Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x 7y 17 , d2 : x y Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x 7y 17 x y5 x 3y 13 (1 ) 3x y (2 ) 12 (7)2 12 12 Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với 1 2 KL: x 3y 3x y Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : x y d2 : x y – Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 d1 VTCP a1 (2; 1) ; d2 VTCP a2 (3;6) Ta có: a1.a2 2.3 1.6 nên d1 d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x 2) B( y 1) Ax By A B d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A B A 3B cos 450 A2 AB 3B2 2 2 B 3 A A B (1) * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x y * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x 3y Vậy có hai đường thẳng thoả mãn u cầu tốn d : 3x y ; d : x 3y Câu hỏi tương tự: a) d1 : x 7y 17 , d2 : x y , P(0;1) ĐS: x 3y ; 3x y Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y , d2 : x y điểm I(1; 2) Viết phương trình đường thẳng qua I cắt d1, d2 A B cho AB 2 Giả sử A(a; 3a 5) d1; B(b; 3b 1) d2 ; IA (a 1; 3a 3); IB (b 1; 3b 1) b k (a 1) I, A, B thẳng hàng IB kIA 3b k (3a 3) Nếu a b AB = (khơng thoả) b 1 (3a 3) a 3b Nếu a 3b a 1 AB (b a)2 3(a b) 4 2 t (3t 4)2 (với t a b ) + Với t 2 a b 2 b 0, a 2 : x y 5t 12t t 2; t Trang PP toạ độ mặt phẳng + Với t Câu Trần Sĩ Tùng 2 2 ab b , a : 7x y 5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y , d2 : x – y –1 Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;–1) cắt (d1) (d2) tương ứng A B cho MA MB Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1) Từ điều kiện MA MB tìm A(1; –2), B(1;1) suy (d): x – = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x – y A, B cho Câu MB = 3MA A (d1) MA (a 1; 1 a) A(a; 1 a) B ( d ) B (2 b 2; b ) MB (2 b 3; b ) Từ A, B, M thẳng hàng MB 3MA MB 3MA (1) MB 3MA (2) 1 A 0; 1 A ; (d ) : x y (1) 3 (d ) : x 5y (2) B(4;3) B(4; 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : 3x y 0, d2 : x y A, B cho Câu 2MA –3MB Giả sử A(a;3a 5) d1 , B(b; b) d2 2 MA 3MB (1) Vì A, B, M thẳng hàng 2MA 3MB nên 2 MA 3MB (2) 5 5 a 2(a 1) 3(b 1) A ; , B(2;2) Suy d : x y + (1) 2(3a 6) 3(3 b) 2 2 b 2(a 1) 3(b 1) a A(1; 2), B(1;3) Suy d : x + (2) 2(3a 6) 3(3 b) b Vậy có d : x y d : x Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA 3OB) nhỏ Câu PT đường thẳng d cắt tia Ox A(a;0), tia Oy B(0;b): M(3; 1) d x y (a,b>0) a b Cô si ab 12 a b a b Mà OA 3OB a 3b 3ab 12 (OA 3OB)min Phương trình đường thẳng d là: a 3b a 12 1 b a b x y x 3y Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M(4;1) cắt tia Ox, Oy A B cho giá trị tồng OA OB nhỏ x 2y Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho nhỏ OA2 OB Đường thẳng (d) qua M(1;2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O, nên x y A(a;0); B(0; b) với a.b Phương trình (d) có dạng a b Vì (d) qua M nên Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có : a b Câu 2 1 2 1 9 9 1 2 2 2 b a 10 10 b a b OA OB a b 3 a 2 20 Dấu xảy : 1: d : x y 20 a 10, b a b a b Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M(3;1) cắt trục Ox, Oy B C cho tam giác ABC cân A với A(2;–2) x 3y 0; x y Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b 0) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : x y 1 a b 2 2b a ab 1 Theo giả thiết, ta có: a b ab ab Khi ab 2b a Nên: b 2; a d1 : x y Khi ab 8 2b a 8 Ta có: b2 4b b 2 2 + Với b 2 2 d : 1 x 1 y + Với b 2 2 d : 1 x 1 y Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S 12 ĐS: d : 3x y 12 ; d : 3x 8y 24 Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y Lập phương trình đường thẳng () qua A tạo với d góc α có cosα 10 PT đường thẳng () có dạng: a( x –2) b( y 1) ax by –2a b (a2 b2 0) Ta có: cos 2a b 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = b = 1; b = 10 5(a2 b2 ) (1): x + y – = (2): x + 7y + = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x 3y Lập phương trình đường thẳng qua A tạo với đường thẳng d góc 450 PT đường thẳng () có dạng: a( x –2) b( y 1) ax by –(2a b) (a2 b2 0) 2a 3b Ta có: cos 450 5a2 24ab 5b2 a 5b 5a b 13 a2 b2 + Với a 5b Chọn a 5, b Phương trình : 5x y 11 + Với 5a b Chọn a 1, b 5 Phương trình : x 5y Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x y điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 45 Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: ax by c (a2 b2 0) Vì (d , ) 450 nên 2a b a2 b2 a 3b b 3a 4c c 10 c 14 10 2 c c 8 10 Với b 3a : x 3y c Mặt khác d (I ; ) 10 c 12 10 Với a 3b : 3x y c Mặt khác d (I ; ) 10 Vậy đường thẳng cần tìm: 3x y 0; 3x y 14 ; x 3y 0; x 3y 12 Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình 3x y x 3y Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A ) cho đạt giá trị nhỏ AB AC A d1 d2 A(1;1) Ta có d1 d2 Gọi đường thẳng cần tìm H hình chiếu vng góc A ta có: 1 AB AC 1 AH AM (không đổi) H M, hay đường thẳng qua M AB AC AM vng góc với AM Phương trình : x y Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; 2) , d1 : x y , d2 : x 3y ĐS: : x y đạt giá trị nhỏ Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x –3y – đường tròn (C ) : x y2 – 4y Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1) M (d) M(3b+4; b) N(2 – 3b; – b) N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = b 0; b Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng 38 4 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) N(2;2) M ; , N ; 5 5 Câu 17 Trong mă ̣t phẳ ng to ̣a đô ̣ Oxy, cho điể m A(1; 1) đường thẳng : x 3y Tim ̀ điểm B thuộc đường thẳng cho đường thẳng AB hợp với góc 450 có PTTS: x 3t VTCP u (3;2) Giả sử B(1 3t; 2 2t) y 2 2t 15 t AB.u 1 169t 156t 45 13 ( AB, ) 450 cos( AB; u) AB u 2 t 13 32 22 32 Vậy điểm cần tìm là: B1 ; , B2 ; 13 13 13 13 Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 3y điểm N(3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 Ta có ON (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: x 3y Giả sử M (3m 6; m) d 2S Khi ta có SONM d ( M , ON ).ON d ( M , ON ) ONM ON 4.(3m 6) 3m 13 9m 24 15 m 1; m + Với m 1 M (3; 1) + Với m 13 13 M 7; 3 Câu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d : x y Tìm đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC Giả sử B(2b 2; b), C(2c 2; c) d 2 6 5 Vì ABC vng B nên AB d AB.ud B ; AB BC 5 5 5 c C (0;1) BC 125c 300c 180 = 4 7 c C ; 5 5 Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y , d2 : x y điểm A(1;4) Tìm điểm B d1, C d2 cho tam giác ABC vuông cân A Gọi B(b;3 b) d1, C(c;9 c) d2 AB (b 1; 1 b) , AC (c 1;5 c) (b 1)(c 1) (b 1)(5 c) ABC vuông cân A AB AC 2 AB AC Vì c khơng nghiệm (*) nên (b 1) (b 1) (c 1) (5 c) Trang (*) PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng (b 1)(5 c) (1) b c 1 (*) (5 c)2 (b 1)2 (b 1)2 (c 1)2 (5 c)2 (2) (c 1) b c Từ (2) (b 1)2 (c 1)2 b c + Với b c , thay vào (1) ta c 4, b B(2;1), C(4;5) + Với b c , thay vào (1) ta c 2, b 2 B(2;5), C(2;7) Vậy: B(2;1), C(4;5) B(2;5), C(2;7) Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 1) B(2; –1) đường thẳng có phương trình: d1 : (m –1) x (m – 2)y – m ; d2 : (2 – m) x (m –1) y 3m – Chứng minh d1 d2 cắt Gọi P = d1 d2 Tìm m cho PA PB lớn (m 1) x (m 2)y m Xét Hệ PT: (2 m) x (m 1) y 3m 3 m 1 m m 0, m Ta có D m m 1 2 d1, d2 ln cắt Ta có: A(0;1) d1, B(2; 1) d2 , d1 d2 APB vuông P P nằm đường tròn đường kính AB Ta có: (PA PB)2 2(PA2 PB2 ) AB2 16 PA PB Dấu "=" xảy PA = PB P trung điểm cung AB P(2; 1) P(0; –1) m m Vậy PA PB lớn m m2 Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x – y – hai điểm A(1;2) , B(3; 4) Tìm điểm M () cho MA2 MB2 có giá trị nhỏ Giả sử M M (2t 2; t ) AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4) 2 26 Ta có: AM BM 15t 4t 43 f (t) f (t ) f M ; 15 15 15 Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x y điểm A(1;0), B(2;1) Tìm điểm M d cho MA MB nhỏ Ta có: (2 x A y A 3).(2 xB yB 3) 30 A, B nằm phía d Gọi A điểm đối xứng A qua d A(3;2) Phương trình AB : x 5y Với điểm M d, ta có: MA MB MA MB AB Mà MA MB nhỏ A, M, B thẳng hàng M giao điểm AB với d 17 Khi đó: M ; 11 11 Trang ... mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 3y điểm N(3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 Ta có ON (3; 4) , ON = 5, PT đường. .. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y Lập phương trình đường thẳng () qua A tạo với d góc α có cosα 10 PT đường thẳng () có dạng:... mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x y điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 45 Giả sử phương trình đường thẳng có