[toanmath.com] 23 bài tập tọa độ phẳng có lời giải phần đường thẳng Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x  7y  17  , d2 : x  y   Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2  Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x  7y  17 x  y5  x  3y  13  (1 )   3x  y   (2 ) 12  (7)2 12  12 Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với 1 2 KL: x  3y   3x  y   Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : x  y   d2 : x  y –  Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2  d1 VTCP a1  (2; 1) ; d2 VTCP a2  (3;6) Ta có: a1.a2  2.3  1.6  nên d1  d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x  2)  B( y  1)   Ax  By  A  B  d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I  d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A  B  A  3B   cos 450  A2  AB  3B2    2 2  B  3 A A  B  (1) * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x  y   * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x  3y   Vậy có hai đường thẳng thoả mãn u cầu tốn d : 3x  y   ; d : x  3y   Câu hỏi tương tự: a) d1 : x  7y  17  , d2 : x  y   , P(0;1) ĐS: x  3y   ; 3x  y   Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x  y   , d2 : x  y   điểm I(1; 2) Viết phương trình đường thẳng  qua I cắt d1, d2 A B cho AB  2  Giả sử A(a; 3a  5)  d1; B(b; 3b  1)  d2 ; IA  (a  1; 3a  3); IB  (b  1; 3b  1) b   k (a  1) I, A, B thẳng hàng  IB  kIA   3b   k (3a  3)  Nếu a  b   AB = (khơng thoả) b 1 (3a  3)  a  3b   Nếu a  3b   a 1 AB  (b  a)2  3(a  b)  4  2  t  (3t  4)2  (với t  a  b ) + Với t  2  a  b  2  b  0, a  2   : x  y    5t  12t    t  2; t   Trang PP toạ độ mặt phẳng + Với t  Câu Trần Sĩ Tùng 2 2 ab   b  , a    : 7x  y   5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x  y   , d2 : x – y –1  Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;–1) cắt (d1) (d2) tương ứng A B cho MA  MB   Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1) Từ điều kiện MA  MB  tìm A(1; –2), B(1;1) suy (d): x – = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : x  y   0, d2 : x – y   A, B cho Câu MB = 3MA  A  (d1)  MA  (a  1; 1  a)  A(a; 1  a)     B  ( d ) B (2 b  2; b ) MB  (2 b  3; b )     Từ A, B, M thẳng hàng MB  3MA  MB  3MA (1) MB  3MA (2)   1  A 0; 1 A  ;   (d ) : x  y   (1)    3   (d ) : x  5y   (2)     B(4;3) B(4; 1)  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : 3x  y   0, d2 : x  y   A, B cho Câu 2MA –3MB   Giả sử A(a;3a  5)  d1 , B(b;  b)  d2 2 MA  3MB (1) Vì A, B, M thẳng hàng 2MA  3MB nên  2 MA  3MB (2)  5 5 a  2(a  1)  3(b  1)   A  ;  , B(2;2) Suy d : x  y  + (1)   2(3a  6)  3(3  b) 2 2 b  2(a  1)  3(b  1) a    A(1; 2), B(1;3) Suy d : x   + (2)   2(3a  6)  3(3  b) b  Vậy có d : x  y  d : x   Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA  3OB) nhỏ Câu  PT đường thẳng d cắt tia Ox A(a;0), tia Oy B(0;b): M(3; 1)  d  x y   (a,b>0) a b Cô  si    ab  12 a b a b Mà OA  3OB  a  3b  3ab  12  (OA  3OB)min Phương trình đường thẳng d là: a  3b  a   12   1   b   a  b  x y    x  3y   Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  qua điểm M(4;1) cắt tia Ox, Oy A B cho giá trị tồng OA  OB nhỏ  x  2y   Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho nhỏ  OA2 OB  Đường thẳng (d) qua M(1;2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O, nên x y A(a;0); B(0; b) với a.b   Phương trình (d) có dạng   a b Vì (d) qua M nên   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có : a b Câu 2 1 2 1     9 9            1         2 2 2 b    a 10 10 b  a b OA OB a b 3 a 2 20 Dấu xảy :  1:  d : x  y  20     a  10, b  a b a b Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  qua điểm M(3;1) cắt trục Ox, Oy B C cho tam giác ABC cân A với A(2;–2)  x  3y   0; x  y   Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S   Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b  0) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : x y  1 a b 2 2b  a  ab   1 Theo giả thiết, ta có:  a b  ab    ab    Khi ab  2b  a  Nên: b  2; a   d1 : x  y    Khi ab  8 2b  a  8 Ta có: b2  4b    b  2  2 + Với b  2  2  d : 1   x  1   y   + Với b  2  2  d : 1   x  1   y   Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S  12 ĐS: d : 3x  y  12  ; d : 3x  8y  24  Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y   Lập phương trình đường thẳng () qua A tạo với d góc α có cosα  10  PT đường thẳng () có dạng: a( x –2)  b( y  1)   ax  by –2a  b  (a2  b2  0) Ta có: cos   2a  b   7a2 – 8ab + b2 = Chon a =  b = 1; b = 10 5(a2  b2 )  (1): x + y – = (2): x + 7y + = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x  3y   Lập phương trình đường thẳng  qua A tạo với đường thẳng d góc 450  PT đường thẳng () có dạng: a( x –2)  b( y  1)   ax  by –(2a  b)  (a2  b2  0) 2a  3b  Ta có: cos 450   5a2  24ab  5b2    a  5b 5a  b 13 a2  b2 + Với a  5b Chọn a  5, b   Phương trình  : 5x  y  11  + Với 5a  b Chọn a  1, b  5  Phương trình  : x  5y   Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng  cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 45  Giả sử phương trình đường thẳng  có dạng: ax  by  c  (a2  b2  0) Vì (d , )  450 nên 2a  b a2  b2  a  3b   b  3a  4c c   10   c  14 10 2  c c  8  10    Với b  3a  : x  3y  c  Mặt khác d (I ; )  10  c  12 10  Với a  3b  : 3x  y  c  Mặt khác d (I ; )  10  Vậy đường thẳng cần tìm: 3x  y   0; 3x  y  14  ; x  3y   0; x  3y  12  Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình 3x  y   x  3y   Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A ) cho  đạt giá trị nhỏ AB AC  A  d1  d2  A(1;1) Ta có d1  d2 Gọi  đường thẳng cần tìm H hình chiếu vng góc A  ta có: 1 AB  AC  1 AH  AM (không đổi) H  M, hay  đường thẳng qua M AB AC AM vng góc với AM  Phương trình : x  y   Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; 2) , d1 : x  y   , d2 : x  3y   ĐS:  : x  y     đạt giá trị nhỏ Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x –3y –  đường tròn (C ) : x  y2 – 4y  Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1)  M  (d)  M(3b+4; b)  N(2 – 3b; – b) N  (C)  (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) =  b  0; b  Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng  38   4 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) N(2;2) M  ;  , N   ;   5  5 Câu 17 Trong mă ̣t phẳ ng to ̣a đô ̣ Oxy, cho điể m A(1; 1) đường thẳng : x  3y   Tim ̀ điểm B thuộc đường thẳng  cho đường thẳng AB  hợp với góc 450    có PTTS:  x   3t VTCP u  (3;2) Giả sử B(1  3t; 2  2t)    y  2  2t  15 t  AB.u 1  169t  156t  45    13   ( AB, )  450  cos( AB; u)  AB u 2 t   13   32   22 32  Vậy điểm cần tìm là: B1   ;  , B2  ;    13 13   13 13  Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  3y   điểm N(3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15  Ta có ON  (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: x  3y  Giả sử M (3m  6; m)  d 2S Khi ta có SONM  d ( M , ON ).ON  d ( M , ON )  ONM  ON 4.(3m  6)  3m 13    9m  24  15  m  1; m  + Với m  1  M (3; 1) + Với m   13 13   M  7;  3   Câu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d : x  y   Tìm đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC  Giả sử B(2b  2; b), C(2c  2; c)  d 2 6 5 Vì ABC vng B nên AB  d  AB.ud   B  ;   AB   BC  5 5 5 c   C (0;1) BC  125c  300c  180 =   4 7 c   C  ;  5  5  Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x  y   , d2 : x  y   điểm A(1;4) Tìm điểm B  d1, C  d2 cho tam giác ABC vuông cân A  Gọi B(b;3  b)  d1, C(c;9  c)  d2  AB  (b  1; 1  b) , AC  (c  1;5  c) (b  1)(c  1)  (b  1)(5  c)   ABC vuông cân A   AB AC    2  AB  AC Vì c  khơng nghiệm (*) nên (b  1)  (b  1)  (c  1)  (5  c) Trang (*) PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng  (b  1)(5  c) (1) b   c 1 (*)   (5  c)2 (b  1)2  (b  1)2  (c  1)2  (5  c)2 (2)  (c  1) b  c  Từ (2)  (b  1)2  (c  1)2    b  c + Với b  c  , thay vào (1) ta c  4, b   B(2;1), C(4;5) + Với b  c , thay vào (1) ta c  2, b  2  B(2;5), C(2;7) Vậy: B(2;1), C(4;5) B(2;5), C(2;7) Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 1) B(2; –1) đường thẳng có phương trình: d1 : (m –1) x  (m – 2)y  – m  ; d2 : (2 – m) x  (m –1) y  3m –  Chứng minh d1 d2 cắt Gọi P = d1  d2 Tìm m cho PA  PB lớn (m  1) x  (m  2)y  m   Xét Hệ PT:  (2  m) x  (m  1) y  3m   3 m 1 m    m     0, m Ta có D   m m 1 2   d1, d2 ln cắt Ta có: A(0;1)  d1, B(2; 1)  d2 , d1  d2   APB vuông P  P nằm đường tròn đường kính AB Ta có: (PA  PB)2  2(PA2  PB2 )  AB2  16  PA  PB  Dấu "=" xảy  PA = PB  P trung điểm cung AB  P(2; 1) P(0; –1)  m  m  Vậy PA  PB lớn  m  m2 Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x – y –  hai điểm A(1;2) , B(3; 4) Tìm điểm M  () cho MA2  MB2 có giá trị nhỏ  Giả sử M M (2t  2; t )    AM  (2t  3; t  2), BM  (2t  1; t  4)  2  26  Ta có: AM  BM  15t  4t  43  f (t)  f (t )  f     M  ;    15   15 15  Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y   điểm A(1;0), B(2;1) Tìm điểm M d cho MA  MB nhỏ  Ta có: (2 x A  y A  3).(2 xB  yB  3)  30   A, B nằm phía d Gọi A điểm đối xứng A qua d  A(3;2)  Phương trình AB : x  5y   Với điểm M  d, ta có: MA  MB  MA  MB  AB Mà MA  MB nhỏ  A, M, B thẳng hàng  M giao điểm AB với d  17  Khi đó: M   ;   11 11  Trang ... mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  3y   điểm N(3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15  Ta có ON  (3; 4) , ON = 5, PT đường. .. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y   Lập phương trình đường thẳng () qua A tạo với d góc α có cosα  10  PT đường thẳng () có dạng:... mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng  cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 45  Giả sử phương trình đường thẳng  có