CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC BÀI GIẢNG: MIN MAX SỐ PHỨC * Phương pháp chung +) Phương pháp đại số: Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A B A B A B Thế ẩn sử dụng đạo hàm Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (ac bd )2 (a b2 )(c d ) +) Phương pháp hình học Ví dụ 1: Cho z thỏa mãn z 4i Tìm max z B A C D 13 Giải Dấu hiệu: Đề yêu cầu tính max mơ đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đơi Ta có: z 2 4i z 4i z 20 z 20 max z Đáp án A Ví dụ 2: Cho z 4i Tìm max z A 2 B 2 C D Giải Ta có: z 4 4i z 4i z 4i z z 4i z max z Đáp án D Ví dụ 3: Cho (1 i) z 7i Tìm max z Giải Ta có: (1 i) z 7i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! (1 i) z 7i 1 i z (1 i) z 7i 1 i 1 i 7i z (3 4i) 1 i Mà z 3 4i z (3 4i) z 3 4i z max z Ví dụ 4: Cho z 2i z i Đặt w z 3i tìm w Giải Đặt z x yi ( x; y ) Điều kiện cho trở thành +) x yi 2i x yi i ( x 1) ( y 2) ( x 2) ( y 1) x2 x y y x2 x y y 2x y x 3y +) w x yi 3i ( x 2)2 ( y 3)2 (1) Thế x y vào (1) ta w (3 y 2) ( y 3) 10 y y 13 w' 20 y 10 y y 13 Nhận thấy y Vậy w w'0 y 3 10 w 10 11 10 10 Ví dụ 5: Cho z z ( z 2i)( z 3i 1) Tìm w với w z 2i A B C D Giải Ta có z z ( z 2i)( z 3i 1) z z ( z 2i)( z 3i 1) ( z 1)2 4i ( z 2i)( z 3i 1) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ( z 2i)( z 2i) ( z 2i)( z 3i 1) z 2i z 2i z 3i +) z 2i z 2i w 1 w +) z 2i z 3i ( x 1)2 ( y 2)2 ( x 1)2 ( y 3) (Đặt z x yi ( x; y ) ) ( y 2)2 ( y 3)2 y 1 2 3 Với y w x i 2i w ( x 2) 2 2 Vậy w Đáp án C Ví dụ 6: Cho z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 1; z1 z2 Tính max T z1 z2 A B 10 C D 10 Giải Đặt z1 x1 y1i; z2 x2 y2i ( x1 , y1 , x2 , y2 ) Điều kiện cho trở thành +) z1 z2 x1 y1i x2 y2i ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 x12 x22 y12 y22 x1 x2 y1 y2 (1) +) z1 z2 x1 y1i x2 y2i x12 x22 y12 y22 x1 x2 y1 y2 (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta x12 x2 y12 y2 +) T z1 z2 x12 y12 x2 y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta T x12 y12 x2 y2 1 1 x12 x22 y12 y22 2.5 10 max T 10 Đáp án D Ví dụ 7: Cho z Tìm max T z i z i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Giải Đặt z x yi ( x; y ) +) z ( x 1)2 y ( x 1)2 y +) T x2 ( y 1)2 ( x 2)2 ( y 1)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta T x ( y 1) ( x 2) ( y 1) (1 1) x ( y 1) ( x 2) ( y 1) T 2.(2 x y x 6) 4.( x y x 3) ( x 1) y Thay ( x 1)2 y ta T 4.(2 2) Vậy max T Ví dụ 8: Cho z 3i Tìm giá trị lớn z i là: A D 13 C 13 B Giải Đặt z x yi ( x; y ) Điều kiện cho trở thành +) x ( y 3)i ( x 2)2 ( y 3)2 x2 y x y 12 +) z i ( x 1)2 ( y 1)2 = x2 y x y (1) Thay x2 y x y 12 vào (1) ta z i = x y 12 x y x y 10 Xét x y 10 6( x 2) 4( y 3) 14 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 6( x 2) 4( y 3) (62 42 ) ( x 2) ( y 3) 52.1 52 6( x 2) 4( y 3) 14 52 14 x y 10 52 14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! z i x y 10 52 14 = 13 +) Phương pháp hình học Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Có tập hợp điểm thường gặp +) Đường thẳng +) Đường tròn +) Đường elip +) Parabol Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn số phức Từ tìm max, mô đun Chú ý: Số phức z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Mô đun số phức z độ dài đoạn thẳng OM với O gốc tọa độ Ví dụ 1: Cho số phức z x yi thỏa mãn z 4i z 2i đồng thời có mơ đun nhỏ Tính N x2 y A N B N 10 C N 16 D N 26 Giải Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z x yi +) z 4i z 2i ( x 2)2 ( y 4)2 x2 ( y 2)2 4 x y 16 4 y x y 16 x y Suy tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng x y +) N x y z N z OM OM d : x y M (2, 2) N 22 22 Đáp án A Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 10: Cho z (2 4i) Tìm max, z 2i Giải Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z x yi +) z (2 4i) ( x 2)2 ( y 4)2 M ( x, y) nằm đường tròn tâm I (2, 4) , bán kính R +) z 2i ( x 1)2 ( y 2)2 MA (với A(1, 2) ) z 2i MA M C z 2i max MA max M D AI (1, 6) Phương trình đường thẳng AI là: 6x y Tọa độ C , D nghiệm hệ 6 x y 2 ( x 2) ( y 4) Từ hệ ta tính MC, MD Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z z 10 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z là: A 10 B C D Giải Đặt z x yi ( x; y ) Điều kiện cho trở thành ( x 4)2 y ( x 4)2 y 10 (1) Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z x yi Từ (1) MA MB 10 (với A(4,0), B(4,0) ) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Suy tập hợp điểm M nằm elip có: +) a +) b , c Vì M nằm elip nên z OM M A ; z max OM max M B Vậy giá trị lớn z Vậy giá trị nhỏ z Đáp án D Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... điểm biểu diễn số phức Từ tìm max, mô đun Chú ý: Số phức z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Mô đun số phức z độ dài đoạn thẳng OM với O gốc tọa độ Ví dụ 1: Cho số phức z x yi... x12 x22 y12 y22 2.5 10 max T 10 Đáp án D Ví dụ 7: Cho z Tìm max T z i z i Truy cập trang http://tuyensinh2 47. com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử... http://tuyensinh2 47. com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! z i x y 10 52 14 = 13 +) Phương pháp hình học Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức