Phần hình học sơ cấp giúp sinh viên nhận rõ cách giảng dạy hình học ở trường phổ thông là giảng dạy theo phương pháp tiên đề và nhìn nhận rõ các khái niệm hình học được dạy ở trường tiểu học: Đa giác, khối, diện tích và đo diện tích cắt ghép hình, dựng hình,... Mời các bạn cùng tham khảo.
PHẦN HAI: H Ì N H H Ọ C s C Á P CHƯƠNG ì PHƯƠNG PHÁP TIÊN Đ Ể §1 Sơ lirợc lịch sử Ngay từ năm dầuở trường tiểu học, học sinh biết khái niệm hình học điểm, đoạn thẳng, hình chữ nhật, hình tam giác, đường thẳng sau mặt phảng, khối lập phương, khối hộp chữ nhật, Tất khái niệm mô tả hình vẽ mô hình trực quan Tuy nhiên cách trình bày hình học truyền thống, người ta mô tả số khái niệm gọi khái niệm bán điểm, đường thẳng, mặt phăng, điểm thuộc đường thẳng, điểm hai điểm, hai đoạn thẳng nhau, khái niệm khác hình học đểu định nghĩa xác Trong cách trình bày truyền thống hình học, người ta thừa nhận số khẳng định hình học, gọi tiên đề, nói lên tính chất khái niệm bản, sau chứng minh khẳng định hình học Cách trình bày hình học dùng để giảng dạy môn hình học trường phổ thông nước ta mà hầu khác giới Người đặt móng cho cách trình bày hình học nhà Toán học ơcơlit sống Alexandri khoảng năm 300 trước công nguyên Tác phẩm "Nguyên lý" ơcơlit Hình học sơ cấp khoa học cổ nhất, phát sinh nhu cầu thực tiễn đời sống người đo đạc ruộng đất, tính toán công trình xây dựng Từ kỷ thứ v u đến kỷ thứ IU trước công nguyên, kiến thức hình học hệ thống lại mang tính chất môn khoa học Công lao thuộc trường phái toán học triết học Talét, Pitago, Aristôt, Đêmôcret Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Những công trình nghiên cứu nhà toán học cố đại tống kết hoàn tất xuất sắc tác phẩm ơcơlit nhan đề "Nguyên lý", viết vào khoảng 300 năm trước công nguyên Tác phẩm "Nguyên lý" ơcơlit tập hợp hầu hết kiến thức toán học đương thời mà giá trị chủ yếu phương pháp trình bày kiên thức Ớ tập sách tác phẩm "Nguyên lý" ơcơlit bắt đầu bàng việc đưa khái niệm (sẽ dùng đến) sau đưa số khẳng định xem chân lý (gọi tiên đề định đề) khái niệm nêu Phần chủ yếu tập sách kiến thức môn học bao gồm khái niệm, thuộc tính quan hệ chúng phát biểu thành định lý Tất khái niệm định nghĩa tất định lý chứng minh Như vậy, qua tác phẩm "Nguyên lý", ơcơlit thể rõ ý đồ muốn toán học trở thành môn khoa học trừu tượng suy diễn, độc lập với ý niệm vật lý không gian vật chất xung quanh, ơcơlit muốn định nghĩa khái niệm muốn chứng minh chân lý Khi bất tay thực thấy làm chứng minh điều lại phải dựa vào điều không Và dẫn đến ý tưởng phải thừa nhận số khái niệm không định nghĩa, thừa nhận số chân lý làm sở cho suy diễn Phương pháp trình bày ơcơlit có ảnh hưởng đến phát triển hình học nhiều kỷ toán học nói chung Với tác phẩm "Nguyên lý", ơcơlit người đặt móng cho việc xây dựng sở toán học, dẫn dắt nhà toán học, theo phương hướng nghiên cứu khác nhau, làm cho toán học trớ thành khoa học trừu tượng, suy diễn dạng Có thể nói ơcơlit tác phẩm "Nguyên lý" trở thành người thày hệ toán học sau Tuy nhiên tác phẩm "Nguyên lý" có số thiếu sót, song việc khắc khắc phục thiếu sót nhí toán học hệ sau thúc đẩy toán học phát triển Số hó140 a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Lòbasepxki Hinbe Bởi giá trị to lớn tác phẩm "Nguyên lý" ơcơlit, nhiều nhà toán học hệ sau bỏ công nghiên cứu hoàn thiện theo phương hướng khác Trước hết người ta cố gắng bổ sung thêm tiên đề đủ để làm sở cho suy diễn hình học, làm cho môn hình học thực trở thành môn khoa học xác chặt chẽ Công lao lớn thuộc nhà toán học Acsimet Cangto, Pastơ Mặt khác, nhà toán học có cố gắng tìm kiếm rút bỏ tiên đề mà chứng minh nhờ tiên đề khác Tiên đề nhiều nhà toán học ý định đề đánh số V tác phẩm "Nguyên lý" Nội dung định đề là: "Hai đường thẳng tạo với cát tuyến hai góc phía có tổng nhỏ hai vuông cắt phía hai góc đó" Nội dung định đẻ có hình thức phát biểu phức tạp so với định đề khác dùng đến muộn sách nên người ta nghi ngờ ơcơlít cố gắng chứng minh nó, song chưa nên'đành xếp vào danh mục mệnh đề thừa nhận Nhiều nhà toán học tìm cách chứng minh định đề V Có người tuyệt vọng nó, có người tưởng chứng minh định đề V, đến phút cuối trước công bố phát dùng kết suy từ định đề Mãi đến kỷ 19, ba nhà toán học Bôlyai (Hungari), Gaoxơ (Đức) Lôbasepxki (Nga) độc lập với đến kết luận: Không thể chứng minh định đề V nhờ định đề tiên đề khác Tuy nhiên hoàn cảnh kiến khác có Lôbasepxki người mạnh dạn công bố kết nghiên cứu tiến xa - sáng tạo môn hình học mang tên ông "Hình học Lôbasepxki" Để chứng minh định đề V, nhiều nhà toán học trước Lôbasepxki thường sử dụng phương pháp phản chứng, có nghĩa giả sử định đề không cố gắng tìm mâu thuẫn Song, tiếc thay mâu thuẫn nhận điều trái với nhận thức thực tế xung quanh mâu thuẫn nội mệnh đề thừa nhận Thừa kế kết đó, Lôbasepxki đến ý tưởng tuyệt vời chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn 141 phủ nhận Vì vậy, với việc thừa nhận chân lý thay mệnh đề phủ định Lôbasepxki thừa nhận mệnh đề phủ định định đề: "Tồn hai đường thẳng tạo với cát tuyến hai góc phía có tổng nhỏ hai vuông mà không cắt phía hai góc đó" Với việc thừa nhận mệnh đề phủ định mệnh để thừa nhận khác ơcơlit, Lôbasepxki phát triển xây dựng môn hình học Tuy nhiên kết nghiên cứu ông xa lạ với nhận thức giới quen thuộc vững, nên sinh thời ông bị nghi ngờ phản đối Chỉ đến đời lý thuyết tương đối thiên văn học phát triển, người ta hiểu vũ trụ bao la vũ trụ bao nhiều điều nghiệm gần gũi với kết nghiên cứu Lôbasepxki, kết nghiên cứu ông thừa nhận Công lao to lớn Lôbasepxki mở rộng tầm nhìn vũ trụ mở đường cho lý thuyết hình học "phi ơcơlit" Công lao cuối việc hoàn thiện tiên đề ơccỉit thừa nhận thuộc nhà toán học Hinbe người Đức Công trình ông ông trình bày Hội nghị Toán học giới năm 1901 nhận giải thưởng lớn Chúng ta xem xét §3 §2 Phương pháp tiên đề Nội dung phương pháp tiên đề Mỗi môn học chứa đựng khái niệm, mối quan hệ chúng thuộc tính khái niệm Theo tinh thần ơcơlit, chứng minh điều, phải chọn lọc mội số tối thiểu tính chất phải thừa nhận để làm sở cho toàn suy diễn Với khái niệm vậy, phải chọn lọc si tối thiểu khái niệm không định nghĩa, thuộc tính quan hí chúng thể qua số mệnh đề thừa nhận ti định nghĩa tất khái niệm khác Những khái niệm không địnl Số hó 142a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn nghĩa gọi khái niệm bản; mệnh đề thừa nhận không chứng minh gọi tiên đề Như vậy, để xây dựng môn học phương pháp tiên đề người ta đưa ra: Các khái niệm Các tiên đề (đặc trưng cho tính chất khái niệm bản) Và sở đó, người ta định nghĩa khái niệm suy diễn tính chất khác liên quan đến khái niệm có Để định nghĩa theo chủng loại, khái niệm lại thuộc vào lớp khái niệm rộng Các tính chất khảng định khác tiên đề gọi định lý, mệnh đề, bổ để, hệ thuộc vào nội dung vị trí Các khẳng định suy diễn nhờ quy tắc suy luận logic Hai quy tắc suy luận thông thường luật trung, tức khẳng định sai quy tắc tam đoạn luận, tức mệnh đề A —» B đúng, A B Tập hợp khái niệm tiên đề môn học gọi hệ tiên đề môn học Các yêu cầu hệ tiên đề Có nhiều cách khác để lựa chọn khái niệm tiên đề, môn học có nhiều hệ tiên đề khác Để đóng vai trò tảng cho môn học, hệ tiên đề cẩn thoa mãn hệ tiên đề sau đây: a Tính phi mâu thuẫn Một hệ tiên đề gọi phi mâu thuẫn từ hệ tiên đề suy hai kết trái ngược Nếu hệ tiên đề có mâu thuẫn phân biệt đúng, sai lý thuyết dựa hệ tiên đề trở nên vô nghĩa Vì vậy, tính phi mâu thuẫn yêu cầu hệ tiên đề b Tính độc lập Một hệ tiên đề gọi độc lập tiên đề hệ chứng minh nhờ tiên đề lại Như vậy, với yêu cầu này, hệ tiên để độc lập hệ tiên đề mà rút bớt tiên đề nào, số tối thiểu khẳng định phải thừa nhận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN 143 http://www.lrc-tnu.edu.vn c Tính đầy đủ Một hệ tiên đề gọi đầy đủ khảng định môn học suy diễn từ Tính phi mâu thuẫn yêu cầu bắt buộc hệ tiên đề, hai yêu cầu tính độc lập tính đầy đủ thực tiễn châm chước Chảng hạn, hệ tiên đề không độc lập dùng cho lý thuyết nhằm giảm bớt trình suy diễn giúp người học sớm tiếp cận kiến thức tinh tế môn học Mô hình hệ tiên đề Vì khái niệm không định nghĩa, nên gán cho khái niệm bán hệ tiên đề khái niệm có môn học cho tiên để hệ tiên đề "dịch" sang ngôn ngữ môn học chân lý, người ta coi tìm thể (hay mô hình) hệ tiên đề môn học Điều ví ý tưởng người thể thứ ngôn ngữ Như hệ tiên đề có nhiều mô hình môn học khác hay chí môn Khi hệ tiên đề có mô hình định lý trừu tượng suy từ hệ tiên đề cho ta định lý cụ thể mô hình, tức định lý môn học mà hệ tiên đề thể Đó ý nghĩa thực tiễn quan trọng phương pháp tiên đề Bằng mô hình, ta xét xem hệ tiên đề có thoa mãn yêu cầu đạt cho hay không Ta biết "chưa có" không đủ để khẳng định "không có" Với hệ tiên đề đến chưa tìm thấy mâu thuẫn hoàn toàn chưa đủ để nói ràng phi mâu Tuy nhiên, dễ thấy hệ tiên đề có mâu mà lại có số mô hình môn thân lý thuyết có mâu thuẫn Vì vậy, hệ tiên đề phi mâu thuẫn có mô hình lý thuyết chứng minh (hay giả thiết) phi mâu thuẫn Một tiên đè hệ tiên đề phi mâu thuẫn độc lập thay bàng khẳng định phủ định ta nhận hệ tiên đề phi mâu thuẫn Vì muốn chứng minh tiên đề hệ tiên đề độc lập, ta cần tìm mô hình hệ tiên đề lý thuyết xem phi mâu thuẫn Số hó144 a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn cho tất tiên đề khác thể thành định lý lý thuyết có tiên đề mô hình kết phi lý (trong lý thuyết đó) Bàng mô hình người ta xem xét cách tương đôi tính dầy đủ hệ tiên đề Hai mô hình hệ gọi đẳng cấu có tương ứng một khái niệm hệ tiên đề bảo tồn quan hệ đối tượng Một hệ tiên để coi đầy đủ hai mô hình đểu đẳng cấu Như hộ tiên đề đầy đủ từ định lý mô hình bàng cách "dịch ngược", ta có định lý trừu tượng hệ tiên đề §3 Hệ tiên đề Hinbe hình học ơcơlit Giới thiệu tiên dề Hinbe Hệ tiên đề Hinbe hình học ơcơlit gồm: a) Sáu khái niệm bản: điểm đường thẳng, mặt phang, thuộc, giữa, toàn đẳng b) Các tiên đề phân thành nhóm Nhóm ĩ (C ác tiên đề "thuộc") ì,: Có hai điểm thuộc đường thẳng I : Có đường thẳng thuộc hai điểm phân biệt cho trước lý Có ba điếm không thuộc đường thẳng I : Có mặt phảng thuộc ba điểm không thẳng hàng (không thuộc đường thẳng) Mạt phảng có điếm ì,: Đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phảng điểm đường thẳng thuộc mặt phảng I : Hai mặt phảng phân biệt có điểm chung có điểm chung thứ hai khác I : Tổn bốn điếm không thuộc mặt phảng Nhổm l i (Các tiên đề thứ tự) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN 145 http://www.lrc-tnu.edu.vn l i , : Nếu điểm Bở hai điểm A c A B c ba điểm phân biệt thuộc đường thảng điểm B hai điểm c A n : Bất kỳ hai điểm A c có điểm B cho c A B l i , : Trong ba điểm thuộc đường thảng có không điếm hai điểm I I : (Tiên đề Patsơ) Cho ba điểm A B c không thuộc đường thẳng cho đường thảng a không qua hai điểm ba điểm Khi nêu đường thảng a thuộc điểm A B thuộc điểm B c c A Nhóm HI (Các tiên đề toàn đảng) ni,: Cho điểm A thuộc đường thẳng a Ngoài cho CD đoạn thảng (đoạn thảng hiểu tập hợp gồm hai điểm) Khi có hai điểm Bị, B thuộc a cho AB, AB2 đoạn CD Ký hiệu AB, = CD, AB = CD Với đoạn thẳng AB ta có AB = BA m : Quan hệ đoạn thẳng có tính phản xạ, đối xứng, bác cầu cụ thể là: AB = AB Nếu AB = CD CD = AB Nếu AB = CD CD = EF AB = EF m : Cho điểm B hai điếm A c, điểm B' hai điểm A' c Khi AB = A'B', ÁC = A'C BC = B'C : 2 I I I : Cho góc (k.l) nửa đường thẳng a có gốc o (Các khái niệm định nghĩa nhờ khái niệm điểm, đường thẳng, Xem chương li) Khi có hai nửa đường thẳng b' b" có gốc o cho ( C o = (ãTb') ( Q ) = (ãTb") I I I : Quan hệ đôi với góc có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu cụ thể là: ( Q ) = ( Q ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN 146 http://www.lrc-tnu.edu.vn (k,l) = (m,n)thì(m,n) = (k,l) Nếu (Co = (nvn),(nũn) = (i£q) th ì (Co = (p*q) • Ngoài (C l) = ( U ) III : Nếu hai tam giác ABC A'B'C (Tam giác ABC tập hợp gồm ba đoạn thảng AB, BC, CA A, B, c không thẳng hàng), có AB = A'B\ ÁC = A'C, BÁC = ẼTÃXỹ ẤBC = iVẼPc', ẤCB = i V C B ' BC = B'C Nhóm IV (Các tiên đề liên tục) IV,: (Tiên đề Acsimet) Với hai đoạn thẳng AB CD có số tự nhiên n cho nAB > CD IV : (Tiên đề Cangto) Giả sử đường thẳng a cho dãy vô hạn đoạn thảng A,Bi, A B A„B , cho đoạn thẳng nằm trông đoạn thẳng trước đoạn thảng CD cho trước có số tự nhiên n để A B < CD Khi đường thẳng a có điểm X thuộc đoạh thảng dãy cho Nhóm V (Tiên đề đường thẳng song song) V Qua điểm A không thuộc đường thảng a có không đường thẳng b nằm mặt phảng p = (A,a) điểm chung với a Một vài mô hình tiên đề Hinbe a Mô hình vật lý Các kiến thức hình học có mô hình hoa trừu tượng hoa không gian vật chất mà sống Người ta bắt đầu hình dung điểm "không có chiểu dài, chiều rộng" đầu mũi kim, đường thẳng có chiều dài chiếu thẳng tia sáng, mặt phảng "chỉ có bề rộng bề dày" mặt hồ yên lặng Để biểu diễn "điểm" người ta vẽ "chấm" tờ giấy, để biểu diễn đường thẳng, người ta đặt kẻ đường tờ giấy, mặt phang biểu diễn hình bình hành tờ giấy Bằng hình vẽ vậy, ta mô tả khái niệm thuộc,ở 2 n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN n 147 http://www.lrc-tnu.edu.vn B Điếm A thuộc đường thẳng a Điểm Bở giũa A c Khái niệm hình mô tả bới việc đem chổng khít lên Đó mô hình vật lý hệ tiên đề Hinbe Mô hình vật lý hệ tiên đề Hinbe công cụ để giảng dạy hình học ơcơlit tất nước b Mô hình số học Từ đại số ta có mô hình sau hệ tiên đề Hinbe gọi mô hình số học Điếm hiểu ba số thực có số thứ tự (x.y,z) Mạt phảng hiểu phương trình bậc ba ẩn Ax + By + Cz + D = (1), A + B + c * 2 X = x + a,t Đường thẳng hệ phương trình ị y = y + a,t (2) z = z +a t t thay đổi af + à* + aj * Điếm (X|, y,, Z|) thuộc mặt phảng Ax + By + Cz + D = Ax, + By, + Cz, + D = 0, phụ thuộc đường thẳng (2) có t = tị để X, = x„ + a,t|„ ý, = y„ + a t„ z, = Z(, + a t| Ba điểm A = (X|,y,,z,), B = (x y z ), c = (x.,,y ,z ) thuộc đường thẳng (2) ứng với số t„ t , t, tức Xi = Xo + a,tj, y, = y + a tj,' Zj = z„ + a tj, i = Ì 2, Khi điểm Bở A c t| < t < t, t, < t < t| Đường thẳng (2) thuộc mặt phảng (1) nếu: A(x„ + a,t) + B(y„ + a t) + C(z„ + a,t) + D = với t Cũng đại số người ta thể khái niệm ta nhận mô hình số học hệ tiên để Hinbe Người ta dùng mô hình số học để nghiên cứu hình học ơcơlit, phương pháp toa độ hình học ơcơlit 2 2 3 () 2 2 148 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn hai điều kiện tìm tập hợp điểm thoa mãn điều kiện thứ hai giả sử hình.'/(' Sau ta lại tạm gác điều kiện thứ hai, tìm tập hợp điểm thoa mãn điểu kiện thứ nhất, giả sử hình '/: Mỗi điểm thuộc giao hai hình *"và y cho phép ta dựng nghiệm toán Ta dẫn số ví dụ Ví dụ ì Dụng đường tròn cho tiếp tuyến xuất phát từ ba điểm đa cho A, B c ba đoạn thảng cho a, b, c Lời giải Phán tích: Giả sử dựng đường tròn V tâm o bán kính R thoa mãn điều kiện đề Aị, Bị, C| tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ A, B, c tới đường tròn V AA| = a, BB| = b, cc, = c Điểm o tâm đẳng phương ba đường tròn '^(A,a), ^ (B,b), ^(Cc) Ditng hình: Ta tiến hành phép dựng sau: Dựng đường tròn ^i(A,a) ^ (B,b), '^(C,c) Dựng tâm đẳng phương o Vị, 'ể , Dựng tiếp tuyến OA, với Vị Dựng tiếp điểm À, tiếp tuyến Dựng đường tròn #tâm o bán kính R = OA, Chứng minh Nếu phép dựng tiến hành V đường tròn cần dựng Thực vậy, kẻ tiếp tuyến OB| oe, với đường tròn (f,và '#2 o tâm đẳng phương nên OA, = OB, = oe, nên Bị, C| thuộc đường tròn V Hơn BB|, CC| AA| tiếp tuyến Vvầ a, b, c cho trước f Biện luận: Ta không trình bày Đề nghị độc giả xét trường hợp xảy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn 237 Ví dụ Dựng hình thoi cho hai đường chéo đoạn thẳng r cho trước nằm đường tháng a cho trước, hai đỉnh lại hình thoi nằm hai đường thẳng b c cho Lời giải Phán tích: Giả sử dựng hình thoi ABCD thoa mãn điều kiện để có ÁC = r, B e b, D e c; A, c e a Theo tính chất hình thoi, điểm B D đối xứng với qua a, D giao c hình chiểu b' b qua a Hình 85 Việc dựng hình thoi ABCD quy việc dựng điểm D Cách dựng: Ta tiến hành phép dựng liên tiếp sau đây: Dựng ảnh b' b qua phép trục đối xứng trục a Dựng giao điểm D c b' Dựng đường thẳng d qua D vuông góc với a Dựng giao điểm o d a Dựng giao điểm o d a Dựng điểm B d cho o trung điểm BD Dựng A, c, € a cho OA = oe = Tứ giác ABCD hình thoi cần dựng Chứng minh Hiển nhiên Biện luận: Có thể xảy trường hợp sau: di b' toán vô nghiệm c • b' toán có vô số nghiệm Các đường thẳng c b' cắt điểm đườnị thẳng a, toán có nghiệm b' c cắt điểm a toán vô nghiệm 238 Số hó a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Độc giả làm tập sau Cho đường tròn í? tâm o bán kính R điểm A không trùng với o Hãy dựng đường thẳng d qua A cho cắt đường tròn theo dây a cho trước Cho trước đoạn thẳng a b, c Hãy dựng đoạn thẳng có độ dài X cho đây: a)x = —, b)x = Vãb, c) X = Va +b , d) X = Va -b c Dựng ba đường tròn có tâm đình tam giác ABC đôi tiếp xúc với Cho hai đường thẳng song song a b, điểm A a, b Hãy dựng qua A đường tròn tiếp xúc với a, b 2 2 §2 Đường tròn đa giác Đường tròn hình quen thuộc, nhiều tính chất đường tròn vào tiềm thức người học Trong tài liệu nêu chứng minh nhiều tính chất trục đẳng phương, tâm đẳng phương sau giới thiệu khái niệm chùm đường tròn mặt phảng Để nắm vững kiến thức độc giả cần nắm vững diều sau: a PMAO.R, = MO - = = = = R MA.MB A M MB (nếu M đường tròn) MT (nếu M đường tròn) - MA MB ( M đường tròn) M Hình 86 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn 239 b Trục đẳng phương d hai đường tròn ^O.R) #(0'.R') quỹ tích điểm có phương tích hai đường tròn Trục đẳng phương d xác định bới: i) d Ì OO', cắt OO' điểm H R -R' ii)IH = ì trung điểm cùa OO' H nằm phía 200' tâm O' I(R > R ) Do dó để dựng trục đảng phương d ta chì cần dựng điếm A trục đẳng phương, tức điểm P = P c Chùm đường tròn mật phảng tập hợp ÍVÍ đường tròn có tính chất sau: Có đường thảng cố định d cho với cặp đường tròn thuộc M nhận d trục đảng phương Có ba loại chùm đường tròn: Chùm eliptic, chùm hypebolic, chùm parabolic Độc giả cần nám cách dựng đường tròn thuộc chùm biết hai đường tròn khác thuộc chùm d Độc giả cần nấm phương trình chùm đường tròn để làm tập Ví dụ ỉ Cho hai đường tròn A/íe A/V CO: X + y = Ì ự): (x - 2) + y = - 2 2 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm % ' f qua A(5,3) Lời giải Đường tròn cần tìm qua giao '# '&' nên thuộc chùm đường tròn xác định í?và V nên có phương trình dạng: a(x + y - 1) + p(x + y - 4x + -) = 2 2 Vì đường tròn qua A(5,3) nên toa độ thoa mãn phương trình trên, 33cc + 63p = 22 Chọn a = 21, p = - l i ta x + y +=±x5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN 240 161 — = 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ Cho hai đường tròn (C,): x + y - x + y - = (C ): X + y + 2x - 2y - 14 = Viết phương trình đường đo qua giao (Cị) (C ) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = X Lời giải Dẻ thấy (C|) (C ) không tiếp xúc với đường thảng (d) nên phương trình đường tròn có dạng: a(x + y - 2x + 4y - 4) + (x + y + 2x - 2y - 14) = 0, a * - l 2 2 2 2 2 hay(a + l)x + ( a + l)y + 2(1 - a)x + 2(2a-l)y-4cc - 14 = 2 a-1 l-2a' bán kính a +1 a +1 Đường tròn có tâm ì 9or +12a + 16 (a + i ỵ 4a + 14 a +1 l-2a a +1 a-1 a + R Khoảng cách từ tâm ì đến (d) bán kính nên a-1 a +1 l-2a a +1 9a +12a + 16 (a + 1) # 7 Giải ta à, = -6-2V2 -6 + 2V2 cu =• ' ' Vậy ta có hai đường tròn ứng với a = à, a = a e Độc giả làm táp sau 1) Cho đường tròn tâm o bán kính R Qua điểm p cố định bên đường tròn ta kẻ hai dây AB CD vuông góc với a) Chứng minh AB + CD không đổi b) Chứng minh PA + PB + PC + PD không phụ thuộc vào vị trí điểm p 2) Trong mặt phảng toa độ cho họ đường 2 2 2 f(x,y) = X + y - 2m(x - 1) = 0, m tham số a) Tim m để phương trình phương trình đường tròn Ký hiệu c đường tròn ứng với giá trị m 2 m Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn 241 b) Chứng minh đoạn thảng nối gốc toa độ o điểm A(2,0) cắt C c) Chứng minh họ đường tròn trẽn chùm đường tròn Đa giác hình quen thuộc, song trường phổ thông ta làm quen với đa giác lồi nên hình dung đa giác chưa đầy đủ Độc giả cần nắm vững nội dung sau a Khái niệm đa giác đơn nội dung định lý Jordan Nhờ định lý Jordan người ta định nghĩa khái niệm miền đa giác đơn Miền đa giác đơn gọi đa giác đơn hai chiểu, đa giác đơn gọi đa giác chiêu Kiên trúc đa giác đơn phức tạp làm cho việc nhận biết điểm M điểm dễ dàng Tuy nhiên ta có tiêu chuẩn dễ dàng để nhận b iết điểm điểm đa giác đơn Người ta sử dụng đa giác đơn có kiên trúc phức tạp khác làm câu đố báo thiếu nhi, nhi đồng dựa nguyên tắc là: Nếu điểm điểm đa giác đơn di chuyển đa giác không vượt qua cạnh đa giác m b Ở trường tiểu học người ta mô tả khái niệm diện tích đa giác cho công thức tính diện tích số đa giác thường gặp Trong tài liệu cho định nghĩa đa giác tiên đề với đa giác F cách tính số s(F) diện tích Tuy nhiên độc giả cần hiểu tinh thần cách tính số s(F), sau cần hiểu với đa giác F ta xây dựng số s(F) thoa mãn bốn tiên đề nêu c Khái niệm hai đa giác đẳng hợp định lý Bolyai - Ghevin khẳng định hai đa giác đơn đẳng tích đẳng hợp Bài toán đẳng hợp cắt ghép hình sở để tạo nhiều trò choi lý thú, kể việc chứng minh sinh động nhiều định lý nghiêm túc Ta dẫn ví dụ chứng minh định lý Pitago cách cắt ghép hình Để chứng minh định lý Pitago, ta cắt hình vuông có cạnh a ghép lại thành hai hình vuông có cạnh b c a cạnh huyền b, c hai cạnh góc vuông tam giác vuông Việc cắt ghép hình vẽ 87 Số hó 242a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Để nghiên cứu đa giác ta thường dùng phương pháp tổng hợp phương pháp vectơ, đẽ nghiên cứu đường tròn ta thường dùng ba phương pháp Ta dẫn số ví dụ Ví dụ ỉ Tứ giác ABCD có đường chéo vuông góc với nội tiếp đường tròn Nối trung điểm M dây cung AB với giao điếm s hai đường chéo Chứng minh M S Ì CD Lời giải Giả sử E, F trung điểm BD Á C Hình 87 Khi ÕF = -(ÕÃ + ÕD), ÕẼ = -(ÕB + ÕD), o tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Do tứ giác OESF hình chữ nhật nên: Hình 88 Ì o s = OE + OF = - ( O A + OB + o e + OD) Do M trung điểm AB nên OM = — (OA + OB) Suy MS = O S - O M = -(OC + OD) = OK K trung điểm CD Vì MS.DC = OK.CD = hay M S Ì CD Ví dụ Chứng minh trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn 243 Lời giải Gọi o tâm đường tròn ngoại tiếp H trực tâm tam giác ABC Lấy AD đường kính, ta có BHCD hình bình hành có cạnh đối song song Do trung điểm M BC trung điểm DH Khi OM đường trung bình tam giác DAH Gọi G giao điểm cùa AM OH ta có = — tức G trọng tâm cùa tam giác ABC Vậy o G, H AM thẳng hàng Hơn ta có HG = 20G Độc giả làm số tập sau 1) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm o bán kính R Chưn" minh AB + CD = 4R hai đường chéo tứ giác vuông 2ÓC với 2) Chứng minh trung điếm đường chéo trung điểm hai cạnh đối diện hình tứ giác đinh hình bình hành điểm thảng hàng 3) Chứng minh có chi đường trung bình tứ giác chia tứ giác thành hai phần có diện tích tứ giác hình thang 4) Đáy ÁC tam giác ABC bị chia điểm B| B thành ba phần bang AB, = B,B; = B c Qua B| kẻ đường thẳng song son" với AB qua B, kè đường thẳng song song với BC hai đường thẳng cắt M Chứng minh đường thẳng A M BM CM chia tam giác thành ba phần có diện tích 5) Cho tam giác ABC vuông A: AD BE CF trung tuyến Chứng minh BE + CF = AD 6) Cho tam giác ABC Tim tập hợp điểm M thoa mãn đảng thức MB + M e = 2MA AG 2 : : : : : 2 Số hóa244 bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn 7) Cho tứ giác lồi ABCD Dựng hình bình hành ABDC chứng minh tú giác ABCD tam giác ACC có diện tích 8) Cho tam giác ABC có ì trung điểm BC G trọng tâm Trên tia + < a,c > = = - 20 A +-(OD... đoạn thẳng F,F 2c F|(-c,0), F (c,0) M (x,y) thuộc hypebol thì: 2 2 •cỴ + y' = 2a X V b = c - a Biến đổi phương trình ta -T -— a đường b gọi phương trình tắc hypebol Căn vào phương trình tắc hypebol,... K(Ị, X , X ) = (ẦXị, A.x , Ằx ) Dẻ thử lại R với hai phép toán không gian vetơ 2) Trong mô hình vật lý hình học ơcơìit ta hiểu 2 2 2 3 3 2. 1) Vectơ cặp điểm (A, B) có thứ tự ký hiệu AB, A gọi điểm