Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
__ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017CHỦĐỀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: o o o o o o o o o o Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) với x ∈ K Bảng nguyên hàm: Hàm số sơ cấp Nguyên hàm bổ sung 1 ∫ dx = x + C o ∫ (ax + b)α dx = (ax + b)α +1 + C a α +1 xα +1 α ∫ x dx = α + + C , (α ≠ −1;α ∈ ¡ ) o ∫ e ax +b dx = e ax +b + C a 1 o ∫ dx = x + C 1 ∫ x dx = − x + C o ∫ dx = ln ax + b + C x ax + b a 2 cos xdx = sin x + C a + b ∫ o ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a ∫ sin xdx = − cos x + C o ∫ sin( ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a ∫ (1 + tan x)dx =∫ cos2 x dx = tan x + C s in x o ∫ tan xdx = ∫ dx = − ln cos x + C cos x (1 + cot x ) dx = dx = − cot x + C ∫ ∫ sin x cos x o ∫ cot xdx = ∫ dx = ln sin x + C dx = ln x + C sin x ∫x x x ∫ e dx = e + C ax +C ln a x ∫ a dx = Định nghĩa tích phân: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b ] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [ a; b ] b Hiệu: F(b) – F(a) gọi tíchphân từ a đến b hàm số f(x) Kí hiệu: ∫ f ( x)dx a b Công thức: ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a Các toán đổi biến số: Bài toán Ví dụ π b ∫ f [ u ( x)] u '( x)dx Bài toán 1: a Phương pháp: + Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u '( x )dx x = a t = α ⇒ + Đổi cận: x = b t = β + Thế: b ∫ a β f [ u ( x) ] u '( x )dx = ∫ f (t )dt Ví dụ: Tính I = esin x cos xdx ∫ Giải Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = ⇒ t = Đổi cận: x = π ⇒ t = α Tổ Toán – Tin __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 1 ⇒ I = ∫ et dt = et = e1 − e0 = e − 0 b ∫ Bài toán 2: Ví dụ: Tính I = ∫ x x + 1dx u ( x ).u '( x)dx a Giải Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = xdx ⇒ tdt = xdx x = ⇒ t = Đổi cận: x = 1⇒ t = Phương pháp: + Đặt t = u ( x) ⇒ t = u ( x) 2 ⇒ 2tdt = u '( x )dx x = a t = α1 ⇒ + Đổi cận: x = b t = β1 + Thế: b ∫ a ⇒I= β1 u ( x ).u '( x)dx = ∫ t.2tdt ∫ t.tdt = 2 ∫1 t dt = t = 2 − 1 α1 Bài toán 3: a ∫ a a − x dx ∫a Bài toán 4: 0 dx + x2 Phương pháp: + Đặt x = a tan t ⇒ dx = a (1 + t an x )dt + Đổi cận: …… + Thế: …… Phương pháp: + Đặt x = a sin t ⇒ dx = acos xdx + Đổi cận: … + Thế: … Tíchphân phần: b a) Công thức: b ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a a b) Các dạng toán tíchphân phần: b Bài toán 1: Tíchphân dạng: ∫ P ( x).e dx x Ví dụ: Tính I = ∫ xe dx x a Phương pháp: u = P ( x ) du = P '( x )dx ⇒ x x dv = e dx v = e Đặt Giải u = x du = dx ⇒ Đặt x x dv = e dx v = e 1 x x x Vậy, I = xe − ∫ e dx = e − e = e − (e − 1) = π b Bài toán 2: Tíchphân dạng: ∫ P ( x).sin xdx a Phương pháp: u = P ( x) du = P '( x)dx ⇒ dv = sin xdx v = −cos x Đặt Ví dụ: Tính tíchphân I = (2 x + 1)sin xdx ∫ Giải u = x + du = 2dx ⇒ Đặt dv = sin xdx v = −cos x π π Vậy, I = − [(2 x + 1) cos x] + cos xdx ∫ Tổ Toán – Tin __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 π = + 2sin x 02 = + = π b Bài toán 3: Tíchphân dạng: ∫ P ( x).cos xdx a Phương pháp: u = P ( x) du = P '( x)dx ⇒ dv = cos xdx v = sin x Đặt Ví dụ: Tính tíchphân I = (1 − x)cos xdx ∫ Giải u = − x du = −dx ⇒ Đặt dv = cos xdx v = sin x π π Vậy, I = [(1 − x )sin x] + sin xdx ∫ = 1− b π π π + cos x = − − = − 2 π 2 Bài toán 4: Tíchphân dạng: ∫ P ( x).ln xdx Ví dụ: Tính tíchphân I = ∫ x ln xdx u = ln x du = dx ⇒ x Phương pháp: Đặt dv = P ( x )dx v = = ln − Giải u = ln x du = dx ⇒ x Đặt dv = xdx v = x a 2 Vậy, I = (2 x ln x ) − ∫ xdx = (2 x ln x) − x 2 1 2 Diện tích hình phẳng: Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng: x = a; x = b Phương pháp: + Giải phương trình y = f(x) = tìm nghiệm đoạn [a;b] + Nếu nghiệm ∈ [a;b] áp dụng công thức: b S = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx a + Nếu có nghiệm c ∈ [a;b] ta áp dụng công thức sau: b S = ∫ f ( x) dx = a c b a c ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ( Chú ý: y = f(x) = có 2, nghiệm trở lên ∈ [a;b], ta áp dụng tương tự) Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = x − x , trục Ox hai đường thẳng x = −1; x = Giải: x = Đặt f ( x ) = x − x , ta có: f ( x ) = ⇔ x − x = ⇔ x = 2(l ) Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: x3 x3 S = ∫ ( x − x )dx = ∫ ( x − x)dx + ∫ ( x − x)dx = − x ÷ + − x ÷ = (đvdt) −1 0 −1 −1 2 Tổ Toán – Tin __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị: y = f1 ( x) (C1 ); y = f ( x ) (C2 ) Phương pháp: + Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình: f1 ( x) = f ( x) Giả sử x = a; x = b ( a < b) nghiệm phương trình + Khi diện tích hình phẳng cần tìm tính theo công thức sau: b S = ∫ f1 ( x) − f ( x) dx = a b ∫ [ f ( x) − f ( x) ] dx a Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = x − x ; y = x Giải: Hoành độ giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình: x − x = x x = ⇔ x − 3x = ⇔ x = Vậy, diện tích hình phẳng cần tìm là: S=∫ x3 x − x dx = ∫ x − 3x dx = − x ÷ = (đvdt) 0 2 Thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x =b(a < b) quay quanh trục Ox là: b V = π ∫ [ f ( x) ] dx a Chú ý: Nếu thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): x = f(y), trục Oy, hai đường thẳng y = α ; y = β (α < β ) quay quanh trục Oy là: β V = π ∫ [ f ( y ) ] dy α Ví dụ: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = x − x , trục Ox, hai đường thẳng x = 0, x =2(a < b) quay quanh trục Ox Giải: Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: 4 x5 16π V = π ∫ (2 x − x ) dx = π ∫ (4 x − x + x )dx = π x − x + ÷ = (đvtt) 0 3 0 2 2 B/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Câu 1: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A C ∫ f ( x ) dx = e ∫ x ln ( e x + ) + C ex f ( x ) dx = x +C e +4 ex + ex B D ∫ f ( x ) dx = ln ( e ∫ x + 4) + C ex f ( x ) dx = ln x +C e +4 Tổ Toán – Tin __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 Câu 2: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + x − F ( 1) = Trong khẳng định sau, đâu khẳng định đúng? A F ( x ) = x + x − x + C B F ( x ) = x + 3 C F ( x ) = x + x + x − D F ( x ) = x + x − x + Câu 3: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x x − là: 2 x − 1) x − + C ( x −1 + C C F ( x ) = x − 1) x − + C ( 2 x −1 + C D F ( x ) = A F ( x ) = B F ( x ) = Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x − A ∫ f ( x)dx = (2 x − 1) x − + C B ∫ f ( x)dx = − x − + C + C D ∫ f ( x)dx = (2 x − 1) x − + C 2x −1 x Câu 5:Cho I= ∫ xe dx , đặt u = x , viết I theo u du ta được: u u u A I = 2∫ e du B I = ∫ e du C I = ∫ eu du D I = ∫ ue du C ∫ f ( x)dx = 2x Câu 6: Tíchphân I = ∫ x.e dx e +1 A I = −e + B I = Câu 7: Tính tíchphân I = D I = π ∫π sin x.cosxdx − A I = e2 − C I = C I = − B I = π D I = π Câu 8: Tíchphân I = ∫ (| x − 1| − | x |)dx bằng: A B Câu 9:Gỉa sử ∫1+ B 12 Câu 10: Tíchphân ∫x A ln 2 Câu 11 Biết I = ∫ D x a a dx = + 4ln , tối giản Tính a + b b b x −1 A 11 A a − b = C 2x − dx bằng: − 3x + B ln C 13 D 14 C 3ln D 4ln 2 x dx = a + lnb Chọn khẳng định đúng: x +1 B 2a + b = C a + = b Tổ Toán – Tin D ab = __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 Câu 12 Cho hàm số f(x) có đạo hàm đoạn [0;3], f(0) = f(3)= Tính I = ∫ f ' ( x ) dx A B −9 C −5 D Câu 13: Cho hình (H) giới hạn y = sin x; x = 0; x = π y = Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình (H) quanh trục Ox π π2 π2 A V = B V = C V = 2π D V = 2 Câu 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x ² ; x = ; x = y = A B C D Câu 15 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f1 ( x ) , y = f ( x ) liên tục hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) tính theo công thức: b A S = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx B S = a b ∫ f ( x ) − f ( x ) dx a b C S = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx b b a a D S = ∫ f1 ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx a Câu 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + đồ thị hàm số y = x − A B C D Câu 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = – x ³ + 3x + đường thẳng y = 45 21 D 4 Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) : y = x + x ; y − x − = là: 11 A B C D 2 2 Câu 19: Cho hình thang cong ( H ) giới hạnbới đường y = e x , y = 0, x = x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 A k = ln B k = ln C k = ln D k = ln 3 A 57 B 27 C x Câu 20: Cho I = F ( x ) = ∫ xe dx biết F ( ) = 2015 , I = ? A I = xe x + e x + 2014 B I = xe x − e x + 2016 C I = xe x + e x + 2016 D I = xe x − e x + 2014 Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e −6 x +1 Tổ Toán – Tin __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 f ( x ) dx = − e −6 x +1 +C 12 A ∫ C ∫ f ( x ) dx = 3e −6 x +1 B +C D ∫ f ( x ) dx = −3e ∫ −6 x +1 +C e −6 x +1 f ( x ) dx = +C Câu 22: Cho I= ∫ x x + 15dx , đặt u = x + 15 viết I theo u du ta : A I = ∫ (u − 30u − 225u )du B I = ∫ (u − 15u ) du 2 C I = ∫ (u − 30u + 225u )du D I = ∫ (u − 15u )du Câu 23: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = B ( + ln ) A ln + 4 F ( ) = Tìm F ( ) 1+ 2x C ( + ln 5) D ln + + 3ln x dx , đặt t = + 3ln x Khẳng định sau x e Câu 24: Cho tíchphân I = ∫ đúng? 22 A I = ∫ t dt 31 22 B I = ∫ tdt 31 32 C I = ∫ t dt 21 2e D I = ∫ tdt 31 e Câu 25: Tíchphân I = ∫ x ( − ln x ) dx e −2 A B − − e2 C e2 − 3 D e2 −3 π Câu 26: Tính tíchphân I = ∫ x sin xdx , đặt u = x , dv = sin xdx Khi I biến đổi thành A I = − x cos x − ∫ cos xdx B I = − x cos x + ∫ cos xdx C I = x cos x + ∫ cos xdx Câu 27: Tính tíchphân I = D I = − x sin x + ∫ cos xdx π /4 ∫ cos x.sin xdx A I = B I = u 4 C I = − u 1 1 D I = − ∫ u 3du a a , tối giản Tính S = a + b b b A S = 10 B S = C S = D S = 4 x + 11 a a dx = ln , tối giản.Tính P = a.b Câu 29:Gỉa sử ∫ b b x + 5x + A P = 15 B P = 16 C P = 18 D P = 21 Câu 28:Giả sử tíchphân I = ∫ x x + 1dx = b Câu 30 Biết F ( b) ∫ f ( x ) dx = 10 , F ( x ) nguyên hàm f ( x ) F ( a ) = −3 Tính a Tổ Toán – Tin __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 A F ( b ) = 13 B F ( b ) = 16 C F ( b ) = 10 D F ( b ) = Câu 31:Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = sin x, y = cos x hai π đường thẳng x = 0, x = : ( dvdt ) D ( dvdt ) 2 Câu 32:Thể tích khối tròn xoay giới hạn y = ln x, y = 0, x = 1, x = quay quanh trục A ( dvdt ) B ( dvdt ) C Ox có kết π ( là: A 2π ( ln − 1) ) 2ln − B π ( 2ln − 1) C π ( 2ln + 1) 2 D Câu 33.Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng (phần gạch hình) là: A ∫ −3 0 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx B 4 −3 −3 ∫ −3 4 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx D ∫ f ( x ) dx C Câu 34:Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = xe x đường thẳng x = 1, x = 2, y = Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình D xung quanh trục Ox A V = ( π e ) B V = 2π e C V = π e D V = ( − e ) π Câu 35: Cho hình phẳng (H) giới hạn y = x − x Ox Thể tích khối tròn xoay sinh quay (H) quanh Ox bằng: 53π 21π A B C 81 35 D 81π 35 Câu 36:Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x + x + trục hoành A S = ∫−1 f ( x ) dx B S = C S = ∫−1 f ( x ) dx − ∫2 f ( x ) dx ∫ −1 f ( x ) dx D S = ∫−1 f ( x ) dx + ∫2 f ( x ) dx Câu 37:GọiV thể tích khối tròn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường y= 15 + 1, y = 0, x = 1, x = k ( k > 1) quay xung quanh trục Ox Tìm k để V = π + ln16 ÷ x A k = e2 B k = 2e C k = Tổ Toán – Tin D k = 8 __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 Câu 38:Đặt F ( x ) = ∫ x3 + x + ÷dx , ta có: x2 x x3 + − +C x x4 x2 C F ( x ) = + + + C x x4 x2 + + ln x + C D F ( x ) = 3x + x − + C x A F ( x ) = B F ( x ) = Câu 39:Cho I = ∫ x − x dx Nếu đặt − x = t I : A ∫ t ( − t ) dt B ∫ t ( − t ) dt 1 C ∫ t ( − t ) 2 0 dt D ∫ ( t − t ) dt BÀI TẬP TỰ LUYỆN - cos2x A t an x - 3x + C B - t an x - 3x + C C cot x - 3x + C Câu 2: Nguyên hàm hàm số f (x ) = 3x Câu 1: Nguyên hàm hàm số f (x ) = D - cot x - 3x + C 3x + +C B ln + C C D x 3x - + C x+1 Câu 3: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x - 3x + biểu thức sau đây? x 4 x x x x4 A - x + ln x + C B - x + ln x + C C - x + ln x + C D - x - ln x + C 4 4 x Câu 4: Nếu F ( x ) nguyên hàm f (x ) = e - F (0) = F (x ) 3x A +C ln x A.e x - x + B.e x - x - C - e x + x + D.e x - x + Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x + cos x biểu thức sau đây? A - cos x + sin x + C B - cos x + sin x C cos x + sin x + C D cos x - sin x + C Câu 6: Hàm sau là một nguyên hàm hàm số y = 2x x+1 x Câu 7: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe là: A -x+1 x+1 B C - x+1 D ? (x + 1)2 x- x+1 x2 x e +C D xe x + e x + C ln x Câu 8: Gọi F (x ) nguyên hàm hàm y = ln x + Biết F (1) = Giá trị F (e ) x A xe x - e x + C B.e x + C C bằng: A B C Tổ Toán – Tin D __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 Câu 9: Gọi F (x ) nguyên hàm hàm số f (x ) đoạn sau, đẳng thức đúng? b A b b ò f (x )dx = F ( b) - F ( a ) B ò f (x )dx = F ( a ) - F (b) a éa;bù Trong đẳng thức ê ë ú û C a ò f (x )dx = F ( b) + F ( a ) D a b ò f (x )dx = - F ( b) - F ( a ) a Câu 10: Cho T = ò xdx Khi giá trị T A T = 14 C T = B T = e Câu 11: Cho P = ò x dx 21 D T = Khi giá trị P A P = B P = C c Câu 12: Cho biết −2 e2 b b ò f (x )dx = ,ò f (x )dx = a A 10 D P = 2e − a< c< b Khi tíchphân c B -4 ò f (x )dx a C 21 D Câu 13: Giá trị 2x - dx bằng: x - ò 1- A ln - Câu 14: Cho B ln + p p 0 ò f ( x ) dx = Khi ò éêëf ( x ) + sin x ùúû.dx A B + Câu 15: Tíchphân p ò sin A p C - ln + p D - ln - bằng: D + p C x dx B p + C - p D - p + Câu 16: Biết tíchphân ò(2x + 1)e dx = a + be , tích ab x bằng: A B - C - 15 Câu 17: Cho tíchphân ò (x ) - 2x ( x - 1) x+1 D dx = a + b ln + c ln (a, b, c Î ¤ ) Chọn khẳng định khẳng định sau: Tổ Toán – Tin 10 __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 C b > A a < B c < D a + b + c > Câu 18: Khi cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục [ a; b ] , trục Ox , x = a , x = b quay quanh trục hoành, thể tích xác định công thức b A π ∫ f ( x ) dx B a b b ∫ f ( x ) dx C ∫ f ( x ) dx a a b D π ∫ f ( x ) dx a Câu 19: Gọi V thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = x + 1; y = 0; x = 0; x = ; quay quanh trục Ox 7 A V= π C V= 7π B V= D V=7 Câu 20: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn đường y = x + 1; y = 0; x = 0; x = A B C D.4 Câu 21: Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn đường y = x − x; y = x; x = 1; x = A 13 B 13 C D Câu 22: Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = sin x, y = 0, x = 0, x = A π quay quanh trục Ox π2 B π D π C π Câu 23: Tìm m để hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + 2mx + m + , trục Ox , 32 trục Oy đường thẳng x = có diện tích A m = B m = −3 C m = 1, m = −3 D Không tồn m Câu 24: Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) = + 2t (m / s ) Biết quãng đường mà vật chuyển động khoảng thời gian từ lúc xuất phát ( t = 0) đến thời điểm t1 6(m) Tính t1 A t1 = B t1 = C t1 = D t1 = 42 Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) hàm số y = x − x + tiếp tuyến qua điểm A(2; −2) đồ thị (C ) A 16 128 B C Tổ Toán – Tin 11 D 11 ... Tổ Toán – Tin __ Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017 Câu 2: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + x − F ( 1) = Trong khẳng định sau, đâu khẳng định đúng? A F ( x ) = x + x −... Quốc Gia môn Toán năm 2017 Câu 9: Gọi F (x ) nguyên hàm hàm số f (x ) đoạn sau, đẳng thức đúng? b A b b ò f (x )dx = F ( b) - F ( a ) B ò f (x )dx = F ( a ) - F (b) a éa;bù Trong đẳng thức ê ë ú... = B m = −3 C m = 1, m = −3 D Không tồn m Câu 24: Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) = + 2t (m / s ) Biết quãng đường mà vật chuyển động khoảng thời gian từ lúc xuất phát ( t = 0) đến thời