Toán 11 - Lý thuyết bài tập đạo hàm chi tiết, đầy đủ
Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com ĐẠO HÀM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa đạo hàm điểm 1.1 Định nghĩa : Cho hàm số y f x xác định khoảng a ; b x0 a ; b , đạo hàm hàm số f ' x0 lim điểm x0 : f x f x0 x x0 x x0 1.2 Chú ý : Nếu kí hiệu x x x0 ; y f x0 x f x0 : f ' x0 lim f x0 x f x0 x x0 x x0 y x x lim Nếu hàm số y f x có đạo hàm x0 liên tục điểm Ý nghĩa đạo hàm 2.1 Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y f x có đồ thị C f ' x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị C hàm số y f x M x0 , y0 C Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M x0 , y0 C : y f ' x0 x x0 y0 2.2 Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : s s t thời điểm t0 v t0 s ' t0 Cường độ tức thời điện lượng Q Q t thời điểm t0 : I t0 Q ' t0 https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm 3.1 Các quy tắc : Cho u u x ; v v x ; C : số u v ' u ' v ' u.v ' u '.v v '.u C.u C.u C.u u u '.v v '.u C , v 2 v u v u Nếu y f u , u u x yx yu ux 3.2 Các công thức : C ; x u n n.u n1.u , n , n xn n.xn1 x x , x 0 u 2uu , u 0 sin x cos x sin u u. cos u cos x sin x tan x cos u u.sin u u tan u cos u u cot u sin u cos2 x cot x sin x Vi phân 4.1 Định nghĩa : 63 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com Cho hàm số y f x có đạo hàm x0 vi phân hàm số y f x điểm x0 : df x0 f x0 x Cho hàm số y f x có đạo hàm f x tích f x x gọi vi phân hàm số y f x Kí hiệu : df x f x x f x dx hay dy y.dx 4.2 Cơng thức tính gần : f x0 x f x0 f x0 x Đạo hàm cấp cao 5.1 Đạo hàm cấp : Định nghĩa : f x f x Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s f t thời điểm t0 a t0 f t0 5.2 Đạo hàm cấp cao : n n1 f x f x , n , n B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : Tìm đạo hàm theo định nghĩa Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có cách sau : 1.2 Cách : Theo quy tắc o Bước : Cho x số gia x tìm số gia y tìm y f x x f x Lập tỉ số o Bước : Tìm giới hạn lim y x x f x f x0 Cách : Áp dụng công thức: f ' x0 lim x x0 https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ 1.1 x x0 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm ra: a) f x x3 x x0 ; b) f x 2x 1 x0 x2 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm ra: a) f x 3 x x0 ; x3 x x 10 x 16 x b) f x x0 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : a) y x x b) y f x x 3x 2 ; 1.3 Bài tập áp dụng : Bài Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm : a) f x x 3x x0 c) f x x 3x x0 x2 ; b) f x x x x0 ; ; d) f x cos2 x x0 ; Bài Xét tính liên tục tồn đạo hàm tính đạo hàm hàm số sau x2 x 2 x a x x f x a) f x ; b) ; x 1 x bx x 3x x c) f x x 3x ; d) f x x 64 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ y x Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com Bài Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : a) f x x3 3x x ; b) f x x 1 x 1 ; d) f x ; sin x c) f x x ; Bài Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : sin x cos x x ; x 2 x a) f x x3 x ; b) f x c) f x ; d) f x tan x 1 x 3x Bài Có tiếp tuyến C : y x3 3x x có hệ số góc âm ? 1.4 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y x x 2 x 5 b) y ( x 2)(1 x ) ; Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y 2x 1 3x ; b) y x 3x x 1 c) y ; Ví dụ Chứng minh công thức tổng quát sau ax bx c a x b 1 a1x b1x c1 a.a1x 2a.b1x b) b c a1 b1 x x2 ; ( a , b , c , a1 , b1 , c1 số) https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ ax bx c a x b x c 1 a) a b a c b c x 2 x a1 b1 a1 c1 b1 c1 x x2 ( a , b , c , a1 , b1 số) ; a1x b1 2 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y ( x x 1)4 ; b) y ( x 1)2 ( x 1) ; c) y ( x x 5)2 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y x 5x ; b) y ( x 2) x Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : ; c) y 1 x tan x a) y 2sin 3x cos x ; b) y ; c) y sin x cos x tan x sin x cos x Chú ý : Khi gặp hàm số phức tạp ta rút gọn hàm số tính đạo hàm , đặc biệt hàm số có chứa hàm số lượng giác Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y (sin x cos x) ; b) y tan x cot x ; 3 tan x tan5 x ; d) y tan sin cos x Ví dụ Cho hàm số : y f x x3 x mx Tìm m để : a) f x x ; b) f x , x 0; ; c) y tan2 x c) f x , x 0;2 ; d) f x , x ;2 65 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com m m x x m x 5m Tìm m để : ; b) f x có hai nghiệm dấu Ví dụ Cho hàm số : f x a) f x , x Bài Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y x x c) y x x 3 x x 4x ; b) y x 1 x x 0,5 x ; x ; d) y x x x x ; x b a2 e) y c x b ( a , b , c số) a x Bài Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y (2 x 3)( x5 x) 2x d) y x 1 2x2 x g) y b) y x(2 x 1)(3x 2) ; ; e) y c) y x 1 1 ; x x x 1 2x h) y x ; 2x ; f) y ; x 1 ; i) y 5x x2 x x 1 ; k) ; x2 x y x x 1 Bài Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y (2 x 3x x 1) y ( x x 1) ( x x 1) b) y ; ; d) ( x x 1)5 y x x ; https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ c) e) y 2x x2 ; f) y g) y x x x ; h) y ; k) y x 2x i) y x3 x3 x ; x2 x2 ; x2 Bài Tìm đạo hàm hàm số sau : sin x x sin x cos3 x ; b) y ; d) y 4sin x cos5 x.sin x ; sin x cos x x 1 g) y tan tan x i) y tan x 4 l) y cos x sin x ; f) y ; h) y tan 3x cot 3x ; ; k) y cot ; m) y (sin x cos x) ; n) y sin x cos x ; o) y sin cos3x ; ; x 2 q) y cot cos x a) y c) y e) y x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x p) y sin cos cos3x 2 sin x cos x sin x x cos x cos x x sin x ; ; x2 ; 66 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com cos x Tính f ' 0; f ' ; f ' ; f ' sin x 2 4 Bài 10 a) Cho hàm số f x b) Cho hàm số y f x cos x Chứng minh: f f ' sin x 4 3 Bài 11 Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y sin x cos x sin x cos6 x ; b) y cos4 x 2cos2 x sin x 2sin x ; c) y sin8 x cos8 x cos6 x 2sin6 x 6sin4 x ; d) y sin x 3cos x ; sin x cos6 x 3cos x x tan 1 sin x 2 2 2 e) y cos x cos ; f) y ; x cos x sin x sin x sin x sin 3x sin x g) y ; h) y 2cos x , x ; cos x cos x cos3x cos x Bài 12 Cho hàm số y x sin x chứng minh : a) xy y ' sin x x 2cos x y ; b) y' x tan x cos x Bài 13 Cho hàm số : f x sin x cos x , g x sin x cos x Chứng minh : f ' x g ' x x x Chứng minh : x y' y https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Bài 14 a) Cho hàm số y b) Cho hàm số y cot x Chứng minh : y ' y Bài 15 Giải phương trình y ' biết : a) y sin x cos x ; b) y cos x sin x ; c) y 3sin x cos x 10 x ; d) y m 1 sin x 2cos x 2mx Bài 16 Cho hàm số y x 2m 1 x mx Tìm m để : a) y ' có hai nghiệm phân biệt ; b) y ' viết thành bình phương nhị thức ; c) y ' , x ; d) y ' , x 1 ; ; e) y ' , x Bài 17 Cho hàm số y mx3 m 1 x mx Xác định m để : a) y ' , x b) y ' có hai nghiệm phân biệt âm ; c) y ' có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12 x22 mx x Bài 18 Cho hàm số y Xác định m để hàm số có y ' 0, x 1 ; x2 Bài 19 Tìm giá trị tham số m để hàm số: y x3 3x mx m có y ' đoạn có độ dài 67 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com Bài 20 Cho hàm số y mx m x 10 1 m tham số Xác định m để hàm số có y ' có nghiệm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến đường cong 2.1 Phương pháp : Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến đồ thị C : y f x M x0 ; y0 , có phương trình : y f ' x0 x x0 y0 ( ) Khi biết hệ số góc tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến đồ thị C : y f x có hệ số góc k ta gọi M x0 ; y0 tiếp điểm f ' x0 k (1) Giải phương trình (1) tìm x0 suy y0 f x0 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y k x x0 y0 Chú ý : Hệ số góc tiếp tuyến M x0 , y0 C k f x0 tan Trong góc chiều dương trục hoành tiếp tuyến Hai đường thẳng song song với hệ số góc chúng Hai đường thẳng vng góc tích hệ số góc chúng 1 Biết tiếp tuyến qua điểm A x1 ; y1 : Viết phương trình tiếp tuyến y f x M x0 ; y0 : y f ' x0 x x0 y0 1 Vì tiếp tuyến qua A x1 ; y1 y1 f ' x0 x1 x0 f x0 * Giải phương trình(*) tìm x0 vào (1) suy phương trình tiếp tuyến 2.2 Các ví dụ minh họa : https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Ví dụ Cho đường cong C : y f x x3 3x Viết phương trình tiếp tuyến C trường hợp sau : a) Tại điểm M 1 ; ; C có hồnh độ x0 1 ; c) Tại giao điểm C với trục hoành d) Biết tiếp tuyến qua điểm A 1 ; b) Tại điểm thuộc 3x 1 x a) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 21 ; Ví dụ Cho đường cong C : y b) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : x y ; c) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : x y góc 300 Ví dụ Cho hàm số y x3 3x x C Trong tất tiếp tuyến đồ thị C , tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Ví dụ Cho hàm số y x2 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O (Khối A – 2009) Ví dụ Cho hàm số y x 3x C Tìm điểm thuộc đồ thị C mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị C (Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng, 1999) 68 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com Ví dụ Cho C đồ thị hàm số y x x Chứng minh tiếp tuyến điểm C cắt trục tung điểm cách gốc tọa độ tiếp điểm 2.3 Bài tập áp dụng: Bài 21 Cho hàm số C : y x x Viết phương trình tiếp với C : a) Tại điểm có hồnh độ x0 ; b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : x y ; c) Vng góc với đường thẳng : x y 2011 ; d) Biết tiếp tuyến qua điểm A 1 ; Bài 22 Cho hàm số : y 3x 1 x C a) Viết phương trình tiếp tuyến C điểm M 1 ; 1 ; b) Vết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C với trục hồnh; c) Viết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C với trục tung ; d) Viết phương trình tiếp tuyến C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y ; e) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : x y Bài 23 Cho hàm số : y x3 3x C a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C điểm I 1 ; b) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị C không qua I Bài 24 Cho hàm số y x x C Tìm phương trình tiếp tuyến với C : ; b) Song song với đường thẳng : d : x y https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ a) Tại điểm có hồnh độ x0 Bài 25 Cho hàm số y x3 3mx m 1 x 1 , m tham số thực Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ x 1 qua điểm A 1 ; (Dự bị A1 - 2008) 3x 1 Tính diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến đồ x 1 thị hàm số (1) điểm M 2 ; 5 Bài 26 Cho hàm số y (Dự bị D1 - 2008) Bài 27 Cho hàm số y 3x C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y x góc 300 Bài 28 Cho hàm số y x3 3x x C Trong tất tiếp tuyến đồ thị C , tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài 29 Cho hàm số y 2x x 1 C Gọi I 1 ; Tìm điểm M C cho tiếp tuyến C M vng góc với đường thẳng IM (Dự bị B2 - 2003) 2x C Tìm điểm M C , biết tiếp tuyến C M cắt hai trục tọa độ x 1 A , B tam giác OAB có diện tích Bài 30 (*) Cho hàm số y (Khối D - 2007) 69 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com x x 1 Bài 31 (*) Cho hàm số : y C Viết phương trình tiếp tuyến C cho hai đường d1 : x ; d2 : y cắt tạo thành tam giác cân (Dự bị D2 - 2007) Bài 32 Cho hàm số y x C Chứng minh qua điểm A 1; 1 kẻ hai tiếp tuyến với C x 1 hai tiếp tuyến vng góc với Bài 33 (*) Cho hàm số y 4 4 x x 3x C Qua điểm A ; kẻ tiếp tuyến đến đồ 9 3 thị C Viết phương trình tiếp tuyến Bài 34 (*) Cho hàm số y C qua điểm x2 x (C ) Gọi I 1 ; Chứng minh khơng có tiếp tuyến x 1 I (Dự bị B2 - 2005) Bài 35 (*) Cho hàm số y x x C Tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị C Tìm vi phân hàm số tính gần nhờ vi phân 3.1 Phương pháp : Dựa theo định nghĩa công thức sau : Cho hàm số y f x có đạo hàm f x tích f x x gọi vi phân hàm số y f x https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Kí hiệu : df x f x x f x dx hay dy y.dx 3.2 f x0 x f x0 f x0 x Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm vi phân hàm số sau : x 3x a) y x 1 b) y ; x 1 x3 3x Ví dụ Tìm vi phân hàm số sau : sin x x x sin x b) y tan x cot 3x Ví dụ Tính gần giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) : a) y a) 3.3 8,99 ; b) cos 460 ; ; c) tan 59 45' Bài tập áp dụng: Bài 36 Tìm vi phân hàm số sau : a) y c) y 2x x 5x x2 x e) y cot (2 x ) ; b) y ( x x ) ; cos x d) y cos x ; f) 32 ; ; y sin(cos x) cos(sin x ) sin x cos3 x Bài 37 Cho hàm số y sin x.cos x Chứng minh đẳng thức : y.dy cos x.dx 70 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com Bài 38 Tính gần giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) : a) 4,02 b) tan 44030' ; c) 7,97 ; Đạo hàm cấp cao 4.1 Phương pháp : Dựa theo định nghĩa sau : Đạo hàm cấp : f x f x n n1 Đạo hàm cấp cao : f x f x , n , n Chú ý : Để tìm cơng thức tính đạo hàm cấp n hàm số ta tìm đạo hàm cấp , , … sau dự đốn cơng thức tính đạo hàm cấp n chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp 4.2 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số sau : x x 5x x Tìm y , y ; x 3 4 b) y Tìm y , y , y ; c) y 3x x Tìm y x4 a) y Ví dụ Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: a) y y y b) x y x y 2 2 x x2 1 y ; y x.tan x Ví dụ Chứng minh quy nạp công thức sau n * : n c) ax b n an sin ax n ; b) https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ a) sin ax cos ax n n cos ax ; n 1 an n! n1 ax b Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau : a) y 4x 1 2x 1 b) y ; x 3x x 1 Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau : 4 a) y sin x cos x ; b) y 8sin x.cos3x.cos x Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n hàm số , ta biến đổi hàm số cho thành ; sin ax ; cos ax áp dụng công thức tổng hàm số có dạng : ax b ví dụ , dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n hàm số cho chứng minh lại quy nạp (nếu cần) 4.3 Bài tập áp dụng: Bài 39 Tìm đạo hàm cấp hàm số sau : a) y x.cos3x tìm y c) y x 1 tìm y 5 x tìm y ; x 3x 4 tìm y x2 ; b) y sin ; d) y Bài 40 Chứng minh đẳng thức sau : a) xy y ' sin x xy " y x sin x ; b) 182 y 1 y" y cos 3x ; 71 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com c) y" y y sin x cos x ; sin x cos x 3 d) y xy y 40 y x ; e) y' y 1y" y x3 ; x4 f) x y"4 x y' y y g) 1 x y " xy ' k 2 y0 x 1 x2 ; y x k x2 , k Bài 41 Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau : a) y d) y 2x x2 x2 5x x 3x x2 ; b) y x x2 ; c) y ; x 2x ; d) y 8sin x.sin x.sin3x ; e) y sin x cos6 x ; 2n 1 n 32n y f) Cho y cos3x Chứng minh y Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn 5.1 Phương pháp : Ta sử dụng định nghĩa đạo hàm : f ' x0 lim x x0 f x f 0 x x0 để tính giới hạn có dạng vơ định Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng : lim x x0 f x f 0 , x x0 https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ sau tính đạo hàm hàm f x điểm x0 áp dụng định nghĩa đạo hàm suy kết giới hạn 5.2 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm giới hạn sau : 4x a) lim x 0 x ; x3 x2 b) lim x 1 x2 1 ; b) lim Ví dụ Tìm giới hạn sau : x x2 x n n x 1 x 1 a) lim x 1 x n nx n ( x 1) Ví dụ Tìm giới hạn sau : x 4 a) lim tan x tan x 5.3 sin x 4 b) lim sin x x ; Bài tập áp dụng: Bài 42 Tìm giới hạn sau : a) lim x 1 c) lim x8 3 x 2x x sin x 3x x x 0 e) lim x 1 x 1 x 1 x 3x ; b) lim ; 3 x3 24 x x d) lim ; x2 x2 ; f) lim m x 1 x 1 n x 0 ; 2x 1 ; 3x 72 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com Bài 43 Tìm giới hạn sau : a) lim( a x ) tan x a x , ( a 0) ; 2a cos5 x cos3x x0 x.sin x ; d) lim cos x x 0 x sin x ; f) lim c) lim e) lim lim x 0 i) lim x 1 x 2x 1 4x 1 cos x g) 2x x b) lim ; x 0 sin x 2 ; h) lim x 0 x x x 19 3x 46 cos 3x sin 3x sin 3x tan x sin x ; x3 x2 x 1 x 2x ; tan( x 1) Tính tổng có chứa tổ hợp 6.1 Phương pháp : Trong phần đại số tổ hợp áp dụng nhị thức Newton để tính tổng có chứa cơng thức tổ hợp ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm cấp vế ta tính tổng cần tính 6.2 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tính tổng sau : n n1 a) S1 Cn 2Cn 3Cn nCn ; b) S2 2.1.Cn2 2n2 3.2.Cn3 2n3 1 n n 1 Cnn n c) S3 Cn Cn Cn n Cn 2 2 n ; Bài tập áp dụng: d) S4 2Cn0 5Cn1 8Cn2 3n Cnn https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ 6.3 Bài 44 Rút gọn tổng sau : a) S1 Cn1 2Cn2 (n 1)Cnn 1 nCnn b) S2 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn 1 (n 1)Cnn c) S3 2C 5C 8C 3n C n n n n n ; ; Bài 45 (*) Rút gọn tổng sau : 99 100 198 1 1 99 a) S1 100C 101C100 199C100 2 2 2 18 17 20 b) S2 2.1.C20 3.2.C20 380.C20 100 199 200C 100 100 1 2 2009 22.C2009 32.C2009 20092.C2009 c) S3 12.C2009 2010 d) S4 3Cn0 5Cn1 7Cn2 4023C2010 Bài 46 Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức An3 Cn3 35, n 3 Tính tổng : n 1 n S 22.Cn2 32.Cn3 1 n2 Cnn n (Dự bị B1 – 2008) Bài 47 Chứng minh với n số ngun dương , ta ln có : n.2n.Cnn n 1 2n1.Cn1 n 2n2.Cn2 2.Cnn1 2n.3n1 (Dự bị D1 – 2008) Bài 48 Tìm số nguyên dương n cho : C21n 1 2.2C22n 1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 2n 1.22 n C22nn11 2011 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử ) 73 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 Ôn Thi Quốc Gia 2018 - Tài liệu ôn thi số VN www.VIETMATHS.com 74 Like page để nhận nhiều tài liệu hơn: https://www.facebook.com/tailieupro/ ... x b) f x x0 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : a) y x x b) y f x x 3x 2 ; 1.3 Bài tập áp dụng : Bài Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm : a)... dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y ( x x 1)4 ; b) y ( x 1)2 ( x 1) ; c) y ( x x 5)2 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y x 5x ; b) y ( x 2) x Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số... x tan x sin x cos x Chú ý : Khi gặp hàm số phức tạp ta rút gọn hàm số tính đạo hàm , đặc biệt hàm số có chứa hàm số lượng giác Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y (sin x cos x) ; b)