Bài tập nguyên hàm tích phân Ôn tập tích phân Phương pháp đổi biến, từng phần, tích phân phụ, đổi biến lượng giác Ôn tập nguyên hàm tích phân Tích phân ôn thi ĐH Bài tập nguyên hàm tích phân Ôn tập tích phân Phương pháp đổi biến, từng phần, tích phân phụ, đổi biến lượng giác Ôn tập nguyên hàm tích phân Tích phân ôn thi ĐH
Bài tập Nguyên hàm & Tích phân Mục lục SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC 11 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ 14 SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP Bài 1: 4 x dx x 1 Bài 16: Bài 2: dx sin 2 x x x x ln x dx 2x Bài 17: cot x1 ln(sin x)dx Bài 3: x dx x2 1 Bài 18: Bài 4: xdx x 1 x ln x x dx x 1 Bài 19: x2 1 dx x( x 1) Bài 20: e x e x ln(e x 1) dx ex 1 Bài 21: e2 ln x dx e x ln x Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: 2 sin x(sin x 1)dx cos x x dx ( x 1) e x dx x e 1 Bài 22: dx x ( x 1) x x 1dx x2 1 (3x 3)dx ( x 1)( x 3x 1) e x ln x dx x x3 x x dx 2 x 2x ln e (e 3x e x )dx (e x 1) 2 dx sin x Bài 23: dx (2 sin x cos x) Bài 24: sin xdx sin x cos x Bài 25: 1 2 x ln dx 1 x 2 x Bài 26: sin 3x cos xdx Bài 27: 4 sin x dx sin 2 x Bài 28: sin x sin x dx Bài 14: tan x cot x dx Bài 15: x x x ln(1 x ) dx x (1 x ) Bài 46: dx sin x Bài 34: cos x dx sin x Bài 48: dx cos x tan x Bài 49: x (1 x )dx 11 x(1 x) dx 2 sin xdx cos x Bài 36: (4 x x 1)dx x3 Bài 37: ( x 1)dx x6 Bài 52: Bài 38: x 1 ln(1 x ) dx x 1 (4 cos x 3) cos xdx (1 sin 3x) cos x sin x dx sin x e Bài 53: 39: (e x e x ) ln(e x e x ) dx e x ex ( x 2)( x 1 1) dx sin xdx sin x Bài 55: ln(tan x) dx sin x 8x Bài 54: Bài 41: (2 cos x 1)dx sin x Bài 2 sin x cos x dx Bài 50: Bài 51: Bài 40: 4 tg x tg x dx Bài 47: dx sin x Bài 35: Bài 33: tan x cot x dx Bài 32: sin x(cos x sin x)dx Bài 30: Bài 31: sin x tan x dx cos x Bài 29: Bài 56: 6 sin x cos x dx dx sin x cos x Bài 57: sin xdx cos x sin x cos xdx Bài 42: Bài 58: Bài 45: Bài 59: 4 sin x cos x dx Bài 44: dx sin x cos xdx Bài 43: sin x1 cos x dx Bài 60: cos x1 sin x dx x cos 3x cos x sin dx PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1: dx x x2 1 Bài 2: x3 x dx x4 1 Bài 3: e x dx e2x Bài 18: 3 1 sin x cos x Bài 19: (3x x 1)dx x6 Bài 20: x3 x x dx x4 x2 1 1 4x3 x 2x dx x4 x2 1 Bài 4: dx x x2 1 Bài 21: Bài 5: x3 x dx x4 Bài 22: dx x x 16 Bài 23: ( x x)dx 1 x Bài 24: ( x tan x)dx 1 x2 1 Bài 6: 13 x dx 2x Bài 7: sin xdx cos x cos x Bài 8: 2 x 1dx x2 Bài 9: Bài 10: ( x 1)dx x2 x 1 dx x 1 Bài 25: sin xdx cos x Bài 26: xdx 1 x10 Bài 11: x 1dx x2 Bài 27: Bài 12: sin x dx cos x.e Bài 28: sin xdx cos x 33 x x dx (2 x 2)dx x 3x cos x cos x sin xdx e Bài 29: Bài 14: e ln x ln x dx x Bài 30: dx x ( x 1) Bài 15: e ln x ln x dx x Bài 31: 10 x ( x 3) dx Bài 32: x 3dx ( x 1) Bài 33: ln dx ex 1 Bài 13: Bài 16: 4 sin x tan x cos xdx Bài 17: 4 sin x dx cot x cos x Bài 34: Bài 35: Bài 50: Bài 51: cos x(1 sin x) dx sin x Bài 52: 2 x3 5x 8x dx 1 x x x dx cos x Bài 36: 2 2 2 sin x 1 sin x 1 cos x dx Bài 37: Bài 38: Bài 39: Bài 40: sin x cos x dx sin x dx sin x Bài 53: cos x sin x sin x sin xdx e e ln x1 ln x dx x Bài 54: e3 ln x ln x dx x e Bài 55: e ln x ln x dx x e Bài 56: x dx 3 x x3 x cos x sin xdx x sin x dx 01 sin x x sin x dx 01 cos x Bài 41: tan xdx cos x x3 dx 1 x2 1 Bài 57: Bài 42: 2 cos x sin xdx Bài 58: x dx 2x Bài 59: x 1 dx x2 sin x dx 4 sin x cos x Bài 60: x (1 x )dx Tổng quát : 2n-1 (1-xn )mdx với m,n N x Bài 43: n (1 sin x) cos xdx (n N ) Bài 44: Bài 45: Bài 46: Bài 47: x dx 01 sin x sin x cos x.e dx Bài 61: 2 x sin xdx Bài 62: cos xdx cos x x cos xdx Bài 63: Bài 49: dx m x( x 1) Bài 48: sin xdx sin x cos x sin x cos x sin x dx PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1: Bài 2: Bài 3: x cos x dx sin x Bài 18: Bài 19: 3 cos x dx Bài 20: 2 sin x dx e ln x dx x2 e ln xdx 1 x x.4 dx Bài 4: x ln xdx Bài 5: 2x x.e dx 2 x sin xdx Bài 6: Bài 7: Bài 21: 2 x cos xdx Bài 23: e2 ln x dx e x3 Bài 24: x ln( x 1)dx x x.2 dx Bài 10: (2 x 1) sin xdx Bài 25: x tan xdx Bài 26: 2 (2 x 1) ln( x x 2)dx e x ln xdx Bài 27: Bài 11: x log xdx Bài 12: Bài 13: Bài 14: x sin x dx cos x x x e ln(e 1)dx Bài 28: sin x ln(1 cos x)dx Bài 29: ln( x x )dx Bài 30: ln(cos x) dx sin x x x e dx Bài 31: x e sin xdx Bài 32: 1 x2 dx x ln 1 x2 Bài 15: cos x ln(1 sin x)dx x dx cos x x dx sin x Bài 22: Bài 9: x cos xdx Bài 8: Bài 16: Bài 17: 1 dx 2 x 1 e sin(ln x)dx Bài 36: cos x ln(tan x)dx Bài 33: x2 x e dx Bài 34: x x e dx Bài 35: e2 1 )dx ( e ln x ln x Bài 43: Bài 37: Bài 38: ln(cos x) dx cos x x.e x dx x 12 Bài 44: Bài 45: Bài 39: x2 dx x2 1 Bài 46: Bài 40: e4x dx e2x Bài 42: x cos xdx 2 x sin xdx x cos x)dx x (e 2 x 1 ln xdx e tgx sin x dx cos x Bài 47: Bài 41: sin x sin xdx e Bài 48: e1 x ln(`1 x )dx Bài 49: ln x 2x 2e e xdx x sin x dx cos x PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ PHƢƠNG PHÁP: Giả sử ta phải tính tích phân I Ta đưa vào tích phân phụ J cho việc tính I + J thực dễ dàng Tính I+J Nếu I+J = a I-J = b I= ½(a+b) I-J sin n xdx I= n n cos x sin x Bài 1: cos n xdx J= n n cos x sin x cos xdx cos x Bài 2: 3 cos xdx sin x cos x Bài 3: dx tan x e x dx x x 0e e Bài 6: Bài 7: x e sin xdx Bài 8: sin xdx sin x cos x Bài 4: x sin xdx Bài 5: 2 Bài Bài 10: sin x dx cos x 9: sin x cos xdx cos x sin x ttổng quát sin n1 x cos xdx n n ; (n Z ) cos x sin x TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ PHƢƠNG PHÁP : Giả sử phải tính tích phân I = f ( x)dx ,trong : a x m +a x m-1 + +a1x+a f(x) = P(x) = m n m-1 n-1 ;(am,bn 0) Q(x) b x +b x + +b x+b n n-1 Khi m n chia P(x) cho Q(x) để đƣợc tổng đa thức với phân thức thực (phân thức đúng) Khi m < n f(x) phân thức Vì đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) phân tích đƣợc thành tích thừa số nhị thức bậc tam thức bậc hai vô nghiệm có thừa số trùng Do phân thức ta ý đến bốn dạng phân thức sau : Dạng I: A x-a Dạng II : A (x-a)k Dạng III : Ax+B x2 +px+q Dạng IV: Ax+B (x2 +px+q)k Trong k N ; k 2và A,B,a,p,q R ; p2- 4q < (tức x2+px+q vô nghiệm) Một phân thức phân tích thành tổng phân thức nêu (Dùng phƣơng pháp đồng hai đa thức) Tổng quát cho cách phân tích : A A P (x ) P (x ) A x a (x a)2 Q (x ) (x a) (x b ) (x px q ) (x lx s ) (x a) B B B M 1x N1 M x N P1x Q1 P x Q x b (x b )2 (x lx s ) (x px q ) x lx s (x b ) x px q Cách tính tích phân phân thức dạng : Dạng A dx A ln x a c x a Dạng A dx A (x a)k d (x a) A (x a)k 1 c k (x a)k Dạng Ax B dx b du b dt với b1,b2,a số u t a2 x px q Dạng Ax B dt b du b 2 k k (x px q ) u (t a2 )k dt Để tính Ik = (t a2 )k 2 dt dt ta có : Ik = (t a ) t dt 2 2 k 2 k a a (t a ) (t a2 )k 1 (t a ) t 1I I t 2tdt a2 k 1 2a2(k 1) (t a2 )k 1 k 1 2a2 (t a2 )k (1) I A A I k 1 k Dựa vào (1) ta tính đƣợc Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong I1= dt t a2 t tính nhờ phƣơng pháp I Chú ý : t 2tdt 2a2 (t a2 )k 2a2(k 1) (t a2 )k 1 k 1 tích phân phần 10 (2 x 1)dx 1 x x (3x 4)dx 2 ( x 1) Bài 1: Bài 8: Bài 9: 3x 3x 2 x 3x dx x2 x 1 2 ( x 1) dx dx 0 (x 4) Bài 2: Bài 3: dx 1 x(x 1) Bài 10: Bài 4: ( x 2)dx 0 x Bài 11: Bài 5: (4 x 2)dx 0 ( x 2)( x 1) 1 x dx 0 x 6 2 Bài 12: 1 Bài 6: (2 x 3x 3)dx ( x 1)( x x 5) Bài 13: dx 1) Bài (x Bài 7: 2 ( x 1)dx 1 x Bài 15: ( x 1)dx x4 1 ( x 1)dx 1 x x ( x 2)dx 0 x 3x 14: x2 a Dạng tổng quát : dx x bx a TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƢƠNG PHÁP A) Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx Trong F(sinx;cosx) phân thức hữu tỉ sinx cosx Nếu F(sinx;cosx)là hàm số chẵn sinx cosx tức F(sinx;cosx) = F(sinx;-cosx) đặt t = tanx (hay t = cotx) Nếu F(sinx;cosx)là hàm số lẻ sinx tức là: F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) đặt t = cosx Nếu F(sinx;cosx)là hàm số lẻ cosx tức F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) đặt t = sinx Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng đặt t = tanx/2 biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : sinx= 2t 1+t cosx= 1-t 1+t B) Tích phân dạng : sinmx.cosnxdx với m, n Z Nếu có hai số m,n lẻ,chẳng hạn : Nếu m lẻ (có thể xem hàm số lẻ theo sinx) đặt t = cosx 11 Nếu n lẻ (Có thể cem hàm số lẻ theo cosx) đặt t = sinx Nếu hai số m,n chẵn dƣơng dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dƣới dấu tích phân: sin x cos x sin x ; sin x cos x cos x ; cos x Nếu m,n chẵn có số âm (có thể xem hàm số chẵn theo sinx cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) C) Tích phân dạng : cos ax cos bxdx ; sin ax cos bxdx ; sin ax.sin bxdx Dùng công thức lƣợng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào công thức: cos ax cos bx cos(a b) x cos(a b) x sin ax sin bx sin ax sin bx cos(a b) x cos(a b) x sin(a b) sin(a b) x D) Một số phƣơng pháp giải tích phân đặc biệt: a Nếu f(x) hàm số lẻ f ( x)dx = Cách tính loại tích phân cách đổi a biến x = -t b abb Nếu hàm f liên tục đoạn [a;b] f(a+b-x) = f(x) xf ( x)dx f ( x)dx ( a a thƣờng gặp : xf (sin x)dx (sin x)dx ) 20 Cách tính loại tích phân là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = x ) Cho a > ,f hàm số chẵn liên tục xác định R b b f ( x)dx b f ( x)dx f ( x)dx Cách tính loại tích phân là: đổi biến x = -t x b a b b b Chú ý: f hàm số chẵn nên f ( x)dx f ( x)dx Cách chứng minh điều nhƣ b 0 b b sau: f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx tính f ( x)dx cách đặt x= -t b b b Bài 1: dx cos x Bài 14: sin x cos x 12 dx Bài 2: Bài 3: dx sin x Bài 15: Bài 16: 4 tg xdx Bài 17: cos dx sin x Bài 18: Bài 5: (sin x sin x)dx Bài 19: 4 (tan x tan x)dx Bài 20: Bài 7: Bài 9: Bài 21: Bài 22: Bài 23: sin x dx sin x Bài 24: (1 cos x)dx sin x x cos x x dx Bài 25: dx tan x tan x dx cos x tan xdx dx cos x sin x dx cos x Bài 26: sin x cos x dx 3x Bài 13: dx 01 sin x Bài 12: x sin x sin 3x(cos x sin x)dx Bài 11: dx 01 cos x cos x sin x ( )dx sin x cos x cos x Bài 10: x sin x 2 (sin x sin x) cos xdx Bài 8: sin xdx cos x Bài 6: dx sin x cos x Bài 4: dx sin x cos x 13 2 sin x sin x dx sin x dx cos x sin x Bài 27: dx cos xdx sin x Bài 33: sin x cos x Bài 28: sin x dx cos x sin x x sin x dx cos x Bài 35: Bài 29: cos x cos x sin xdx Bài 34: dx tg x 2 Bài 36: Bài 30: cos x cos 3xdx Bài 37: (sin x cos x 1)dx sin x cos x Bài 38: x sin x 1 x dx Bài 31: x sin x 2 sin x cos xdx Bài 32: dx cos x TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ PHƢƠNG PHÁP Gọi F hàm hữu tỉ theo biến x p q 1) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F x, n x , m x , , r x s dx Cách giải : Ở số thức n,m,…r Gọi k = BCNN(n,m,…,r) Đổi biến số x = t k ax b dx 2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F x, n cx d ax b Cách giải : Đổi biến số t = n cx d 3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F x, ax bx c dx Cách giải thứ : Đổi biến số t = Cách giải thứ hai : Biến đổi ax bx c ax bx c theo ba kết sau : ax bx c = A2 u 14 (1) ax bx c = A2 u (2) ax bx c = u A2 (3) (Trong A số dƣơng ; u hàm số x ) với Với (1) đổi biến u = Acost Với t (hoặc u = Asint , t ) 2 Với (2) đổi biến u = Atant Với Với (3) đổi biến u = A/cost Với t t 4) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = t 2 Cách giải : Đổi biến số t = (x ) (mx n) ax bx c dx mx n Bài 1: 81 x x dx x(4 x 1) Bài 6: 11 x 2dx x 1 Bài 2: 15 dx x 1 x 1 Bài 7: dx x 1 x2 Bài 8: dx x 1 x 1 Bài 3: dx x x2 1 Bài 4: Bài 5: dx x 2x 2x Bài 9: 17 dx 10 ( x 2) x x Bài 10: Bài 27: Bài 11: Bài 12: 15 xdx x 1 x 1 ( x 1) x x 2dx Bài 13: Bài 28: x 1 x dx 1 x x dx x x dx 2 x x dx 0 Bài 29: 1 dx 2x x Bài 30: 15 ( x 1)( x 1) 1 x dx 1 x x dx x2 1 Bài 14: dx ( x 1) 2x x 2 Bài 31: x xdx x2 1 Bài 15: Bài 16: Bài 32: xdx x4 2 Bài 33: x dx x6 na Tổng quát : với n N ; n a x 2n Bài 17: dx ( x 1) x Bài 18: e ln xdx x ln x Bài 19: 2 2 3 Bài 22: x 1dx x3 Bài 23: x dx x2 Bài 24: (1 x ) dx Bài 25: x x dx Bài 35: dx 4x x dx x k ln x x k c ; riêng câu 33 giải cách đặt x = Bài 26: xdx 4x x 1dx x Bài 21: Bài 34: dùng công thức sau để giải : x dx x6 Bài 20: x x 1dx Chú ý: Với tích phân câu 32 &33 dx x x n 1dx 2 x 1dx dx x5 x 16 cos t [...]... dƣơng thì dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dƣới dấu tích phân: sin x cos x 1 sin 2 x 2 ; sin 2 x 1 cos 2 x 2 cos 2 x ; 1 cos 2 x 2 Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) C) Tích phân dạng : cos ax cos bxdx ; sin ax cos bxdx ; sin ax.sin bxdx Dùng công thức lƣợng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa... 0 3 2 cos x TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ PHƢƠNG PHÁP Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x p q 1) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F x, n x , m x , , r x s dx Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r Gọi k = BCNN(n,m,…,r) Đổi biến số x = t k ax b dx 2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F x, n cx d ax b Cách giải : Đổi biến số t = n cx d 3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I... 1 2 Bài 15: ( x 2 1)dx x4 1 ( x 2 1)dx 1 x 4 x 2 1 3 ( x 2 2)dx 0 x 4 3x 2 4 1 14: x2 a Dạng tổng quát : dx x 4 bx 2 a 2 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƢƠNG PHÁP A) Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là F(sinx;cosx) = F(sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay... công thức lƣợng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức: cos ax cos bx 1 cos(a b) x cos(a b) x 2 sin ax sin bx sin ax sin bx 1 cos(a b) x cos(a b) x 2 1 sin(a b) sin(a b) x 2 D) Một số phƣơng pháp giải quyết những tích phân đặc biệt: a Nếu f(x) là hàm số lẻ thì f ( x)dx = 0 Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi a biến x = -t b abb Nếu hàm f liên... F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : sinx= 2t 2 1+t 2 và cosx= 1-t 2 1+t B) Tích phân dạng : sinmx.cosnxdx với m, n Z Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn : Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx 11 Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx Nếu cả hai số m,n đều chẵn và... xf ( x)dx f ( x)dx ( 2 a a thƣờng gặp : xf (sin x)dx (sin x)dx ) 20 0 Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = x ) Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì b b f ( x)dx 1 b f ( x)dx f ( x)dx Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t x b a 1 2 b 0 b b Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên f ( x)dx... dx 2 5 4x x 2 dx x k 2 ln x x 2 k c ; riêng câu 33 có thể giải bằng cách đặt x = Bài 26: 1 xdx 0 2 4x x 2 1dx x Bài 21: Bài 34: dùng công thức sau để giải quyết : 3 1 x 2 dx x6 1 Bài 20: x x 2 1dx Chú ý: Với tích phân câu 32 &33 có thể dx x 1 x n 1dx 2 2 2 x 1dx dx x5 x 2 1 16 1 cos t ... một hàm số của x ) với Với (1) thì đổi biến u = Acost Với 0 t (hoặc u = Asint , t ) 2 2 Với (2) thì đổi biến u = Atant Với Với (3) thì đổi biến u = A/cost Với 0 t và t 4) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = t 2 2 Cách giải : Đổi biến số t = (x ) (mx n) ax 2 bx c 2 dx 1 mx n Bài 1: 81 4 x 8 x dx 1 x(4 x 1) Bài 6: 11 x 2dx 6 x 2 1 Bài 2: 15 dx ... 2e e xdx x sin x dx cos x PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ PHƢƠNG PHÁP: Giả sử ta phải tính tích phân I Ta đưa vào tích phân phụ J cho việc tính I + J thực dễ dàng Tính I+J ... P(x) cho Q(x) để đƣợc tổng đa thức với phân thức thực (phân thức đúng) Khi m < n f(x) phân thức Vì đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) phân tích đƣợc thành tích thừa số nhị thức bậc tam thức bậc... R ; p2- 4q < (tức x2+px+q vô nghiệm) Một phân thức phân tích thành tổng phân thức nêu (Dùng phƣơng pháp đồng hai đa thức) Tổng quát cho cách phân tích : A A P (x ) P (x ) A x