híng dÉn ®äc toµn v¨n b¸o c¸o KQNC ! B¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanh nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng[.]
hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Më View trªn Menu, Chän Zoom to ! Chän tû lƯ cã s½n hép kÝch th thíc muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cÊp ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LỤC TRƯỜNG GIANG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM XÂY DỰNG TỪ ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015 Mục lục Lời cảm ơn MỞ ĐẦU Chương Định lý Lagrange phương trình hàm 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.2 Áp dụng vào phương trình hàm 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy phương trình hàm 19 Chương Định lý Pompeui phương trình hàm 20 2.1 Định lý giá trị trung bình Pompeui 20 2.2 Phương trình hàm kiểu Stamate 21 2.3 Phương trình hàm kiểu Kuczma 25 2.4 Phương trình hàm theo quy tắc Simpson 31 2.5 Một số mở rộng 41 KẾT LUẬN 57 Tài liệu tham khảo 58 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Trần Nguyên An Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Học viên: Lục Trường Giang MỞ ĐẦU Định lý Giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng Giải tích, bắt nguồn từ Định lý Rolle chứng minh nhà toán học Pháp Michel Rolle (1652-1719) cho đa thức năm 1691 Định lý Rolle xuất lần sách "Methode pour resoudre le égalitez" mà khơng có chứng minh Định lý Rolle quan tâm Joseph Lagrange (1763-1813) trình bày định lý giá trị trung bình mà ta gọi Định lý Giá trị trung bình Lagrange sách "Theorie des functions analytiques" năm 1797 ông Định lý Rolle quan tâm nhiều Augustine Louis Cauchy (1789-1857) sử dụng chứng minh định lý giá trị trung bình mà ta gọi Định lý Giá trị trung bình Cauchy sách "Equationnes differentielles ordinaires" Hầu hết kết sách Cauchy suy trực tiếp gián tiếp từ Định lý Rolle Gần nhiều phương trình hàm nghiên cứu nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Mục đích luận văn trình bày số lớp phương trình hàm nảy sinh từ số định lý giá trị trung bình (Định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeui) Luận văn bao gồm chương Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Lagrange số dạng phương trình hàm nảy sinh Định lí giá trị trung bình Cauchy - mở rộng trực tiếp Định lí giá trị trung bình Lagrange áp dụng trình bày chương Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Pompeui ứng dụng vào phương trình hàm Một số lớp phương trình hàm đặc biệt phương trình hàm kiểu Stamate, phương trình hàm kiểu Kuczma số mở rộng trình bày phần cuối Chương Chương Định lý Lagrange phương trình hàm 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý khám phá Joseph Louis Lagrange (1736-1813) việc ứng dụng định lý Rolle Để chứng minh định lý Rolle dựa vào hai kết đơn giản sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f : R → R đạt cực trị điểm c thuộc khoảng mở (a, b) f (c) = Mệnh đề 1.1.2 Một hàm liên tục f : R → R đạt giá trị khoảng đóng bị chặn [a, b] Định lý 1.1.1 (Định lí Rolle) Nếu f liên tục [x1 , x2 ], khả vi (x1 , x2 ) f (x1 ) = f (x2 ), tồn điểm η ∈ (x1 , x2 ) cho f (η) = Định lý 1.1.2 (Định lý giá trị trung bình Lagrange) Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x1 6= x2 I , tồn điểm η phụ thuộc x1 x2 cho f (x1 ) − f (x2 ) = f (η (x1 , x2 )) x1 − x (1.1) Trong mục này, thiết lập số kết phép tính vi phân tích phân sử dụng định lý giá trị trung bình Lagrange Hệ 1.1.1 Nếu f (x) = với x khoảng (a, b) f [a, b] Hệ 1.1.2 Nếu f (x) = g (x) với x ∈ (a, b) f g sai khác số [a, b] Hệ 1.1.3 Nếu f (x) > ( 0, với x ∈ (a, b) f lõm khoảng [a, b] 1.2 Áp dụng vào phương trình hàm Trong mục này, trình bày số lớp phương trình hàm nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Lagrange Trước hết ta cần số khái niệm sau Định nghĩa 1.2.1 Với số thực phân biệt x1 , x2 , , xn tỉ sai phân hàm f : R → R định nghĩa f [x1 ] = f (x1 ) f [x1 , x2 , , xn ] = f [x1 , x2 , , xn−1 ] − f [x2 , , xn ] , n > x1 − xn Dễ thấy f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 (x3 − x2 )f (x1 ) + (x1 − x3 )f (x2 ) + (x2 − x1 )f (x3 ) f [x1 , x2 , x3 ] = (x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) f [x1 , x2 ] = Như cơng thức định lí giá trị trung bình biểu diễn sau f [x1 , x2 ] = f (η(x1 , x2 )) (1.2) Trong η phụ thuộc x1 , x2 Từ đó, phương trình (1.2) xuất phương trình hàm với hàm chưa biết f giá trị cho trước η Định lý Aczél (1963) Haruki (1979) đưa độc lập Việc chứng minh định lý Aczél (1985) Định lý có liên quan tới phương trình (1.2) Định lý 1.2.1 Các hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm f [x, y] = h(x + y), x 6= y, (1.3) f (x) = ax2 + bx + c h(x) = ax + b, a, b, c số thực tùy ý Chứng minh Từ định nghĩa tỉ sai phân f , viết lại sau f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), x 6= y (1.4) Nếu f thỏa mãn phương trình (1.4), f + b thỏa mãn, với b số tùy ý Vì khơng tính tổng qt ta giả sử f (0) = Đặt y = phương trình (1.4) ta có f (x) = xh(x) (1.5) xh(x) − yh(y) = (x − y)h(x + y) (1.6) Từ (1.4) ta có Ngược lại h thỏa mãn phương trình (1.6) h + c thỏa mãn,với c số tùy ý Giả sử h(0) = 0, đặt x = −y (1.6), ta −yh(−y) = yh(y) (1.7) Do h hàm lẻ, cho y = −y (1.6), ta có xh(x) − yh(y) = (x + y)h(x − y) (1.8) So sánh (1.8) (1.6), ta có (x − y)h(x + y) = (x + y)h(x − y) (1.9) thay u = x + y, v = x − y vào (1.9), ta vh(u) = uh(v),∀u, v ∈ R Do ta có h(u) = au Nếu khơng có giả sử h(0) = ta có h(u) = au + b Từ (1.5) có f (x) = x(ax + b), khơng có f (0) = f (x) = ax2 + bx + c Như ta có điều phải chứng minh Hệ 1.2.1 Hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm x + y f (x) − f (y) = (x − y)f , x 6= y f (x) = ax2 + bx + c, với a, b, c số thực tùy ý Định lý 1.2.2 Nếu đa thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, với a 6= 0, nghiệm phương trình hàm f (x + h) − f (x) = hf (x + θh), (0 < θ < 1) (1.10) với x ∈ R, h ∈ R\{0} θ = Đảo lại, hàm f thỏa mãn phương trình hàm với θ = nghiệm đa thức có bậc nhiều hai Chứng minh Giả sử f (x) = ax2 + bx + c (1.11) thỏa mãn (1.10) Thay (1.11) vào (1.10) ta có a(x + h)2 + b(x + h) + c − ax2 − bx − c = h(2a(x + θh) + b) hay ah2 (1 − 2θ) = Vì a, h 6= nên ta có θ = Ngược lại, cho θ = h = y − x từ (1.10), ta có x+y ), x 6= y f (x) − f (y) = (x − y)f ( Từ Hệ 1.2.1, f ta có định lý chứng minh Kết sau Kannappan, Sahoo Jacobson (1995) Định lý 1.2.3 Với tham số thực s, t hàm f, g, h : R → R thỏa mãn f (x) − g(y) = h(sx + ty) x−y (1.12) với x, y ∈ R, x 6= y ax + b s = = t ax + b s = 0, t 6= ax + b s 6= 0, t = f (x) = αtx + ax + b s = t 6= A(tx) +b s = −t 6= t βx + b s2 6= t2 (1.13) s = = t ay + b s = 0, t 6= ay + b s 6= 0, t = αty + ay + b s = t 6= A(ty) s = −t 6= t +b βy + b s2 6= t2 (1.14) tùy ý, h(0) = a s = = t a s = 0, t 6= a s 6= 0, t = h (y) = αy + a s = t 6= (c − b)t A(y) s = −t 6= y + y β s2 6= t2 (1.15) g (y) = ay + b A : R → R hàm cộng tính a, b, c, α, β số thực tùy ý Chứng minh Ta xét trường hợp xảy s t Trường hợp Giả sử s = t = 0, (1.12) có dạng f (x) − g(y) = h(0) x−y tức f (x) − ax = g(y) − ay a = h(0), ta f (x) = ax + b g(y) = ay + b (1.16) b số tùy ý Thay (1.16) vào (1.12), ta thấy h hàm với a = h(0) ... nhiều phương trình hàm nghiên cứu nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Mục đích luận văn trình bày số lớp phương trình hàm nảy sinh từ số định lý giá trị trung bình (Định lý giá trị trung bình. .. Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Lagrange số dạng phương trình hàm nảy sinh Định lí giá trị trung bình Cauchy - mở rộng trực tiếp Định lí giá trị trung bình Lagrange áp dụng trình bày... Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Pompeui ứng dụng vào phương trình hàm Một số lớp phương trình hàm đặc biệt phương trình hàm kiểu Stamate, phương trình hàm kiểu Kuczma số mở rộng trình