của nó cũng có đúng n vectơ

Số không đổi n ấy gọi là chiều của không gian vectơ V và ký hiệu

Ví dụ 2 Ba vcctơ ũ = AB, V = CD, \v = EF gọi là đồng phang nếu ba đường thảng AB CD, EF cùng song song với một mạt phảng

nào đó

Ta có: ba vectơ ậa2.a, đồng phảng khi và chỉ khi chúng phụ

thuộc tuyến tính

Thật vậy, nếu a,,a2.a3 phụ thuộc tuyến tính thì có tổ hợp tuyến

tính k, + k, a2 + k„ íT, = 0 mà các ki không đồng thời bằng 0 Giả

sử ki *0 thì a, = ^-a,-f ỉa3 = À, a: +Ạ, a,

Nếu a2 và a3 cùng phương thì hiển nhiên ba vectơ a,,a2,a3

cùng phương và do đó chúng đồng phảng

-» ->

Trường hợp a, và a3 không cùng phương Từ một điểm o nào

đó, xét vectơ OA, = a2,OA3 = a3 Khi đó ba điểm o, A2, A, không

thẳng hàng Gọi ct là mặt phảng đi qua ba điểm o, A2, A3 Lấy

OA 2 = ka 2 , OA3 = Ằ.a3 thì A'2 nằm trên đường thẳng OA2, điểm

À', nằm trên đường thẳng OA, Do đó vì vectơ

a, = OA, = OA'2 + OA'3 nên đường thẳng OA, nằm trên mặt phang

> * *

a Vậy ba vectơ apa2,a3 đồng phảng

-» -> -*

Ngược lại, giả sử a,,a, và a3 đồng phảng Nếu hai trong ba vectơ

đó cùng phương thì hiển nhiên ba vectơ đó phụ thuộc tuyến tính Giả

sử không có hai vectơ nào trong ba vectơ

đó cùng phương, từ một điểm o tuy ý

-> - À., xét các vectơ OA,=a,, O A2= a2,

Từ đó suy ra ba vectơ a,,a, và a3 phụ thuộc tuyến tính

Nhận xét rằng nếu hai vectơ ã và b không cùng phương thì tập hợp các vectơ a,b,c mà ba vectơ ã,b,c đồng phang lập thành một không gian vectơ hai chiều, mọi cặp vectơ không cùng phương đều là cơ sở của không gian này

Vi dụ 3 Ba vectơ a,b,c không đồng phảng thì độc lập tuyến tính Hệ ba vectơ không đồng phảng là một cơ sở của

không gian các véc tơ trong không gian

Thực vậy, từ một điểm o tuy ý dựng các vectơ 0A = a,OB = b.OC = c và với vectơ X tuy ý dựng ÕM = X Dựng hình hộp có đường chéo OM và các cạnh nằm trên các đường thẳng OA, OB, oe

ọ B B*

Hình 8

Từ hình hộp OB'M'A' CB,MA| dựng được ta có:

x = ÕM = Õ Ã,+ Õ B,+ Õ C, = A.lã + A.2b + A.3c

Dẻ thấy các số Xị, x 2 , x 3 xác định như trên là duy nhất

2 Không gian vectơ ơcơlit

a Tích vô hướng của hai vectơ

2) Ví dụ

Ví dụ Ị Trong khône gian vectơ K ' với hai vecti

X = (X| x2, x3) và y = (ý,, y2, y,) ta định nghĩa:

< x , y > = x,y, + x2y2 + XìỴì thì ta có một tích vô hướng trên R \

Ví dụ 2 Xét không gian vectơ xây dựng từ mỏ hình vật ị)

của hình học ơcơlit

Cho hai vectơ a và b khác vectơ không Từ một điểm o tuy

ý, vẽ vectơ OA = ã OB = b thì góc AOB gọi là góc cùa hai

vectơ a và b Hiển nhiên định nghĩa này không phụ thuộc vào

vị trí điếm o Góc giữa hai vectơ a và b ký hiệu là (a.b)

Ta định nghĩa <a.b> = | ã | |b|cos(a,b) thì có một tích vô

hướng trên không gian vectơ này Thật vậy, vì (ă,b) = (b,ă) nên

<a,b> = <b,a> và < a.a > I a |"> 0 nên<a.a> = 0 khi và chỉ

khi a = Õ

Khi k > 0 thì (ka,b) = (ă,b)

nên <kã.b> = |kã| Ib|cos(kã.b) = k < ă , b > , còn nếu k < 0 thì (ka,b) và (a.b)bù nhau nên

< k ã b > = -|k| Ị ã ỊI b I cos (ã, b) = k < ã, b >

Ta sẽ chứng minh tính chất <a.b + c> = < ã , b > + k < ã , c > cho trường hợp a.b,c đồng phảng

Gọi B' c K' là hình chiếu vuông góc của B, c, K trên OA

Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp ba vectơ a,b,c

không đồng phảng Từ một điểm o tuy ý ta cũng vẽ

Trong hình bình hành OBDC ta có :

OB2 + OC: = -(OD2 + BC2)

2 Gọi ì là giao điểm ha đường chéo của hình bình hành thì AI

là trung tuyến của AABC và AAOD nên:

= - 20A2+-(OD2 + BC2)-OA2-AD2 (BC2-OA2)

= -(OA:+OD2-AD2) = <ÕÃ;ÕD> = <ẫ,b + c>

b Định nghĩa không gian vectơ ơcơlit

ỉ ) Không gian vectơ trên đó đã cho một tích vô hướng gọi

là không gian vectơ ơcơỉit

Không gian với tích vô hướng đã cho trong ví dụ Ì cũng như không gian vectơ xây dựng từ mô hình vật lý của hình học ơcơlit với tích vô hướng đã xây dựng là các ví dụ về các không

gian vectơ ơcơlit

2) Trong không gian vectơ ơcơỉit ta có định lý sau:

Định lý Với mọi ã, ĩ của không gian vectơ ơcơỉit V ta có bất đẳng thức <a,b> 2 <a ĩ) Dấu bằng chỉ xảy ra khi ã và b phụ

thuộc tuyến tính

Chứng minh Nếu một trong hai vectơ là vectơ không thì rõ

ràng < a , b >2= a b = 0 Nếu hai vectơ a và b đều khác vectơ

õ nhưng phụ thuộc tuyến tính thì a = kb và khi đó:

<i,b>2=<kb,b>2=(kb2)2.b2 =a2.b2

Bây g i ờ xét trường hợp a,b độc lập tuyến tính Khi

đó vectơ kã + b jt 0 với mọi k e R và do đó (kã,+ b)2 > 0 với

mọi k, tức là ã k2 + 2 < ã , b > k + b2> 0 với mọi k Vì ã * 0 nên

Dễ^thấy các tính chất sau đây về độ dài của vectơ:

i) Với mọi a,| ã |> 0 và I ã 1=0 khi và chỉ khi ã = Õ

Bạn đọc dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây từ định

nghĩa vuông góc của hai vectơ:

i) Vectơ a vuông góc với chính nó khi và chỉ khi a = 0 li) Vectơ không 0 vuông góc với mọi vectơ khác

iii) Hai vectơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi

lă + 6 l2 = lãl2 + l b l2

Định nghĩa Mọi vectơ a * 0 trong không gian vectơ ơcơlit xác định một tập {kã I k > 0} gọi là một hướng (hay một chiều)

Với hai hướng xác định bởi hai vectơ a và b có một số thực ọ,

Định nghĩa Cơ sở Ịa,,a2, ,an_/ của

không gian vectơ ơcơlit là một cơ sở

trực chuẩn nếu:

<a [ ,a ) > =0, a, ; í, j = Ì, 2 n

Trong không gian vectơ xây dựng từ mô hình vật lý của

không gian ơcơlit ba vectơ đơn vị i,j,k đôi một vuông góc là

một cơ sở trực chuẩn của không gian này

3 Không gian ơcơlit

a Định nghĩa

Cho một tập hợp E khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là

điểm và ký hiệu bằng các chữ in hoa A, B, c, Cho V là

không gian vectơ ơcơlit và ánh xạ ọ: E X E -» V,

<p(A,B) = ĂB

Bộ ba (E , (p, V) gọi là một không gian ơcơỉit nếu thoa mãn

.hai tiên đề sau đây:

Tiên đề E,: Với mọi điểm A € E, vectơ X € V Có duy nhất

một điểm B e E sao cho AB = X

Tiên đề E2: Với ba điểm M , N , p tuy ý của E ta có

MN = MP + PN

b Khi V là không gian vectơ ơcơlit ba chiều thì ta có một

hệ tiên đẽ của hình học ơcơìit Như vậy hệ tiên đề này có các khái niệm cơ bán là véc tơ, cộng hai véc tơ, nhãn hai vectơ với một sô thực, rích vô hướng của hai vectơ, các tiên đề về tích vô hướng và tiên đề E, và E2 (Coi tập hợp R các số thực đã được

xây dựng)

Từ các khái niệm cơ bản này ta định nghĩa các khái niệm khác của hình học ơcơlit Chảng hạn đường thẳng d = IM e E;

AM = ka ;k € IR) trong đó có A e E là một điểm cho trước và a e V

là một vectơ cho trước Cho hai vectơ ã và b độc lập tuyến tính của

V và Ae E thì tập hợp (ạ) = ỊM e E; ÂM = xã + ịib; \,ịi e R} là một mặt phang

Bạn đọc không khó khăn có thể phát biểu các định nghĩa

của các khái niệm điểm thuộc đường thảng, một điểm ở giữa

hai điểm kia, vốn là các khái niệm cơ bản không định nghĩa của hệ tiên đề Hinbe của hình học ơcơlit

Ta có thể chứng minh các tiên đề của hệ tiên đề Hinbe

Chẳng hạn chứng minh tiên đề I2: Có một và chi một đường

thẳng thuộc hai điểm phân biệt cho trước

Giả sử A * B là hai điểm phân biệt cho trước thì

AB = a * Õ Đường thẳng (d) = (M; AM = k i Ị là đường thẳng

đi qua A và B Giả sử có đường thẳng (d') cũng đi qua hai điểm

A và B: (d') = [ N ; ÃN = k b Ị

Vì B € (d') nên AB = k, b hay a = k, b Ta chứng minh (d) và (d')

trùng nhau Thật vậy nếu M € (d) thì AM = ka = kk,b do đó

_ ỵ _

M e (d') Ngược lại nếu N e d' thì AN = kb = — a , tức là N e (d)

k|

Bạn đọc có thể lấy các tiên đề khác của hệ tiên đề Hinbe và

chứng minh chúng như các bài tập

c Không gian vectơ ơcoiỉt được xây dựng từ mô hình vật

lý của hình học ơcơlit là một công cụ có hiệu quả để giải các

bài toán của hình học ơcơlit (theo hệ tiên đề của Hinbe) Ta

dẫn ra đây một số ví dụ

Ví dụ ỉ

Giả sử A | A2A?A4A5A6 là một

lục giác nào đó (các điểm nằm

trong không gian hoặc trong cùng

một mạt phang) Gọi Bị, B2, B3,

B4, B5, Bfi lần lượt là trọng tâm các

tam giác A | A2A3, A2A3A4,

A4A5A6, ASA6A | , A6A , A2 Chứng

minh rằng lục giác BiB2B3B4B5B6

có các cạnh đối diện song song và

Khi đó OB, =-(a, + a2 + a3), ,OB6 = - ( a6+ a ị + a2)

Ta chứng minh các cạnh đối diện của lục giác B|B2 B6

song song và bằng nhau

! - » - • - » Ì - - - Ì -> ->•

ị ( a2+ a 3 + a4) - ị ( aI + a2+ a3) = Ỷ(a4-al) B,B2 = O B2- O B ,

Đế giải bài toán này, ta gọi o là giao điểm của hai đường chéo, M là trung điểm AB, N là trung điểm CD Tính MN theo

Ký hiệu {0;e|,e2, ,en}

Với mỗi điểm M € E thì OM = X, e, + x2 e2 + + xn en

Bộ n số thực (x,, x2 xn) gọi là toa độ của điểm M đối

trục hoành và ký hiệu là Ox đ ườna thảng OET cùng với vectơ đơn vị j gọi là trục tung ký hiệu Oy đường thảng OE-, cùng với vectơ đơn vị k gọi là trục cao và ký hiệu Oz toa độ của

điếm M ký hiệu là M(x.y.z)

Trong hệ toa độ (O; ì; j ; k ) , để xác định toa độ của điểm

M ta có thể làm như sau:

Đầu tiên dựng hình chiếu vuông góc M' của M lên mặt phảng xOy Trong mặt phảng xOy kẻ MM, Ì Ox, M ' M2 Ì Oy

Trong mặt phàng (M, Oz) ké M M , Ì Oz (khi đó OM' // MM,)

Khi đó ÔM = ÕMj + OM, +OM3 = xĩ+y]+kic và bộ số (x, y, k) là toa độ của điểm M

Nếu A(Xj, ý, z,), B(x2 y2, z2) thì vì AB = OB-OA nên

AB = (x2 - Xị)i + (y2 - y,)j + (z2 -z,)k, có nghĩa có thể tính được

toa độ của AB theo toa độ của A, B đối với cơ sở {i ; j ; k } Trong mặt phảng ơcơlit chẳng hạn mặt phảng xOy, một hệ trục toa độ trực chuẩn gồm hai trục Ox và Oy và cặp số (x, y) là toa độ của một điểm của mặt phảng xOy

Nhờ có hệ toa độ trong mặt phảng hoặc trong không gian mỗi một điểm được hoàn toàn xác định bời một cặp số hoặc một

bộ số ba số là toa độ của nó Vì mỗi một đường hoặc một mặt là một tập hợp các điểm có chung những tính chất nào đó nén các điểm của chúng có toa độ thoa mãn một phương trình hoặc một

hệ phương trình mà ta gọi là phương trình của đường và mật đó Căn cứ vào phương trình của đường và mặt, ta có thể nghiên cứu các tính chất của chính đường và mật đó bằng công cụ cùa đại số hoặc giải tích Phương pháp nghiên cứu hình học bằng cách như thế gọi là phương pháp toa độ

Ví dụ ỉ

Cho hai điểm cố định F|, F2 trong mạt phảng Khảo sát hình

dạng của đường gồm các điểm M của mặt phảng có tính chất

|MF| - MF2| = 2a, trong đó 2a là một số không đ ổ i Đường này

gọi là đường hypebol

Chọn hệ toa độ có trục Ox nằm trên đường thẳng F|F2 và

gốc o là trung điếm của đoạn thẳng F,F2 Gọi độ dài đoạn thẳng

F,F2 là 2c thì F|(-c,0), F2(c,0) và nếu M (x,y) thuộc hypebol thì:

và gọi nó là phương trình chính tắc của đường hypebol

Căn cứ vào phương trình chính tắc của hypebol, ta tìm được giao của trục Ox với hypebol là các điểm A(-a,0), A'(a,0) và không có giao điểm với Oy Hai giao điểm A và A' cũng là giao điểm kép của hai đường thẳng X = -a và X = a với hypebol, tức

là các đường thẳng này là là các tiếp tuyến với hypebol

do đó |x| > a Như vậy trong dải mặt phảng giới hạn bởi hai đường thẳng

song song X = -a, X = a không có điểm nào thuộc đường hypebol

Cũng từ phương trình của hypebel ta có:

y = ±—Vx2 - a2 và khoảng cách từ một điểm M(x,y), X > a,

a

ò

y > 0 hoặc X < -a và y < 0 đến đường thảng y = — X tiến tới 0 khi X

a tiến ra vô cùng

Cưng như vậy đối với đường thẳng y = — X và các điểm thuộc hypebol có X > a, y < o hoặc X < a và y > 0

Cho ba mặt phang p, Q, R song

song với nhau và một đường thẳng d

không song song với các mặt phảng

Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây của biến đổi đẳng cự:

Phép biến đổi đẳng cự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

Phép biến đổi đảng cự biến một đường thẳng thành mi đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến hai đường thản song song thành hai đường thẳng song song, biến một mi phảng thành một mặt phang

Phép biến đổi đẳng cự biến một góc thành một góc bằng né Tích hai phép biến đổi đảng cự là một biến đổi đẳng cự

Nếu trong không gian ơcơlit, dim V = 3, đã chọn một h

toa độ vuông góc, f là một biến đổi đẳng cự và M(x, y, z) th

điểm M' = f(M) có toa độ (x\ ý', z') được tính theo công thức:

Nếu D = Ì biến đổi đẳng cự gọi là phép dời hình, còn nếu

D = - Ì biến đổi đẳng cự gọi là phép phản chiếu

Trong hệ tiên đề Hinbe, khái niệm bàng là khái niệm cơ

bản và trong mô hình vật lý ta mô tả khái niệm hai hình bằng

nhau là hai hình có thể đem chồng khít lên nhau Trong hệ tiên

đề không gian vectơ của không gian ơcơlit, khái niệm bằng

nhau được định nghĩa như sau:

Hình ve gọi là bằng hình í/'nếu có một biến đổi đẳng cự biến-)

thành S*

2) Các phép biến đổi đẳng cự thường gặp

2.1) Phép tịnh tiến

Cho một vectơ V e V, phép tịnh tiến theo vectơ V là ánh xạ Tv:

E -> E mà ảnh M' của M được xác định bởi quy tắc sau:

MM' = V

M Hình 17

Nếu trong không gian đã cho một hệ toa độ trực chuẩn và

= (a,,a2, a3) thì ảnh M'(x, y, z) của M(x(|, y0, z0) được cho bởi

Nếu chọn một hệ trục toa độ có d là trục Oz thì toa độ của

X, y, z) được tính theo toa độ của M(x,„ y„) theo công thức:

x = - x0

• y = - y0

z = - z0

2.3) Phép đối xứng tâm

Trong không gian cho một điểm cố định A Phép đối xứng tâm A là một ánh xạ ĐA: E —> E mà ảnh N i của M được cho bởi quy tắc A M ' = - AM

Nếu trong không gian đã cho một hệ toa độ vuông góc và A(a,, a2, a3) thì toa độ của M'(x, y, z) được tính theo quy tắc

Cho mặt phảng (P) Phép đối xứng qua mặt phảng (P) là một

ánh xạ Đp: E -> E mà ảnh M' của M được cho bởi quy tắc sau: Đường thẳng MM' cắt (P) tại ì và vuông góc với (P), IM' = IM

2.5) Phép quay trong mặt phang

Cho một góc lượng giác (p và một điểm cố định o Phép quay tâm o góc quay (p là một ánh xạ Qa: E -> E (E là mặt phảng ơcơlit) mà ảnh M' của M được cho bởi quy tắc sau:

lược hai điểm của d' Còn để dựng được ảnh của đường tròn '<nâm ì

rán kính R thì chỉ cần dựng được tâm r của đường tròn ảnh, còn )án kính của đường tròn ảnh cùng bằng R

Ví dụ ỉ

Cho tam giác ABC có diện tích là s Tính theo s diện tích của tam giác có các cạnh lần lượt là các trung tuyến của tam giác ABC

Tinh tiến trung tuyến AA' theo vectơ AB' ta được đoạn B'A,

Tứ giác BCCA, là hình bình hành nên A,B = c a Vậy tam giác BB'A, được tạo bởi các đoạn thẳng bằng các trung tuyến của tarr,

giác ABC Ký hiệu diện tích tam giác là s(ABC) Ta có:

S(BB'A,) = S(BA'A,) + S(BB'A') + s(A'B'A0

Tam giác BA'A| có đáy bằng nửa ÁC và chiều cao bằng nửs chiều cao của tam giác ABC kẻ từ B nên s(BA'A,) = ^s

Cũng như tam giác BA'A„ tam giác A'B'A," có chiều cao bằiỊÉ

nửa chiêu cao kẻ từ B của tam giác ABC và đáy bằng nửa ÁC nêr

S(A'B , A 1)=-ỊS

Tam giác BB'A' có cạnh đáy A'B = ^BG và chiều cao hạ từ B

bằng nửa chiều cao hạ từ A của tam giác ABC nên s(BB'A') = -S

Lởi giải

A

B Hình 22

Giả sử M và N là trung điếm các cạnh ÁC và BD của tứ diện

đều ABCD, MNPQ là thiết diện cho mặt phảng đi qua MN cắt tứ diện Ta cần chứng minh mặt phảng MNPQ chia tứ diện thành hai phần bằng nhau

Qua phép đối xứng trục MN hai điểm M, N bất động, còn A biến thành c, D biến thành B, vì MN Ì DB và MN Ì ÁC Như vậy

đoạn CD biến thành đoạn AB Do đó điểm p biên thành một điểm

của AB và phải thuộc mặt phảng đi qua M, N, p, đó chính là điểm

Q Phép đối xứng trục MN biến khối đa diện PMQNDA thành khối

đa diện QMPNBC nên hai khối đó bằng nhau

HƯỚNG DẪN Tự HỌC CHƯƠNG ì

Hai chủ đề chủ yếu của chương ì là:

1 Trình bày hình học ơcơlit bàng phương pháp tiên đề

2 Các phương pháp nghiên cứu hình học ơcơlit

§1 Trình bày hình học ơcơlit bằng phương pháp tiên đề

Trong chủ đề này yêu cầu nắm được tinh thần cơ bản của

phương pháp tiên để

1 Xuất phát từ ý tưởng sắp xếp, hệ thống và cho chứng minh đầy đủ các kiến thức hình học có trong thời đại mình mà ơcơlit đã

đề xướng phương pháp trình bày hình học bằng phương pháp tiên

để Từ ý tưởng trên, một cách rất tự nhiên, phải coi là đã có một số khái niệm, một số khẳng định về các khái niệm đó và chính chúng

là công cụ để suy diễn tức là định nghĩa các khái niệm và chứng minh các khẳng định khác Các khái niệm coi là đã có ấy gọi là các khái niệm cơ bản, cấc khảng định được thừa nhận về chúng gọi là các tiên đề

Chính việc thừa nhận các khái niệm cơ bản và các tiên đề cho biết tính chất của các khái niệm cơ bản, sau đó chứng minh chặt chẽ các khẳng định khác đã làm cho toán học trở thành một khoa học chặt chẽ, chính xác và trừu tượng Chính sự trừu tượng của toán học

đã làm cho nó phát triển ngày càng đa dạng và có nhiều áp dụng

trong các ngành khoa học khác

2 Hình học ơcơlit có nhiều hệ tiên đề khác nhau

Trong tài liệu đã giới thiệu ba hệ tiên đề khác nhau: đó là hệ

tiên đề của Hinbe, hệ tiên đề của Pôgôrêlốp và hệ tiên đề không gian vectơ Độc giả hãy lấy một số khái niệm cơ bản của hệ tiên đề này mà không phải là khái niệm cơ bản của hệ tiên đề kia rồi phát

biểu định nghĩa của chúng Cũng như vậy, hãy lấy một số tiên đề

của hệ tiên đề này mà không phải là tiên đề của hệ tiên đề kia rồi chứng minh chúng

3 Hình học ơcơlit có nhiều hệ tiên đề khác nhau song mỗi hệ cần thoa mãn các yêu cầu cơ bản: đó là tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ và tính độc lập Cần nắm vững nội dung của các yêu cầu cơ bản này Chính nhờ nghiên cứu tính độc lập của tiên đề về đường song song (định đề đánh số V của tác phẩm "Nguyên lý") mà Lôbasepxkí

đã xác minh ra bộ môn hình học phi ơcơlit mang tên ông

Ta nêu ra đây một mô hình của hình học Lôbasepxki để độc giả

hiểu sâu hơn vấn đề này: Trong mặt phang ơcơlit cho một đường thẳng d Đường thẳng d phân hoạch mặt phảng thành hai phần, mỗi phần gọi là một nửa mặt phảng và đường d gọi là bờ của mỗi nửa mặt phảng đó Ta cố định một nửa mặt phang và ký hiệu là w Các điểm của w gọi là các điểm Lôbasepxki, thu hẹp trên -W của mỗi đường thẳng vuông góc với d và mỗi nửa đường tròn có tâm thuộc d nằm trong 3^ gọi là một đường thẳng Lôbasepxki (khái niệm thuộc