Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ tia phân giác trong BD của góc , D thuộc AC. Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC. BD cắt AE tại H, tia ED và BA cắt nhau tại F. 1) Chứng minh rằng và . 2) Chứng minh rằng và H là trung điểm AE. 3) So sánh AD và CD. 4) Chứng minh rằng và tam giác BFC cân. 5) Chứng minh rằng và . 6) Gọi I là trung điểm CF, chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng. Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc và . Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. 1) Chứng minh . 2) Chứng minh là tam giác đều. 3) Tính độ dài cạnh AC. Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc . Tia phân giác trong góc B cắt AC tại D. Qua D kẻ đường vuông góc BC tại E, cắt tia BA tại F. 1) Chứng minh tam giác ABE đều và BD vuông góc AE. 2) Chứng minh rằng tam giác BCD cân và . 3) Chứng minh rằng và tính góc . 4) Gọi I là trung điểm CF. Chứng minh rằng B, I, D thẳng hàng. 5) Biết rằng . Tính các cạnh .
Bài tốn tam giác vng Hình học Bài tập có hướng dẫn đáp án Câu Cho tam giác ABC vuông A Kẻ tia phân giác BD góc ABC , D thuộc AC Gọi E hình chiếu vng góc D BC BD cắt AE H, tia ED BA cắt F 1) Chứng minh ABD EBD AB BE 2) Chứng minh BD AE H trung điểm AE 3) So sánh AD CD 4) Chứng minh AF CE tam giác BFC cân 5) Chứng minh AE / /CF BD CF 6) Gọi I trung điểm CF, chứng minh B, D, I thẳng hàng Hướng dẫn 1) Trước hết BD phân giác nên ABD EBD ABC BD chung Do ta có ABD EBD ABD EBD c.h g n BAD BED 90 Do ABD EBD AB BE AB BE 2) Từ chứng minh a ta có ABD EBD DA DE Như B D cách A E nên BD trung trực AE Do đó, BD vng góc AE trung điểm AE, mà theo giả thiết BD cắt AE H nên H phải trung điểm AE Nói cách khác, BD vng góc AE trung điểm H AE 3) Ta chứng minh AD DE Xét điểm D đường thẳng BC ta có DE đường vng góc, cịn DC đường xiên kẻ từ D tới BC Do DE DC Vậy AD DE DC 4) Xét tam giác ADF EDC có: AD ED ADF EDC c.g.v g.n AF EC DAF DEC 90 ADF EDC doi dinh BF AB AF Ta có BC BE EC Mà từ chứng minh ta có AB BE; AF EC suy BF BC hay tam giác BFC cân B 5) Từ chứng minh ta BAE BFC tam giác cân có chung góc đỉnh B Do góc đáy nhau, hay BAE BFC 1800 ABC Mà góc đồng vị nên AE / /CF Từ chứng minh có BD AE BD CF 6) Ta có BF BC ADF EDC DF DC Như B D cách F, C nên BD trung trực FC Do BD vng góc CF trung điểm CF Mà I trung điểm CF nên BD qua I hai B, I, D thẳng hàng Câu Cho tam giác ABC vuông A D chân đường phân giác góc B, D thuộc BC Lấy điểm E cạnh BC cho BE BA 1) So sánh DA DE 2) Kẻ đường cao AK tam giác ABC, K thuộc BC Chứng minh DE / / AK 3) Gọi H giao điểm AE BD Chứng minh HA HE 4) Tia ED BA cắt F Chứng minh ADF EDC 5) Tam giác BFC tam giác gì? Vì sao? 6) Chứng minh BD CF Hướng dẫn 1) Trước hết BD phân giác nên ABD EBD ABC BA BE Khi ta có BD chung ABD EBD c.h c.g v DA DE ABD EBD 2) Do ABD EBD BED BAD 900 DE BC Mà AK BC DE / / AK BA BE 3) Từ chứng minh ta DA DE B, D cách A, E nên BD trung trực AE, suy BD phải vng góc AE trung điểm AE Mà theo giả thiết BD cắt AE H nên H trung điểm AE hay HA HE 4) Xét tam giác ADF EDC có: AD ED ADF EDC c.g.v g n DAF DEC 90 ADF EDC doi dinh BF AB AF 5) Ta có BC BE EC Mà từ chứng minh ta có AB BE; AF EC suy BF BC hay tam giác BFC cân B 6) Ta có ADF EDC DF DC Như BF BC; DF DC nên BD trung trực CF, suy BD CF Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AK, K thuộc BC Đường phân giác góc B cắt AC D Qua A kẻ đường vng góc BD H cắt BC E 1) Tam giác ABE tam giác gì? Vì sao? 2) Chứng minh DA DE DB phân giác góc ADE 3) Chứng minh DE / / AK AE phân giác góc CAK 4) Gọi F giao điểm tia ED BA Chứng minh AC EF EF BC 5) Chứng minh BD qua trung điểm CF Hướng dẫn 1) Do BD tia phân giác nên ABH EBH ABC AHB EHB 900 Khi ta có BH chung AHB EHB c.g.v g.n BA BE ABH EBH Vậy tam giác ABE cân B BD chung 2) Từ kết chứng minh 1, ta có BA BE ABD EBD c.g.c ABD EBD Suy ADB EDB hay DB phân giác góc ADE 3) Do ABD EBD BED BAD 900 DE BC Mà AK BC DE / / AK Khi ta có KAE DEA (so le trong) Mà ABD EBD DA DE hay tam giác ADE cân D nên DEA DAE Suy KAE DAE DEA hay AE phân giác góc KAC BA BE 4) Ta có ABC chung BAC BEF c.g.v g n AC EF BAC BEF 90 Tam giác ABC vuông A nên AC BC EF AC BC 5) Do BAC BEF BF BC AD ED Mặt khác DAF DEC 900 ADF EDC c.g v g n DF DC ADF EDC Như vậy, BF BC; DF DC nên BD trung trực CF, suy BD qua trung điểm CF Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD đường cao AK (D thuộc AC, K thuộc BC) Kẻ DE vng góc BC, E thuộc BC Gọi H giao điểm AE BD 1) Chứng minh tam giác ABE cân H trung điểm AE 2) Chứng minh DE / / AK AE phân giác góc KAC 3) Gọi G giao điểm AK BD Chứng minh tứ giác ADEG có cạnh 4) Chứng minh GE / / AC 5) Qua C kẻ đường vng góc tia BD I Chứng minh đường AB, DE, CI đồng quy Hướng dẫn BD chung 1) Ta có ABD EBD ABD EBD c.h g n BAD BED 90 Do BA BE; DA DE hay tam giác ABE cân B Đồng thời, B, D cách A, E nên BD trung trực AE nên BD vng góc AE trung điểm AE Mà theo giả thiết BD cắt AE H nên H trung điểm AE 2) DE / / AK vng góc BC Khi ta có KAE DEA (so le trong) Mà ABD EBD DA DE hay tam giác ADE cân D nên DEA DAE Suy KAE DAE DEA hay AE phân giác góc KAC GA GE 3) Do BD trung trực AE chứng minh nên DA DE Mặt khác, từ kết chứng minh ta có AH chung AHD AHG 90 AHD AHG c.g v g n AG AD HAG HAD KAC Vậy, AG GE DE AD hay tứ giác ADEG có cạnh 4) Ta có H trung điểm AE hay HA HE HA HE Cùng kết chứng minh ta có AD EG HAD HEG AHD EHG 90 Mà hai góc so le nên GE / / AD 5) Ta có DE BC; BA CD; CI AD nên AB, DE, CI đường cao tam giác BCD Do đường đồng quy điểm Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AK (K thuộc BC) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE BA Qua E kẻ đường vng góc BC cắt cạnh AC D 1) Chứng minh BD tia phân giác góc ABC DB tia phân giác góc ADE 2) Gọi H, G giao điểm AE, AK với BD Chứng minh tam giác ADG cân H trung điểm DG 3) Chứng minh GE AB tứ giác ADEG có cạnh 4) So sánh độ dài đoạn AD, CD DE 5) Biết AB 5cm góc ABC 600 Tính độ dài cạnh BC Hướng dẫn BA BE 1) Ta có BD chung BAD BED c.h c.g v BAD BED 90 Do ABD EBD hay BD phân giác góc ABC ADB EDB hay DB phân giác góc ADE 2) Ta có DE / / AK vng góc BC nên GAH DEA (so le trong) Mặt khác, BAD BED DA DE hay tam giác ADE cân D nên DEA DAH Suy KAH GAH DEA AH chung Như vậy, ta có AHD AHG 900 AHD AHG c.g v g n DAH GAH Suy AD AG hay tam giác ADG cân A BA BE 3) Từ chứng minh trên, ta có nên BD trung trực AE DA DE Do BD vng góc AE trung điểm AE, điểm H theo giả thiết Đồng thời, AHD AHG HD HG HA HE AHD EHG 2c g.v Như HD HG AHD EHG 90 Suy HEG HAD mà góc so le nên GE / / AD Mà AD AB GE AB Ta chứng minh DA DE; AD AG Mà AHD EHG AD GE Vậy AD AG EG DE hay tứ giác ADEG có cạnh 4) Ta chứng minh AD DE Tam giác DEC vuông E nên DE CD Vậy AD DE CD 5) Lấy F điểm đối xứng với B qua A CA chung Ta có CAB CAF 900 CAB CAF 2c.g v CB CF AB AF Suy tam giác BCF cân C Mà góc ABC 900 nên CBF tam giác Do BC 2.BA 2.5 10cm Câu Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600 Tia phân giác góc B cắt AC D Qua D kẻ đường vng góc BC E, cắt tia BA F 1) Chứng minh tam giác ABE BD vng góc AE 2) Chứng minh tam giác BCD cân EB EC 3) Chứng minh DF DC tính góc BCF 4) Gọi I trung điểm CF Chứng minh B, I, D thẳng hàng 5) Biết AB 6cm Tính cạnh BC; BE; AC Hướng dẫn BD chung 1) Ta có BAD BED ABD EBD c.h g n BA BE ABD EBD Do tam giác ABE cân B, mà góc ABC 600 nên trở thành tam giác BA BE Đồng thời ABD EBD nên BD trung trực AE, suy BD AE DA DE 2) Ta có ABC 600 DBC 1 ABC 600 300 2 Mặt khác, DCB 900 ABC 900 600 300 Vậy DBC DCB 300 nên tam giác BCD cân D, suy DB DC DE chung Khi ta có DEB DEC 900 DEB DEC c.h c.g v EB EC DB DC DA DE 3) Ta có DAF DEC 900 ADF EDC c.g v g n DF DC ADF EDC Đồng thời ADF EDC AF EC , mà BA BE BF BC Như tam giác BFC có BF BC góc FBC 600 nên tam giác Vậy BFC 600 BF BC 4) Từ chứng minh ta có nên BD trung trực CF DF DC Do BD vng góc CF trung điểm CF; mà I trung điểm CF theo giả thiết nên BD qua I, hay B,I, D thẳng hàng 5) Tam giác BFC nên BC BF 2.BA 2.6 12cm Từ kết chứng minh ta có EB EC BC 12 6cm 2 Áp dụng định lý Pytago, ta AC BC AB 122 62 108 3cm 10 Bài tập tự luyện Câu Cho tam giác ABC vuông A, góc ABC 600 AB 6cm Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC E 1) Chứng minh ABD EBD 2) Chứng minh ABE tam giác 3) Tính độ dài cạnh AC Câu Cho tam giác ABC vng A, có ACB 300 AB 5cm Tia phân giác góc B cắt AC D Gọi E hình chiếu vng góc D BC 1) Chứng minh ABD EBD 2) Tam giác ABE tam giác gì? Vì sao? 3) Tính độ dài cạnh BC Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BC (D thuộc cạnh AC) Kẻ AE vng góc BE E, cắt BC K 1) Chứng minh tam giác ABK cân 2) Chứng minh DK vng góc BC 3) Kẻ AH vng góc BC Chứng minh AK tia phân giác góc HAC 4) Gọi I giao điểm AH BD Chứng minh IK song song AC Câu 10 Cho tam giác ABC vng C, có góc CAB 600 Tia phân giác góc A cắt cạnh BC E Kẻ tia Ex vng góc AB K tia By vng góc AE D Chứng minh rằng: 1) AK KB 2) AD BC Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường phân giác BC (D thuộc AC) Kẻ AE vng góc BD E Đường thẳng AE cắt BC K 1) Chứng minh ABK tam giác cân 2) Cho DC 10cm; KC 8cm , tính độ dài đoạn DK 3) Vẽ tia Ax cho AK phân giác góc Cax, tia Ax cắt BD I Chứng minh KI AB Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD (D thuộc AC) Kẻ DE vng góc BC E Gọi F giao điểm tia BA ED Chứng minh rằng: 1) BD trung trực AE 2) DF DC 3) AD DC 4) Kẻ BM vng góc CF M Chứng minh B, D, M thẳng hàng 11 Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A BD đường phân giác góc B, D thuộc BC Kẻ DE vng góc BC, E thuộc BC Gọi F giao điểm ED BA Chứng minh rằng: 1) BD trung trực AE 2) DF DC 3) AD DC 4) AE / / FC Câu 14 Cho tam giác ABC vuông B Vẽ tia phân giác AD, D thuộc BC Từ D kẻ DE AC, E AC 1) Chứng minh BD DE; AB AE 2) ED cắt BA F, chứng minh BDF EDC 3) Chứng minh AFC tam giác cân 4) Chứng minh AD vuông góc FC Câu 15 Cho tam giác ABC vng C, có góc CAB 600 Tia phân giác góc BAC cắt BC E, kẻ EK vng góc AB, K thuộc AC, kẻ BD vng góc AE, D thuộc AE Chứng minh rằng: 1) AK KB 2) AD BC 3) đường AC, EK BD đồng quy Câu 16 Cho tam giác MNP vng M, tia phân giác góc N cắt MP D Kẻ DE vng góc NP, E thuộc NP 1) Chứng minh MND END 2) Chứng minh ND trung trực ME 3) Gọi F giao điểm MN DE Chứng minh tam giác NFP cân ND qua trung điểm PF 4) So sánh DM DP 12 ... Tia phân giác góc B cắt AC D Gọi E hình chiếu vng góc D BC 1) Chứng minh ABD EBD 2) Tam giác ABE tam giác gì? Vì sao? 3) Tính độ dài cạnh BC Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BC... tam giác ABC vuông A, góc ABC 600 AB 6cm Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC E 1) Chứng minh ABD EBD 2) Chứng minh ABE tam giác 3) Tính độ dài cạnh AC Câu Cho tam giác. .. CB CF AB AF Suy tam giác BCF cân C Mà góc ABC 900 nên CBF tam giác Do BC 2.BA 2.5 10cm Câu Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600 Tia phân giác góc B cắt AC D Qua D kẻ