TÌM MAX MIN CỦA SỐ PHỨC

http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 KỸ THUẬT GIẢI NHANH MAX – MIN SỐ PHỨC Max • Bất đẳng thức Bunyakovsky • Bất đẳng thức Vector • Phương pháp hình học Min Cực trị số phức: a Bất đẳng thức thường gặp:  Bất đẳng thức Bunyakovsky: Cho số thức a, b, x, y ta a b  c d    Bất đẳng thức vector: Cho vector u ( x; y) v( x '; y ') , ta có: (ac  bd )2  (a  b )(c  d ) Dấu “=” xảy có:    u  v  u  v  x  y  x '2  y '2  ( x  x ')  ( y  y ') Dấu “=” xảy x y  0 x' y' Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 b Phương pháp mẹo sử dụng tiếp xúc: Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn (C) bán kính R Với điểm M thuộc đường tròn (C) thuộc đường tròn (C’) tâm gốc tọa độ bán kính OM  a  b  Để z lớn OM lớn đạt đường tròn(C’)tiếp xúc với đường tròn (C) OM  OI  R  Để z nhỏ OM nhỏ đạt đường tròn(C’)tiếp xúc với đường tròn (C) OM  OI  R Dạng 2: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng (d) Với điểm M thuộc (d) thuộc đường tròn (C’)  Để z nhỏ OM nhỏ OM vuông góc với (d) OM  d (O;(d )) Dạng 3: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip có đỉnh thuộc trục lớn A(a;0) đỉnh thuộc trục nhỏ B(0;b) Với điểm M thuộc (E) thuộc đường tròn (C’) Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017  Để z lớn OM lớn M trùng với đỉnh thuộc trục lớn max z  OM  OA  Để z nhỏ OM nhỏ M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ z  OM  OB Dạng 4: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn số phức z x2 y Hyperbol (H)   1có đỉnh thuộc trục thực A '( a;0), A(a;0) số a b phức z có module nhỏ điểm biểu diễn số phức z trùng với đỉnh trên, (module lớn không tồn tại) c Bài tập minh họa: Ví dụ 1: (Thi thử THPT Vĩnh Châu – Phú Thọ lần năm 2017) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện: z   4i  z  2i Tìm số phức z có module nhỏ nhất? A z  1  i B   2i C z   2i D  2i  Cách Casio: Trong số phức đáp án, ta xếp theo thứ tự module tăng dần: 1  i  2  2i   2i   2i Tiếp theo, ta tiến hành thử đáp án số phức theo thứ tự module tăng dần, số phức thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i đáp án Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 Với đáp án A: Ta xét hiệu: z   4i  z  2i , ta vào w2 nhập vào máy tính sau: qcQzp2p4b$pqcQzp2b →r1p1+b →Kết hình trả về: 2 , loại đáp án A Tương tự vậy, ta tiếp tục kiểm tra với z   2i kết Vậy số phức z   2i thỏa mãn hệ thức →Đáp án C Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017  Mẹo giải: Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z   4i  z  2i  a   (b  4)i  a  (b  2)i  (a  2)  (b  4)2  a  (b  2)  a  4a   b  8b  16  a  b  4b   4a  4b  16  a  b   Trong đáp an có đáp C thỏa mãn a  b   →Đáp án C  Phương pháp tự luận: Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z   4i  z  2i  a   (b  4)i  a  (b  2)i  (a  2)  (b  4)2  a  (b  2)  a  4a   b  8b  16  a  b  4b   4a  4b  16  a  b  Theo bất đẳng thức Bunyakovsky: 16  (a  b)2  (12  12 )(a  b )  z  a  b   z 2  a b   Dấu “=”xảy   1  a  b   z   2i a  b  Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 Ví dụ 2: (Thi thử chuyên KHTN lần năm 2017) Với số phức z thỏa mãn (1  i) z   7i  Tìm giá trị lớn z A max z  B max z  C max z  D max z   Mẹo giải: Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: (1  i) z   7i   ( a  bi )(1  i )   7i   a  b   ( a  b  7)i   ( a  b  1)  ( a  b  7)   2a  2b  50  12a  16b   a  b  6a  8b  25   (a  3)2  (b  4)2  Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(3;4) bán kính R=1 Ta gọi đường tròn (C) Với điểm M biểu diễn số phức z  a  bi M thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính a  b Ta gọi đường tròn (C’), module z bán kính đường tròn (C’) Để bán kính (C’) lớn O, I, M thẳng hàng (C’) tiếp xúc với (C), đó: OM  OI  R    →Đáp án D Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017  Phương pháp tự luận Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: (1  i) z   7i   ( a  bi )(1  i )   7i   a  b   ( a  b  7)i   ( a  b  1)  ( a  b  7)   2a  2b  50  12a  16b   a  b  6a  8b  25   (a  3)2  (b  4)2  Ta có: z  a  b2  6a  8b  24  6(a  3)  8(b  4)  26 Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: 6(a  3)  8(b  4)  6(a  3)  8(b  4)  6 2  82   a  3   b     10    z  36  z  →Đáp án D Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 Ví dụ 3: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 , giá trị lớn giá trị nhỏ z là: A 10 B C D  Mẹo giải: Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z   z   10  a   bi  a   bi  10  (a  4)  b  (a  4)  b  10  (a  4)  b  10  (a  4)2  b  a  8a  16  b  100  a  8a  16  b  20 (a  4)2  b  20 (a  4)2  b  100  16a  (a  4)  b  25  4a  25(a  8a  16  b )  625  200a  16a  9a  25b  225 a b2   1 25 Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn A(5;0) , đỉnh thuộc đáy nhỏ B (0;3) Với điểm M biểu diễn số phức z  a  bi M thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính a  b Ta gọi đường tròn (C’), module z bán kính đường tròn (C’) Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 Để bán kính (C’) lớn M trùng với đỉnh thuộc trục lớn M  A(5;0)  OM   max z  Để bán kính (C’) nhỏ M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ M  B (0;3)  OM   z  →Đáp án D  Phương pháp tự luận: Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z   z   10  a   bi  a   bi  10  (a  4)  b  (a  4)  b  10  (a  4)  b  ( a  4)  (b)2  10 Theo bất đẳng thức vector, ta có: 10  (a  4)2  b  (a  4)  (b)2  2  (a  4)  (a  4)  b  (b)  10  4a  4b  10  z  z  Ta có:  (a  4)  b  (a  4)  b  10 Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:   2  (12  12 )  a    b   a    b     100  2(2a  2b  32)  (2a  2b  32)  50 100  2 (a  4)  b  (a  4)  b Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017  a  b2   z   z    z  Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn z   z   , tìm số phức z có module nhỏ nhất? A z   3i B z  1  3i C z  D  i  Mẹo giải: Gọi số phức z có dạng: z  x  yi thỏa mãn: z   z    x   yi  x   yi   ( x  2)2  y  ( x  2)2  y   ( x  2)2  y   ( x  2)2  y  ( x  2)2  y   ( x  2)2  y  ( x  2)  y 1   1  x  ( x  2)  y  1  x   x    2  y2   4x  4x  x  4x   y  x  1 2 2 y2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Hyperbol ( H ) : x   có đỉnh thuộc trục thực A '(1;0), A(1;0) Số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) có module OM  x  y Để OM đạt giá trị nhỏ M trùng với hai đỉnh (H) M  A  M (0;1)  z  Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree http://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 →Đáp án C d Bài tập tự luyện: Bài 1- Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Module z nhỏ đạt bao nhiêu? 1  2 1 2 A B C  D  2 Bài 2- Trong số phức z thỏa mãn z  3i  iz   10 Hai số phức z1 z2 có module nhỏ Hỏi tích z1 z2 bao nhiêu? A 25 B  25 C.16 D  16 Bài 3- Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z ? 1 1 A B C D 5 NẾU THẤY TÀI LIỆU BỔ ÍCH HÃY ỦNG HỘ CHO MÌNH NHÉ CÁC BẠN! LIKE FANPAGE, ADD FACEBOOK HOẶC ĐĂNG KÝ (SUBSCRIBE) KÊNH YOUTUBE CÁM ƠN CÁC BẠN NHIỀU! Facebook: https://www.facebook.com/giaitoancasio Fanpage: https://www.facebook.com/hoctoanfree