Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 trường THCS Tam Hưng, Hà Nội năm học 2015 2016

Câu 2 2,0 điểm: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc.. Nếu người thứ nhất làm một mình

TRƯỜNG THCS TAM HƯNG ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2015 - 2016

MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức: A = x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 

:

x 1



a) Rút gọn A

b) Tìm x để A < 0

Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Câu 3 (2,0 điểm): Cho hệ phương trình: mx y 5

2x y 2

 



   

a) Giải hệ (I) với m = 5

b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và thỏa mãn: 2x + 3y

= 12

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác

A và B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt

Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt

Ax tại H, cắt AM tại K

1 Chứng minh rằng: AEMB là tứ giác nội tiếp và AI2 = IM.MB

2 Chứng minh BAF là tam giác cân

3 Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi

Câu 5 (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a 2 ab 3b 2 a 1     

ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 9

1

a)

   

  



2 x 2 x 1

x x 1 x x 1

x 1

 2   2 

1

A

x



1,0

b)

0

0

1

x

x

x x









   

 



1,0

2

Gọi x (ngày) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc

y (ngày) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc

(ĐK: x, y > 4)

Trong một ngày người thứ nhất làm được1

x (công việc), người thứ hai làm được1

y(công việc) Trong một ngày cả hai người làm được1

4(công việc)

Ta có phương trình:1 1 1

4

x y (1)

Trong 9 ngày người thứ nhất làm được9

x (công việc)

Theo đề ta có phương trình:9 1

1 4

Từ (1) và (2) ta có hệ:

1 1 1

4

9 1

1 4

x y x

  





  



(*)

0,25

0,5

0,5

Giải được hệ (*) và tìm được 12( )

6

x

tmdk y





 

 Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì xong công việc

Người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong công việc

1,0 0,25

3

Ta có: 5 mx + 2x = 3 (m + 2)x = 3 (1)

mx y

 



           

0,25

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất <=> PT (1) có nghiệm duy

nhất <=> m + 2 ≠ 0 <=> m ≠ - 2

0,25

Khi đó hpt (I) <=>

3

m + 2

10 2

2

m

m



     

Thay vào hệ thức ta được: 6m = 12  m = 2

0,25

4

Vẽ hình, ghi GT - KL đúng

0,5

1 Tứ giác AEMB nội tiếp vì 2 góc:AEB AMB= 900

Ax là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O)AxAB



AMBlà góc nội tiếp chắn nửa đường trònAMB 90 0

ABI

 làvuông tại A có đường cao AM AI 2  IM.IB

0,25 0,25 0,25 0,25

2, IAFlà góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắnAE



FAMlà góc nội tiếp chắnEM

Ta có: AF là tia phân giác củaIAMIAF FAM AE EM 

Lại có:ABHvàHBIlà hai góc nội tiếp lần lượt chắn cungAEvàEM

=>ABH HBIBE là đường phân giác của BAF

0,25 0,25

AEB là góc nội tiếp chắn nửa đường trònAEB 90 0 BEAF

BE là đường cao của  BAF

BAF

  làcân tại B (BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác)

0,25

0,25

3, BAFcân tại B, BE là đường caoBElà đường trung trực của AF

H, K BE   AK KF; AH HF   (1)

AF là tia phân giác củaIAMvàBE  AF

AHK

  có AE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác AHK

cân tại AAH AK (2)

Từ (1) và (2)AK KF AH HF   Tứ giác AKFH là hình thoi

0,25 0,25

0,25 0,25

5

Biểu thức:P a 2 ab 3b 2 a 1     (ĐK:a; b 0  )

Ta có

3P 3a 6 ab 9b 6 a 3 3P a 6 ab 9b 2a 6 a 3

3P a 6 ab 9b 2 a 3 a 3

3P a 2 a 3 b 3 b 2 a 2 a

         

1 P 2

  

với a; b 0  Dấu “=” xảy ra <=>

9 a

a 3 b 0

4



 

(thỏa mãn ĐK)

VậyMinA 1

2

  đạt được <=>

9 a 4 1 b 4

 





 



0,25

0,25