Giáo trình Toán sơ cấp (Tái bản) Phần 1

Giáo trình Toán sơ cấp được biên soạn dùng làm tài liệu học tập cho các học viên ngành Giáo dục tiểu học hệ đào tạo tại chức và từ xa. Phần 1 giáo trình cung cấp cho sinh viên những kiến thức về phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình. Mời các bạn cùng tham khảo.

TRUÔNG L>/EFHỌC sư PHẠM HÀ NỘI TRUNG TÀM GIAO DỤC TỪ XA

VŨ TUÂN - NGUYÊN VÀN DOANH

TRƯỜNG Đ Ạ I HỌC s ư PHẠM HÀ N Ộ I TRUNG T Â M GIÁO DỤC TỪ XA GS.TS VŨ TUẤN - TS NGUYÊN VĂN DOANH

G I Á O T R Ì N H

TOÁN Sơ CẤP

Dành cho học viên ngành Giáo dục tiểu học

Hệ đào tạo Tại chức và Từ xa

ì

(TÁI BẢN)

NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

GIỚI THIỆU CHƯƠNG TRÌNH Giáo trình Toán sơ cấp gồm hai phần:

Đại sỏ sơ cấp và Hình học sơ cấp

Phân Đại số sơ cấp, ứng với hai đơn vị học trình (15 X 2 = 30 tiết học), bao gồm ba chương:

Chương ỉ: Phương trình

Chương li: Hệ phương trình

Chương UI: Bất đẳng thức, bất phương trình

Phần này được viết theo chương trình nêu trên, nhằm cung cấp cho sinh viên một cách hệ thống kiến thức về phương trình, hệ phương n inh, bất phương trình đại số

Phần Hình học sơ cấp cũng ứng với hai đơn vị học trình và bao gồm hai chương:

Chương ì: Phương pháp tiên đề

Chương li: Đường, mật, khối trong không gian ơcơlít

Phần hình học sơ cấp giúp sinh viên nhận rõ cách giảng dạy, hình học ở trường phổ thông là giảng dạy theo phương pháp tiên đề

và nhìn nhận rõ các khái niệm hình học được dạy ở trường tiêu học:

Đa giác, khối, diện tích và đo diện tích cắt ghép hình, dựng hình, Cùng với các giáo trình khác, Toán sơ cáp sẽ góp phần giúp sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học nhìn lại một cách tổng quát, bản chất nội dung chương trình, các vấn đề, các bài toán giảng dạy ỏ Tiểu học

Để học tốt, nắm chắc giáo trình, bạn đọc cần ôn tập các vấn đề

về câu trúc đại số (nhóm, vành, trường ), các tập hợp số (vành số nguyên z, trường, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R và trường số phức C) đã được học trong Toán cao cấp ỉ và Lí thuyết số

San khi học kỹ lí thuyết, bạn đọc cơn làm hết các bài tập (sau mỗi tiết §) để củng cố tí thuyết và rèn luyện kĩ năng %iải toán Chúng tôi mong bạn đọc góp ý, sửa chữa những thiếu sót chắc khó tránh khỏi để xây dựng giáo trình ngày một tốt hơn

Các tác giả

PHẦN ì: Đ Ạ I SỐ s ơ CẤP

CHƯƠNG ì

P H Ư Ơ N G T R Ì N H

ì ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

§1 Các khái niệm cơ bản

1 Biểu thức toán học

a Biểu thức toán học (hav biểu thức) là một cách ký hiệu chí

rõ các phép toán và thứ lự thực hiện các phép toán đó trên các số và các chữ thay số thuộc trường sô K (K có thể là Q, R hay C)

Vi dụ

f ( x ) =( 5 m + l ) x - 7

2m - X g(x) = Vx2 +2X+99

h(t) = sin(cot + q>)

, 5x-(3m + I)y u(x,y)= , _

+ Mọi phép toán đều thực hiện được và ta tính được số xác định f(x„) Ta gọi f(x„) là giá trị của f(x) tại x„

+ Có ít nhất một trong các phép toán ghi trong biểu thức không

thực hiện được

+ Ở trường hợp đầu ta nói f(x) xác định tại Xo và ở trường hợp

thứ hai ta nói f(x) không xác định tại

Xo-Ví dụ

5x - 7 Biểu thức f(x) = — không xác đinh tai X = 2 và xác đinh

2 - X

với mọi X * 2 Ta nói tập xác định của f(x) là R \ {2 Ị

Biêu thức /(x) = — 5 In X không xác định nếu X < 0 và xác

định với mọi X > 0 Ta nói tập xác định của /(x) là (0, +oo) hay R+)

Chít ý: Đôi với các biểu thức toán học nhiều đối số, ta có các khái

niệm tương tự

d Ta gọi các phép toán cộng trừ, nhân, chia và phép lũy thừa

với số mũ hữu tỉ là các phép toán đại số Các phép toán khác với

năm phép toán trên gọi là phép toán siêu việt

Biểu thức toán học chỉ gồm các phép toán đại số đối với các đối

số gọi là biểu thức đại số Biểu thức có chứa các phép toán siêu việt

đối với các đối số gọi là biểu thức siêu việt

a Cho hai biểu thức f(x) và g(x) cùng xác định trên tập hợp D c K

(D * 0 ) và lấy giá trị trong K

Bài toán tìm tất cả các số Xo € D sao cho

f(x„) = g(x„) (a)

được gọi là giải phương trình một ẩn số:

f(x) = g(x) (b)

là tập nghiệm của phương trình (b)

Khi đó ta nói phương trình (b) là:

- Vô nghiệm nếu s = 0 ;

- Có nghiệm duy nhất nếu s chi gồm một phần tử;

- Có vô số nghiêm nếu s có vô số phần tử

b Phương trình f(x) = g(x) được gọi là:

- Phương trình đợi íốnếu f(x) và g(x) là những biểu thức đại số;

- Phương trình siêu việt nếu ít nhất một trong chúng là biểu

thức siêu việt

Ví dụ Các phương trình

3x - Ì = Ì - 5x 3x2 - 5x + 2 = 0

N/X + 2 - N / X 2 + 2

3x - 1 7x-54 _ x - 2

là những phương trình siêu việt

§2 Các phép biến đổi tương dương

1 Phương trình tương dương

Giả sử f), f2, gi, g2 là những biểu thức toán học của cùng một ẩn

số X trên trường số K và cùng xác định trên tập D

Định nghĩa Hai phương trình

í(x) = g,(x) (1)

gọi là tương đương với nhau trên trường số K nếu tập nghiệm của

chúng trùng nhau

Nói cách khác, hai phương trình (1) và (2) tương đương nhau

nếu mỗi nghiệm của (Ì) cũng là nghiệm của (2) và ngược lại

Nếu ký hiệu tập nghiệm của (1) là S| và tập nghiệm của (2) là

Sj thì:

((!)<=> (2) ) » ( S , = Sĩ)

Định nghĩa Phương trình (2) được gọi là hệ quả của phương

trình (1) trên trường số K nếu mỗi nghiệm của (1) đều là nghiệm

của (2), tức là:

( D = > ( 2 ) » S , c S2

Chú ý Mọi phương trình vô nghiệm trên K theo định nghĩa đều

là tương đương với nhau vì cùng có tập nghiệm là 0

cùng xác định trên R* = R \ {0} và tương đương với nhau vì có

chung nghiệm duy nhất X = 3

X = ± Ì trong khi phương trình thứ hai chỉ có một nghiệm X = - 1

Phương trình thứ hai không xác định tại X = Ì

2 Phép biến đổi tương đương

a Định nghĩa Một phép biến đổi thực hiện trên một phương

trình để được một phương trình tương đương gọi là phép biến đôi

tương dương

Một phép biến đổi thực hiện trên một phương trình để được một

phương trình hệ quả gọi là phép biến đổi hệ quả

b Các định lý về phép biến đổi tương đương

Giả sử f(x) và g(x) là những biểu thức một ấn trên trường K,

Nói cách khác, chuyển vế và đổi dấu một biểu thức của một

phương trình ta được một phương trình tương đương

Chú ý: Điều kiện h(x) có nghĩa trẽn tập D chỉ là điều kiện đủ để

(3) và (4) tương đương chứ không phải là điều kiện ắt có

Ví dụ Trên trường số c có hai phương trình

3x + 5 3

Điều đó chứng tỏ rằng nêu Xo là nghiệm của (5) thì nó cũng là

nghiệm của (6) và ngược lại

Hệ quả:

Nếu nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác

không thì được một phương trình tương đương

Vi dụ

Ì) Hai phương trình

X2 - 5x + 6 = 3x - Ì

và (x2 - 5x + 6) (x2 + X + 1) = (3x - 1) (X2 + X + 1)

là hai phương trình tương đương trên R vì h(x) = X2 + X + Ì có

nghĩa và khác 0 với mọi X e R

Hai phương trình này có cùng nghiệm là X = Ì và X = 7

2) Hai phương trình:

X2 - Ì Ì - X _ l - 2 x: 2

~~2 3~~ 3 7x2 + 2 x - 19 = 0

tương đương với nhau vì phương trình sau do phương trình trước nhân với 6 và rút gọn

tương đương nhau vì cùng có các nghiệm là X = - Ì, X = - 3 mặc

dù phương trình thứ hai do phương trình đầu nhân với một biểu thức

2 Phép thay thế một biểu thức bởi một biểu thức hằng đẳng với

nó được gọi là phép biến đổi hằng đẳng

b Định lý 3 Mọi phép biến đổi hằng đẳng (mà không làm thay

đổi tập xác định của phương trình) đều là phép biến đổi tương

đương

Ví dụ (X - 2) (X2 + 2x + 1) = 3(1 - 2x + X2)

<=> (x - 2) (x + Ì)2 = 3(x - Ì)2

4 Giải phương trình

Về thực chất giải phương trình là thực hiện liên tiếp các phép

biến đổi tương đương từ phương trình đầu cho đến phương trình đơn

giản có thể thấy ngay nghiệm của nó

Nếu trong quá trình biến đổi có lúc thực hiện phép biến đổi hệ

quả thì trong kết quả có thể có những nghiệm ngoại lai Để loại

chúng ta thực hiện phép thừ vào phương trình đầu

Ví dụ Giải phương trình

Lời giải Bình phương hai vế phương trình trên ta được:

X

„2

g) lgx- = 2 và 21gx = 2 trênR

h) log^x2 = 5 và 21ogJ xi = 5 trên R

3 Cho hai phương trình trên R

f(x) = g(x) (10)

f2(x) = g2(x) ( l i )

Phương trình nào là hệ quả của phương trình kia? Tại sao?

4.'Các phương trình f(x) = g(x) và f3(x) = g\\) có tương đương trên

R hay không? Tại sao?

5 Các phương trình f(x) = g(x) và af(x) = as"° trong đó a > 0 a * ì có

tương đương trẽn R hay không?

6 Trong hai phương trình trên R

f(x) = g(x) (12) logaf(x) = logag(x) trong đó 0 < a * Ì (13)

phương trình nào là hệ quả của phương trình kia?

7 Cho phương trình vô nghiệm:

Với điều kiện nào thì (14) tương đương với phương trình f(x)

(p(x) = 0, trong đó q>(x) là một biếu thức đại số?

* Nêu b * 0 phương trình vô nghiệm vì Vx 6 K : Ox = 0 * - b

* Nếu b = 0, phương trình có dạng Ox = 0 Phương trình đúng với

Nghiệm đúng với mọi X e K (vô định)

Ví dụ ỉ Giải và biện luận phương trình

3") m = -2 phương trình có dạng o.x = 0 Phương trình

*Nếu b * — thì phương trình vô nghiệm

*Nếu b = — thì phương trình có dạng o.x = 0

Phương trình nghiệm đúng với Vx e R

Ví dụ Ở một nhà trẻ các cháu được chia thành các nhóm mỗi

nhóm có một cô phụ trách Nếu mỗi nhóm có 6 cháu thì 4 cháu chưa

có ai phụ trách Nếu mỗi nhóm có 8 cháu thì thùa một cô Hỏi có bao nhiêu cháu, bao nhiêu cô phụ trách?

Biểu thức ax2 + bx + c gọi là tam thức bậc hai đối với X

Dưới đây ta xét phương trình bậc hai trên trường số thực R

Vậy phương trình có nghiệm thực kép

3") A < 0 Phương trình (Ì) không có nghiệm thực

Tuy nhiên trẽn trường sô phức thì A < 0 ta có

hai nghiêm phân biêt X| 2 =

Định lý Nếu X| + x2 = s và x,x2 = p thì hai số X| x2 là nghiệm

của phương trình bậc hai:

X2 - Sx + p = 0 (Bạn đọc tự chứng minh hai định lý trên)

Ví dụ Ị

Xác định m để phương trình

3x2 + 4 ( m - l ) x + m2- 4 m + Ì =0 (2)

có hai nghiệm phàn biệt thoa mãn hệ thức:

Lời giải Trước hết tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm

phân biệt X| Xi khác không

4(m-l)T 3

) =0

Ì

m - 4m +1 2 = 0 2(m-l)(m- - 4 m - 5 ) -

Lời giải Điều kiện đế tam thức bậc hai f(x) có nghiệm là

Cho phương trình bạc hai:

X2 - (2sina - l)x + ósirra - sina - 1 = 0 (8) trong đó a là tham số

a) Xác định a để phương trình có nghiệm

b) Tim giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức xf + \ị (trong

đó Xi, x2 là nghiệm của phương trình (8)) khi a thay đổi

Lời giải

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A > 0 tức là

(2sina - Ì)2 + 4(6sin2a - sina - 1) > 0

<=> - 20sirra + 5 > 0

<=> — < sina < — Ì Ì

2 2

m = 1: X = Ì

X *

-3 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai trên trường số thực R

f(x) = a.v + bx + c

A = b2 - 4ac

1) Nếu A < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi X e R

2) Nếu A - 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi X e R mà

b

2a

3) Nêu'A > 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi X ở trong khoảng

hai nghiệm, còn vói các X nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x)

b h 2") Nêu A = 0 thì f(x) = 0 khi X = - — và với mọi X * -— ta có

2a 2a (x + y - )2> 0 = > a f ( x ) =a2(x + y - ): > 0 tức là f(x) cùng đấu a

3") Nếu A > 0 tam thức có hai nghiệm phân biệt X| X

Từ đó:

f(x) cùng dấu a với mọi X 6 (-oe, X|) u (x2, +00)

f(x) trái dấu a với mọi X e (X,, x2)

Từ định lý trên ta suy ra ngay định lý đảo sau đây:

Định lý đảo:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a * 0) và số thực a Ì") Nếu af(a) < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt X| < x2 và X] < a < x2

2") Nếu af(a) > 0 thì f(x) có thể có hay không có nghiệm Trong trường hợp f(x) có hai nghiệm X|, Xi (X| < x2) thì a < X| hoặc

- í :

f(x) có 2 nghiệm

X, < a < x2

x,,x2

(X < X 2°) af(a) > 0 và A > 0

Ì + — > cosA + (cosB + cosOx (10)

"ĩ Lời giãi Bất đảng thức (10) tươnc đương với

f(x) = (cosB + cosC)x + Ì - cosA > 0 với Vx e R

Vì hệ số của X2 là a = — > 0 nên điều kiện f(x) > 0 tương đương

với A < 0 tức là

<=> (cosB + cosC)2 - 2(1 - cosA) < 0

»4cos2 (^^)cos:(-^-)-4siir — <0 (li)

Vì vậy số m phái thoa mãn hệ:

6 Chứng minh ràng hệ thức (k + l)2ac = kb2 (k * - 1) là điều kiện

ắt có và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a * 0) có hai nghiệm

phân biệt X|, x2 và X| = kx2

7 Với giá trị nào của m phương trình X2 - X + m = 0 không có nghiệm thực?

8 Tim các giá trị của a sao cho đường cong y = X + ax + 25 nép

xúc với trục hoành

9 Tính — + — , trong đó x„ x2 là các nghiệm của phương trình

X12 X T

2 x2- 3 a x - 2 = 0

10 Tìm mọi giá trị của a sao cho cả hai nghiệm của phương trình

X2- 6ax + 2 - 2a + 9a2 = 0 đều lớn hơn 3

11 Lập phương trình bậc hai biết ràng hai nghiệm x„ x2 của nó thoa mãn các hệ thức

x,x2 = - 1

• X, x; _ a2~7

X, - 1 x2- l ~ a2- 4

12 Gọi X|, X2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 - 5x + 1= 0 Hãy

thiết lập phương trình bậc hai có các nghiệm là

Nếu đặt ẩn phụ y = x + — <=>x = y - — thì thay vào (2), ta được:

— + b,; q = -— —

3 27 3

Vậy ta luôn luôn đưa được việc giải phương trình bậc ba (1)

về việc giải phương trình bậc ba dạng rút gọn (3) trên cùng một

Giải phương trình này ta được (với A = q- + —— )

Ý người tìm ra công thức này năm 1545, là Gerelamo Cardano

Các cặp giá trị của u, V phải lựa chọn sao cho chúng thoa mãn hệ thức

uv= -— Giả sử ta đã lưa chon đươc Út, V, sao cho u,v, = - —

3 3 Khi đó sẽ có:

u:v3 = U|£ V|£2 = UịV^3 = U|V, = -—

u,v2 = U|E2 V|E= U| V|£3 = U|V| = -—

Vậy ta có các công thức tính ba nghiệm cùa (3) là:

x2 = u, + V, = UE + VịE (5)

X, = LI, + v2 = U|E + v,e

Ví dụ Giải phương trình \ - 3x2 - 3x + 11 = 0 trên trường số phức

Lời giãi Đạt X = y + Ì <=> ý = X - Ì ta được:

b Bài toán 2: Giải phương trình X5 + px + q = 0 (p, q e R) trên trường số thực

Lời giải Ta tìm nghiệm thực của phương trình bằng cách sử

dụng cõng thức Cácđanô

Trong công thức có căn bậc hai 1— + — cho nên ta biện luân

4 27 như sau:

Ta có nghiệm thực kép x2 = x3

3«) f L + JL < 0 Khi đó hai cân bậc ba trong công thức

4 27

Cácđanô cho ta ba giá trị của u và V từng đôi liên hợp với nhau Ta

chọn u, và Vị là hai số phức liên hợp, chúng phải thoa mãn hệ thức u,v, = -— 6 R Lúc đó X| = Uị + V, 6 R

Ta tính x2, x3 theo công thức (5):

x2 = U]£ + v,s2

Vì u, liên hợp với Vị, e2 liên hợp với 8 cho nên U,E2 liên hợp với V|S Từ đó x2 là số thực

X, = U|£2+ V|8 cũng là số thực theo lập luận tương tự

Ví dụ Giải phương trình X* - 7x + 6 = 0 trên R

Lời giải Ở đây p = - 7, q = 6 cho nên

q2 p _ 3 4 3 n

4 27 27 Theo chứng minh trên phương trình có ba nghiệm thực phân biệt tính theo công thức:

9 V 9 Tính ra ta được ba nghiệm thực phân biệt là X, = 1; x2 = 2;

x3 = - 3

Chú ý: Bằng cách phân tích thành thừa số ta cũng giải được

phương trình trên

Thật vậy, vì Ì - 7 + 6 = 0 cho nên phương trình có nghiệm

X, = 1 Chia đa thức - 7x + 6 cho X - Ì ta được:

x? _ 7 x + 6 = (x - l)(x2 + x - 6 )

Dẻ thấy rằng X2 + X - 6 = 0 có hai nghiệm thực x2 = 2, X, = - 3

Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt trong đó có một nghiệm kép

Phương trình có 3 nghiệm thực phàn biệt

là điều kiện để (Ì) là bình phương đủ

Nghiệm của (2) là y = Ì; thay vào (Ì) ta được

Đổng nhất các hệ số, các lũy thừa cùng bậc ở hai vế ta sẽ được

một hệ phương trình tuyến tính đối với a, b, c, d

Từ đó suy ra các nghiệm

Do đó bài toán giải phương trình (Ì) được đưa về bài toán giải

phương trình với hệ số nguyên

2 Nghiệm của phương trình với hệ số nguyên có thể là số hữu

tỉ, vô tí hoặc số phức

Ví dụ Phương trình (2x2 - 3x + 1) (x2 + X + 1) = 0 có các nghiệm

Để giải bài toán này, ta chứng minh các mệnh đề sau:

Định lý Nếu số hữu tỉ X = - trong đó p và q nguyên tố cùng

a0:p a„iq

Chíữig minh — là nghiệm của (2) cho nên:

p(anpn-' + an_,pn-2q + + a.q"-') = - a„qn

Đẳng thức đó chứng tỏ p là ước số của a„qn; nhưng p, q nguyên

tố cùng nhau cho nên p là ước số của a„

Từ (3) cũng có thể viết:

q(anpn _ l + v pn _ 2q + + a„qn~' = - anqn

p + a„_, + a„_, p + + a, p + + a,

Đẳng thức này chứng tỏ q là ước của anq" nhưng p q nguyên tô

cùng nhau cho nén q là ước số của a„

Định lý được chứng minh

Hệ quả ỉ: Mỗi nghiệm nguyên (nếu có) của một phương trình

đa thức với hệ số nguyên (2) đều là ước của số hạng tự do a„

Chứng minh Thật vậy nếu p = — là nghiệm của (2) thì theo

định lý Ì, p là ước số của a„

Hệ quả 2: Nếu phương trình đa thức với hệ số nguyên (2) có hệ

số cao nhất bằng Ì (an = 1) thì mỗi nghiệm hữu tỉ của (2) đều là số

Vì Xo = — là nghiệm của (2) cho nên, theo định lý Ì, q phải là

q

ước số của an = Ì

Do đó q = ± Ì => x„ là số nguyên

Chú ý ỉ: định lý Ì và hai hệ quả trên cho ta cách đoán nhận

nghiệm số hữu tỉ của một phương trình đa thức với hệ số nguyên

Ví dụ ỉ Tim các nghiệm hữu tỉ của phương trình

Lần lượt thử các giá trị trên vào (3) ta thấy (3) chỉ có ba nghiệm hữu tỉ là X, = 2, x2 = - và X, = -6

Lưu ý rằng sau khi thấy X, = 2 là nghiệm ta có thể phân tích vế

trái thành tích bằng cách chia đa thức cho X - 2 và được:

( x - 2 ) ( 2 x2+ l l x - 6 ) = 0

Từ đó dẻ dàng tìm được hai nghiệm x2 = —, Xi = - 6

Ví dụ 2 Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình

X4 + X3 - 7x2 - X + 6 = 0

Lời giải Vì hệ số của số hạng bậc cao nhất bằng Ì nên theo hệ

quả 2, mọi nghiệm hữu tỉ của phương trình đều là số nguyên Theo

hệ quả Ì, nghiệm nguyên của phương trình là ước của 6 cho nên nếu

có chỉ có thể là:

± Ì, ± 2 , ± 3 , ± 6

Bằng cách thử lần lượt ta thấy phương trình đã cho có các

nghiệm nguyên là: X| = Ì, x2 = - Ì , x3 = 2, x4 = -3

Chú ý 2: Phương pháp tìm nghiệm nguyên cùa phương trình đa

thức trên đây sẽ khó khăn nếu ao quá lớn Ta có thể giảm bớt số phép thử bằng dấu hiệu sau

Định lý Nếu a là một nghiệm nguyên của đa thức với hệ số

Ví dụ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình