52 bài tập tọa độ phẳng có lời giải phần đường tròn

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B giao điểm đường thẳng (d): x – y –  đường tròn (C’): x  y2  20 x  50  Hãy viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C(1; 1)  A(3; 1), B(5; 5)  (C): x  y2  x  8y  10  , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm ABC nằm đường thẳng d : 3x – y –8  Viết phương trình đường tròn qua điểm A, B, C  Tìm C (1; 1) , C2 (2; 10) 11 11 16 + Với C1(1; 1)  (C): x  y  x  y  0 3 91 91 416 + Với C2 (2; 10)  (C): x  y  x  y  0 3 Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : x  y   , d2 : x  y   , d3 : x  3y   Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 tiếp xúc với d2 d3  Gọi tâm đường tròn I (t;3  2t)  d1 3t  4(3  2t)  4t  3(3  2t)  t    5 t  49 Vậy có đường tròn thoả mãn: ( x  2)2  ( y  1)2  ( x  4)2  ( y  5)2  25 25 Câu hỏi tương tự: a) Với d1 : x – y –10  , d2 : x  y   , d3 : x  3y   Khi đó: d (I , d2 )  d (I , d3 )  2  10   70    ĐS: ( x  10)  y  49  x     y      43   43   43   2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng  : x  3y   ,  ' :3x  y  10  điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng  , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng  Câu  Giả sử tâm I (3t  8; t)   Ta có: d (I ,  )  IA  3(3t  8)  4t  10 32  42  (3t   2)2  (t  1)2  t  3  I (1; 3), R  PT đường tròn cần tìm: ( x  1)2  ( y  3)2  25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng  : x  3y    ' : 3x  y  31  Lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng  điểm có tung độ tiếp xúc với  ' Tìm tọa độ tiếp điểm (C )  ' Câu  Gọi I (a; b) tâm đường tròn (C) (C ) tiếp xúc với  điểm M(6;9) (C ) tiếp xúc với  nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng   4a  3b  3a  4b  31 54  3a d (I , )  d (I ,  ')   4a    6a  85     5  IM  u  (3; 4) 3(a  6)  4(b  9)  3a  4b  54  25a  150  6a  85   a  10; b    54  3a  a  190; b  156 b  Vậy: (C ) : ( x  10)2  ( y  6)2  25 tiếp xúc với  ' N(13;2) (C ) : ( x  190)2  ( y  156)2  60025 tiếp xúc với  ' N(43; 40) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn qua A(2; 1) tiếp xúc với trục toạ độ 2   Phương trình đường tròn có dạng: ( x  a)2  ( y  a)2  a2 (a) ( x  a)  ( y  a)  a (b) a)  a  1; a  b)  vô nghiệm Câu Kết luận: ( x  1)2  ( y  1)2  ( x  5)2  ( y  5)2  25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x  y   Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với trục tọa độ có tâm đường thẳng (d)  Gọi I (m;2m  4)  (d ) tâm đường tròn cần tìm Ta có: m  2m   m  4, m  Câu 2  4   16  m  phương trình đường tròn là:  x     y    3  3   m  phương trình đường tròn là: ( x  4)2  ( y  4)2  16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) B(3;3), đường thẳng (): 3x – y   Lập phương trình đường tròn qua A, B tiếp xúc với đường thẳng () Câu  Tâm I đường tròn nằm đường trung trực d đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT AB  (4;2)  d: 2x + y – =  Tâm I(a;4 – 2a) a  Ta có IA = d(I,D)  11a   5a2  10a  10  2a2 – 37a + 93 =   31 a    Với a =  I(3;–2), R =  (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25  31   31  4225 31 65  Với a =  I  ; 27  , R =  (C):  x    ( y  27)2  2 2    Câu Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x  y    : x  3y   Lập 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với   Tâm I  d  I (2a  3; a) (C) tiếp xúc với  nên: phương trình đường tròn có bán kính d ( I , )  R  a2 10  10 a    a  2 Trang Trần Sĩ Tùng  (C): ( x  9)2  ( y  6)2  PP toạ độ mặt phẳng 8 (C): ( x  7)2  ( y  2)2  5 Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y  3x   Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường tròn (C), bán kính R = tiếp xúc với (C) A  (C) có tâm I(2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2) Gọi I tâm (C)  PT đường thẳng IA :  x  3t , I '  IA  I (2 3t;2t  2)  y  2t  AI  2I A  t   I '( 3;3)  (C): ( x  3)2  ( y  3)2  Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2 – y –5  Hãy viết 4 2 phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M  ;   5  (C) có tâm I(0;2), bán kính R = Gọi I’ điểm đối xứng I qua M 2  6   8  6  I  ;   (C):  x     y    5  5 5   Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  x  y   Viết phương trình đường tròn (C) tâm M(5; 1) biết (C) cắt (C) hai điểm A, B cho AB   (C) có tâm I(1; –2), bán kính R  PT đường thẳng IM: 3x  y  11  AB   H  IM 3x  y  11    Gọi H ( x; y) trung điểm AB Ta có:    2 2  IH  R  AH  ( x  1)  ( y  2)   29  x   ; y   10  29   11 11    H   ;   H  ;    10   10   x  11 ; y   11 10   29  2 2  Ta có R  MH  AH  43  PT (C): ( x  5)  ( y  1)  43  10   11 11   Với H  ;   Ta có R2  MH  AH  13  PT (C): ( x  5)2  ( y  1)2  13  10   Với H   ;  Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  điểm K(3;4) Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I tâm đường tròn (C)  (C) có tâm I(1;2) , bán kính R  SIAB lớn  IAB vuông I  AB  2 Mà IK  2 nên có hai đường tròn thoả YCBT + (T1 ) có bán kính R1  R   (T1) : ( x  3)2  ( y  4)2  Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + (T2 ) có bán kính R2  (3 2)2  ( 2)2   (T1) : ( x  3)2  ( y  4)2  20 Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC 1  với đỉnh: A(–2;3), B  ;  , C (2; 0) 4  1 4    Điểm D(d;0)   d   thuộc đoạn BC chân đường phân giác góc A 2 9     3 d  DB AB 4      4d    3d  d  DC AC 2d   3 x 2 y 3 x 2 y 3   x  y   ; AC:   3x  y   3 3 Giả sử tâm I đường tròn nội tiếp có tung độ b Khi hoành độ 1 b bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có:  1  b   4b   b   5b  b    b  b   5b   2  b   5b  b  4  Rõ ràng có giá trị b  hợp lý Phương trình AD: 2  1  1 Vậy, phương trình đường tròn nội tiếp ABC là:  x     y    2  2  Câu 15 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x  3y  12  (d2): x  3y  12  Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2) trục Oy  Gọi A  d1  d2 , B  d1  Oy, C  d2  Oy  A(3;0), B(0; 4), C(0;4)  ABC cân đỉnh A AO phân giác góc A Gọi I, R tâm bán kính đường tròn nội tiếp ABC 4   I  ;0, R  3  Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x  y   hai đường tròn có phương trình: (C1): ( x  3)2  ( y  4)2  , (C2): ( x  5)2  ( y  4)2  32 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc với (C1) (C2)  Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 tâm bán kính (C), (C1), (C2) Giả sử I (a; a –1) d (C) tiếp xúc với (C1), (C2) nên II1  R  R1, II  R  R2  II1 – R1  II – R2  (a  3)2  (a  3)2  2  (a  5)2  (a  5)2   a =  I(0; –1), R =  Phương trình (C): x  ( y  1)2  Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7) Viết phương trình đường thẳng qua M tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ABC Trang 10 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng  y + = 0; 4x + 3y + 27 = Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  : x  y2  x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết góc tiếp tuyến trục tung 30  (C ) : ( x  1)2  y2   I (1;0); R  Hệ số góc tiếp tuyến () cần tìm   PT () có dạng 1 : 3x  y  b  2 : 3x  y  b  + 1 : 3x  y  b  tiếp xúc (C)  d (I , 1)  R  b   b  2  Kết luận: (1) : 3x  y    + (2 ) : 3x  y  b  tiếp xúc (C)  d (I , 2 )  R  b   b  2  Kết luận: (2 ) : 3x  y    Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  x  y   đường thẳng (d): 3x  y   Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không qua gốc toạ độ hợp với đường thẳng (d) góc 450  (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = Giả sử (): ax  by  c  (c  0) d ( I , )    a  2, b  1, c  10   : x  y  10  Từ:    a  1, b  2, c  10    : x  y  10    cos(d , )   Câu 20 Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C ) : ( x  1)2  ( y  1)2  10 đường thẳng d : x  y   Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d góc 450  (C) có tâm I(1;1) bán kính R  10 Gọi n  (a; b) VTPT tiếp tuyến  (a2  b2  0) , Vì (, d )  450 nên 2a  b a2  b2   a  3b   b  3a 4c c   10   c  14 10 2  c c  8  10    Với b  3a  : x  3y  c  Mặt khác d (I ; )  R  c  12 10  Với a  3b  : 3x  y  c  Mặt khác d (I ; )  R  Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3x  y   0; 3x  y  14  ; x  3y   0; x  3y  12  Câu 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1): x  y2 –2 x –2 y –2  , (C2): x  y2 –8x – y  16   (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I (4; 1) , bán kính R2 = Ta có: I1I   R1  R2  (C1) (C2) tiếp xúc A(3; 1)  (C1) (C2) có tiếp tuyến, có tiếp tuyến chung A x = // Oy * Xét tiếp tuyến chung ngoài: () : y  ax  b  () : ax  y  b  ta có: Trang 11 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng  a  b 1   2 2  a  a     2 d (I1; )  R1  a b   4  hay  d ( I ; )  R   a  b     2  b  b  1    4  a b Vậy, có tiếp tuyến chung: (1) : x  3, (2 ) : y   47 2 47 x , (3 ) y  x 4 4 Câu 22 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): ( x  2)2  ( y  3)2  (C’): ( x  1)2  ( y  2)2  Viết phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’)  (C) có tâm I(2; 3) bán kính R  ; (C) có tâm I(1; 2) bán kính R'  2 Ta có: II '   R  R  (C) (C) tiếp xúc  Tọa độ tiếp điểm M(3; 4) Vì (C) (C) tiếp xúc nên chúng có tiếp tuyến chung đường thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến II   (1; 1)  PTTT: x  y   Câu 23 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1) : x  y  y   (C2 ) : x  y2  8x  8y  28  Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1 ) (C2 )  (C1 ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1  ; (C2 ) có tâm I (4; 4) , bán kính R2  Ta có: I1I    R1  R2  (C1),(C2 ) Xét hai trường hợp: + Nếu d // Oy phương trình d có dạng: x  c  Khi đó: d (I1, d )  d (I , d )  c   c  c  2  d : x   + Nếu d không song song với Oy phương trình d có dạng: d : y  ax  b  a ;b  2  3 a 1  a  ; b   1  b 4a   b   37  a2  a2   a   24 ; b  12  d : 3x  y  14  d : 3x  y   d : x  24 y  74  Vậy: d : x   ; d : 3x  y  14  ; d : 3x  y   ; d : x  24 y  74    d ( I1, d )   Khi đó:   d ( I1, d )  d ( I , d )    1  b Câu 24 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1) : x  y  y   (C2 ) : x  y2  x  8y  16  Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1 ) (C2 )  (C1 ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1  ; (C2 ) có tâm I (3; 4) , bán kính R2  Giả sử tiếp tuyến chung  (C1), (C2 ) có phương trình: ax  by  c  (a2  b2  0)  2 d (I , )  R1  tiếp tuyến chung (C1), (C2 )     2b  c  a  b d (I , )  R2  3a  4b  c  a2  b2 Từ (1) (2) suy a  2b c  3a  2b + TH1: Với a  2b Chọn b   a  2, c  2    : x  y    Trang 12 (1) (2) Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng a  3a  2b Thay vào (1) ta được: a  2b  a2  b2   a   b    : y    : x  3y   + TH2: Với c  Câu 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x  y  3x   Tia Oy cắt (C) điểm A Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R = cho (T) tiếp xúc với (C) A  (C) có tâm I(2 3;0) , bán kính R  Tia Oy cắt (C) A(0;2) Gọi J tâm (T)  Phương trình IA:  x  3t Giả sử J (2 3t;2t  2)  (IA)  y  2t  (T) tiếp xúc với (C) A nên AI  2JA  t   J ( 3;3) Vậy: (T ) : ( x  3)2  ( y  3)2  Câu 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  phương trình: x  y2 –2(m  1) x  4my –5  (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường tròn với m Gọi đường tròn tương ứng (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C)  (Cm) có tâm I (m  1; 2m) , bán kính R '  (m  1)2  4m2  , (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI  (m  1)2  4m2 , ta có OI < R Vậy (C) (Cm) tiếp xúc  R – R = OI ( R’ > R)  m  1; m  Câu 27 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn có phương trình (C1 ) : ( x  1)2  y  (C2 ) : ( x  2)2  ( y  2)2  Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C1 ) cắt (C2 ) hai điểm M , N cho MN  2  (C1 ) có tâm I1(1; 0) , bán kính R1  trung điểm MN  d (I , d )  I H  ; (C2 ) có tâm I1(2;2) , bán kính R2  Gọi H R22  MN       Phương trình đường thẳng d có dạng: ax  by  c  (a2  b2  0)   a  c  a2  b2 d (I1, d )  Ta có:   Giải hệ tìm a, b, c  2 2 a  b  c  a  b  d ( I , d )    Vậy: d : x  y   0; d : x  7y   ; d : x  y   ; d : x  y   Câu 28 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2 –6 x   Tìm điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 Trang 13 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng  (C) có tâm I(3;0) bán kính R = Gọi M(0; m)  Oy  AMB  600 (1) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB    AMB  120 (2) Vì MI phân giác AMB nên: IA (1)  AMI = 300  MI   MI = 2R  m2    m   sin 30 (2)  AMI = 600  MI  IA sin 600  MI = R  m2   Vô nghiệm Vậy có 3 hai điểm M1(0; ) M2(0;  ) Câu 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) đường thẳng  định bởi: (C) : x  y2  x  y  0;  : x  y  12  Tìm điểm M  cho từ M vẽ với (C) hai tiếp tuyến lập với góc 600  Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R  Gọi A, B hai tiếp điểm Nếu hai tiếp tuyến lập với góc 600 IAM nửa tam giác suy IM  R=2 Như điểm M nằm đường tròn (T) có phương trình: ( x  2)2  ( y  1)2  20 Mặt khác, điểm M nằm đường thẳng , nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: ( x  2)2  ( y  1)2  20 (1)  x  y  12  (2)  y  Khử x (1) (2) ta được:  2 y  10    y  1  20  5y  42 y  81    27 y    27  Vậy có hai điểm thỏa mãn đề là: M  6;3 M  ;  5  2 Câu 30 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  đường thẳng d : x  y  m  Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông  (C) có tâm I(1; –2), R = ABIC hình vuông cạnh  IA  m 1  m  5   m 1     m  Câu hỏi tương tự: a) (C ) : x  y2  1, d : x  y  m  ĐS: m  2 Câu 31 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  đường thẳng d : 3x  4y  m  Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B hai tiếp điểm) cho PAB tam giác  (C) có tâm I(1; 2) , bán kính R  PAB  PI  AI  2R   P nằm đường tròn (T) có tâm I, bán kính r  Do d có điểm P thoả YCBT nên d tiếp Trang 14 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng tuyến (T)  d (I , d )   11  m  m  19 6  m  41 Câu 32 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C ) : x  y2  18x  y  65  (C) : x  y2  Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C), gọi A, B tiếp điểm Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB 4,8  (C’) có tâm O  0;  , bán kính R  OA  Gọi H  AB  OM  H trung điểm AB  AH  12 OA2 Suy ra: OH  OA2  AH  OM   5 OH  x  y2  18x  y  65  x  x   M  (C )    Giả sử M ( x; y) Ta có:   2 y  OM   y  x  y  25    Vậy M(4;3) M(5;0) Câu 33 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  M điểm di động đường thẳng d : y  x  Chứng minh từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới (C) (T1, T2 tiếp điểm) tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T1T2 qua điểm A(1; 1)  (C) có tâm I(1; 2) , bán kính R  Giả sử M ( x0 ; x0  1)  d IM  ( x0  1)2  ( x0  3)2  2( x0  1)2    R  M nằm (C)  qua M kẻ tiếp tuyến tới (C)  x 1 x 1 Gọi J trung điểm IM  J  ;  Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán  2  2  x0    x0   ( x0  1)2  ( x0  3)2 IM kính R1  có phương trình (T ) :  x   y       Từ M kẻ tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C)  IT1M  IT2 M  900  T1, T2  (T )  {T1, T2}  (C )  (T )  toạ độ T1, T2 thoả mãn hệ:  x 1 x 1 ( x  1)2  ( x0  3)2 ( x  )2  ( y  )2   (1  x0 ) x  (3  x0 )y  x0   (1)  2 ( x  1)2  ( y  2)2   Toạ độ điểm T1, T2 thoả mãn (1), mà qua điểm phân biệt xác định đường thẳng nên phương trình T1T2 x (1  x0 )  y(3  x0 )  x0   A(1; 1) nằm T1T2 nên  x0  (3  x0 )  x0    x0   M(1;2) Câu 34 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x –1)2  ( y  1)2  25 điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm A, B phân biệt cho MA = 3MB  PM /(C )  27   M nằm (C) (C) có tâm I(1;–1) R = Mặt khác: PM /(C )  MA.MB  3MB2  MB   BH   IH  R2  BH   d[M ,(d )] Trang 15 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = (a2 + b2 > 0) a  6a  4b d[M ,(d )]   4 12 Vậy (d): y – = (d): 12x – 5y – 69 = 2 a   b a b  Câu 35 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 2) cắt đường tròn (C) có phương trình ( x  2)2  ( y  1)2  25 theo dây cung có độ dài l   d: a(x – 1)+ b(y –2) =  ax + by – a – 2b = ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l  nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) (C) đến d a  a  b  a  2b d I,d     a  3b  a2  b2  8a2  6ab    a   b 2  a b   a = 0: chọn b =  d: y – =  a =  b : chọn a = 3, b = –  d: 3x – y + = Câu hỏi tương tự: a) d qua O, (C ) : x  y2  x  y  15  , l  ĐS: d : 3x  y  ; d : y  b) d qua Q(5;2) , (C ) : x  y2  x  8y   , l  ĐS: d : x  y   ; d :17 x  7y  71  c) d qua A(9;6) , (C ) : x  y2  8x  2y  , l  21 ĐS: d : y  x  12 ; d : y   x  2 Câu 36 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x  y2  x  8y   Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d : 3x  y   cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài l   (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = PT đường thẳng  có dạng: 3x  y  c  0, c  Vì  cắt (C) theo dây cung có độ dài nên: 3   c c  10   d  I ,   4 c  4 10  32  Vậy phương trình  cần tìm là: 3x  y  10   3x  y  10   Câu hỏi tương tự: a) (C ) : ( x  3)2  ( y  1)2  , d : 3x  y  2012  , l  ĐS:  : 3x  y   ;  : 3x  y  15  Câu 37 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x  4)2  ( y  3)2  25 đường thẳng  : 3x  y  10  Lập phương trình đường thẳng d biết d  () d cắt (C) A, B cho AB =  (C) có tâm I(– 4; 3) có bán kính R = Gọi H trung điểm AB, AH = Do d   nên PT d có dạng: x  3y  m  Ta có: d (I ,(1)) = IH = AI  AH  52  32   Trang 16 16   m 42  32  m  27  4   m  13 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Vậy PT đường thẳng cần tìm là: x  3y  27  x  3y  13  Câu 38 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  x  y   điểm M(0; 2) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) hai điểm A, B cho AB có độ dài ngắn IM =   M nằm đường tròn (C) Giả sử d đường thẳng qua M H hình chiếu I d  (C) có tâm I(1; 1) bán kính R = Ta có: AB = 2AH = IA2  IH   IH   IM  Dấu "=" xảy  H  M hay d  IM Vậy d đường thẳng qua M có VTPT MI  (1; 1)  Phương trình d: x  y   Câu hỏi tương tự: a) Với (C): x  y2  8x  y  16  , M(–1; 0) d : 5x  y   ĐS: Câu 39 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = điểm M(2; 6) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) điểm A, B cho OAB có diện tích lớn  Tam giác OAB có diện tích lớn  OAB vuông cân O Khi d (O, d )  Giả sử phương trình đường thẳng d: A( x  2)  B( y  6)  ( A2  B2  0)  24  55 A B  2 A  6B 5 47    47B2  48AB  17 A2    d (O, d )  2 24  55  A2  B A  B  47 + Với B  24  55 A : chọn A = 47  B = 24  55 47  d: 47( x  2)   24  55  ( y  6)  + Với B  24  55 A : chọn A = 47  B = 24  55 47  d: 47( x  2)   24  55  ( y  6)  Câu hỏi tương tự: a) (C ) : x  y2  x  6y   , M(1; 8) ĐS: x  y   0; 17 x  7y  39  Câu 40 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  x  y   điểm A(3;3) Lập phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) hai điểm cho khoảng cách hai điểm độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C)  (C) có tâm I(3; –1), R = Ta có: A(3 ;3)  (C) PT đường thẳng d có dạng: a( x  3)  b(y  3)  0, a2  b2   ax  by  3a  3b  Giả sử d qua A cắt (C) hai điểm A, B  AB = Gọi I tâm hình vuông 3a  b  3a  3b 1 Ta có: d (I , d )  2 (  AD  AB)  2 2 a2  b2 Trang 17 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng  4b  2 a2  b2  a2  b2  a  b Chọn b = a = a = –1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: x  y   x  y  Câu 41 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x  y  13 (C2): ( x  6)2  y2  25 Gọi A giao điểm (C1) (C2) với yA > Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài  (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = Giao điểm A(2; 3) Giả sử d: a( x  2)  b( y  3)  (a2  b2  0) Gọi d1  d (O, d ), d2  d (I , d ) Từ giả thiết  R12  d12  R22  d22  d22  d12  12  (6a  2a  3b)2  a2  b2 (2a  3b)2 a2  b2  12  b2  3ab    b   b  3a   Với b = 0: Chọn a =  Phương trình d: x    Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3  Phương trình d: x  3y   Câu 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : mx  y  , đường tròn (C): x  y2  x  2my  m2  24  có tâm I Tìm m để đường thẳng  cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB 12  (C) có tâm I (1; m) , bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB IH  d (I , )  m  4m m2  16  5m m2  16 ; AH  IA2  IH  25  (5m)2 m  16  20 m2  16  m  3 SIAB  12  d (I , ) AH  12  3m2  25 m  48    16 m    (C ) : x  y2  , đường thẳ ng (d ) : x  y  m  Tim ̀ m để (C ) cắ t (d ) ta ̣i A và B cho diê ̣n tić h tam giác ABO lớn nhấ t Câu 43 Trong mă ̣t phẳ ng to ̣a đô ̣ Oxy, cho đường tròn  (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = (d) cắt (C) A, B  d (O; d )  1 1 Khi đó: SOAB  OA.OB.sin AOB  sin AOB  Dấu "=" xảy  AOB  900 2 Vậy S AOB lón  AOB  900 Khi d (I ; d )   m  1 Câu 44 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x  my    đường tròn có phương trình (C ) : x  y2  x  y   Gọi I tâm đường tròn (C ) Tìm m cho (d ) cắt (C ) hai điểm phân biệt A B Với giá trị m diện tích tam giác IAB lớn tính giá trị  (C ) có tâm I (1; –2) bán kính R = (d) cắt (C ) điểm phân biệt A, B  d (I , d )  R  Trang 18  m     m2 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng   4m  4m2  18  9m2  5m2  4m  17   m  R 1 Ta có: S  IA.IB sin AIB  IA.IB  IAB 2 Vậy: S IAB lớn AIB  900  AB = R   d (I , d )  2 2  m2  2m2  16m  32   m  4 Câu hỏi tương tự:   2m  a) Với d : x  my – 2m   , (C ) : x  y2  x  4y   m0 m 15 ĐS: Câu 45 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x  y2  x  y   điểm M(1; 8) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) hai điểm A, B phân biệt cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I tâm đường tròn (C)  (C) có tâm I(2;3) , bán kính R  PT đường thẳng d qua M(1; 8) có dạng: d : ax  by  a  8b  ( a2  b2  ) SIAB  IA.IB.sin AIB  2sin AIB 2  2 11b  3a  a  7b   7a2  66ab  118b2      7a  17b a2  b2 + Với b   a   d : x  y   + Với b   a  17  d :17 x  7y  39  Do đó: SIAB lớn  AIB  900  d (I , d )  IA Câu 46 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  x  4y   đường thẳng : x  my – 2m   với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn  (C) có tâm I (–2; –2); R = Giả sử  cắt (C) hai điểm phân biệt A, B IA.IB.sin AIB = sin AIB IA lớn  sin AIB =  AIB vuông I  IH =  (thỏa IH < R) Kẻ đường cao IH IAB, ta có: Do SIAB   4m SABC = SIAB    15m2 – 8m =  m = hay m = m2  Câu hỏi tương tự: 15 a) Với (C ) : x  y2  x  y   ,  : x  my    ĐS: m  4 b) Với (C ) : x  y2  x  y   ,  : x  my   ĐS: m  2 Câu 47 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y –  đường tròn (C): x  y  x  y   Xác định tọa độ giao điểm A, B đường tròn (C) đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) cho Trang 19 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng tam giác ABC vuông B  Tọa độ giao điểm A, B nghiệm hệ phương trình  x  y2  x  4y    y  0; x   Vì x A  nên ta A(2;0), B(–3;–1)   y  1; x  3  x  5y   Vì ABC  900 nên AC đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I đường tròn Tâm I(–1;2), suy C(–4;4) Câu 48 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): x  y2  x  y   đường thẳng (  ): x  3y   Chứng minh (  ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M đường tròn ( C ) cho diện tích tam giác ABM lớn  (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 d (I , )   R  đường thẳng (  ) cắt (C) 13 hai điểm A, B phân biệt Gọi M điểm nằm (C), ta có S ABM  AB.d ( M , ) Trong AB không đổi nên S ABM lớn  d ( M, ) lớn Gọi d đường thẳng qua tâm I vuông góc với (  ) PT đường thẳng d 3x  y   Gọi P, Q giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q nghiệm hệ   x  1, y  1 phương trình:  x  y  x  y      P(1; –1); Q(–3; 5)  x  3, y  3 x  y   Ta có d (P, )  ; d (Q, )  13 Vậy tọa độ điểm M(–3; 5) 22 13 Như d ( M, ) lớn  M trùng với Q Câu 49 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  x  y   A(0; –1)  (C) Tìm toạ độ điểm B, C thuộc đường tròn (C) cho ABC 3 7  (C) có tâm I(1;2) R= 10 Gọi H trung điểm BC Suy AI  2.IH  H  ;  2  ABC  I trọng tâm Phương trình (BC): x  3y  12  Vì B, C  (C) nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình:  x  y2  x  4y      x  y  x  4y     x  3y  12   x  12  3y    7 33   7 33  ; ; Giải hệ PT ta được: B  ;C   ngược lại  2   2  Câu 50 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  3)2  ( y  4)2  35 điểm A(5; 5) Tìm (C) hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông cân A  AB  AC  (C) có tâm I(3; 4) Ta có:   AI đường trung trực BC ABC vuông cân  IB  IC A nên AI phân giác BAC Do AB AC hợp với AI góc 450 Gọi d đường thẳng qua A hợp với AI góc 450 Khi B, C giao điểm d với (C) AB = AC Vì IA  (2;1)  (1; 1), (1; –1) nên d không phương với trục toạ độ  VTCP d có hai thành phần khác Gọi u  (1; a) VTCP d Ta có: Trang 20 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng a  2  a   a2   a    a 22   a2  x   t + Với a = 3, u  (1;3)  Phương trình đường thẳng d:   y   3t cos  IA, u   2a  2a     13  13    13  13  ; ;  ,    2   2  x   t  1  + Với a =  , u   1;    Phương trình đường thẳng d:  y   t 3     13 11  13    13 11  13  Ta tìm giao điểm d (C) là:  ; ; ,    2   2    13 11  13    13  13  +Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là:  ; ; ,    2   2    13 11  13    13  13  ; ;  ,    2   2  Ta tìm giao điểm d (C) là:   8 3 Câu 51 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y2  điểm A  1;   , B(3; 0) Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) cho tam giác MAB có diện tích  AB   Ta có: 20 64 10  ; AB : x  3y  12  Gọi M(x;y) h  d ( M , AB) x  3y  12 20  x  3y   h AB  h4 4  x  3y  32   x  3y    14 48   M (2; 0); M   ;  +  2  25 75  x  y  4 x  3y  32  + (vô nghiệm) x  y  Câu 52 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x  y2  x  y   đường thẳng d : 3x  y   Tìm điểm M  (C) N  d cho MN có độ dài nhỏ  (C) có tâm I(1;3) , bán kính R   d (I , d )   R  d  (C )   Gọi  đường thẳng qua I vuông góc với d  () : x  3y   1 7 Gọi N  d    N  ;  5 5  11   19  Gọi M1, M2 giao điểm  (C)  M1   ;  , M2   ;   5  5  MN ngắn M  M1, N  N  11  1 7 Vậy điểm cần tìm: M   ;   (C ) , N  ;   d  5 5 5 Trang 21 ... phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y –  đường tròn (C): x  y  x  y   Xác định tọa độ giao điểm A, B đường tròn (C) đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) Tìm tọa. .. mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x  y   Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với trục tọa độ có tâm đường thẳng (d)  Gọi I (m;2m  4)  (d ) tâm đường tròn cần tìm Ta có: ... AC đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I đường tròn Tâm I(–1;2), suy C(–4;4) Câu 48 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): x  y2  x  y   đường