Giáo trình Toán sơ cấp (Tái bản) Phần 1

Giáo trình Toán sơ cấp được biên soạn dùng làm tài liệu học tập cho các học viên ngành Giáo dục tiểu học hệ đào tạo tại chức và từ xa. Phần 1 giáo trình cung cấp cho sinh viên những kiến thức về phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình. Mời các bạn cùng tham khảo.

TRUÔNG L>/EFHỌC s PHẠM HÀ NỘI TRUNG TÀM GIAO DỤC TỪ XA VŨ TUÂN - NGUYÊN VÀN DOANH G I Á O T R Ì N H NHÀ XUẢT BÁN ĐẠI HỌC s PHẠM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn TRƯỜNG Đ Ạ I H Ọ C s P H Ạ M HÀ N Ộ I TRUNG T Â M G I Á O DỤC TỪ XA GS.TS VŨ TUẤN - TS NGUYÊN VĂN DOANH GIÁO TRÌNH TOÁN Sơ CẤP Dành cho học viên ngành Giáo dục tiểu học Hệ đào tạo Tại chức Từ xa ì (TÁI BẢN) NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC s PHẠM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn G I Ớ I THIỆU CHƯƠNG TRÌNH Giáo trình Toán sơ cấp gồm hai phần: Đại sỏ sơ cấp Hình học sơ cấp Phân Đại số sơ cấp, ứng với hai đơn vị học trình (15 X = 30 tiết học), bao gồm ba chương: Chương ỉ: Phương trình Chương li: Hệ phương trình Chương UI: Bất đẳng thức, bất phương trình Phần viết theo chương trình nêu trên, nhằm cung cấp cho sinh viên cách hệ thống kiến thức phương trình, hệ phương n inh, bất phương trình đại số Phần Hình học sơ cấp ứng với hai đơn vị học trình bao gồm hai chương: Chương ì: Phương pháp tiên đề Chương li: Đường, mật, khối không gian ơcơlít Phần hình học sơ cấp giúp sinh viên nhận rõ cách giảng dạy, hình học trường phổ thông giảng dạy theo phương pháp tiên đề nhìn nhận rõ khái niệm hình học dạy trường tiêu học: Đa giác, khối, diện tích đo diện tích cắt ghép hình, dựng hình, Cùng với giáo trình khác, Toán sơ cáp góp phần giúp sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học nhìn lại cách tổng quát, chất nội dung chương trình, vấn đề, b ài toán giảng dạy ỏ Tiểu học Để học tốt, nắm giáo trình, bạn đọc cần ôn tập vấn đề câu trúc đại số (nhóm, vành, trường ), tập hợp số (vành số nguyên z, trường, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R trường số phức C) học Toán cao cấp ỉ Lí thuyết số San học kỹ lí thuyết, bạn đọc làm hết b ài tập (sau tiết §) để củng cố tí thuyết rèn luyện kĩ %iải toán Chúng mong bạn đọc góp ý, sửa chữa thiếu sót khó tránh khỏi để xây dựng giáo trình ngày tốt Các tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn PHẦN ì: Đ Ạ I SỐ s C Ấ P CHƯƠNG ì PHƯƠNG TRÌNH ì ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH §1 Các khái niệm Biểu thức toán học a Biểu thức toán học (hav biểu thức) cách ký hiệu chí rõ phép toán thứ lự thực phép toán số chữ thay số thuộc trường sô K (K Q, R hay C) Vi dụ ( m + l)x-7 2m - X f ( x ) = g(x) = Vx +2X+99 h(t) = sin(cot + q>) , 5x-(3m + I)y u(x,y)= , _ 2mx - ly v(x.v) = e\siny b Có thê phân chia chữ có mạt biêu thức toán học thành hai loại Tham số (thông sô) chữ biểu thị số xác định Đối sốìà chữ nhạn giá trị bàng số khác Chảng hạn, biểu thức h(t) t đối số co, ọ tham số u(x,y) X, y đôi sỏ m tham số c Trong biêu thức đối số f(x) sau thay X bơi Xo thực tất phép toán biểu thức f(x) xảy hai khả năng: + Mọi phép toán thực ta tính số xác định f(x„) Ta gọi f(x„) giá trị f(x) x„ a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN Số hó http://www.lrc-tnu.edu.vn + Có phép toán ghi biểu thức không thực + Ở trường hợp đầu ta nói f(x) xác định Xo trường hợp thứ hai ta nói f(x) không xác định XoVí dụ 5x - Biểu thức f(x) = — không xác đinh tai X = xác đinh 2-X với X * Ta nói tập xác định f(x) R \ {2Ị Biêu thức /(x) = — In X không xác định X < xác định với X > Ta nói tập xác định /(x) (0, +oo) hay R ) Chít ý: Đôi với biểu thức toán học nhiều đối số, ta có khái niệm tương tự d Ta gọi phép toán cộng trừ, nhân, chia phép lũy thừa với số mũ hữu tỉ phép toán đại số Các phép toán khác với năm phép toán gọi phép toán siêu việt Biểu thức toán học gồm phép toán đại số đối số gọi biểu thức đại số Biểu thức có chứa phép toán siêu việt đối số gọi biểu thức siêu việt Ví dụ (asinbx-bcosbx)e , oc(x) = r-^Ỷ ; P(x.y) = ln(x + y ) a +b biêu thức siêu việt , X - ( m - l ) x + m-3 » f(x) = ọ(x,y,z) = +y biêu thức đại sô Phương trình ẩn sỏ a Cho hai biểu thức f(x) g(x) xác định tập hợp D c K (D * ) lấy giá trị K Bài toán tìm tất số Xo € D cho f(x„) = g(x„) (a) gọi giải phương trình ẩn số: f(x) = g(x) (b) + ax 2 : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Đối số X gọi làẩn số Mỗi số Xo thoa mãn đẳng thức (a) gọi nghiệm phương trình (b) Ta ký hiệu: s = {Xo D : f(x„) = g(x„)| tập nghiệm phương trình (b) Khi ta nói phương trình (b) là: - Vô nghiệm s = ; - Có nghiệm s chi gồm phần tử; - Có vô số nghiêm s có vô số phần tử b Phương trình f(x) = g(x) gọi là: - Phương trình đợi íốnếu f(x) g(x) biểu thức đại số; - Phương trình siêu việt chúng biểu thức siêu việt Ví dụ Các phương trình 3x - Ì = Ì - 5x 3x - 5x + = N/X + - N / X + 2 3x - 7x-54 _ x - - x ~3x + l phương trình đại số Còn phương trình: * - 7.5" = 12 \og\ X - 51og x = 3x - Ì 2 sin2x - 5cosx = phương trình siêu việt t §2 Các phép biến đổi tương dương Phương trình tương dương Giả sử f), f , gi, g biểu thức toán học ẩn số X trường số K xác định tập D 2 a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN Số hó http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa Hai phương trình í ( x ) = g,(x) (1) f (x) = g (x) (2) gọi tương đương với trường số K tập nghiệm chúng trùng Nói cách khác, hai phương trình (1) (2) tương đương nghiệm (Ì) nghiệm (2) ngược lại Nếu ký hiệu tập nghiệm (1) S| tập nghiệm (2) Sj thì: 2 ((!) (2) ) » ( S , = Sĩ) Định nghĩa Phương trình (2) gọi hệ phương trình (1) trường số K nghiệm (1) nghiệm (2), tức là: (D=>(2)»S,cS Chú ý Mọi phương trình vô nghiệm K theo định nghĩa tương đương với có tập nghiệm Vi dụ Ì) Hai phương trình Ì Ì X = —+ X sin X ì cos X Ì 3+ + X X xác định R* = R \ {0} tương đương với có chung nghiệm X = 2) Hai phương trình X - Ì=0 Ì Ì = !+• x-1 x-1 không tương đương phương trình thứ có hai nghiêm X = ± Ì phương trình thứ hai có nghiệm X = - Phương trình thứ hai không xác định X = Ì x + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép biến đổi tương đương a Định nghĩa Một phép biến đổi thực phương trình để phương trình tương đương gọi phép b iến đôi tương dương Một phép biến đổi thực phương trình để phương trình hệ gọi phép b iến đổi hệ b Các định lý phép b iến đổi tương đương Giả sử f(x) g(x) biểu thức ấn trường K, xác định tập D Định lý ỉ Nếu biểu thức h(x) có nghĩa D hai phương trình f(x) = g(x) (3) f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (4) tương đương với Chửng minh Giả sử Xo e D Thế h(x ) e K f(x„) = g(x„) » f(x„) + h(x„) = g(x„) + h(x„) Điều có nghĩa x„ nghiệm (3) chí nghiệm (4) Vậy (3) (4) tương đương với Hệ quá: f(x) + h(x) = g(x) o f(x) = g(x) - h(x) Nói cách khác, chuyển vế đổi dấu biểu thức phương trình ta phương trình tương đương Chú ý: Điều kiện h(x) có nghĩa trẽn tập D điều kiện đủ để (3) (4) tương đương điều kiện có Ví dụ Trên trường số c có hai phương trình X =Ì X = Ì - 3x + 3x + tương đương có tập nghiệm (± Ì, ± i Ị , tập xác định chúng khác Biểu thức — không xác định X = -— 3x + a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN Số hó http://www.lrc-tnu.edu.vn §5 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa cách giai Hệ bất phương trình bậc hai ấn hệ có dạng tác a,x + b,y + c, > ( ( ( = (a + b + c) —— I I —— b+c c+a a+b > Ì V ( b + c)(c + a)(a + b) 3 —!— ^(b + c)(c + a)(a + b) = -3= 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki: X x + + c (VP7-VP7 I+Vĩ^^ -" N/ĩvVĩv n) s (Vĩ? + 7PÍ + - + VPĨ)(VPF*Í + N/PỈX^+ + V^X^) lo Ta có: +- = l + n - + C^-V + C -V + >2 n n" , Ì n(n-l) Ì n(n-l)(n-2) Ì = l + n—+ — 2— n+ — — -—T + + n 'i+I n ( n - l ) ( n - k + l) Ị k! ri" + + — < n" 2" < l + l + - + -V + + — = + — 2 2" 1-1 2 3—T 2 + g g í _ A _B l ? t g t g + t _B ỉ g t g c t g c i t g A f f f- tg2 + tg2 +tg2 130 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Đẳng thức xảy tg— = t g | = t g ^ A = B - c HD Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: , — (a + b - c ) + (b + c - a ) _ 0< /(a + b-c)(b + c - a ) < ^ '-^ =b N 0< ,/(b + c-a)(c + a - b ) log i(a + 2) o l o g ( a + 2).log a< Ì n a a+ a+l a+1 V ẽa i( + ) ể a , a Tập nghiệm — mặt phảng phải Ị(x,y) : x > — Ị (kể đường -thẳng x =-Khinh 10) d) 5y + < y < - — Tập nghiêm — mặt phảng |(x,y);y < -—Ị (hình 11) a) y-x-l - x + Tập nghiệm tập điểm mặt phảng giới hạn hai đường thẳng y=X+Ì y = - x + 6(hình 12) Số hóa 136 bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn b) 4x - 5y + 20 < „ y > — X + xx + X X - y + > — y < -— + 3 Tập nghiệm tập điểm mặt phảng giới hạn đường thảng (hình 13) 4x - 5y + 20 = x-y +5=0 x + y - 15 = c) X - 2y + Ì < X Ì y > —+ — 2 2x-y-l2x-l x-y+l>0y X y > — + — 4 2x + ly - Ì > y > -—X + -7 J Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN Hình 12 Hình 13 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tập nghiệm tập điểm mặt phảng giới hạn đường thẳng y = -X + X y = —+ 4 Ì y = -—X + — 7 Hình 15 kể biên (hình 15) tam giác ABC kể biên Ì Ì f lấy giá trị cực đại C(0, 3), cực tiểu B Ị ị , Ỷ y f_ = f : = - 'max *, Hình 16 x: số a trồng đỗ tương y: số a trồng cà x>0 Ta có y >0 (đơn vị: 10 công) 2x + 3y