Phương trình hàm sai phân

5 1.2 Biểu diễn một số lớp hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn 7 2 Phương trình hàm sai phân bậc nhất 11 2.1 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng.. 24 3 Phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐỖ ĐỨC DUY

PHƯƠNG TRÌNH HÀM SAI PHÂN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ ĐÌNH ĐỊNH

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính 5 1.2 Biểu diễn một số lớp hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn 7

2 Phương trình hàm sai phân bậc nhất 11 2.1 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng

dạng 11 2.1.1 Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến 11 2.1.2 Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng 13 2.2 Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d 16 2.3 Hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến tính 19 2.4 Ví dụ áp dụng 22 2.5 Bài tập 24

3 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai 25 3.1 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn

và phản tuần hoàn cộng tính 25 3.2 Phương trình với hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

nhân tính 34 3.3 Ví dụ áp dụng 45 3.4 Bài tập 48

4 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba 50 4.1 Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất bậc ba 50

4.1.1 Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất

bậc ba với ba nghiệm đơn 50 4.1.2 Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất

bậc ba với hai nghiệm đơn 53 4.1.3 Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất

bậc ba với nghiệm bội ba 57 4.2 Phương trình hàm sai phân tuyến tính không thuần nhất

bậc ba 64 4.3 Ví dụ áp dụng 65 4.4 Bài tập 68

Tài liệu tham khảo 72

Mở đầu

Sai phân là một kiến thức quan trọng trong Toán học, có ứng dụng cao trong khoa học và các ngành kỹ thuật (Quá trình sản suất, quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, nghiên cứu sinh học ) Trong đó, phương trình hàm sai phân là mảng kiến thức khó, chưa được đề cập nhiều Hầu hết kiến thức được tiếp cận ở các em học sinh trường chuyên Đây là dạng bài toán đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải như kiến thức về phương trình hàm và kiến thức về sai phân

Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình hàm sai phân, phân loại các dạng phương trình với sự tổng hợp các phương pháp giải sẽ đóng góp cho việc định hướng nghiên cứu, tìm hiểu cho học sinh

Luận văn được chia làm bốn chương với nội dung:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương trình bày các kiến thức cơ bản của Lý thuyết phương trình hàm, nhằm áp dụng cho các nội dung tiếp theo Còn có ví dụ minh họa cho từng đơn vị kiến thức

Chương 2 Phương trình hàm sai phân bậc nhất Chương trình bày nghiên cứu dạng phương trình hàm sinh bới các phép biến đổi hình học cơ bản như phép đồng dạng, phép tịnh tiến

Chương 3 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai

Chương trình bày phương trình hàm sai phân tuyến tính

bậc hai với vế phải là hàm số đối với hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính, nhân tính

Chương 4 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba

Nội dung xét về phương trình hàm sai phân thuần nhất bậc

ba với các nghiệm đơn, nghiệm kép, nghiệm bội ba, phương trình không thuần nhất

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của

TS Lê Đình Định Trường Đại học Khoa học Tự nhiên -ĐHQG Hà Nội cùng với sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ động viên của thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, các thầy cô trường Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tận tâm chỉ dạy trong suốt thời gian qua Đồng thời tác giả cũng xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, các thầy cô trường THPT Yên Viên đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành khóa học cũng như nghiên cứu luận văn này Xin cảm ơn gia đình, bạn

bè đã động viên giúp đỡ tác giả

Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận sự đóng góp từ thầy cô, bạn

bè, đồng nghiệp để hoàn thiện hơn

Hà Nội, Tháng 09 năm 2016

Tác giả

Đỗ Đức Duy

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f(x) được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a(a>0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và



∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M

f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M (1.1)

Cho f (x) là hàm tuần hoàn trên M Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T

Ví dụ 1.1.1 Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f (x) khác hằng số, tuần hoàn trên R nhưng không có chu kỳ cơ sở

Lời giải Xét hàm Dirichle

f (x) =



0 khi x ∈ Q

1 khi x /∈ Q

Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q+ tùy ý

Vì trong Q+ không có số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở

Ví dụ 1.1.2 Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn trên M có các chu kỳ

cơ sở lần lượt là a và b với ab ∈ Q Chứng minh rằng F (x) = f (x) + g(x)

và G(x) = f (x)g(x) cũng là những hàm tuần hoàn trên M

Lời giải Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+, (m, n) = 1 sao cho ab = mn Đặt

T = na = mb Khi đó:



F (x + T ) = f (x + nx) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M

(1.2) Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± T ∈ M Vậy F (x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên M

Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f (x) được gọi là phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ b(b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và



∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M

f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M (1.3)

Nếu f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b0 trên M mà không là hàm phản tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn b0 trên M thì b0 được gọi

là chu kỳ cơ sở của của hàm phản tuần hoàn f (x) trên M

Ví dụ 1.1.3 Chứng tỏ rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là hàm tuần hoàn trên M

Lời giải Theo giả thiết, ∃b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M và

f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M

Suy ra ∀x ∈ M thì x ± 2b ∈ M và:

f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M

Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M

Ví dụ 1.1.4 Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b

trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = g(x + b) − g(x)

với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M

Ví dụ 1.1.5 Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn với chu

kỳ b trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = g(x + b) − g(x)

với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M

Lời giải Thật vậy, ta có:

f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b)

= g(x) − g(x + b)

= −(g(x + b) − g(x))

= −f (x), ∀x ∈ M

Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M

Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M, chọn

g(x) = −12f (x) thì g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M và

g(x + b) − g(x) = −1

2f (x + b) − (−

1

2f (x))

= −1

2(−f (x)) +

1

2f (x) = f (x), ∀x ∈ M.

1.2 Biểu diễn một số lớp hàm tuần hoàn và phản

tuần hoàn

Bài toán 1.2.1 Cho các số b, c ∈ R\{0} và d ∈ R Xác định tất cả các

hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R (1.4) Lời giải

i) Trường hợp c = 1 Khi đó (1.4) có dạng

f (x + b) = f (x) + d

⇔ f (x + b) − d

b(x + b) = f (x) −

d

bx, ∀x ∈ R

hay

g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − d

bx, ∀x ∈R

Vậy

f (x) = g(x) + d

bx

trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + b) = g(x), ∀x ∈ R

ii) Trường hợp c 6= 1 Đặt

f (x) = g(x) + d

1 − c

thay vào (1.4) ta được

g(x + b) = cg(x)

Đặt

g(x) = |c|xbh(x)

trong đó

h(x + b) =



h(x) nếu c > 0

−h(x) nếu c < 0 (1.5)

Vậy

f (x) = d

1 − c + |c|

x

bh(x)

Bài toán 1.2.2 Cho h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a(a > 0) Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (1.6) Lời giải Ta có

h(x) = (x + a) − x

a h(x) =

(x + a)h(x + a)

a − xh(x)

a , ∀x ∈ R

Khi đó viết (1.6) dưới dạng

f (x + a) − f (x) = (x + a)h(x + a) − xh(x)

g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − xh(x)

a

Vậy

f (x) = g(x) + xh(x)

a

trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R

Bài toán 1.2.3 Cho h(x) là một hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ

a(a > 0) Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (1.7) Lời giải Do h(x) là hàm phản tuần hoàn nên

h(x + a) = −h(x) h(x) = h(x)

2 − h(x + a)

2

= −h(x + a)

2 − −h(x)

2 , ∀x ∈R

Khi đó viết (1.7) dưới dạng

f (x + a) − f (x) = −h(x + a)

2 − −h(x)

2

hay

g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) + h(x)

2

Vậy

f (x) = g(x) − h(x)

2

trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R

Bài toán 1.2.4 Cho b 6= −1và h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu

kỳ a(a > 0) Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + a) + bf (x) = h(x), ∀x ∈R (1.8)

Lời giải Theo tính tuần hoàn của hàm h(x) ta có các đẳng thức sau

h(x + a) = h(x) h(x) = h(x + a)

b + 1 + b

h(x)

b + 1, ∀x ∈R

Do đó (1.8) trở thành

f (x + a) + bf (x) = h(x + a)

b + 1 + b

h(x)

b + 1

hay

g(x + a) = −bg(x) (1.9) trong đó

g(x) = f (x) − h(x)

b + 1

Do b 6= −1 nên −b 6= 1, phương trình (1.9) có nghiệm

g(x) = |b|xaq(x)

trong đó q(x) là hàm tùy ý thỏa mãn

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo Dục 2011 [2] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, 2004, Phương pháp sai phân, NXB ĐHQG Hà Nội

[3] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp, 2001, Phương trình sai phân và một số ứng dụng , NXB Giáo Dục Việt Nam

[4] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục Việt Nam

[5] Nguyễn Văn Mậu, Đinh Công Hướng, 2012 Sai phân định lý và áp dụng, Đại học Quốc gia hà Nội

[6] Nguyễn Tài Chung, 2014, Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy

số, NXB ĐHQG Hà Nội

[7] Nguyễn Tài Chung, Lê Hoành Phò, 2013, Chuyên khảo phương trình hàm , NXB ĐHQG Hà Nội