Chuyên đề đường tròn Hình học 9

Chuyên đề đường tròn hình học 9 Bài tập đường tròn có đáp án Các dạng bài tập về đường tròn Hình học 9 kỳ 2, chương 2, 3 Kiểm tra đường tròn Câu 2. Cho tham giác ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự ở D , E . Gọi I là giao điểm của BE và CD . a) Chứng minh : AI  BC b) Chứng minh : c) Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều Câu 1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD , CE . a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB . c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng : Ax ED .

ễn ng trũn Mc lc ễn ng trũn I Nhng kin thc c bn : 1) S xỏc nh v cỏc tớnh cht c bn ca ng trũn .2 2) Tip tuyn ca ng trũn : 3) V trớ tng i ca hai ng trũn : 4) Cỏc loi gúc : a) Gúc tõm : .3 b) Gúc ni tip : c) Gúc to bi mt tia tip tuyn v mt dõy i qua tip im : .4 d) Gúc cú nh nm bờn ng trũn : e) Gúc cú nh nm bờn ngoi ng trũn : 5) Qu tớch cung cha gúc : .4 6) T giỏc ni tip ng trũn : 7) Chu vi ng trũn , cung trũn , din tớch hỡnh trũn , qut trũn : 8) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip , ngoi tớờp , bng tip a giỏc a) Bỏn kớnh ng trũn ni tip a giỏc u n cnh : b) Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip a giỏc u n cnh c) Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc (R) : d) Bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc (r) : .5 e) Bỏn kớnh ng trũn bng tip gúc A tam giỏc (ra) : II Bi dng .6 1) Bi dng v tớnh cht ca ng trũn a) ng dng tớnh cht ca ng trũn b) Cỏc vớ d 2) Bi v tip tuyn ca ng trũn : a) ng dng ca tip tuyn : b) Cỏc vớ d : 3) Bi v cỏc loi gúc ng trũn 10 4) Bi v t giỏc ni tip mt ng trũn 12 Cỏc vớ d : 13 III Bi tng hp : 15 1) Cỏc cõu hi thng gp cỏc bi toỏn hỡnh 15 2) Bi dng 16 3) Bi t luyn 23 I Nhng kin thc c bn : 1) S xỏc nh v cỏc tớnh cht c bn ca ng trũn Tp hp cỏc im cỏch u im O cho trc mt khong khụng i R gi l ng trũn tõm O bỏn kớnh R , kớ hiu l (O,R) Mt ng trũn hon ton xỏc nh bi mt bi mt iu kin ca nú Nu AB l on cho trc thỡ ng trũn ng kớnh AB l hp nhng im M cho gúc AMB = 900 Khi ú tõm O s l trung im ca AB cũn bỏn kớnh thỡ bng R AB Qua im A,B ,C khụng thng hng luụn v c ng trũn v ch mt m thụi ng trũn ú c gi l ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Trong mt ng trũn , ng kớnh vuụng gúc vi mt dõy thỡ i qua trung im dõy ú Ngc li ng kớnh i qua trung im ca mt dõy khụng i qua tõm thỡ vuụng gúc vi dõy ú Trong ng trũn hai dõy cung bng v ch chỳng cỏch u tõm Trong mt ng trũn , hai dõy cung khụng bng , dõy ln hn v ch dõy ú gn tõm hn 2) Tip tuyn ca ng trũn : nh ngha : ng thng c gi l tip tuyn ca ng trũn nu nú cú mt im chung vi ng trũn im ú c gi l tip im Tớnh cht : Tip tuyn ca ng trũn vuụng gúc vi bỏn kớnh ti tip im Ngc li , ng thng vuụng gúc vi bỏn kớnh ti giao im ca bỏn kớnh vi ng trũn c gi l tip tuyn Hai tip tuyn ca mt ng trũn ct ti mt im thỡ im ú cỏch n hai tip im ; tia k t im ú i qua tõm l tia phõn giỏc ca gúc to bi hai tip tuyn ; tia k t tõm i qua im ú l tia phõn giỏc ca gúc to bi hai bỏn kớnh i qua cỏc tip im ng trũn tip xỳc vi cnh ca mt tam giỏc gi l ng trũn ni tip ca tam giỏc ú Tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc l giao ca ng phõn giỏc ca tam giỏc ng trũn bng tip ca tam giỏc l ng trũn tip xỳc vi mt cnh v phn kộo di ca hai cnh 3) V trớ tng i ca hai ng trũn : Gi s hai ng trũn ( O;R) v (O;r) cú R r v d = OO l khong cỏch gia hai tõm Khi ú mi v trớ tng i gia hai ng trũn ng vi mt h thc gia R , r v d theo bng sau : V trớ tng i S im chung H thc Hai ng trũn ct R r R+r (d CD D AB = CD F AB < CD Cõu Cho (O) v im I nm bờn ng trũn Chng minh rng dõy AB vuụng gúc vi OI ti I ngn hn mi dõy khỏc i qua I Hng dn chng minh K dõy CD bt kỡ i qua I khụng trựng vi AB Nh mi liờn h gia dõy v khong cỏch t tõm n dõy , ta k OK vuụng gúc vi CD OI > OK nờn AB < CD * T bi trờn chỳng ta thy nu bỏn kớnh ng trũn O D bng R v OI = d chỳng ta cú th hi : K A C I - Tớnh di dõy ngn nht i qua I ? B - Tớnh dõy di nht i qua I ? Cõu Cho (O;R) v im M nm ngoi ng trũn Hóy dng cỏt tuyn MPQ vi ng trũn cho MP = MQ Hng dn Phõn tớch : Gi s dng c hỡnh tha Q I P M bi K OI vuụng gúc vi PQ Ta cú : N IP = 1 PQ IP = M I O MP = K PN vuụng gúc MQ ta thy MN = MI MO v P l giao ca ng trũn ng kớnh MN v (O) Cỏch dng : Dng im N ri dng im P 2) Bi v tip tuyn ca ng trũn : a) ng dng ca tip tuyn : T cỏc tớnh cht ca tip tuyn , ca hai tip tuyn ct ta ch c cỏc ng thng vuụng gúc , cỏc cp on thng v cỏc cp gúc bng ; cng t ú ta xõy dng c cỏc h thc v cnh , v gúc T tớnh cht ca tip tuyn chỳng ta cú th dng vo tam giỏc tỡm cụng thc tớnh din tớch ca ng trũn ni tip , ng trũn ngoi tip v ng trũn bng tip tam giỏc , cng nh bỏn kớnh Lu ý : Chng minh Ax l tip tuyn ca (O;R) chỳng ta lm theo mt cỏc cỏch sau : E A (O;R) v gúc OAx = 90 Khong cỏch t O n Ax bng R F Nu X nm trờn phn kộo di ca EF v XA2 = XE.XF ( xem hỡnh ) X A Gúc EAX = gúc AEF b) Cỏc vớ d : Cõu Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ; d l tip tuyn ca ng trũn ti A Cỏc tip tuyn ca ng trũn ti B v C ct d theo th t D v E a) Tớnh gúc DOE b) Chng minh : DE = BD + CE c) Chng minh : BD.CE = R2 ( R l bỏn kớnh ng trũn tõm O ) d) Chng minh BC l tip tuyn ca ng trũn cú ng kớnh DE Hng dn chng minh : E a) S dng tớnh cht tip tuyn ta chng minh c : A D B O C E = DO A + EO A = (BO A + CO A) = 90 DO b) S dng tớnh cht tip tuyn ta chng minh c : DE = DA + EA = BD + EC c) S dng tớnh cht tip tuyn ta cú : BD.CE = DA.EA p dng h thc lng tam giỏc vuụng cho tam giỏc DOE DA.EA = OA2 = R2 d) Trung im I ca DE l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng DOE Ta thy OI l ng trung bỡnh ca hỡnh thang vuụng BDEC nờn OI // BD // CE hay OI BC hay BC l tip tuyn ng trũn ng kớnh DE Cõu Cho hai ng trũn ( O) v (O) tip xỳc ngoi ti A K cỏc ng kớnh AOB ; AOC Gi DE l tip tuyn chung ca ng trũn ; D ( O ) ; E ( O) Gi M l giao im ca BD v CE a) Tớnh s o gúc DAE b) T giỏc ADME l hỡnh gỡ ? c) Chng minh rng MA l tip tuyn chung ca hai ng trũn Hng dn chng minh : a) K tip tuyn chung ca hai ng trũn i qua A ct tip tuyn chung DE B O O A C F Da vo tớnh cht tip tuyn ta cú FA = FD = FE Vy tam giỏc DAE l D F E tam giỏc vuụng ti A hay gúc DAE = 900 M = E = 900 =A b) T giỏc ADME cú D nờn l hỡnh ch nht c) T cõu b) AM i qua trung im ca DE hay AM trựng vi AF nờn AM l tip tuyn chung ca hai ng trũn Nhn xột: Vi nhng bi cho trc hai ng trũn tip xỳc , ta nờn lu ý n tip tuyn chung ca chỳng Nú thng cú mt vai trũ rt quan trng cỏc li gii Vi bi trờn chỳng ta cú th hi : CMR : gúc OFO l gúc vuụng DE l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc OFO Cỏc tia AD v AE ct (O) v (O) H ; K Chng minh : SAHK = SADE Cõu Gi a , b, c l s o cnh ca tam giỏc ABC , r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc Tớnh din tớch tam giỏc theo p v r , ú p l na chu vi tam giỏc Hng dn : A Gi D , E , F l cỏc tip im F E Theo tớnh cht tip tuyn : ID = IF = IE = r I B C D Nờn: SABC= SABI + SBCI + SACI = ( a + b + c).r = pr T bi trờn hóy tớnh : Bỏn kớnh r ca ng trũn ni tip tam giỏc vuụng , tam giỏc u theo cỏc cnh ca tam giỏc Cỏc on tip tuyn AE , BF , CD theo cỏc cnh a , b, c ca tam giỏc 3) Bi v cỏc loi gúc ng trũn Cõu Cho A l mt im c nh trờn ng trũn (O) v M l mt im di ng trờn ng trũn ú N l giao ca AM vi ng kớnh c nh BC Chng minh giao im ca ng trũn (O) vi ng trũn ngoi tip tam giỏc OMN l c nh Hng dn chng minh : D A B C N O K DA // BC K ng kớnh DP = P ( cựng bng gúc A ) Ta d thy : N P M 10 Nờn ng trũn ngoi tip tam giỏc OMN i qua P (O) c nh Nhn xột : Trong bi ny P cũn l gúc ni tip ca hai ng trũn nờn nú úng vai trũ i lng trung gian chng minh nhng gúc bng K nng ny cũn c gp li khỏ thng xuyờn Cõu Cho tham giỏc ABC cú gúc nhn ng trũn (O) cú ng kớnh BC ct AB , AC theo th t D , E Gi I l giao im ca BE v CD a) Chng minh : AI BC E E = IA b) Chng minh : ID c) Cho gúc BAC = 600 Chng minh tam giỏc DOE l tam giỏc u Hng dn chng minh : A a) Da vo tớnh cht gúc chn na ng trũn , ta chng minh c I l trc tõm ca tam giỏc ABC nờn E D AI BC I B C O b) Gúc IAE = EBC gúc cú cnh tng ng vuụng gúc Gúc EBC = EDC cựng chn cung EC T hai iu trờn suy iu chng minh c) Gúc BAC = 600 Gúc DBE = 300 chn cung DE S o cung DE = 600 Gúc DOE = 600 m tam giỏc DOE cõn nh O nờn DOE l tam giỏc u Cõu Cho ng trũn (O) ng kớnh AB K tip tuyn Ax vi ng trũn im C thuc na ng trũn cựng na mt phng vi Ax vi b l AB Phõn giỏc gúc ACx ct ng trũn ti E , ct BC D Chng minh : a) Tam giỏc ABD cõn b) H l giao im ca BC v DE Chng minh DH AB c) BE ct Ax ti K Chng minh t giỏc AKDH l hỡnh thoi Hng dn gii D K E a) AD l phõn giỏc hai cung AE v CE bng C H A O B 11 Da vo gúc ni tip ta d dng chng minh c BE va l phõn giỏc va l ng cao ca tam giỏc ABD , nờn ABD cõn nh B b) Da vo gúc chn na ng trũn Ta thy H l trc tõm ca ABD nờn DH AB c) Ta thy KE = HE (vỡ AKH cõn nh A) v AE = DE ( ABD cõn nh B) v ADKH , nờn t giỏc AKDH l hỡnh thoi T bi trờn cú th cỏc cõu hi khỏc : Chng minh OE AC Tỡm v trớ ca C trờn cung AB ABD u Cõu Cho tam giỏc ABC ni tip (O;R) Chng minh rng : a) R = a b c 2SinA 2SinB 2SinC b) R = abc 4S Hng dn gii A a) K ng kớnh AAlỳc ú ACA vuụng ti C b a Da vo h thc lng tam giỏc vuụng v gúc O B C H A ni tip chn cựng mt cung ' C = 2R.SinB Hay R = b = AA'.SinAA ta cú : b 2SinB Chng minh tng t b) Ta thy hai tam giỏc vuụng AHB v ACA ng dng nờn hay AH AC = AB AA' 2S 2S b abc b = m h a = suy hay S = = a ac 2R 4R c 2R T bi trờn hóy tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng , tam giỏc u 4) Bi v t giỏc ni tip mt ng trũn Chng minh t giỏc ni tip mt ng trũn theo mt cỏc cỏch sau õy 12 Chng minh tng hai gúc i din mt t giỏc bng 1800 Chng minh hai im nhỡn hai im cũn li di cựng mt gúc T giỏc ABCD cú AC ct BD ti M m MA.MC = MB.MD thỡ t giỏc ABCD ni tip T giỏc cú hai cnh bờn AB v CD giao ti M m MA.MB = MC.MD thỡ t giỏc ABCD ni tip Cỏc vớ d : Cõu Cho tam giỏc ABC cú gúc nhn vi cỏc ng cao BD , CE a) Chng minh BEDC l t giỏc ni tip b) Chng minh : AD.AC = AE.AB c) K tip tuyn Ax ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Chng minh rng : Ax // ED Hng dn chng minh A x a) D, E cựng nhỡn BC di mt gúc 900 nờn t giỏc BEDC D ni tip E C B b) Hai tam giỏc vuụng ABD v ACE ng dng Suy AD.AC = AE.AB B = AC B vỡ cựng chn cung AB c) xA B vỡ cựng ph vi gúc BED AE D = AC B = AE D Suy Ax // ED Nờn xA Nhn xột : Vi gi thit ca bi toỏn trờn chỳng ta cú th khai thỏc bi toỏn theo nhiu hng v c nhiu cõu hi Kộo di cỏc ng cao BD , CE , AF ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC D , E , F Chng minh : H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF H i xng vi D,E,F qua AC , AB , BC ED // ED 13 OA ED Cỏc ng trũn tam giỏc : HAB , HBC, HCA cú bỏn kớnh bng SABC = abc 4R V hỡnh bỡnh hnh BHCK , I l trung im ca BC Chng minh : T giỏc ABKC ni tip vi K nm trờn ng trũn (O) H = OA C BA H , I , K thng hng AH // OI ; AH = 2.OI Nu B , C c nh A di ng thỡ bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE khụng i ng thng qua K song song vi BC ct AH ti M thỡ A,B,C,K,M cựng nm trờn mt ng trũn Cõu Cho t giỏc ABCD ni tip (O) ; E l im chớnh gia ca cung AB , hai dõy EC , ED ct AB ti P v Q Cỏc dõy AD v EC kộo di ct ti I , cỏc dõy BC v ED kộo di ct ti K Chng minh rng : a) T giỏc CDIK ni tip b) T giỏc CDQP nt tip c) IK // AB d) ng trũn ngoi tip tam giỏc AQD tip xỳc vi EA Hng dn D a) D v C cựng nhỡn IK di hai gúc bng ( gúc A I Q DIKC ni tip E P ni tip chn hai cung bng ) Suy t giỏc K B b) s (QDC + QPC) = ẵs (BE + CB) + ẵ s (ADC + BE) = ẵ s( BE + CB + ADC + BE ) C = 1800 Nờn t giỏc CDQP ni tip c) s API = ẵ s( CB + AE ) = ẵ s ( CB + BE ) = s CDK = s CIK = ẵ s CK T ú suy IK // AB d) EAQ = ADQ ( gúc ni tip chn cung bng ) Suy AE l tip tuyn 14 Cõu Cho t giỏc ni tip ng trũn (O) Chng minh rng tớch hai ng chộo bng tng ca tớch cỏc cp cnh i din Hng dn : A B Gi s ACD > ACB Ly E trờn BD cho ACB = DCE E D Hai tam giỏc ABC v DEC ng dng : AB.DC = C AC.DE Hai tam giỏc ADC v BEC ng dng : AD.BC = AC.BE Cng tng v hai ng thc trờn suy iu chng minh III Bi tng hp : Trong phn I , chỳng ta ó lm quen dn vi cỏc dng toỏn tng ng vi nhng kin thc c bn ca ng trũn Trong phn II ny , chỳng ta s nõng cao k nng gi toỏn trờn nhng bi tng hp ca nhng dng toỏn trờn 1) Cỏc cõu hi thng gp cỏc bi toỏn hỡnh Chng minh : Nhiu im cựng nm trờn mt ng trũn (c bit l im cựng nm trờn mt ng trũn hay chng minh t giỏc ni tip ) Chng minh hai ng thng song song , vuụng gúc vi Chng minh ng thc hỡnh hc Nhn bit hỡnh l hỡnh gỡ ? ( cú th l tam giỏc cõn , hỡnh bỡnh hnh , hỡnh thoi , hỡnh ch nht , hỡnh thang cõn ) Lu ý : Khi chng minh t giỏc l hỡnh thang cõn khụng c chng minh l hỡnh thang cú hai cnh bờn bng Chng minh ng thng ng quy ; hay nhiu im thng hng Chng minh ng thng l tip tuyn ca ng trũn , tip tuyn chung ca hai ng trũn Xỏc nh v trớ c bit cú hỡnh c bit 15 Toỏn cc tr hỡnh hc Toỏn cỏc i lng hỡnh hc : on thng , cung ,gúc , chu vi , din tớch Trong cỏc cõu hi trờn tựy theo tng bi m cỏc cõu hi cho cú s logic gia cỏc cõu th nht , th hai v cỏc cõu sau Thụng thng kt qu ca cỏc cõu trờn bao gi cng l gi thit chng minh cõu di, ụi cn v thờm hỡnh thỡ bi toỏn tr lờn n gin hn 2) Bi dng Cõu Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB T A v B k tip tuyn Ax v By Qua im M thuc na ng trũn k tip tuyn th ct cỏc tip tuyn Ax v By ln lt ti E v F a) Chng minh AEMO l t giỏc ni tip b) AM ct OE ti P , BM ct OF ti Q T giỏc MPOQ l hỡnh gỡ ? Ti ? c) K MH AB ( H AB) Gi K l giao ca MH v EB So sỏnh MK v KH Hng dn 1) EAO = EMO = 900 Nờn AEMO l t giỏc ni tip F 2) Da vo tớnh cht hai tip tuyn ct cú M E MPO = MQO = 900 v PMQ = 900 nờn PMQO l Q K hỡnh ch nht P A H O B 3) EMK EAB KHB (g.g) EFB (g.g) EM EF m MF = FB = M K FB EM EF = MK MF EK AB EF AB EM EA = = = m ( Ta let) KH HB MK KH M F HB Vỡ EM = EA MK = KH Cõu Cho (O) ct (O) ti A v B K cỏt tuyn chung CBD AB ( C trờn (O) v D trờn (O).) a) Chng minh A , O , C v A ,O, D thng hng 16 b) Kộo di CA v DA ct (O) v (O) theo th t ti I v K Chng minh t giỏc CKID ni tip c) Chng minh BA , CK v DI ng quy Hng dn B a) CBA = DBA = 900 nờn AC v DA l C O O ng kớnh hay A,O, C thng hng D D ,O,A thng hng b) T cõu 1) v da vo gúc ni tip chn A K na ng trũn ta thõy K , I cựng nhỡn I G CD di mt gúc vuụng nờn t giỏc CDIK ni tip c) A l trc tõm ca tam giỏc ADG cú AB l ng cao hay BA i qua G Cõu Cho hai ng trũn (O) v (O) ct ti hai im A,B Cỏc ng AO v AOct ng trũn (O) ln lt ti C v D , ct ng trũn (O) ln lt ti E , F a) Chng minh B , F , C thng hng b) Chng minh t giỏc CDEF ni tip c) Chng minh A l tõm ng trũn ni tip tam giỏc BDE d) Tỡm iu kin DE l tip tuyn chung ca (O) v (O) Hng dn D a) E B , F thng hng A b) O O C B CBA + FBA = 1800 nờn A , D, E cựng nhỡn CF di mt gúc vuụng nờn CDEF ni tip F c) T giỏc CDEF ni tip nờn EDF = ECF ; ACB = ADB t ú suy EDF = ADB Hay DE l phõn giỏc gúc D ca BDE Tng t EC l phõn giỏc gúc E ca BDE Hai phõn giỏc ct ti A nờn A l tõm ng trũn ni tip BDE d) Gi s DE l tip tuyn chung ca hai ng trũn ta cú OO // CE cựng 17 vuụng gúc vi AB : AOO = ACB m ACB = FDE ( DCFE ni tip ) suy : AOO = ODE hay t giỏc ODEO ni tip (1) DE l tip tuyn thỡ DE vuụng gúc vi OD v OE (2) Vy ODEO l hỡnh ch nht : Hay OD = OE ( Hai ng trũn cú bỏn kớnh bng ) Cõu Cho (O,R) ng kớnh AB , ng kớnh CD di ng Gi ng thng d l tip tuyn ca ng trũn ti B ng thng d ct cỏc ng thng AC , AD theo th t ti P v Q a) Chng minh t giỏc CPQD ni tip mt ng trũn b) Chng minh AD AQ = AC.AP c) T giỏc ADBC l hỡnh gỡ ? Ti ? d) Xỏc nh v trớ ca CD SCPQD = 3.SACD Hng dn a) CPB = CDA ( cựng bng CBA) nờn CPB + CDQ = 1800 b) ADC APQ (g.g) suy AD.AQ = AC.AP c) T giỏc ADBC l hỡnh ch nht vỡ cú gúc vuụng D d Q d) SCPQD = 3.SACD SADC = ẳ SAPQ tc l t s ng dng ca hai tam giỏc ny l ẵ A O B Suy AD = ẵ AP hay BC = ẵ AP m tam giỏc ABC vuụng ti B nờn C l trung im ca CP C CB = CA hay ACB cõn CD AB P Cõu T mt im S nm ngoi ng trũn (O) v hai tip tuyn SA , SB v cỏt tuyn SCD ca ng trũn ú a) Gi E l trung im ca dõy CD Chng minh im S ,A , E , O , B cựng nm trờn mt ng trũn b) Nu SA = OA thỡ SAOB l hỡnh gỡ ? Ti ? 18 c) Chng minh AC BD = BC.DA = ẵ AB.CD Hng dn chng minh a) S dng tớnh cht tip tuyn , ta cú A A D , B cựng nhỡn SO di mt gúc vuụng , nờn K E O C S t giỏc SADO ni tip ng trũn ng kớnh SO Da vo tớnh cht ng kớnh vuụng gúc vi dõy cung , ta cú SEO = 900 Nờn E B thuc ng trũn ng kớnh SO b) Nu SA = OA thỡ SA = AB = OA = OB v gúc A vuụng nờn t giỏc SAOB l hỡnh vuụng c) Ta thy SAC SDA AC SC = DA SA SCB SBD BC SC = BD SB M SA = SB AC BC AC.BD = AD.BC (1) = AD BD Trờn SD ly K cho CAK = BAD lỳc ú CAK BAD (g.g) AC.DB = AB.CK BAC DAK (g.g) BC.AD = DK.AB Cng tng v ta c AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) T (1) v (2) suy : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ẵ AB.CD Vy AC.BD = AD.BC = ẵ AB.CD Cõu Cho tam giỏc ABC vuụng A ng trũn ng kớnh AB ct BC ti D Trờn cung AD ly mt im E Ni BE v kộo di ct AC ti F a) Chng minh CDEF ni tip b) Kộo di DE ct AC K Tia phõn giỏc ca gúc CKD ct EF v CD ti M v N Tia phõn giỏc ca gúc CBF ct DE v CF ti P v Q T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ ? Ti ? 19 c) Gi r1 , r2 , r3 theo th t l ng trũn ni tip cỏc tam giỏc ABC , ADB , ADC Chng minh : r = r12 + r22 Hng dn A K E a) Da vo s o cung ta F Q M thy C = DEB C + DEF = 1800 P B b) BED C N D Nờn t giỏc CDEF ni tip BCQ ( g.g) BPE = BQC KPQ = KQP hay KPQ cõn CNK MK EMK = CNK BMN = BNM hay BMN cõn MN PQ v MN ct PQ l trung im ca mi ng Nờn MNPQ l hỡnh thoi c) ABC DAB r1 r2 r1 r2 r2 r = = DAC = = BC AB AC BC AB2 AC2 r12 + r2 r12 + r2 r2 = = r2 = r12 + r22 BC AB2 + AC2 BC Cõu Cho tam giỏc ABC cú gúc nhn ni tip (O;R) H cỏc ng cao AD , BE ca tam giỏc Cỏc tia AD , BE ln lt ct (O) ti cỏc im th hai M , N Chng minh rng : a) Bn im A , E , D , B nm trờn mt ng trũn Tèm tõm I ca ng trũn ú b) MN // DE c) Cho (O) v dõy AB c nh , im C di chuyn trờn cung ln AB Chng minh rng di bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc CED khụng i Hng dn gii A a) E,D cựng nhỡn AB di mt gúc vuụng N I O nờn t giỏc AEDB ni tip mt ng trũn ng kớnh AB cú I ( trung E H K B D M C 20 im ca AB ) l tõm b) Ta thy : ABE = ADE ( chn cung AE ) m ABE = AMN ( chn cung AN ) nờn ADE = AMN hay DE // MN c) K thờm hỡnh nh hỡnh v Da vo gúc ni tip ca t giỏc AEBD suy c CN = CM nờn OC MM OC DE T giỏc HDCE ni tip ng trũn tõm K ( trung im ca HC) õy cng l ng trũn ngoi tip tam giỏc CDE KD = KE v ID = IE nờn IK DE hay IK // OC v OI // CK nờn OIKC l hỡnh bỡnh hnh KC = OI khụng i Cõu Cho tam giỏc u ni tip ng trũn (O,R) a) Tớnh theo chiu R di cnh v chiu cao ca ABC b) Gi M l im di ng trờn cung nh BC ( M B,C ) Trờn tia i ca MB ly MD = MC Chng t MCD u c) CMR : M di ng trờn cung nh BC thỡ D di chuyn trờn mt ng trũn c nh , xỏc nh tõm v cỏc v trớ gii hn d) Xỏc nh v trớ im M cho tng S = MA + MB + MC l ln nht Tớnh giỏ tr ln nht ca S theo R Hng dn B a) AH = E I H b) Cú MC = MD ( gt) s BMC = ẵ s BAC = ẵ ( 3600 : 3).2 = 1200 M O D A AB v AB = AC = BC = R CMD = 600 Vy CMD u c) IMC = IMD ( c.g.c) IC = ID C Khi M di ng trờn cung nh BC thỡ D chy trờn ng trũn ( I ; IC ) Khi M C D C ; M I D E d) ACM = BCD ( g.c.g ) AM = BD S = MA + MB + MC = 2.AM 21 2.AI S 4R S Max= 4R AM l ng kớnh Cõu Cho ABC ngoi tip (O) Trờn BC ly M , trờn BA ly N , trờn CA ly P cho BM=BN v CM = CP Chng minh rng : a) l tõm ng trũn ngoi tip MNP b) T giỏc ANOP ni tip ng trũn c) Tỡm v trớ M , N , P cho di NP nh nht Hng dn A a) T tớnh cht tip tuyn ct v gi thit suy : P D DN = EM = FP ODA = OEM = OFP ( F N B c.g.c ) O M E C ON = OM = OP hay O l tõm ng trũn ngoi tip MNP b) T cõu a) suy OND = OPF nờn t giỏc ANOP ni tip c) K OH NP Cú NP = NH = NO cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE Cos (A/2) Vy NPMin = 2r.cos(A/2) Khi ú M , N , P trựng vi cỏc tip im Cõu 10 Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 3a Ly AE = a trờn cnh AD v DF = a trờn cnh DC Ni AF v BE ct H a) Chng minh : AF BE b) Tớnh cnh ca t giỏc ABFE v ng chộo ca nú theo a c) Tớnh theo a on HE , HB d) Chng minh : EDFH ni tip ng trũn ng trũn y ct BF K Tớnh theo a on BK Nhn xột gỡ v im E , K ,C 22 F D C Hng dn : a) ADF = BAE DAF = EBA BE AF K E b) Pitago : BE = AF = a 10 ; EF = a ; BF = a 13 c) Dựng h thc lng : EH = H A B a 10 9a 10 ; HB = 10 10 d) Da vo tng gúc i bng 1800 nờn EDFH ni tip BEK BFH BK = BE.BH 9a 13 = BF 13 e) Da vo vuụng gúc : E , K , C thng hng 3) Bi t luyn Cõu Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ-ờng tròn (O) M điểm cung AB Nối M với A ,M với C cắt AB lần l-ợt E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp Cõu Cho đ-ờng tròn (O) đ-ờng thẳng xy không cắt đ-ờng tròn Gọi A hình chiếu điểm O xy.Qua A vẽ cát tuyến không quaO cắt đ-ờng tròn hai điểm B C Tiếp tuyến đ-ờng tròn B C cắt xy lần l-ợt M N Chứng minh : a) Các tứ giác OCNA ,OBAM nội tiếp b) AM = AN Cõu Cho hai đ-ờng tròn (O) (O) cắt A B Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đ-ờng tròn (O) C , cắt đ-ờng tròn (O) D Tia CA cắt đ-ờng tròn (O) I ,tia DA cắt đ-ờng tròn (O) K a) Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp b) Goị M giao điểm CK DI Chứng minh ba điểm A,M,B thẳng hàng Cõu Cho đ-ờng tròn (O) đ-ờng kính AB M điểm nằm đ-ờng tròn C điểm nằm A B Qua M kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với CM ,đ-ờng thẳng cắt tiếp tuyến đ-ờng tròn (O) kẻ từ A B lần l-ợt E F Chứng minh : a) Tứ giác AEMC BCMF nội tiếp 23 b) Tam giác ECF tam giác vuông C Cõu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O),hai đ-ờng cao BB ,CC a) Chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp b) Tia AO cắt đ-ờng tròn (O) D cắt BC I Chứng minh tứ giác BDIC nội tiếp c) Chứng minh OA BC Cõu Cho tam giác ABC vuông A điểm I cạnh AC Vẽ đ-ờng tròn đ-ờng kính IC cắt BC E ,cắt BI D ( D khác I) Chứng minh : a) Tứ giác ABCD nội tiếp b) I tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ADE c) Ba đ-ờng thẳng AB,CD, EI đồng qui 24 [...]... tuyến không đi quaO và cắt đ-ờng tròn tại hai điểm B và C Tiếp tuyến của đ-ờng tròn tại B và C cắt xy lần l-ợt tại M và N Chứng minh rằng : a) Các tứ giác OCNA ,OBAM nội tiếp b) AM = AN Cõu 3 Cho hai đ-ờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đ-ờng tròn (O) tại C , cắt đ-ờng tròn (O) tại D Tia CA cắt đ-ờng tròn (O) ở I ,tia DA cắt đ-ờng tròn (O) ở K a) Chứng minh rằng... a 10 9a 10 ; HB = 10 10 d) Da vo tng 2 gúc i bng 1800 nờn EDFH ni tip BEK BFH BK = BE.BH 9a 13 = BF 13 e) Da vo vuụng gúc : E , K , C thng hng 3) Bi tp t luyn Cõu 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ-ờng tròn (O) M là điểm chính giữa cung AB Nối M với A ,M với C cắt AB lần l-ợt tại E và P Chứng minh rằng tứ giác PEDC nội tiếp Cõu 2 Cho đ-ờng tròn (O) và đ-ờng thẳng xy không cắt đ-ờng tròn Gọi A là hình. .. điểm A,M,B thẳng hàng Cõu 4 Cho đ-ờng tròn (O) đ-ờng kính AB M là một điểm nằm trên đ-ờng tròn C là điểm nằm giữa A và B Qua M kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với CM ,đ-ờng thẳng này cắt tiếp tuyến của đ-ờng tròn (O) kẻ từ A và B lần l-ợt ở E và F Chứng minh : a) Tứ giác AEMC và BCMF nội tiếp 23 b) Tam giác ECF là tam giác vuông ở C Cõu 5 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O),hai đ-ờng cao BB ,CC a) Chứng... b) AM ct OE ti P , BM ct OF ti Q T giỏc MPOQ l hỡnh gỡ ? Ti sao ? c) K MH AB ( H AB) Gi K l giao ca MH v EB So sỏnh MK v KH Hng dn 1) EAO = EMO = 90 0 Nờn AEMO l t giỏc ni tip F 2) Da vo tớnh cht hai tip tuyn ct nhau cú M E MPO = MQO = 90 0 v PMQ = 90 0 nờn PMQO l Q K hỡnh ch nht P A H O B 3) EMK EAB KHB (g.g) EFB (g.g) EM EF m MF = FB = M K FB EM EF = MK MF EK AB EF AB EM EA = = = m ( Ta let)... đ-ờng cao BB ,CC a) Chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp b) Tia AO cắt đ-ờng tròn (O) ở D cắt BC ở I Chứng minh tứ giác BDIC nội tiếp c) Chứng minh OA BC Cõu 6 Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC Vẽ đ-ờng tròn đ-ờng kính IC cắt BC ở E ,cắt BI ở D ( D khác I) Chứng minh : a) Tứ giác ABCD nội tiếp b) I là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ADE c) Ba đ-ờng thẳng AB,CD, EI đồng qui 24 ... C Khi M di ng trờn cung nh BC thỡ D chy trờn ng trũn ( I ; IC ) Khi M C D C ; M I D E d) ACM = BCD ( g.c.g ) AM = BD S = MA + MB + MC = 2.AM 21 2.AI S 4R S Max= 4R khi AM l ng kớnh Cõu 9 Cho ABC ngoi tip (O) Trờn BC ly M , trờn BA ly N , trờn CA ly P sao cho BM=BN v CM = CP Chng minh rng : a) l tõm ng trũn ngoi tip MNP b) T giỏc ANOP ni tip ng trũn c) Tỡm v trớ M , N , P sao cho... , CE a) Chng minh BEDC l t giỏc ni tip b) Chng minh : AD.AC = AE.AB c) K tip tuyn Ax ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Chng minh rng : Ax // ED Hng dn chng minh A x a) D, E cựng nhỡn BC di mt gúc 90 0 nờn t giỏc BEDC D ni tip E C B b) Hai tam giỏc vuụng ABD v ACE ng dng Suy ra AD.AC = AE.AB B = AC B vỡ cựng chn cung AB c) xA B vỡ cựng ph vi gúc BED AE D = AC B = AE D Suy ra Ax // ED Nờn... v D trờn (O).) a) Chng minh A , O , C v A ,O, D thng hng 16 b) Kộo di CA v DA ct (O) v (O) theo th t ti I v K Chng minh t giỏc CKID ni tip c) Chng minh BA , CK v DI ng quy Hng dn B a) CBA = DBA = 90 0 nờn AC v DA l C O O ng kớnh hay A,O, C thng hng D D ,O,A thng hng b) T cõu 1) v da vo gúc ni tip chn A K na ng trũn ta thõy K , I cựng nhỡn I G CD di mt gúc vuụng nờn t giỏc CDIK ni tip c) A l trc... dn chng minh a) S dng tớnh cht tip tuyn , ta cú A A D , B cựng nhỡn SO di mt gúc vuụng , nờn K E O C S t giỏc SADO ni tip ng trũn ng kớnh SO Da vo tớnh cht ng kớnh vuụng gúc vi dõy cung , ta cú SEO = 90 0 Nờn E B thuc ng trũn ng kớnh SO b) Nu SA = OA thỡ SA = AB = OA = OB v gúc A vuụng nờn t giỏc SAOB l hỡnh vuụng c) Ta thy SAC SDA AC SC = DA SA SCB SBD BC SC = BD SB M SA = SB AC BC AC.BD = AD.BC... Ni BE v kộo di ct AC ti F a) Chng minh CDEF ni tip b) Kộo di DE ct AC K Tia phõn giỏc ca gúc CKD ct EF v CD ti M v N Tia phõn giỏc ca gúc CBF ct DE v CF ti P v Q T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ ? Ti sao ? 19 c) Gi r1 , r2 , r3 theo th t l ng trũn ni tip cỏc tam giỏc ABC , ADB , ADC Chng minh : r = r12 + r22 Hng dn A K E a) Da vo s o cung ta F Q M thy C = DEB C + DEF = 1800 P B b) BED C N D Nờn t giỏc ... nội tiếp Cõu Cho đ-ờng tròn (O) đ-ờng thẳng xy không cắt đ-ờng tròn Gọi A hình chiếu điểm O xy.Qua A vẽ cát tuyến không quaO cắt đ-ờng tròn hai điểm B C Tiếp tuyến đ-ờng tròn B C cắt xy lần l-ợt... = AN Cõu Cho hai đ-ờng tròn (O) (O) cắt A B Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đ-ờng tròn (O) C , cắt đ-ờng tròn (O) D Tia CA cắt đ-ờng tròn (O) I ,tia DA cắt đ-ờng tròn (O) K a) Chứng minh... MH v EB So sỏnh MK v KH Hng dn 1) EAO = EMO = 90 0 Nờn AEMO l t giỏc ni tip F 2) Da vo tớnh cht hai tip tuyn ct cú M E MPO = MQO = 90 0 v PMQ = 90 0 nờn PMQO l Q K hỡnh ch nht P A H O B 3) EMK